专题05 相交线与平行线模型、动态问题5大题型（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 以五大几何模型（铅笔、猪蹄、抬头、骨折、动态）为核心，构建从静态模型应用到动态问题探究的递进式训练体系，突出辅助线添加与分类讨论的解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |铅笔模型|8题|作平行线转化角度关系，归纳多角和规律|从基础折线模型到长方形剪角规律探究，培养几何直观| |猪蹄模型|10题|角平分线性质应用，推导角度数量关系|结合双杠、手推车等实际情境，强化模型观念| |抬头模型|5题|利用垂直与平行性质，构建角的等量代换|从简单三线八角到综合垂直平行证明，提升推理意识| |骨折模型|6题|通过辅助线拆分复杂图形，探究角的和差关系|从单一模型到多模型结合，发展空间观念| |动态问题|9题|分类讨论动点位置，总结动态角的变化规律|从点动到线动，培养动态思维与问题解决能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05相交线与平行线模型、动态问题五大题型 考点归纳 考点01铅笔模型 考点02猪蹄模型 考点03抬头模型 考点04骨折模型 考点05动态问题 考点专练 考点01铅笔模型 1.如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则 ∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 B E 2.如图，AD∥CE,∠ABC=100°，则∠2-∠1的度数是 A D 2 C E 3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角 (∠BAE、∠AEC、∠ECD),则LBAE+∠AEC+∠ECD= (度)； 图① 图② 图③ 图④ (1)如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD),则 LBAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= (度)； (2)如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD), 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= (度)； (3)根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 (度). 4.如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片. 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD),则LBAE+LAEC+∠ECD= (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD),则 ZBAE ZAEF +ZEFC+Z FCD= (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD),则 LBAE+LAEF+∠EFG+LFGC+∠GCD= (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刃，剪出(n+1)个角，那么这(”+)个角的和是 5.综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已 知两直线a,b,且a∥b,三角形ABC是直角三角形，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°，操作发 现： C 人3 M 图1 图2 图3 (1)如图1，∠1=50°，求∠2的度数： (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°，请说明理由 (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM,此时发 现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并说明理由 6.问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数. 2/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B B D E C D 图1 图2 图3 图4 M M M B B 图5 备用图1 备用图2 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB,通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求 出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出 ∠APC的度数 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°； 问题迁移： (1)如图5，AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠Q, LBCP=LB.∠CPD、∠a、∠B之间有何数量关系？请说明理由； (2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写 出∠CPD、∠a、∠B间的数量关系， 7.如图，ABIICD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足 0°<∠EPF<180°. (1)试问：∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线AB,CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1，当点P在EF的 左侧时，易得∠AEP,∠EPF,LPFC满足的数量关系为LAEP+∠PFC=∠EPF;如图2，当点P在EF的 右侧时，写出∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系 (2)如图3，QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧. ①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为一； ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点g,∠BEQ,与∠DF2,的角平分线交于点Q,∠BEQ2与 ∠DF2的角平分线交于点2，以此类推，则∠EPF与∠EQ2o2F满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E E E BA B A B P F F 图1 图2 图3 E B ·02020 D 图4 8.己知，MG∥NH,AD为MG,NH上的点，E是MG,NH之间的点 M 4 G M A B G M B G H 图1 图2 图3 (1)如图1，连AE,DE,探究LGAE,LAED,∠EDH(均指小于平角的角)间的数量关系，并说明理由 (2)B,C为射线AG,DH上的点，分别过点B,C作DE,AE的平行线交于F点，分别作LGBF,LHCF的 角平分线，交点为P,如图2 ①若∠AED=120°，则求∠BPC的大小. ②将射线BG沿BF所在直线翻折交线段CP于Q点，如图3，若2∠CQB-∠BFC=135°，则判断BQ与NH的 位置关系，并说明理由 考点02猪蹄模型 9.图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若AB与BC的夹角为105°， ∠1=55°，则∠2的度数为 a 图1 图2 10.如图，AB∥CD,点P位于两平行线之间且在点A、C的右侧，分别作∠BAB和∠DCP的平分线交于 点B,再分别作∠BAP和∠DCP的平分线交于点P,…设∠APC的度数是a,则∠APC的度数用a表示 为 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P P >P3… D 11.如图，己知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分LADC,LBAD=80°，LBCD=n°，则∠BED的度 数为 .(用含n的式子表示) B A D 12.如图，已知AB//CD,易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+ ∠3+..+∠n= A A A B 1 P02 02 003 Q03 4 D D D 13.如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧(PQ∥MN)各安置一探照灯A,B(A在B的左侧)， 灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转，灯B发出的射线BD从BP开 始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC第一次经过点B, 此时LABD=55°，则a= 一，两灯继续转动，射线AC与射线BD交于点E(如图2)，在射线BD到达 B9之前，当∠AEB=120°，∠M4C的度数为 B C D D M- M A 图1 图2 14.综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行 研究. 如图1，直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HM, HN 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 2 图1 图2 图3 图4 (1)【问题初探】若∠HMB=60°，∠HND=50°，则∠MHN的度数为 (2)【问题拓展】①如图2，作MH1平分∠HMB,NH1平分∠HND,若设∠HMB=x°，∠HND=y，,求出 ∠H的度数（用含x,y的式子表示）. ②在①的条件下，如图3，若MH2平分∠HMB,NH2平分∠HWD,NH平分∠HMB,NH3平分∠H2WD, 可得∠H3依次平分下去，则∠H的度数是 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现∠HAC=38°，∠HBC=22°，试探 究∠AHB与∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由. 15.已知直线MB∥ND,A,C分别是MB,ND上的点，P是直线MB,ND之间的一点、连接AP,CP. 图1 图2 图3 备用图 (1)已知点P在直线AC的右侧， ①如图1，∠BAP,∠APC与∠DCP之间的数量关系为 ②如图2，若AE平分∠BAP,CE平分LDCP,判断∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由： (2)若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP,CE平分LDCP. ①如图3，若∠MAP=40°，∠NCP=80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与(1)②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直 接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系. 16.2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚.这个《秧B0T》节目中的机 器人名为H1,将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技 术领域的重大突破. 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身AB与地面呈垂直状态，脚面DE呈水平状态，此时∠ABC=150°， ∠CDE=45°，则LBCD的度数是多少？ 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 QA ○A M.-------B E- D E D 图① 图② 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形 【问题解决】 解：如图②，过点B作BM∥DE,过点C作CN∥DE,则LABM=90°. 因为∠ABC=150°，∠ABM=90°， 所以∠MBC=60°. 因为BM∥DE,CN∥DE, 根据(1)一， 所以BM∥CN, 根据(2)一， 所以∠BCN=∠MBC=60°. 因为CN∥DE, 所以(3)_=∠CDE=45°， 所以LBCD=∠BCN+∠NCD=(4)_°. 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，CD∥EF. (1)若∠C=20°，∠EGC=70°，则∠E= o: (2)请写出∠C,∠E,∠EGC之间的数量关系，并说明理由. E C N \ED H 一B G 图③ 图④ 【拓展提高】 如图④，AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,点P是线段EF上的一点，PM⊥PN,MH平分 ∠AMP,NH平分∠PNF,则∠MHN= 17.如图，AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠EOF=100°. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M N G D F 图1 图2 图3 (1)求∠BE0+∠DF0的值： (2)如图2，直线MN交∠BEO、LCF0的角平分线分别于点M、N,求LEMN-LFNM的值： (3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=n∠OEG,FK在LDF0内，∠DFK=nLOFK,直线MN交FK、 EG分别于点M、N,若∠FMN-∠ENM=50°，则n的值是- 考点03抬头模型 18.【感知探究】如图①，己知，AB∥CD,点M在AB上，点N在CD上.求证： ∠MEN=∠BME+∠DNE. 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为-·（不需要证明） 【结论应用】如图③，己知AB∥DE,∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD=-°. 一B D C 人DB N 图① 图② 图③ 19.(1)如图(1)AB∥CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由. (2)观察图(2)，己知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与LB、∠D的关系，并说明理由， (3)观察图(3)和(4)，已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与LB、LD的关系，不需要说明理由. A B E D (1) (3) (4) 20.如图，己知AD⊥AB于点A,AE‖CD交BC于点E,且EF⊥AB于点F. 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D A F B 求证：∠C=∠1+∠2. 证明：：AD⊥AB于点A,EF⊥AB于点F,(已知) ∴LDAB=∠EFB=90°.（垂直的定义） ∴ADEF,() -=∠1() :AECD,(已知) :ZC=_ ·(两直线平行，同位角相等) :∠AEB=∠AEF+∠2， .LC=∠1+∠2.（等量代换） 21.(1)已知：如图(a),直线DE∥AB.求证：LABC+∠CDE=∠BCD; (2)如图(b),如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么 新的猜想？ B A C E D (a) (b)CA 22.己知AM/1CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B. B M DEA FM M B 图1 图2 图3 (1)如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为一 (2)点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D 9/15 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由： ②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E,若 ∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数. 考点04骨折模型 23.如图，若AB1CD,则∠1+∠3-∠2的度数为 1 A B C 24.如图，AB∥DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE. D C E A B (1)写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EDC=21°，∠BED=2LB,求∠B的度数； 25.(1)如图，AB/CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； D (2)如图，AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE 的度数. D H A (3)如图，P为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG,GN/PQ,GM平分∠DGP, 若∠B=30°，求∠MGN的度数. 10/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.已知直线AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC,垂足为B E A B -M 图① 图② 图⑧ (1)如图①，过点B作AM的平行线DE,若∠C=50°，则∠A的度数为 (2)如图②，过点B作BD⊥AM交直线AM于点D.求证：∠ABD=∠C; (3)如图③，在(2)的条件下，点E,F在线段DM上，连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分 ∠ABD,若LFCB+∠NCF=180°，LBFC=3LDBE,求LEBC的度数 27.已知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P,Q分别在直线AB,CD上，连接PE,E2 B 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB,CD之间，试探究∠BPE,∠DQE,∠PEQ之间的数量关系，并说明理由. (2)如图2，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=100°时，求∠PFQ 的度数。 (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点F, 当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数 28.如图1，MWPQ,点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间. (1)求证：∠CAB=∠MCA+∠PBA; (2)如图2，CDIAB,点E在PQ上，∠ECN=∠CAB,求证：∠MCA=∠DCE; (3)如图3，BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AFCG.若∠CAB=60°，求∠AFB的度数. 11/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 图1 图2 图3 考点05动态问题 29.如图，已知AM∥BN,∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC平分∠ABP,交 射线AM于点C;BD平分∠PBN,交射线AM于点D. 【问题发现】 (1)求∠CBD的度数； 【规律探究】 (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的 关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。 【规律运用】 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ACB的度数. AC P D M 30.已知如图1，线段AB∥CD,在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上)，连接PA、PC, BB B D D 图1 图2 图3 图4 (1)请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由. (2)若点P在图2的位置时，请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由， (3)若点P的位置如图3和图4，请分别写出图3和图4中∠APC与∠A、∠C之间的关系. 31.综合与探究 【问题情境“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存 在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整.把非基本图形”转 化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想 【提出问题】有这样一个问题：如图①，己知直线a∥b,直线C分别与直线α，b相交于点E,F,点A,B 分别在直线a,b上，且在直线C的左侧，点P是直线C上的一个动点（不与点E,F重合），设 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3.当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的数量关系 M 38 N 4 ③ ④ 【解决问题】 (1)张睿的解题思路是：“过点P作PM∥a…”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿 完成推理过程。 【类比探究】 当点P在线段EF外运动时，(1)中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨 论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系 (2)如图②，当动点P在线段EF之外且在直线☑的上方运动（不与点E重合）时，∠L,∠2，∠3之间满足怎 样的数量关系？并说明理由： (3)请用直尺、铅笔在图③中画出动点P在线段EF之外且在直线b的下方运动（不与点F重合）时的图 形，并仿照图①，图②，标出图③中的∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间满足怎样的数量关系？请直接写出 结论： 【应用拓展】 (4)如图④所示，AB∥CD,请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4之间满足的数量关系： 32.【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型一一猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组 织数学兴趣小组进行了以下探究： E A 2 人3 B 图1 图2 图3 图4 【分析问题】如图，已知直线a∥b,直线c分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B分别在直线a,b上， 且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E,F重合），设∠PAE=∠1，∠APB=∠2， LPBF=∠3 【解决问题】(1)问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间数量的关系， 并给出证明.睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作PM∥a”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅 13/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】(2)问题二：当点P在线段EF外运动时，(1)中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认 为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系， ①如图2，当动点P在线段EF之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，∠1，∠2，∠3满足什么 数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段EF之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形， 并仿照图1，图2，标出图3中的∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间有何数量关系，请直接写出结论， 不必说明理由. 【应用拓展】 (3)问题三：如图4所示AB∥CD,请直接写出图4中∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不必说明理 由 33.如图1，直线AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,∠AEF的平分线交CD于点P. E B A E NB C F 图1 图2 (1)求证：∠FEP=∠FPE; (2)点G是射线PF上一个动点（点G不与点P,F重合），∠FEG的平分线交直线CD于点H,过点H作 HN∥PE交直线AB于点N, ①当点G在线段PF上时，如图2，用等式表示LEHN和∠EGF之间的数量关系，并证明； ②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量关系， 34.问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC度数.小明的思路是：过P作 PE∥AB,通过平行线性质来求∠PC. 大枢 玉衡 天权 开阳 瑶光 天玑 图2 图3 图4 (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度； (2)问题迁移：①如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记LPAB=a,LPCD=B,当点P在B、D两 点之间运动时，请直接写出∠APC与α，B之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与，B之间 的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、 14/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F、G,将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G,且AF∥DE, LB=∠BCD+5°，∠D=95°，那么∠B与∠CGF有什么关系？请说明 ②连接AD,∠ADE与∠CGF满足时，BC∥AD. 15/15 专题05 相交线与平行线模型、动态问题五大题型 考点01 铅笔模型 考点02 猪蹄模型 考点03 抬头模型 考点04 骨折模型 考点05 动态问题 考点01 铅笔模型 1．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．    【答案】540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°．    【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 2．如图，，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 【详解】作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 3．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 4．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 5．综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，，操作发现： (1)如图，，求的度数； (2)如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析． 【分析】（1）先根据平角的性质求出的度数，再根平行线的性质求出的度数； （2）先过点作，推出，再根据，，得到，推出，结合直角三角尺的度数推出，最后代入即可求解； （3）先过点 作，根据平分结合直角三角尺的度数，推出，再根据，得出的度数，然后根据，推出，即可得到和的度数，最后根据，推出的度数，即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：理由如下： 过点作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点 作，如图所示： ∵平分 ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 7．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°， ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°， ∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°， ∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°， 故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 8．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 考点02猪蹄模型 9．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 11．如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，则， ， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义． 12．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °． 【答案】 【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是． 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 13．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为________． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题． ①由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可； ②由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成三种情况进行分析：一种情况为射线没到达时，；另两种情况为射线到达后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可． 【详解】解：①如图，射线第一次经过点B， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． ②设射线的转动时间为t秒， ①当在到达之前时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； ∴； 综合上述，的度数为：或或； 故答案为：或或． 14．综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）本题考查平行线拐点模型（M模型），拐点模型的解题特点是：遇到拐点画平行线．作，然后根据平行线的性质即可求解． （2）①利用第一问的模型可求出，再利用角平分线性质即可求出．②利用模型继续求，…，观察可发现规律． （3）本题主要考查的拐点模型的生活应用，利用模型（1），按照平行线性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， ， ． （2）①由（1）的模型可得， ， 平分，平分， ，， ， 设，， ． ②由①得， ， 同理，， … ． （3）作和，使, 由第（1）问模型可知， ，， 【点睛】本题目主要考查平行线拐点模型-M模型，牢记遇到拐点作平行线，利用平行线的性质即可解出． 15．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【答案】问题解决：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值： (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据，可得，即可求解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，由，求得，进而求解即可； （3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，从而可得，再结合题意可得，即可得出关于n的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作， ∵平分，平分， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ； （3）解：如图，设直线与交于点H，与交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，在内，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 考点03抬头模型 18．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 19．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 20．如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F． 求证：． 证明：∵于点A，于点F，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴AD∥EF，（    ） ∴__________（    ） ∵AE∥CD，（已知） ∴________．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴．（等量代换） 【答案】见解析 【分析】首先根据同位角相等，两直线平行， 再根两直线平行，内错角相等得到=．最后根据两直线平行，同位角相等得到，再进行等量代换即可． 【详解】证明：∵于点A，于点F， ∴． ∴，    （同位角相等，两直线平行）     ∴=．             （两直线平行，内错角相等）         ∵， ∴．             ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，掌握相关知识是解题的关键． 21．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 22．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 考点04骨折模型 23．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 24．如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 25．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 26．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 28．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 考点05动态问题 29．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），平分，交射线于点C；平分，交射线于点D． 【问题发现】 （1）求的度数； 【规律探究】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【规律运用】 （3）当点P运动到使时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）不变化，；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）根据，得知，再根据角平分线的定义知、，可得； （2）由得、，根据平分知，从而可得； （3）由得∠A，当时有，即，再根据（）可得，，即可得，进而即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， 、分别平分和， ，， ； （2）不变化，， 证明：， ， ， 又平分， ， ； （3）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， （）， ， ， 30．已知如图1，线段，在、间取一点（点不在直线上），连接、， (1)请探索与、之间的关系，并说明理由． (2)若点在图的位置时，请探索与、之间的关系，并说明理由． (3)若点的位置如图和图，请分别写出图和图中与、之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)图中：，图中： 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握过拐点作平行线． （1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （3）图3中，过点作，图4中，过点作作，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， （2）如图：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：图中：∠APC+∠A-∠C=180°，图中：∠APC-(∠A-∠C)=180°， 理由如下：过点作， ， ， ， ， ， ， ； 如图：过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 31．综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想． 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线，直线分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线的左侧，点是直线上的一个动点（不与点E，F重合），设．当点在线段上运动时，试探索之间的数量关系． 【解决问题】 （1）张睿的解题思路是：“过点作……”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿完成推理过程． 【类比探究】 当点在线段外运动时，（1）中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． （2）如图②，当动点在线段之外且在直线的上方运动（不与点重合）时，之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）请用直尺、铅笔在图③中画出动点在线段之外且在直线的下方运动（不与点重合）时的图形，并仿照图①，图②，标出图③中的，此时，之间满足怎样的数量关系？请直接写出结论：______． 【应用拓展】 （4）如图④所示，，请直接写出图中之间满足的数量关系：______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （4）过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （4）如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    33．如图1，直线，直线与直线分别交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)点是射线上一个动点（点不与点重合），的平分线交直线于点，过点作交直线于点， ①当点在线段上时，如图2，用等式表示和之间的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果； （2）根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义，三角形的内角和为180度，以及角的和差关系可得到结果； 【详解】（1）证明；∵， ∴， ∵的平分线交于点P， ∴， ∴； （2）解：①当点G在线段上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴； ②当点G在线段的延长线上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 34．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；    ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时， (3)①；② 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）①过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当在的延长线上时；当点在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）①根据（2）的结论得，即可得出结论； ②过点作交于点得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （3）①∵，， 由（2）得：， ∵ ∴， ∴， ②如图所示，过点作交于点 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $