精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期5月底月考数学试题

河南省叶县高中高二下学期数学5月底月考试题 考试范围：人教A版 数列 导数 计数原理 随机变量及其分布 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 2. 函数在上的最大值是（    ） A. 0 B. C. D. 3. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 4. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 10. 已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若事件A，B相互独立，，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，下列说法不正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 13. 若，则__________. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15. 已知（）. （1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； （2）当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 16. 在张家口市桥东区河北盛华化工有限公司附近发生爆炸起火事故中，甲、乙等五名消防官兵被随机地分到A，B，C，D四个不同的地点救火，每个地点至少有一名消防人员． （1）求甲、乙两人同时参加A地点救火的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个地点救火的概率； （3）求五名消防人员中仅有一人参加A地点救火的概率． 17. 已知数列满足． （1）记，证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19. 已知函数． （1）记，若在定义域内单调递减，求的最小值； （2）若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中高二下学期数学5月底月考试题 考试范围：人教A版 数列 导数 计数原理 随机变量及其分布 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 2. 函数在上的最大值是（    ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 3. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案. 【详解】根据题意，不同的分组有和， 则不同的安排方法共有． 4. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 5. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可求解. 【详解】由题意得随机变量可能的取值为2，3， ， 因为比赛必定在2局或3局结束，所以打满3局的概率就是不出现2局结束的对立事件概率， 即， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得. 7. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 8. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式求方差判断A，由上四分位数的定义求分位数判断B，应用分步分类计数及排列组合求任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数的个数、其中相邻情况的个数，再由古典概型求概率判断C，根据样本中心求参数，再由残差的定义确定样本点的残差判断D. 【详解】A：由题设，则，错， B：由题设，数据从小到大排序知上四分位数是，对， C：将中任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数， 有两种情况：奇偶奇偶奇偶、偶奇偶奇偶奇，所以共有种， 其中相邻的情况，如：“奇偶奇偶奇偶”的排列， 共有奇偶相邻对有5个，将安排到其中一个， 再把中的奇数、偶数分别安排到余下的4个位置， 所以共有种， 同理“偶奇偶奇偶奇”的情况也有20种，故共有40种， 综上，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是，对， D：由题意，可得，则， 当，则，则残差为，对. 10. 已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若事件A，B相互独立，，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，若​，则​，A正确. 选项B，若相互独立，则，根据和事件概率公式，B正确. 选项C，，.若，可得，  当时，则互斥，时​，此时等式两边都为0，等式成立但，推不出，C错误. 选项D，，.已知， 代入得 ，消去后得，D正确 11. 已知，下列说法不正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；令即可求出函数的单调增区间，即可判断B；求出函数的减区间，再根据极大值的定义即可判断C；作出函数的大致图象，结合函数图象即可判断D. 【详解】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先设切点，然后对求导，根据切线的斜率求出切点的横坐标，代入曲线方程求出切点的纵坐标，即可得出切点，最后将切点坐标代入切线方程即可求出． 【详解】设，，， 因为曲线在点处的切线为， 所以，解得， 又因为点在第三象限内， 所以，， 因为在切线上， 所以，解得． 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】， 解得 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把原不等式变形为，然后分别分析的单调性和最值，得到恒在上方，所以有. 【详解】因为，原不等式等价于， 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 在上的最小值即为极小值； 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减， 在上的最大值即为极大值， 因为，所以在上恒成立， 所以等价于， 结合最值信息即有. 四、解答题 15. 已知（）. （1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； （2）当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故． 【小问2详解】 当，时，二项式为． 展开式的通项为（，1，2，…，6）， 设第项系数最大，则， 即， 整理得，解得，又，所以． 所以二项式的展开式中系数最大的项为． 16. 在张家口市桥东区河北盛华化工有限公司附近发生爆炸起火事故中，甲、乙等五名消防官兵被随机地分到A，B，C，D四个不同的地点救火，每个地点至少有一名消防人员． （1）求甲、乙两人同时参加A地点救火的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个地点救火的概率； （3）求五名消防人员中仅有一人参加A地点救火的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 记“甲、乙两人同时参加地点救火”为事件，则， 所以甲、乙两人同时参加地点救火的概率是． 【小问2详解】 记“甲、乙两人同时参加同一地点救火”为事件，则， 所以甲、乙两人不在同一地点救火的概率是． 【小问3详解】 因为有两人同时参加地点救火的概率， 所以仅有一人参加地点救火的概率． 17. 已知数列满足． （1）记，证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造辅助数列，将原递推式转化为 ，再利用配凑法证明是等比数列； （2）先由 (1) 求出，将数列求和拆分为等差与等差乘等比两部分，对后者用错位相减法求和，再合并得到. 【小问1详解】 因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； 【小问3详解】 由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 19. 已知函数． （1）记，若在定义域内单调递减，求的最小值； （2）若有两个不同的零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）1 （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由恒成立，通过分离参数，结合基本不等式求最值，即可求解； （2）（i）求导，通过讨论和，确定单调性，进而可求解；（ii）由（i）将，转换成，结合单调性再转换成，构造函数，求导确定单调性，进而可证明. 【小问1详解】 由题得 ， 则． 因为在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即 在上恒成立，则． 因为．当且仅当时等号成立，所以，则的最小值为1． 【小问2详解】 （i）由题意得， 当时，，则在上单调递增， 此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又当趋向0时，趋向；当趋向时，趋向， 因为有两个不同的零点， 所以．解得． 所以的取值范围为 （ii）由（i）知，且在上单调递增， 要证，即证， 又，即证，即证， 即证， 由 ，得， 即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 则 所以，则在上单调递减， 由（i）知． 所以当时， ， 所以得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $