23.1一次函数课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数概念，通过登山队气温变化等实际问题导入，引导学生自主探究列出函数解析式，对比归纳共同特征，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接函数基础知识点。 其亮点是以真实情境驱动学习，通过自主探究和小组合作，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理函数特征）、数学语言（建立模型）。如登山问题抽象y=5-6x，小组分析参数取值，助力学生提升应用意识，教师可借助结构化流程高效教学。

23.1一次函数的概念 第二十三章 一次函数 人教版(2024) 02 能根据实际问题列出一次函数的解析式. 01 掌握一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系； 素养目标 新知导入 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型. 运动变化各种各样，函数也有不同的类型. 一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数. 下面我们开始学习一次函数的相关知识. 问题 2 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系. 这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？ 自主探究 原大本营所在地气温为_____， 因为当海拔增加 1 km 时，气温减少______. 所以当海拔增加 x km 时，气温减少______. 因此 y 与 x 的函数解析式为____________. 5 ℃ 6 ℃ 6x ℃ y = 5-6x 问题 2 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系. 自主探究 y = 5 - 6x 当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在位置的气温是_____℃. y = 5 - 6×0.5 = 2 2 练一练 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 解：（1）（4）（5）（6）是一次函数，（1）是正比例函数. 活动2：小组合作解决下列问题，并讨论归纳解题过程中的注意事项. 已知 y =(m－1)x2－|m|+n+3. (1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：(1)根据一次函数的定义得2－|m|＝1， 解得m＝±1.又∵m－1≠0，即m≠1， ∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数． (2)根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3. 又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数． 利用定义法求正比例函数 或一次函数的解析式时，需注意：(1)k ≠ 0；(2)自变量x的次数是“1”. （4）把一个长 10 cm、宽 5 cm 的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化. 是函数关系，函数解析式为 y = -5x + 50 (0≤ x ＜10) （1）c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25) （2）m = h-105 （3）y = 0.1x + 22 （4）y = -5x + 50 (0≤ x ＜10) 这些函数解析式有哪些共同特征？ 发现：它们都是常数 k 与自变量的_____与常数 b 的 的形式. 积 和 （1）c=7t-35（20≤t≤25）; （3）y=0.1x+22; （4）y=-5x+50（0≤x<10）. （2）G=h-105; -35，-105，22，50 看作“b” 可将c，G，y，y 看作“y”； 7，1，0.1，-5 看作“k”； t、h、x、x 看作“x”； 以上四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，这样的函数叫做一次函数. 一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0; ②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数. 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 分析： 函数是一次函数 一次项系数不为 0 次数为 1 k = (m-1) ≠ 0 m - 1 ≠ 0， 解得 m ≠ 1. 即 m ≠ 1 时，这个函数是一次函数. 典例精析 分析： 函数是正比例函数 一次项系数不为 0 次数为 1 k = (m - 1) ≠ 0 常数项一定为 0 1- m2 = 0 （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m - 1 ≠ 0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3． (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝2.5 时，y 的值． y＝3×2.5 - 9＝ -1.5． 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函数． 解：(1) 设 y＝k(x－3)， 解得 k＝3. (2) 当 x＝2.5 时， ∴ y＝3(x－3). 练一练 例2 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (单位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？ 解：剩余油量 y 与行驶路程 x 的函数关系式为 自变量 x 的取值范围是 函数 是 x 的一次函数. 知识点二：一次函数的简单应用 新课讲授 B B 3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x之间的函数解析式是(　　) A．y＝12－4x B．y＝4x－12 C．y＝12－x D．以上都不对 A 4.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1) y＝－8x； (2) (3) y＝5x2＋6； (4) y＝－0.5x－1. 解：(1)，(4)是一次函数；(1)是正比例函数． 3.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y cm. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2) 若长是宽的 2 倍，求长方形的面积. 解：(1) y = 15 - x，是一次函数. (2) 由题意可得 x = 2(15 - x). 解得 x = 10，所以 y = 15 - x = 5. ∴长方形的面积为 10×5 = 50 (cm2). 4. 如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形. (1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数解析式. h 是 x的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值. 解： (1) ∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线， ∴ BD = . 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 即 ∴ h 是 x 的一次函数，且 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为(　　) A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1 23 返回 【点拨】由题图可知，小桌的长为小桌宽的2倍，则小桌的长为2x尺，∴y＝x＋x＋2x＝4x. 【答案】B 24 练习1 函数① ；② ；③ ；④ ； ⑤ .是一次函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：① ，当 时，不是一次函数，故此选项不符合题意； ② ，④ ，是一次函数，故此选项符合题意； ③ ，⑤ ，不是一次函数，故选：B. 练习2 已知函数 是y关于x的一次函数，则m的取值范围是( ) A. B. C. D.m为任意实数 解析： 是y关于x的一次函数， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ；故选：B. $