专题04 相交线与平行线12大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 以12大题型系统构建相交线与平行线知识网络，通过概念辨析-性质应用-综合证明的递进式训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面内直线关系|6题|概念辨析与位置判断|从基础位置关系切入，建立空间观念| |角的计算|10题|对顶角规律探究、余角补角计算|通过数量关系深化角的性质理解| |平行线判定|14题|同位角/内错角/同旁内角应用|三线八角模型到平行判定定理的转化| |平行线性质|20题|角关系探究、度数计算、综合证明|性质与判定的双向推理，培养逻辑思维|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04相交线与平行线12大题型归类 考点归纳 考点01平面内两直线的位置关系 考点02对顶角 考点03与余角、补角有关的计算 考点04点到直线的距离 考点05同位角、内错角、同旁内角 考点06同位角相等两直线平行 考点07内错角相等两直线平行 考点08同旁内角互补两直线平行 考点09平行公理的应用 考点10根据平行线的性质探究角的关系 考点11根据平行线的性质求角的度数 考点12根据平行线判定与性质证明 考点专练 考点01平面内两直线的位置关系 1.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是() A.垂直或平行B.平行或相交 C.平行、垂直或相交D.垂直或相交 2.下列说法中正确的有()个. ①对顶角相等：②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种：④同角 的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行. A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，直线1与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线AN∥1，则N点可能是() B。 A.点B B.点C C.点D D.点E 4.下列语句正确的有（) ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b; ④若直线a∥b,b∥c,则c∥a; ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1/26 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.下列说法错误的是() A.两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直 B.若两对顶角之和为180°，则两直线互相垂直 C.两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直 D.在同一平面上，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 6.有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与己知直线平行；③在同一平面内，过 一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重 合的直线的位置关系只有平行或垂直两种.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点02对顶角 7.平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行 的直线，这时这个平面内对顶角有对。 8.9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有对. 9.我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对 顶角有12对，… (1)10条直线交于一点，对顶角有对. (2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有 对. 10.如图，直线AB、CD相交于点0，OE⊥AB,LD0E:LB0D=5:4,则LA0C=度. -B 11.如图，直线AB,CD相交于点O,0E⊥AB,O为垂足，如果∠E0D=38°，则∠C0B=」 E B 12.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： (1)如图1，图中共有 对对顶角； (2)如图2，图中共有 对对顶角： 2/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，图中共有 对对顶角： (4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； (5)若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角】 E D 图1 图2 图3 13.数学思想·类比思想观察系列图形，补全探究过程， 、米火 【规律探究】如图1，有 图1 图2 图3 2条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角. 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角. 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角 14.光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线， 一 部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，∠1=∠2，∠4<∠3，那么∠1和∠2是对顶角 吗，∠3和∠4是对顶角吗？为什么？ 入射光线反射光线 3 人2 空气 玻璃 折射光线 15,如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠A0D,OF⊥AB于点O. 3/26 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若∠C0F=50°，求∠D0B的度数： (2)若∠E0D=2LB0D,求∠C0F的度数. 16.如图所示，直线AB,CD,EF交于点0,0G平分∠B0F,且∠EOD=90°，∠A0E=70°.求LD0G的 度数 E A G 考点03与余角、补角有关的计算 17.如图，直线AB,CD相交于点0，OE⊥AB于点0，∠D0F=90°，OB平分∠DOG,则下列不是 ∠AOF的补角的是() D B G A.∠BOF B.∠EOG C.∠AOD D.∠COE 18.将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠邛一定互余的是() A B D B a 19.如图，不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠B一定相等的图形个数共有() B d A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.如图，点C,O,B在同一条直线上，∠A0B=90°，LA0E=LD0B,下列结论：①LE0D=90°；② ∠C0E=∠A0E;③∠A0E+∠D0C=180°；④互余的角有4对.其中正确的有() 4/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.一个角的余角比它的补角的还少40，则这个角的度数为 22.若一个角的补角的一半比这个角的余角多10°，则这个角的度数是°. 23.下列说法正确的是 (填写序号) ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与己知直线垂直；②等角的补角相等；③不相等的角一 定不是对顶角；④同位角相等；⑤过直线外一点做这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直 线的距离， 24.如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为 25,如图，在ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,LA=(3m+15)°，∠BCD=(m+45)°，则m= D 26.如图，直线AB与CD相交于点0，OP是∠AOC的平分线，OE⊥AB,OF⊥CD· (1)如果∠B0C=42°，求∠A0F的度数； 2)求证：∠E0P= 2<80c. 27.如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,射线OF在LAOD内. 5/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当∠A0F=50°，射线0C平分∠E0F时，求∠BOD的度数： (2)若∠AOC与∠E0F互补，OD与0F垂直吗？请说明理由. 考点03点到直线的距离 28.如图，直线AB,CD相交于点O,0E⊥AB于点O,且∠1-2=10°，则∠A0C的度数是() A.30° B.40 C.50° D.60 29.如图，直线AB,CD相交于点O,射线0M平分∠AOC,ON⊥OM.若∠A0M=36°，则∠C0N的 度数为() A.36° B.449 C.54° D.64 30.如图，直线AB,CD相交于点0，OE平分∠AOC,OE⊥OF,若LD0F=56°，则∠BOD的度数为() D B A.56° B.68 C.34 D.62° 31.下列生活实例中，数学原理解释错误的是() A.从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近：两点之间，线段最短 B.用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线 6/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.测量跳远成绩应用的数学原理是：垂线段最短 D.从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与己知直线垂直 32.如图，AB⊥BC,AB=3,AC=5,D是线段BC上的动点，则A,D两点之间的距离可能是() B D A.2 B.4 C.6 D.8 33.下列说法中正确的个数为（) ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线： ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直： ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离： ④相等的角是对顶角， ⑤连接两点间的线段，叫作这两点间的距离 ⑥如果AB=BC,则点B是AC的中点. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 34.下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线AB,CD相交于点0，若 ∠AOC=90°，则AB⊥CD;③相等的角是对顶角；④过直线1外一点P作PQ⊥1于点Q,则线段PQ的长度 是点P到直线的距离，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 35.如图，点A,O,B,P均在格点上，点P在∠AOB的边OB上.过点P作PE⊥OB交OA于点 E,PF⊥OA交OA于点F; 线段PF的长度是点P到OA的距离，线段 的长度是点E到OB的距离， PE,PF,OE这三条线段的大小关系是 (用“<”连接)，理由是 B 36.如图，在ABC中，AB=10,BC=8,AE为BC边上的高，AE=7,P为AB上一动点，则PC的最 小值为 7/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 37.如图，AB,AC为两条笔直的公路，加油站P位于AC上. P一C B (1)过加油站P修建与AC垂直的公路PM,与公路AB交于点M,在图中画出公路PM; (2)在图中画出从加油站P到公路AB的最近路线PN(点N位于AB上)： (3)在(1)(2)的基础上，M到PN的距离为线段 的长度，PN,PM,AM这三条线段的大小关 系为■ (用“<”连接). 38.如图，点C在∠AOB的边OA上，按要求作图并回答问题： B (1)过点C作OB边的垂线交OB边于点D: (2)过点D作OA边的垂线段，垂足为E; (3)过点C作ED的平行线交OB边于点F; (4)比较三条线段CE,CD,CF的长度，并用“<"连接.， 得此结论的依据是· 39.在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,解决 下列问题 C A 0 B (1)则点A到直线BC的距离为_cm,点B到直线AC的距离为_cm (2)求点C到直线AB的距离是多少？（写出解题过程） 8/26 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40.如图，A,B,C,D四个村庄旁有4，马两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在A, B,C,D四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆。 (1)请画出信号塔H的位置，使得信号塔H与A,B,C,D四个村庄的距离之和最小： (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔H到两条公路（与的最短距离4，d2; 第二步：比较山与4，的大小关系 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案， (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工，甲工程队独做需18天完成，乙工程队独做需12天完成.现在先 由甲工程队单独施工8天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成.则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 考点5同位角、内错角、同旁内角 41.若∠1与∠2是同位角，∠1=45°，则∠2的度数是() A.45 B.135° C.45°或135° D.不确定 42.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源.如图所示的风筝骨架构成了多种 位置关系的角，有下列四种叙述：①∠1和∠2是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠1和∠3是同旁内角： ④∠2和∠6是同位角.其中正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 43.如图，下列结论错误的是() 9/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B H D A.∠FHD与∠FGI是同位角 B.∠BGI与∠GIC是内错角 C.∠EGB与∠GID是同位角 D.∠BGF与∠DHE是同旁内角 44.滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示.有下列判断：①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内 角；③∠5与∠6是同旁内角：④∠1与∠4是内错角.其中正确的有() 5k6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 45.如图，直线1、Z同时与第三条直线马相交，其中∠1与∠3在4与马之间，且同时位于马两侧，我们称 ∠1与∠3为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为∠2与∠4）.如图2,5条直线围成一个五角星图 案，那么图2中共有()组内错角 图1 图2 A.20 B.30 C.60 D.120 46.如图，有下列说法：①∠2与∠5是对顶角；②∠1与∠2是同旁内角：③∠5与∠6是内错角；④∠3与 ∠5是同位角；⑤∠1与∠6是同旁内角.其中正确的是 ·(填序号) 6004 47.(1)如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对； 10/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对： (3)根据以上探究的结果，（为大于1的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对（用含的式子表示）. ① ② 条数 角 同位角（对数） 内错角（对数) 同旁内角（对数） 2 4 2 2 3 12 6 6 24 12 12 n 2nn-1) n(n-1) n6n-1) 48. 如图所示，同位角有a对， 内错角有b对，同旁内角有c对， 其中同旁内角为 (写出每组具体名称)，则a+b+c的值是 8 5 6 9 4 2 49.如图，直线AB,CD,EF与直线GH,J,KL分别相交，图中的同位角共有 对. H 11/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点06同位角相等两直线平行 50.如下图，已知AC平分∠EAG,BD平分∠FBG,∠1=35°，∠2=35°，试说明：AC∥BD, AE∥BF. E 2 一G B 51.如图，∠B=70°，∠ACB=40°，CD平分∠ACE,请说明：AB∥CD. 52.如图，已知∠CDA=∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠1=∠2，说明DE∥BF的理由. D 2 E B 解：：DE平分LCDA(已知)，：A=∠CDA() 2 同理∠3=1 ∠CBA, 又：∠CDA=∠CBA(已知)，∠ .=∠ 又：∠1=∠2（已知），∠2=∠一（等量代换）， :DE//BF 53.如图，已知∠B=∠C,点D在BA延长线上，AE是∠DAC的角平分线，证明AEIIBC· 证明：：∠B=∠C( 12/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAC=∠B+∠C()） :∠DAC=2∠B(等式性质) :AE是∠DAC的角平分线（已知） =2∠1( ∴.∠B= (等量代换) 54.如图，AB与CD相交于点O,OA平分∠D0E,∠B=∠BOC,判断CB与EO的位置关系，并说明理 由. B 考点07内错角相等两直线平行 55.如图，直线AB与CD被直线EF所截，分别交于点P、O,且OA、OB分别平分LCOE和LDOE, ∠1+∠2=90°. F (1)求证：AB∥CD: (2)若∠2：∠3=1：4，求∠A0E的度数. 56.在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象.如图2， 水面AB与容器底部CD平行，光线EF从空气中射入水中时发生了折射，折射光线FG与CD相交于点G, 点M在EF的延长线上，∠FGD=50°，∠EFB=30°，求光线偏折的角度∠MFG的度数.在解决这道题时， 小聪和小明分别用了不同方法。 B M-- 图1 图2 (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； 13/26 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程， 小聪： 解：：ABCD(已知)， :∠BFG+∠FGD=180°() :∠FGD=50°（已知）， ∠BFG=180°-50°=130°. 小明： :∠MFG+∠BFG+∠EFB=180°()， :∠MFG=180°-∠BFG-∠EFB. :∠EFB=30°（已知）， .∠MFG=() 57.如图，O是直线AB上的点，E,C,F在同一直线上，且OE,OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线， OD⊥EF,垂足为D. C D (1)试判断OE与0F的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOE=35°，∠F=55°，AB与EF是否平行？请说明理由. 58.如图，已知∠C=∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余.试说明：AB∥CD· AF B D E 59.如图，将ABC以点C为旋转中心旋转180°得到△DEC,过点A作AF∥BC,交DE的延长线于点F, 求证：DE=EF. E D 60.如图，直线MN分别与直线AP,DG交于点B,F,且∠I=∠2.∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E, ∠BFG的角平分线FC交直线AP于点C 14/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B1 G N (1)请判断直线AP与DG的位置关系，并说明理由. (2)求证：BE∥CF. (3)若∠ACF=37°，求∠BED的度数. 考点08同旁内角互补两直线平行 61,请完成平行线的判定定理2的证明： 己知：如图，∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b 3 证明：：∠1与∠2互补（己知）， ∠1+∠2=。（互补的定义)， .∠1= °-∠2（等式的性质). :∠3+∠2=。()， ∠3= °-∠2（等式的性质）， :∠1=∠3（等量代换）， ∴.alb( 62.如图，直线AF、DE,射线BC平分∠ABD交DE于点C. D 2 B F 15/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若∠1+∠2=180°.请说明：AB/CD 63.如图，若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF,那么AB与CD平行吗？请说明你的理由 B D 64.己知直线AB,CD被直线MN所截. (1)如图①，EG平分∠MEB,FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足 时， AB∥CD; M 图① (2)如图②，EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足时， AB∥CD; M E G H D 图② (3)【拓展设问】如图③，EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足什 么条件时，AB∥CD?为什么？ M E H G 图③ 考点09平行公理的应用 65.被誉为“中国最美公路"之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车.独库公路是北起克拉玛依市独 山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公 路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2.当AB∥EF,CD∥EF，那 16/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 么AB∥CD的理由是 A 图1 图2 66. 已知直线a、b、c在同一平面内，如果a∥c,b⊥c,那么直线a、b的位置关系是 67.如图，在括号内填理由 A B g B C D E---------------- E F C D 图① 图② (1)如图①，因为AB∥CD,EFCD,所以AB∥EF( )； (2)如图②，因为AB∥CD,过点F画EF∥AB( ),所以EFI‖CD ( ) 68.如图，已知∠1=150°，∠C=150°，∠D=70°，添加下列一个条件：①∠DMF=70°；②∠DME=150°； ③∠EMN=70°；④LFMN=110°，其中能判定AB∥EF的是 (填序号). B D 69.如图所示为一个风车的示意图，当CD旋转到与地面EF平行的位置时，AB (填“能”或“不 能”)同时与地面EF平行，理由是 B F 70.如下图，己知三角形ABC,点P在边BC上 17/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)过点P画AB的平行线交AC于点T; (2)过点C画MN∥AB; (3)直线PT一MN(填位置关系). 考点10根据平行线的性质探究角的关系 71.如图，己知AB∥CD,∠BED=90°，则∠1与∠2之间的数量关系可表示为() A B A.∠2=2∠1 B.∠2-∠1=90 C.∠1+∠2=1809 D.∠1+∠2=90° 72.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，∠1与∠2关系描述正确的是() A.∠1与∠2互补 B.∠1与∠2互余 C.∠1=4∠2 D.∠2-∠1=90° 73.如图，直线AB∥CD,点E、M分别是CD、AB上的点，射线EF∥MN,则图中与∠DEF相等（不含 ∠DEF)的角共有(). M B D A.2个 B.3个 c.4个 D.5个 74.如图，若AB∥CD,则角a,B,y的关系为() A B C A.+B+Y=360° B.a-β+y=180° C.a+B+y=180 D.a+B-y=180° 75.如图，已知AB∥CD,则∠1、∠2、∠3、∠4的关系是() 18/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B -D A.∠1+∠3+∠4-∠2=180° B.∠1+∠2+∠4=∠3 C.∠3+∠2=∠4+∠1 D.∠1+∠2+∠3-∠4=180° 76.如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFM.过点F作FM⊥EH于点M.且 ∠EFM=∠FDC,则下列结论：①LE=60°；②FD平分∠HFB;③∠MFD=2∠DFH;④ ∠AFM+∠FDC=90°.其中正确结论的个数是() A M H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 77.如图，己知MN∥PQ,点B在MN、PQ之间，连接AB、BC,直线AE、CD相交于点D,且满足 ∠BAM=n∠MAE,∠BCP=n∠DCP,下列结论： D M B E ①若∠MAB=30°，∠QCB=20°，则LABC=50°； ②当n=2时，若LABC=90°，则LCDA=45°； ③∠ABC+nZCDA=180°. 其中正确的结论有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 78.①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，AB∥CD,则∠E=∠A+∠C;③如图3， AB∥CD,则LA+LE-∠1=180°，以上结论正确的是 A B A B A B E E D D 图1 图2 图3 79.已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A为x°，∠B为240-2x)°，则∠A= 度 19/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 80.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是 (填序号). 47 ①∠1=∠2； ②∠4+∠5=180°；③L2+L4=90°；( ④∠5=∠3 81.如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于 法线两侧；反射角r等于入射角1.这就是光的反射定律 法线 E 花极F LLLLLCLLLL1111111111111 入射光线 反射光线 反射面入 镜面 光的反射定律 B 水平桌面 图1 图2 (1)如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABC=40°，激光笔发出 的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF的夹角LEPG=35°，则反射光束GH与天花 板所形成的角∠PHG的度数为 (2)若(1)中镜面AB的调节角∠ABC的调节范围为20°~70°，则下列度数中，反射光束GH与天花板所 形成的角LPHG可能取到的度数为（填序号）. ①22°；②69°；③85°；④125° 82.如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧(PQ∥MN)各安置一探照灯A,B(A在B的左侧)， 灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转，灯B发出的射线BD从BP开 始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC第一次经过点B, 此时∠ABD=55°，则a= 两灯继续转动，射线AC与射线BD交于点E(如图2)，在射线BD到达 B9之前，当LAEB=120°，∠MAC的度数为 B B D M N A 图1 图2 83.己知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： 20/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F 图① 图② (1)如图，AB∥DE,BC∥EF,图①中∠B与∠E的关系是一；图②中∠B与∠E的关系是 (2)由(1)可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么一： (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少60°，求这两个角的度数 84.中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形， 其中AB∥CD,且∠AGH=∠B,BC∥DE,求证：LAGF=LD, G H 图1 图2 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：：AB∥CD(已知)， .∠B=∠C( 又：∠AGH=∠B(已知)， .∠C= (等量代换)， 又：BC∥DE(已知)， ∠C+∠D=180°( .∠AGH+∠D=180°（等量代换）， 又：∠AGH+∠AGF=180°平角的定义)， .∠AGF=∠D( 85.如图，直线BE与线段AB、直线CD交于点B、E,AB∥CD,点F为直线BE上一点（不与点B,E 重合)，连接AF,过点F作射线FG⊥AF,交CD于点G(G与D不重合). C B E B E D D 备用图 21/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若点F在线段BE上，且∠AFB为钝角 ①补全图；②若∠A=20°，求∠FGC的度数 (2)若点F在线段EB的延长线上，直接写出∠A与LFGC的数量关系. 考点11根据平行线的性质求角的度数 86.为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育 社团，图1是某同学“抖空竹"时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：己知AB∥CD, ∠BAE=74°，∠DCE=118°，则∠E= 图1 图2 87.如图，AB∥CD,CB1DB,∠1=142°，则∠2的度数为 A B 88.机器狗的加入增加了搜救队的搜救能力，三只机器狗A,B,C的位置如图所示.若机器狗A定位机器 狗B的位置为北偏东45°方向上，机器狗B定位机器狗C的位置为南偏东15°方向上，则∠ABC= 北 北 B 45 A 89.如图，AB∥CD,直线GH交AB于点E,EF平分∠AEG,若∠1=132°，则∠2的度数为 B 90.如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水， 入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射.若∠ABE=40°， 22/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BDH=64°，则∠CBD的度数为 (注：A、B、C三点在同一直线上) A B H 91.如图1，是一个三轮滑板车.在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即 图2中AB∥CD∥EF.若∠1=50°，则∠2的度数为 2 图1 图2 92.如图所示，完成下列推理过程：己知：AE平分∠BAC,CE平分LACD,且AB∥CD.求证： ∠1+∠2=90°. B 证明：“AE平分∠BAC（ :∠1=∠BAE() 又CE平分∠ACD .∠2=∠DCE 又：AB∥CD .∠BAC+∠DCA=180°( “1+2=∠+∠=90 2 2 93.科技小组成员潜心研制出一款机械手臂.如图1，手臂分为大臂(AB)、中臂(BC)和小臂(CD)三部分， 手臂可呈现出多种状态完成不同的工作.图2、图3为其简化示意图. 23/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 小臂 中臂 ▣D B B 大臂 图1 图2 图3 (1)如图2，若∠B=150°，CD∥AB,则∠C= (2)如图3，若AB⊥AE,CD∥AE,∠ABC=140°，求∠C的度数. 94.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做 仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，AB∥CD,AC∥DE,点F在直线AC上，∠FAB=I15°， LE=55°，求∠DCE的度数. D 考点12根据平行线判定与性质证明 95.某次几何课上，老师借助字母M,命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程. 图1 图2 (1)如图1，己知ABII OC,∠A=∠C,求证：AO|CD. (2)如图2，若AE‖CF,AB‖CD,求证：∠A=∠C. 96.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何 图形，其中AB∥CD,点E,M,F在同一条直线上，点G,N,H在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD, MG∥FN,求证：∠EFN=∠G. 互 M D 图1) 图(2) 请将以下证明过程补充完整 24/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图2，延长EF交CD于点P, :AB‖CD(己知)， ∴∠AEF=∠EPD(①) 又：∠AEF=LGHD(己知) :∠EPD=②（等量代换） EP∥GH③ :∠EFN+④=180°（两直线平行，同旁内角互补） 又：MG∥FN(已知)， ∠FNG+∠G=180°（⑤） :∠EFN=LG(同角的补角相等). 97.如图，在ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC,且 ∠1+∠2=180°. E D B H (1)求证：EF DC; (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64°，求∠2的度数. 98.如图，点F在AC上，∠1=LC. E B D (1)尺规作图：过点F作FH∥AD,交BC于点H;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，试说明∠2=∠CFH. 99.(1)如图，AB1AD、CD⊥AD,∠1=∠2，求证：DF‖EA, (2)如图，直线MN分别与直线AC,DG交于点B、F,且∠1=∠2，∠ABF的角平分线BE交直线DG于点 E,∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C.求证：BE∥CF. 25/26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D A BA1 2 DE 2F G B IN 图(1) 图(2) 100.已知，CE平分∠ACD,∠ACE=∠CEA=36°. E B B D OD D 图1 图2 图3 (1)如图1，判断AB和CD的位置关系，并说明理由； (2)点P在射线AB上，点Q在射线CD上，∠PQC=∠A,连接QE. ①如图2，若点P在点E的右侧，CE⊥QE,求∠PQE的度数； ②如图3，若点P在点E的左侧，∠CEQ=a,求∠PQE的度数.（用含a的代数式表示） 26/26 专题04 相交线与平行线12大题型归类 考点01平面内两直线的位置关系 考点02对顶角 考点03与余角、补角有关的计算 考点04点到直线的距离 考点05同位角、内错角、同旁内角 考点06同位角相等两直线平行 考点07内错角相等两直线平行 考点08同旁内角互补两直线平行 考点09平行公理的应用 考点10根据平行线的性质探究角的关系 考点11根据平行线的性质求角的度数 考点12根据平行线判定与性质证明 考点01 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 3．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【详解】解：如图， 直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是． 4．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 5．下列说法错误的是（    ） A．两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直 B．若两对顶角之和为，则两直线互相垂直 C．两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直 D．在同一平面上，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 【答案】C 【分析】本题可根据垂直的定义，对顶角的性质，同一平面内两条直线的位置关系，逐一判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：∵选项A是垂直的定义，表述正确，不符合题意； ∵对顶角相等，若两对顶角之和为，可得每个对顶角为，即四个角都为，因此两直线互相垂直，选项B表述正确，不符合题意； ∵两直线相交时，对顶角一定相等，因此仅“有两个角相等”无法推出两直线垂直，选项C表述错误，符合题意； ∵在同一平面内，初中阶段默认两条直线不重合，位置关系只有相交和平行两种，因此选项D表述正确，不符合题意． 6．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 考点02对顶角 7．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有______对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 8．9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 9．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有____对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有_______对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 【详解】解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 10．如图，直线、相交于点，，，则________度． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差运算以及对顶角的性质． 根据垂直定义得出，结合已知比例设未知数表示出和，利用角的和差关系列方程求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： 设 ，则 ． ， ． ， ． 解得． ． ． 11．如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则________． 【答案】128 【分析】根据垂线的定义得到，进而求出，再由对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有________对对顶角； （2）如图2，图中共有________对对顶角； （3）如图3，图中共有________对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成________对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 13．观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 14．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 15．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，进一步结合角的和差求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 16．如图所示，直线，，交于点，平分，且，．求的度数． 【答案】 【详解】解： ， ∴， ， ， ， ∴ 考点03与余角、补角有关的计算 17．如图，直线，相交于点，于点，，平分，则下列不是的补角的是（） A．∠ B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据角平分线定义、对顶角性质及垂直定义，用表示出的度数，进而求出其补角的度数表达式，再分别计算各选项角度的度数进行比对即可求解． 【详解】解：设 平分 直线、相交于点 的补角为 对于A，，是的补角，不符合题意； 对于B，，是的补角，不符合题意； 对于C，，不是的补角，符合题意； 对于D，，是的补角，不符合题意． 18．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】余角定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据一副三角板中各角的度数， A、不一定是，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意． 19．如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，根据“等角或同角的余角相等”以及余角和补角的定义，即可求得答案． 【详解】第一个图形中，，与不一定相等； 第二个图形中，根据“同角的余角相等”， 可知； 第三个图形中，，与不一定相等； 第四个图形中，根据“等角的余角相等”， 可知； 综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有个． 故选：B 20．如图，点C，O，B在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④互余的角有4对．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形，根据平角的定义，余、补角的性质和等量代换可以进行判断． 【详解】解：， ， ， ∴，即，故①正确； ∴，故②错误， ∴互余的角有与、与、与、与，共4对，故④正确； ∴，故③正确； ∴①③④都正确，即正确的有3个． 21．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查余角与补角的定义，解题关键是掌握互为余角的两个角和为，互为补角的两个角和为，根据题意设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，根据余角和补角的定义可得，它的余角为，它的补角为， 根据题意列方程得： 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 22．若一个角的补角的一半比这个角的余角多，则这个角的度数是_____°． 【答案】 20 【分析】设这个角为，分别表示出它的补角和余角，再根据“补角的一半比余角多”列方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为， 则它的补角为，余角为， 由题意得， ， ， ． 故答案为：． 23．下列说法正确的是______（填写序号） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②等角的补角相等；③不相等的角一定不是对顶角；④同位角相等；⑤过直线外一点做这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离． 【答案】①②③ 【分析】根据垂直的性质，补角的性质，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，逐一判断每个说法的正误. 【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确； ②根据补角的性质，等角的补角相等，故②正确； ③对顶角一定相等，因此不相等的角一定不是对顶角，故③正确； ④只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，故④错误； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，故⑤错误． 24．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 25．如图，在中，若，于点，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 26．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，余角的定义求解即可； （2）先证明．．再根据余角的性质，得到，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴，即：． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 27．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 考点03点到直线的距离 28．如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得，结合已知条件，求出的度数，再利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由图可知 ， 又∵ ， ∴，即 ， ∵与（即）是对顶角， ∴． 29．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 30．如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，可知，根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线相交于点， ∴． 31．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（   ） A．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近：两点之间，线段最短 B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线 C．测量跳远成绩应用的数学原理是：垂线段最短 D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据相应的几何知识，解答即可； 【详解】解：∵ 选项A 从家到学校走直路更近，对应原理“两点之间，线段最短”，解释正确； 选项B 两颗钉子固定木条，对应原理“两点确定一条直线”，解释正确； 选项C 测量跳远成绩是测量落点到起跳线的最短距离，对应原理“垂线段最短”，解释正确； 选项D 从河向村庄引最短水渠，原理应为“垂线段最短”，不是“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，解释错误； 32．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，点是线段上的动点， ∴， ． 从选项可知，只有B符合题意． 33．下列说法中正确的个数为（   ） ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④相等的角是对顶角． ⑤连接两点间的线段，叫作这两点间的距离． ⑥如果，则点是的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查平面几何基本概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：①根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①正确； ②根据垂线的基本性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； ③点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，故③错误； ④相等的角不一定是对顶角，例如同位角可以相等但不是对顶角，故④错误； ⑤两点间距离是指连接两点间的线段的长度，不是线段本身，故⑤错误； ⑥若，当点不在线段上时，点不是的中点，故⑥错误； 综上，正确的说法共2个，故选A． 34．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质，垂直的定义，对顶角的定义和点到直线的距离定义逐一判断即可． 【详解】解：①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法缺少“直线外”的前提条件，故错误错误； ②直线相交于点，若，则，原说法正确； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，原说法正确； ∴说法正确的有2个． 35．如图，点A，O，B，P均在格点上，点在的边上．过点作交于点交于点； 线段的长度是点到的距离，线段_________的长度是点到的距离， 这三条线段的大小关系是_________（用“”连接），理由是_________． 【答案】 垂线段最短 【分析】理解题意，结合，得出线段的长度是点到的距离，再结合垂线段最短以及运用数形结合思想得出，即可作答． 【详解】解：∵过点作交于点 ∴线段的长度是点到的距离， ∵交于点， ∴结合图中信息，得这三条线段的大小关系是， 理由是垂线段最短． 36．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 37．如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】（1）过点作直线即可； （2）过点作线段即可； （3）由连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即可得出结果． 【详解】（1）解：下图中即为所作： （2）解：下图中即为所作： （3）解：由图可知， ∴到的距离为垂线段的长度， ∴． 38．如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： (1)过点C作边的垂线交边于点D； (2)过点D作边的垂线段，垂足为E； (3)过点C作的平行线交边于点F； (4)比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的作法画图即可； （2）根据垂线的作法画图即可； （3）根据平行线的作法画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，就是所作的垂线； （2）解：如图，就是所作的垂线段； （3）解：如图，就是所作的平行线； （4）解：． 依据是：垂线段最短． 39．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题    (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 40．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 考点05同位角、内错角、同旁内角 41．若与是同位角，，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】D 【详解】解：本题未给出两条被截直线平行的条件， ∴无法确定的度数． 42．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 43．如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【详解】解：A.与是同位角，该结论正确，故选项不符合题意； B.与是内错角，该结论正确，故选项不符合题意； C.与不是同位角，该结论错误，故选项符合题意； D.与是同旁内角，该结论正确，故选项不符合题意. 44．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 45．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 46．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 47．（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有____________对，内错角有__________对，同旁内角有___________对； （2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有__________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对（用含的式子表示）． 【答案】 4 2 2 12 6 6 【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【详解】（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）列表如下： 条数           角 同位角（对数） 内错角（对数） 同旁内角（对数） 2 4 2 2 3 12 6 6 4 24 12 12 ．．． ．．． ．．． ．．． n 2n(n-1) n(n-1) n(n-1) 根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n-1)对，内错角有n(n-1)对，同旁内角有n(n-1)对， 故答案为：2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 48．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 49．如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 【答案】156 【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可． 【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角， 则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对， 则总数是对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键． 考点06同位角相等两直线平行 50．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 51．如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 52．如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行 【分析】】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理， 又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为：角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行． 53．如图，已知，点在延长线上，是的角平分线，证明． 证明：（______） （______） （等式性质） 是的角平分线（已知） ______（______） ______（等量代换） （______） 【答案】已知，外角性质，，角平分线定义，，同位角相等，两直线平行． 【分析】先根据三角形的外角性质得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的判定即可得． 【详解】证明：（已知） （外角性质） （等式性质） 是的角平分线（已知） （角平分线定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：已知，外角性质，，角平分线定义，，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，熟记平行线的判定方法是解题关键． 54．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 考点07内错角相等两直线平行 55．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 56．在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． （1）由平行线的性质得，然后根据即可求解； （2）由平行线的性质得，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ． （平角的定义）， ． （已知）， （2）（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （对顶角相等） ． 57．如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的余角相等，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据和互余，和互余得到，又因为，所以，即可得证． 【详解】解：和互余， ， 和互余， ， ， ， ， ． 59．如图，将以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，，再由平行线的判定得到，进而可证四边形是平行四边形，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵将以点C为旋转中心旋转得到， ∴，，． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 60．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由对等角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 考点08同旁内角互补两直线平 行 61．请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 62．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 63．如图，若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由． 【答案】AB与CD平行．理由见解析. 【详解】试题分析：由ED为∠BEF的平分线，根据角平分线的定义可得，∠FED=∠BED=35°，进而得出∠BEF=70°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可AB与CD平行． 试题解析：AB与CD平行．理由如下： ∵ED平分∠BEF， ∴∠FED=∠BED=35°， ∴∠BEF=70°． ∵∠BEF+∠EFD=70°+110°=180°， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行，内错角相等⇔两直线平行，同旁内角互补⇔两直线平行． 64．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 考点09平行公理的应用 65．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 66．已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【答案】（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 67．如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； （2）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 【详解】解：（1）因为，，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）如图②，因为，过点F画（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行），所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 68．如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是______（填序号）．    【答案】①③④ 【分析】根据证得，结合每一个选项中的条件证得，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ②∵，，∴，∴不平行，∴不能判定，故错误，故不符合题意； ③∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ④∵，∴，∵，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，平行公理的应用，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键． 69．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 70．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 考点10根据平行线的性质探究角的关系 71．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 72．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，与关系描述正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C． D． 【答案】D 【分析】利用平角的定义求出，再根据平行线的性质即可得出与的关系． 【详解】解：如图， 纸条两边平行， ∴， 由图可得，， ， ∵， ． ． ． 73．如图，直线，点、分别是、上的点，射线，则图中与相等（不含）的角共有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先设与的交点为点，根据，通过两直线平行，同位角相等、内错角相等，可得，，再根据，通过两直线平行，同位角相等，得到，等量代换即可求出与相等（不含）的角的个数． 【详解】解：如图，设与的交点为点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴综上，与相等的角共有个． 74．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 75．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 76．如图，，F为上一点，，且平分．过点F作于点M．且，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，角的和差关系逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴，， ∵于点M，， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 无法确定的度数，故无法确定平分以及； 综上，正确的个数有2个. 77．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点B作，则，由平行线的性质可得，判断①；同①可知，由平行线的性质可推出再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可判断②③． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 同①可知：； ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 过点D作，则， ∴， ∴ ；故②正确； 过点B作，过点D作，则，   同理可得，， ∵，， ∴，， ∴ ． ∴．故③正确； 综上：正确的有①②③，共3个． 78．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 【答案】②③ 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出． 【详解】解：①过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，故本小题错误； ②过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； ③过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； 综上，正确的答案为②③． 79．已知与的两边分别平行，其中为，为，则＝__________ 度． 【答案】80或60 【分析】本题考查平行线的性质，解答此题需要分类讨论. 当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，据此分两种情况列方程求解即可. 【详解】分两种情况讨论： ①当时， ， 此时； ②当时， ， 此时； 综上可得，或. 80．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①②③ 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，故③正确； ④不一定能成立，故④不正确 81．如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． （1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为______； （2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】 ①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过点作，过点作，所以，因为，可得的度数，因为，，所以，即，可得的度数，因为，可得的度数； （2）分调节角的调节范围在、调节角的调节范围在两段讨论． 【详解】（1）过点作，过点作， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）解：①当调节角的调节范围在时， 由（1）图可得， ， ， ②当调节角的调节范围在时， ， ， 可能取到的度数为：①③④， 故答案为：①③④． 82．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为________． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题． ①由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可； ②由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成三种情况进行分析：一种情况为射线没到达时，；另两种情况为射线到达后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可． 【详解】解：①如图，射线第一次经过点B， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． ②设射线的转动时间为t秒， ①当在到达之前时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； ∴； 综合上述，的度数为：或或； 故答案为：或或． 83．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 84．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】根据平行线的性质及同角的补角相等补全证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． 85．如图，直线与线段、直线交于点B、E，，点F为直线上一点（不与点B，E重合），连接，过点F作射线，交于点G（G与D不重合）．       (1)若点F在线段上，且为钝角． ①补全图；②若，求的度数． (2)若点F在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）①依题意补全图形即可． ②作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案． （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 即． 考点11根据平行线的性质求角的度数 86．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 87．如图，，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】利用平行线的性质得出的度数，再根据垂直的定义和平角的定义即可求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 88．机器狗的加入增加了搜救队的搜救能力，三只机器狗A，B，C的位置如图所示．若机器狗A定位机器狗B的位置为北偏东方向上，机器狗B定位机器狗C的位置为南偏东方向上，则________． 【答案】 【分析】先推导出，得到则，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意，得 ， ∴ ∴． 89．如图，，直线交于点，平分，若，则的度数为___________． 【答案】/66度 【分析】由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，由角平分线的定义得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 90．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为_______．（注：A、B、C三点在同一直线上） 【答案】24度/ 【分析】根据平行线的性质得出，由对顶角相等得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴． 91．如图1，是一个三轮滑板车．在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即图2中．若，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：． 92．如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（________） ∴（_______） 又∵平分（___________） ∴（_________） 又∵（______________） ∴（____________）． _______ 【答案】已知；角平分线的定义；已知；角平分线的定义；已知；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质补全证明过程即可． 【详解】证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴ 93．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可； （2）过点作，则，先求出，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ． 94．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点12根据平行线判定与性质证明 95．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 96．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 请将以下证明过程补充完整 证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （ ① ） 又（已知） ② （等量代换） ③ ④ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （ ⑤ ） （同角的补角相等）． 【答案】①两直线平行，内错角相等； ②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形填空即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点P， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 97．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 98．如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段； （2）解：， ， ， 由（1）得，， ， ． 99．（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 100．已知，平分． (1)如图1，判断和的位置关系，并说明理由； (2)点在射线上，点在射线上，，连接． ①如图2，若点在点的右侧，，求的度数； ②如图3，若点在点的左侧，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，垂直的意义等知识点． （1）根据角平分线结合已知得到，即可求证平行； （2）①过点作，先根据平行线的判定与性质证明，那么，则，，再由垂直的意义以及角的和差运算即可求解；②过点作，先证明，则，再由平行线的性质以及角的和差运算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：①过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以； ②过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $