精品解析：河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2024~2025学年下学期高二年级3月月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘貼在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 3. 设随机变量，则的值为（ ） A. 1.2 B. 1.8 C. 2.4 D. 3.6 4. 已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 6 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 7. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种. A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数的值为______． 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 14. 商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16 某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． （1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； （2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. （1）在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? （3）在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 18. 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. （1）若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. （2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 19. 已知函数，. （1）讨论的单调区间； （2）若直线为的切线，求a的值. （3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年下学期高二年级3月月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘貼在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A 3 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：A. 2. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合条件即得. 【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种). 故选：D. 3. 设随机变量，则的值为（ ） A. 1.2 B. 1.8 C. 2.4 D. 3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式计算． 【详解】． 故选：C． 4. 已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案． 【详解】解：的定义域为R， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以是的极小值点， 故选：B． 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 6. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 7. 为了协调城乡教育资源平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果. 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 8. 已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数满足，构造函数，得出的单调性，解不等式即可. 【详解】令，则，所以在R上单调递增， 由，得，即， 又在R上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项. 【详解】的展开式共有9项，故A错误； 展开式中的常数项为，故B正确； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 展开式中的二项式系数之和为，故D错误. 故选：BC 10. 若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出随机变量的分布列，利用两点分布的期望和方差以及期望的性质可判断各选项. 【详解】由题意可知，随机变量的分布列如下表所示： 所以，，，，. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布性质得到方程，解出即可. 【详解】由正态分布的性质可知，解得． 故答案为：1. 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 14. 商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，求得数列的通项公式，即可求得. 【详解】设小明在第天选择餐馆的概率为， 由题意可知， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 故． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． （1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； （2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）先求出，，从而利用条件概率公式求出概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 男生甲没有被选中，则从剩余的7人中任选4人， 故， 男生甲没有被选中，且女生乙被选中，则从剩余的6人中选择3人， 故， 所以； 小问2详解】 的情况一共有， 故的可能取值为4,2,0， 当时，即选择了4名男生或4名女生， 则， 当时，即选择了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生， 则， 当时，即选择了2名男生和2名女生， 则， 故随机变量的分布列为 4 2 0 数学期望为. 17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. （1）在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? （3）在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】（1）60 （2）51 （3）36 【解析】 【分析】（1）将所有的偶数分为首位即最高位和末尾数均为偶数的数以及首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数两类，先依次排首位和末尾，再排剩下中间三位数即可得解 （2）1或2排在首位的数较小，所以先求1或2排在首位的数的个数，再找出3在首位的接下来的三个数即可得解. （3）先将数字2和3捆绑在一起作为一个整体，相当于现有4个数字在排列，根据最高位不为0，其余任意排即可求解. 【小问1详解】 由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. 【小问2详解】 1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. 【小问3详解】 将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 18. 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. （1）若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. （2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果； （ii）记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，分别求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果； （2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，设轮比赛后，乙累计得分为，则，再根据条件，即可求出结果. 【小问1详解】 （i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和， 所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为. （ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分， 记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分， 则，， 易知互斥，所以. 【小问2详解】 因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为， 设轮比赛后，乙累计得分为，则， 由题知，又，函数在上单调递增， 所以， 由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，从而得到轮比赛后，乙累计得分满足，再根据条件，即可求解. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调区间； （2）若直线为的切线，求a的值. （3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性； （2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解； （3）根据导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围． 【小问1详解】 由，， 当时，，在单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在单调递增，无单调减区间； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 设切点为，依题意，，所以， 又，代入可得，， 设， 则，所在单调递增， 因为，所以，. 【小问3详解】 ，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 设，， ， ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意； ②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当，，所以有两个零点，不符题意； 综上，a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是将切线与曲线有且只有一个公共点转化为仅一个零点，利用导数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$