专题03 乘法公式8大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 该专项通过8大题型系统覆盖乘法公式的运算、几何应用及变形，注重数形结合与逻辑推理，体现从基础到综合的知识进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方差公式运算|7题|新定义运算、化简求值|从公式直接应用到逆向计算| |平方差公式几何应用|7题|图形面积验证、规律探究|以面积法构建代数模型| |完全平方公式运算|8题|参数计算、行列式应用|强化公式结构特征识别| |完全平方公式几何应用|8题|阴影面积计算、动态问题|通过图形变换深化公式理解| |整式混合运算|11题|无关项分析、新定义运算|培养运算能力与代数推理| |多项式乘多项式化简求值|8题|代数式变形、实际应用|衔接方程思想与代数表达| |完全平方公式变形求值|10题|三数关系、非负性应用|提升公式灵活变形能力| |求完全平方式系数|11题|参数确定、开放探究|强化方程思想与分类讨论|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式8大题型归类 考点归纳 考点01运用平方差公式进行运算 考点02平方差公式与几何图形 考点3运用完全平方公式进行运算 考点04完全平方公式在几何图形中的应用 考点05整式乘法混合运算 考点06多项式乘多项式—化简求值 考点07通过对完全平方公式变形求值 考点08求完全平方式中的字母系数 考点专练 考点01运用平方差公式进行运算 1.对于任意实数a,b,定义一种新运算“□”，规定ab三a2-b2,若x为实数，则(x+2(x-3的化简 结果为 2.计算：aa+b)-(a+b)(a-b)= 3.已知r2-y=1,则(x-y)2026(x+y)2026=— 4.己知m+n=5,m2-n2=15,则m-n= 5.代数式2(3+1(32+1(3+1(3+1(36+1(32+1的末尾数字是 6.如果(a+)与(a-1)的乘积为1，那么(a2+1(a+1(a8+1小(a2+1)+1的值为 7.先化简，再求值：4x(x-1-(2x+1(2x-1,其中x=-2. 8.如图是一道例题的部分解答过程，其中A,B是两个关于x,y的二项式. 化简：y()-2x(B) 解：原式=y+y2-2x2+2y 注意：运算顺序从 左到右，逐个去掉 括号. 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为 ;多项式B为 ，例题的计算结果C为 (2)当x=1,y=2时，求代数式“AB+C”的值. 考点02平方差公式与几何图形 1/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）. a a 图① 图② (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是」 【应用探究】 (2)根据(1)中的公式解决如下问题： ①简便计算：299×301+1： ②计算：(2+1(22+1(2+1(28+1小…(224+1 10.【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼 成图2所示的图形 b a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个) A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.a2+ab=a(a+b) D.(a+b)'=a2+2ab+b2 【应用】 (2)已知m-2n=2,m+2n=8,请计算m2-4n2的值； 【拓展】 (3)己知A=2024×2026,B=20252,则A与B的大小关系为A B(填“>”“<”或“=”. 11.数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片 摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论. b b a bB bC bB C 图1 图2 图3 2/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出(a+b)(2a+b)的计算结果为 (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证2a+3b)(3a+b),通过计算说明她需要三种纸片各多少张， (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B,然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形， ①请根据图形直接写出(a+b)(a-b)=」 ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成(a+b)(a-b)的形式，并利用①的结论完成计算.如： 3×5=(4-1)(4+1)=42-12=16-1=15.仿照上述过程计算：97x103. (4)拓展应用： 直接写出(2+1)(22+1(2+1)(23+1(26+1)-1的结果为 (用幂的形式表示) 12.数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题 S 6 a-b a-b a S S2 a 图1 图2 图3 图4 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：(a-b=a2-2ab+b2. (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式 (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式 (3)若a+b=7,ab=4,根据(2)中所得的公式，求a2+b与(a-b)的值. 13.【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式. b b> D ←n产 A G b 图1 图2 图3 (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形. 由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式： (2)如图2，四个长为a,宽为b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积， 我们可以得到恒等式： 【知识迁移】 3/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)计算：(22+1)(24+1)(2+1)-号 (4)若m+n=10,mn=9,求m-n. 【拓展探究】 (⑤)如图3.将边长分别为m,n的两个正方形纸片叠放在一起，己知阴影部分面积为6，长方形AEHD的面 积为4，求两个正方形纸片的面积和 14.如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形 ② ① ② ① a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (填字母)： A.(a-b)2=a2-2ab+b2;B.a2-b2=(a+b)(a-b (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252-2024×2026： ②1002-992+982-972+…+22-12. 15.【公式探究】 a- 剂 防 图1 图2 (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如 图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用含a,b的等式表示）： 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①己知m2=16+9n2,m+3n=2,则m-3n的值为_ ②计算：20262-2025×2027（使用乘法公式简便计算）. 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 〔----0-n2】 16.推理能力如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为b(a>b)的正方形，则余下的阴影部分面积 4/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等于一个以(a+b)为长、(a-b为宽的长方形面积，如图②所示. b a+b a-b ① ② 【探究】 (1)请列式表示：图①中阴影部分的面积为 图②中阴影部分的面积为 根据两 图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式 【应用】 (2)根据(1)中的公式解决如下问题： ①若a+b=4,a-b=2,求a2-b2的值. ②计算：(2+1(22+1(24+)(28+1小(224+1). 17.综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转 化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式.将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， S阴影= (用含有a,b的代数式表示)；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则S影= 那么可以构建等式 a b 图1 图2 图3 图4 图5 【阅读材料2】如图3，学校打算用12m长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔.怎样围可使小兔的活动范围 尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为x,面积为S,用含x的代数式表示S= 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越 (填“大”或“小”)，面积越大：即当x=时，S最大。 【深入思考】归纳以上结论：若a+b=6,则当 (填a,b满足的关系)时，ab的值最大，请结合 以上材料利用数轴说明. 5/22 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a b 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n(n<6)的墙扩大范围，篱笆总长12m, 要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围 成的面积最大。 考点03运用完全平方公式进行运算 18.规定 a b =ad-bc,例如： 12 =1×4-2×3=4-6=-2.已知： x+23 34 2x+2 =6,则x2+4x+2= c d 19.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,则a2+b2-3ab= 20.若M=(x-2(x-4),N=(x-3)2,则M N.(填“>”、“<”或“=”) 21.已知(x-152)2+(x-154)2=14,则(x-153)2的值是 22.实数x和y满足x2+12y+37y2-4y+4=0,则x2-y2 a b a b 23.将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ,定义 =ad-bc,上述记 c d 号就叫做2阶行列式，若 -1x-=6,则x=一 x-1x+1 24.先化简，再求值：(2x+y)2-4x(x-2y),其中x=5,y=-3. 25.先化简，再求值：(m-n2-(m-n(m+n,其中m=3,n=-1. 20.已知4=2x-1,B=+4,C=1+2x,试从4B+C暖C+4小B中任选一个进行化简，并求出当 x=-1时，你所选的整式的值. 考点04完全平方公式在几何图形中的应用 27.图①是一个长为2x,宽为2y的长方形，沿虚线将图①剪成四个大小相同的长方形，然后按图②的方式 无缝隙的拼成一个正方形，中间阴影部分也是一个小正方形. b b 图① 图② 图③ (1)请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：一；方法2：；由此可得等式： 6/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当m+n=10,mn=15时，求(m-n)2的值. (3)如图③，几个长方形和正方形恰好可以无缝隙的拼成一个边长为a+b+c的正方形，根据面积关系，可 以得到的等式是 28.在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 ,能够在三个代数式a+b,ab,a2+b2中，己知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值.例如： 己知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值， 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b)2=32,即a2+2ab+b2=9. 因为ab=2,等量代换，得a2+b2+2×2=9,所以a2+b2=5. 请根据以上信息，解答下列问题. 长b→ (1)己知a-b=2,a2+b2=17,则ab=-; (2)如图，己知两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=8,ab=9,求图中阴影部分的面积； (3)若2026-xx-2025)=-5,求(2026-x)2+(x-2025)的值 29.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题.请 根据以上信息，解答下列问题： 0 (1)已知a-b=1,a2+b2=17,求ab的值： (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b,若a+b=9,ab=7,求图中阴影部分的面积； (3)若(x-2025)x-2026)=4,则(x-2025)2+(x-2026)2的值为 30.解答： 【知识技能】 己知：(a+b)2=a2+b2+2ab;(a-b2=a2+b2-2ab; (1)填空： ①a2+b2=(a+b)2-: 7/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②(a+b12-(a-b12=. 【数学理解】 若满足(5-x(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)的值。 解：设5-x=a,x-2=b, 则(5-x)x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3, .(5-x)2+(x-22=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5. 【解决问题】 (2)若x满足(x+2)2+(x-3)2=27,求(x+2)x-3)的值； 【灵活运用】 (3)如图，己知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形，若AB=x-2, AD=x+1,四边形ABCD的面积为6，求正方形AEMG的面积. B G D N 31.在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题.比如，运用两数和的完全平方公式 (a+b)=a2+2ab+b2,能够在三个代数式a+b,ab,a2+b2中，已知其中任意两个代数式的值时，求出 第三个代数式的值.例如：已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值. ←b 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b2=32, 即a2+2ab+b2=9, 因为ab=2, 等量代换，得a2+b2+2×2=9, 所以a2+b2=5. 请根据以上信息，解答下列问题. (1)已知a-b=1,a2+b2=17,求ab的值： (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=7,ab=9,求图中阴影部分的面积； 8/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若(2025-x(x-2024=-6,则(2025-x)2+(x-2024)的值为多少？ 32.在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景， 经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法一一数形结合.某数学学习小组在研究完全平方公式时，把 公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形成a2+b2=(a+b)2-2ab,然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后 的公式：a2+b2=(a+b)2-2ab. G a R D E M D M 图1 图2 图3 图4 (1)现有四个长与宽分别为a、b的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中 阴影部分的面积，可以验证关于a、b的关系式： (用含a、b的代数式表示出来)； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若a+b=10，,ab=19,则a2+b2的值为 ； ②若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5x)2(x2)2的值为 (3)如图3，长方形ABCD面积为60，将正方形MNPD叠放在长方形ABCD上，A在线段MD上，C在线段 DP上，直线HG与直线EF交于点I,若四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，AM=2,CP=6,求 正方形HBEI的边长； (4)如图4，四边形ABCD是正方形，E,F分别是AD、DC上的点，且AE=2,CF=6,分别以MF、 DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH.若长方形EMFD的面积为21，则阴影部分的面积为 33.综合与实践.学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B 型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a,b的长方形. 9/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a b y y C S y m S b C b B b C B B S 图1 图2 图3 D G C S C S2 图4 (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为a+b)的大 正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式· (2)如果用若干张A,B,C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为2a+b)和(a+2b),在虚线框中画出你 的拼图 (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为m(a<m<a+b)正方形大卡片内，图3中A,B型卡片 重叠部分面积记为S,，边长为m的正方形未被覆盖面积记为S2、S,若S,=S2+S,,a+b=12,ab=5, 求出大正方形面积， (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，己知DE的长度固 定不变，EF的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为S, S,,若S=5S,-6S,当EF的长度变化时，a,b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请 直接写出答案：一 34.综合与探究 “数形结合”是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方 法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b)=a2+2ab+b2(如图1). b B A M C b a 图1 图2 图3 【观察探究】 10/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)观察图2，请你写出(a+b)、(a-b、ab之间的等量关系是 【拓展应用】根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： 7 ②若x+=4,y=4且x>y,求-y的值： (3)如图3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点Q,使 BM=EQ,分别以BC,CQ为边在aBCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ,连接BQ,若△BCQ的面 积等于21 ,设BM=x(x>O),求正方形ABCD和正方形COPQ的面积和， 【总结反思】 (4)综合以上内容，结合课本知识，谈谈你对“数形结合”的认识，写一篇不少于100字的小短文， 35.观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为(a+b)=a2+2ab+b2, 0 a a" 花 ab + b 草 ab ⊙ 图① 图② 图③ (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若a+b=6,ab=3,求a2+b的值. 【拓展】 (3)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在△AED和 △BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为60平方米，种草区域的 面积和为智平方米，求4C的长。 考点05整式乘法混合运算 6.若规定人 =ad-bc,则当a2+2a-3=0时， a a+3 的值为 1-aa+2 37.若a2-3a-2=0,则a2(a-3-(a+1(a-2= 38.已知a2+b2=4,c2+d2=10,ac+bd=2.求ad-bc的值为 39.要使多项式2(2+3x-2x2)+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是 40.关于x的二次三项式M=x2+ar+b(a,b均为非零常数)，关于x的三次三项式 N=2x3-4x2+10=c(x-1°+d(x-12+e(x-1)+f(其中c,d,e,f均为非零常数)，下列说法： 11/22 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当x=-1时，N=4; ②当M+N为关于x的三次三项式时，则b=0; ③当多项式M与N的乘积中不含x4项时，则a=2; ④e+f=6.其中正确的有 41.如果m2+m=5,，那么代数式的m(m-2)+(m+2)值为 42.阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率.学 完全平方公式(a+b)=a2+2ab+b2时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他 做了以下探究： 对(10x+5)=100x2+100x+25的结果进行变形，可得： (10x+5)=100x2+100x+25=100xx+1+25 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果. 例如：252=100×2×(2+1)+25=600+25=625 352=100×3×3+1)+25=1200+25=1225 452=100×4×4+1)+25=2000+25=2025… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：652= (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：29×21的速算方法.小军的思考过程如下： 29×21=(10×2+9)(10×2+1 用“x”替换上面算式中的“2”，将其一般化表述为：(10x+9)(10x+1=100x2+100x+9=100x(x+1)+9 ,于是，29×21=100×2×2+1)+9=600+9=609 请利用上述思考方式探究并计算：37×33= ,56×54= (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为10”的乘法速算规律.请仿照第(2)题的变 形方式，用一个含x,m,的等式，把这个规律表示出来（已知m+n=10). 43.我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对 消值”，如M=2x2-x+6与N=-2x2+x-1互为对消多项式，它们的对消值为5. (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是_（填序号）； ①3x2+2x与3x2+2;②-5x2y3+2xy与5x2y3-2xy-1；③2xx-1+x与2x2-x+2. (2)多项式A=(x-a与多项式B=-bx2-2x+b(a,b为常数)互为对消多项式，求它们的对消值. 44.【知识回顾】 己知代数式y+6+3x-1的值与x的取值无关，求y的值， 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数 12/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为0，即原式=(y+3)x+5,所以y+3=0,即y=-3. 【理解运用】 (1)若关于x的多项式(2x-3m+2m2-3x的值与x的取值无关，求m的值： (2)已知3[（2x+1)(x-1)-x(1-3y)+6-x2+xy-1的值与x无关，求y的值. 45.阅读材料：如果将(a+b)”(a+b≠0，n为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列， 就可以得到下面的等式： -(atb)0=1 …(a+b)l=a+b …(a+b)2=a2+2ab+b2 3 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 4（）(）1--(a+b)4=a+4ab+6a2b2+… 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的 中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定（α+b)”的展开式.该表在我国 宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角。 应用规律： (1)根据规律(a+b)的展开式共有项，直接写出它的展开式，(a+b)4一； (2)观察上式，可以发现(a+b)“的展开式中，n=1时，前两行共有3项，n=2时，前三行共有6项，n=3 时，前四行共有10项…依此类推，当n=25时，前(n+1行共有多少项？ 46.定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0 时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式 例如：代数式m-n中两个字母交换位置，可得到代数式n-m,当m≠n,且都不为0时，因为 n-m=-m-n),所以m-n是反对称式 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有 (填序号)： ①-n ②m2-n2③(m-m)2 ④(m-n2025 (2)若关于m,n的代数式(m+km)(3m-nm)-5n-n2为反对称式，求k的值； (3)若关于m,n的代数式(-2025).2025”+(m+kn)m2-mn+n2)(m,n均为（m,n均为奇偶性不同的正整 数)为反对称式，直接写出k+的值. 考点06多项式乘多项式一化简求值 47.先化简，再求值：(2a-5)-(a-2)(a-3)+3(a-4),其中a2-4a+1=0. 13/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 48.先化简，再求值：(2x-3y)(x-y)-x(x+y),其中x3,y1. 49.化简：（-x-2y)(2y-x)-(2x-y)+(3x-y)(2x-5y),其中x=-1,y=-2. 50.按要求完成下列计算： (1)先化简，再求值：(a+2)a+3)-a(a+4),其中a=4. (2)己知x2+2x-1=0,求代数式2(x+1(x-1)-(x-1)的值 51.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,c,d,规定a,b⑧(c,d)=ad-bc,等号右边是 通常的减法和乘法运算.例如：1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2. 请解答下列问题： (1)填空：（x+1,x⑧2，x+1= ； (2)若2x2+1,x-1)⑧(5，x-2)的代数式中不含x的一次项时，求的值； (3)求(3x+1,x-2)⑧(x+2,x-3)的值，其中x2-4r+1=0. 52.为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造.如图，在长为3a+5b)米，宽为 (4-b)米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与 长方形场地边缘的距离都为b米。 3a+5b 单位：米 b Aa-b b (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当a=2,b=1时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形 场地的造价 ab 53.定义：对于任意四个有理数a、b、c、d,定义一种新运算： =a2+d2+bc. cd -1-2 (1) 34 m+4n-4 (2)若有理数m、n满足m+3n=5,且 =13 4m2+2n24m-n ①求m的值； ②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点P, 且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB=9n,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的条件 下，求图中阴影部分的面积： 14/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 54.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S;若再在图1中大 正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2： 6 b a 6 a Sz S S3 b 图1 图2 图3 (1)用含a,b的代数式分别表示SS2; (2)若a+b=16,ab=40,求S+S的值； (3)当S,+S2=76时，求出图3中阴影部分的面积S. 考点07通过对完全平方公式变形求值 55.已知(2a+b)2=14,(2a-b)2=6,则4a2+b2的值是 56.如图所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD,正方形CEFG, 两正方形的面积分别记为S和S2,若BG-7,两正方形的面积和S,+S2=25,则图中阴影部分面积是 D B 57.将完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b=2, ab=1,求a2+b的值.可将公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形为a2+b2=(a+b)2-2ab,再将a+b=2, ab=1代入，求得a2+b2=2,根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 15122 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F A G (1)若a-b=7,a2+b2=33,则ab= (2)如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地ABCD,AEFG(AB>AG),它们面积和为221m2, BG为19m（B,A,G在同一直线上)，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植 基地.图中摆放花卉场地的面积是 m2. 58.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b,如果a+b=10,ab=15,那么阴影部分的面积为 D A a F B C G 已知a-5,则+的值酸 60.己知x、y、z满足x+y+z=6,x2+y2+z2=14,xz=6,则x2y2+y2z2+x2z2的值为 61.若x满足(30-x)(x-10)=160,则(x-30)+(x-10)的值为 62.阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的 代数式叫做对称式.例如：代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数式bac,acb,cba,因为 abc=bac=acb=cba,所以abc是对称式；而代数式a-b中字母a,b交换位置，得到代数式b-a,因为 a-b与b-a不一定相等，所以a-b不是对称式 (1)【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 (填序号即可)： ①a2b2;②a2b+b2a;③a-b)(a+b);④ab+bc+ca (2)【能力提升】已知(x-a)(x-b)=x2-px+9. ①若p=2,g=-1,求对称式(a-b)的值； ②若q=子且对称式d+公的值为？，求P的值。 63.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事 休.”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形 进行直观推导和解释. 16/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C Sn Bni C … 0八000.00O …n SnL OO … 3 0O0\O000 …4 Bn2 Cn2 4 OOOO\ ○○○ …3 . OO … B2 C2 n…OOO…OOO\O …1 B C S A DD2 Dn-2 Dn- D 图1 图2 (1)【方法初探】 求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）. 如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3，·，n个小圆圈排列组成的，而组成 整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三 角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为 ,可得1+2+3+4+…+n= (2)【深入探索】 我们知道了1+2+3+…+n的值，那么13+2+33+…+n的结果等于多少呢？ 如图2，AB是正方形ABCD的一边，AB,=1,B,B2=2,…,Bn-2Bn1=n-1,Bn-B=n,则AB=1+2+3+…+n ,分别以AB,AB2,,ABm-2,ABn为边作正方形，将正方形ABCD的面积记为S,六边形 B,CD,D,C,B2的面积记为S2六边形B,-2Cn-2Dn-2Dn-CBn-1的面积记为Sn1,六边形B,CnDn-DCB的面 积记为Sn. 结合图形，可以得到Sn=2BB×BC-BB= 同理有Sn1= ，Sn-2= ,…,S2=23,S1=13, 1+23+32+…+n3=S正方形48cD= (3)【解决问题】 根据以上发现，求+2+3”++9+100的值。 1+2+3+…+99+100 64.图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入 微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，对于一个图形， 通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式 (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a-b)2=a2-2ab+b2③(a+b)2=(a-b)2+4ab 17/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 甲 丙 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为 (2)利用(1)中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足(x-15)30-x)=10,求(2x-45)2的值 (3)如图丁，在线段CE上取一点D且CD>DE,分别以CD,DE为边作正方形ABCD,DEFG,连接BG, EG,AF. ①若阴影部分的面积和为33，四边形AGEF的面积为13，求CE的长度. ②若P为边AD上一点，连接PC,PE,线段PD的长度为4，CD,DE的长度为正整数，且△CPE与四 边形AGEF的面积相等，求CE的长度. 65.在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化. a b b→- 6 Ka- 图1 图2 图3 【思考探究】 (1)图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的.用两种不同的方法表 示图中阴影部分的面积（请用含有a,b的代数式表示），第一种方法可表示为： ，第二种方法 可表示为： ；由此可得等式 (2)图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别 为a,b,c,其中a,b为直角边.试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明c2=a2+b2. (3)如果图2中直角三角形的两条直角边满足a+b=14,ab=48,请你利用(1)和(2)的结论，求出图2 中小正方形的面积， 【拓展延伸】 (4)图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为a,宽为b.可 以得到(a+b)2,(a-b)和4ab之间的等量关系为 (5)当(m-30)(20-m)）=25时，应用(4)的结论，可得(2m-502的值为 考点08求完全平方式中的字母系数 66.如果关于x,y的二次三项式4x2-(m-1)xy+9y2是一个完全平方式，那么常数m的值是 18/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a b 12 67.规定一种新运算为： =ad+b2+c2,例如： 34 =1×4+22+32=17.根据此规定，解决下列问 c 题： 2-3 (1) kx y (2)若 的结果是一个关于x,y的完全平方式，则k的值为 y m-n m (3)若 的值为2，则4m2-1的值为 -n m+n 68.如果关于x的多项式4x2+(m+2)x+9是一个完全平方式，那么m的值为 69.若x2+(m-2)x+4是一个完全平方式，则m= 70.若一个关于x的多项式的完全平方是9x2+(m-1)x+16,则m的值为 71.已知4x2++9是一个完全平方式，那么k的值为 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为 72.(原创)一个三位自然数m,将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的 三位数，得到的结果叫做m的“逆差数”，记为N(m).例如：m=123,N(123)=321-123=198,则 N(985)= 若N(m)是一个完全平方数，且m与N(m)的和能被3整除，则满足条件的m的个数 为 73.【教材呈现】 己知M是含字母x的 单项式，要使多项式 4x2+M+1是某个多 项式的平方，求M. 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方， :4x2+M+1=(2x)2+M+1=(2x±1)2，M=±2×2x.1=±4x; 当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方， :4x2+M+1=M+2×2x21+12=2x2+1,M=4x4. 综上所述，M为4x或-4x或4x. 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：4x2±4r+1=(2x±12：4x4+4x2+1=(2x2+12, 观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2=4×4×1. 19/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②结合多项式的因式分解又如： 16x2+24x+9=(4x+3)2;9x2-12x+4=(3x-2)2, 发现这两个多项式的系数规律：242=4×16×9，(-12)2=4×9×4. ③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c(a、b、c是常数)是某个含x的二项式的平方，则其系数a、 b、c一定存在某种关系， (1)请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式： 【解决问题】 (2)若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N,就能表示为一个含y的二项式的平方，请写出所有满足 条件的单项式N,并对9y2+4+N进行因式分解： (3)若关于x的多项式x2-2(m-3)x+m2+3m是一个含x的多项式的平方，求实数m的值 74.对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使得A=B2,则称A是完全平方式.例如：因为 a2+2ab+b2=(a+b2,a2-2ab+b2=(a-b)2,所以a2+2ab+b2,a2-2ab+b2是完全平方式. 请解决下列问题： (1)若x2-(k+)x+9是一个完全平方式，求k的值； (2)若x满足(2024-x)2+(x-20072=169,求(2024-x)(x-2007)的值： (3)如图，在长方形ABCD中，AB=I0,AD=6,点E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x,分别 以FC,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN,若长方形CEPF的面积为32，求图中阴影 部分的面积和. 75.对于任意四个有理数a、b、、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定： (a,b)⑧(c,d=a2+d2-bc； 例如：(1,2)⑧(3,4)=12+42-2×3=11 D G (1)若(2x,x)⑧(y,-y)是一个完全平方式，求常数k的值： 20/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若2x+y=10,且(3x+y,2x2+3y2)⑧(3，x-3y)=72,求y的值： (3)在(2)的条件下，长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上， 连接BD、BF、DF、EG.若AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y,求图中阴影部分的面积. 76.如图1，现有三种类型的卡片： b 3 图1 图2 图3 图4 1号卡片：边长为a的正方形卡片： 2号卡片：边长为b的正方形卡片： 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中a>b. (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.运 用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式： (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为(2a+b)(4a+3b)的长 方形，那么x+y-2z的值为 (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按 原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长 (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5. 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合， 纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S: 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸 片间有重叠，记图中阴影部分面积为S2: 如果S2-S,=25,求2号卡片的边长。 77.对于任意四个有理数a、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d),我们规定： (a,b)⑧(c,d)=a2+d2-bc.例如：（1,2)⑧(3,4=12+42-2×3=11. D (1)若(2x,@x⑧（少，-y)是一个完全平方式，求常数k的值为_： (2)若2x+y=12,且3x+y,2x2+3y2)⑧(3，x-3y)=84,求的值： 21/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC 上，连接BD、BF、DF、EG,若AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y,求图中阴影部分的面积. 22/22 专题03 乘法公式8大题型归类 考点01 运用平方差公式进行运算 考点02 平方差公式与几何图形 考点03 运用完全平方公式进行运算 考点04 完全平方公式在几何图形中的应用 考点05 整式乘法混合运算 考点06 多项式乘多项式——化简求值 考点07通过对完全平方公式变形求值 考点08 求完全平方式中的字母系数 考点01 运用平方差公式进行运算 1．对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______． 【答案】 【分析】根据新定义以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 3．已知，则______． 【答案】1 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 4．已知，，则______． 【答案】3 【分析】根据求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴． 5．代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 6．如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】；9 【详解】解：原式 当时， 原式． 8．如图是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为________；多项式B为________，例题的计算结果C为________； (2)当，时，求代数式“”的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）分别将提取y，将提取即可得到A、B，将合并同类项即可得到C； （2）先计算的值，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵运算顺序从左到右，逐个去掉括号， ∴，， ∴，， ； （2）解： ． 考点02 平方差公式与几何图形 9．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 10．【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 11．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 (3)①；② (4) 【分析】（1）根据图2是由2张A纸片，1张B纸片，3张C纸片组合，进而可得出答案． （2）根据多项式乘多项式计算即可得出答案． （3）①根据图3面积公式求解即可． ②利用平方差公式计算即可． （4）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 12．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求与的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （2）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （3）根据可求出的值；根据即可求出的值． 【详解】（1）解：根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式：； （2）解：根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式：； （3）解：由（2）知，，， ∴； ∵，， ∴． 13．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． (2)如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 (3)计算：； (4)若，，求． 【拓展探究】 (5)如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)10 【分析】（1）利用面积得出等式； （2）利用面积得出等式； （3）利用平方差公式求解； （4）根据（2）的结论求解； （5）根据面积表示出相关等式，然后利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解：由（2）的结论可得， ， ∵， ∴或； （5）解：根据题意得，，则， ∴， ∴， 令， 则， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴， 即， ∴， ∴． 14．如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 15．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 16．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 17．综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【答案】[阅读材料1]；；；[阅读材料2]，小，；[深入思考]；[实践应用] 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，整式的乘法与图形的面积； [阅读材料1]图1，根据大正方形的面积减去小正方形的面积；图2根据两个梯形的面积和计算，进而得出等式； [阅读材料2]根据长方形的面积公式计算即可求解，根据列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小（填“大”或“小”），面积越大； [深入思考]仿照例题，构造边长为的长方形与边长为的正方形，通过比较面积，求得面积最大时，； [实践应用]根据题意表示出长方形的另一边，进而根据面积最大时，正方形的面积大于长方形的面积，得出的关系式，即可求解． 【详解】解：[阅读材料1]如图1，，如图2，， ∴ 故答案为：；；． [阅读材料2]设一边为，面积为，用含的代数式表示； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小，面积越大； ∴ 解得，即当时，S最大． 故答案为：，小，． [深入思考]∵ 设，则， 当相差越小时，越大 ∴ 如图，设，四边形是正方形，边长为，， ∵，求的最大值，则大于 设为原点，则长方形的面积为，正方形的面积为， ∴当时，，此时面积最大，即取得最大值 故答案为：． [实践应用] 长方形一边长为，则另一边长为， ∴，即时，面积最大， 考点03 运用完全平方公式进行运算 18．规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 19．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20．若，，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先分别展开两个代数式，再作差并判断差的符号，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 21．已知，则的值是____________． 【答案】 6 【分析】观察原式中三个一次项常数的关系，可利用换元法将原方程转化，整理后即可得到所求代数式的值. 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 22．实数和满足，则________． 【答案】 【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则. 23．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式，         当时，原式． 25．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【详解】解： ， 当，时，原式． 26．已知，，，试从或中任选一个进行化简，并求出当时，你所选的整式的值． 【答案】选择，当时，原式；选择，当时，原式 【分析】根据整式的混合运算法则计算，再代入x的值计算即可． 【详解】解：选择，则 ， 当时，原式． 选择，则 ， 当时，原式． 考点04 完全平方公式在几何图形中的应用 27．图①是一个长为，宽为的长方形，沿虚线将图①剪成四个大小相同的长方形，然后按图②的方式无缝隙的拼成一个正方形，中间阴影部分也是一个小正方形． (1)请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______；方法2：______；由此可得等式：______． (2)当时，求的值． (3)如图③，几个长方形和正方形恰好可以无缝隙的拼成－个边长为的正方形，根据面积关系，可以得到的等式是______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，图2中的阴影部分为正方形，表示出这个正方形的边长，利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积即可；图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，由此即可求解； （2）利用（1）中得出的公式直接代入计算； （3）图3的面积可以表示为大正方形边长的平方，也可以表示为三个小正方形的面积和6个小长方形的面积之和，据此得出等式． 【详解】（1）解：图②中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图②中阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为x，宽为y的长方形面积，其面积为， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：边长为的正方形的面积为， 边长为的正方形的面积又等于三个小正方形的面积加上6个小长方形的面积，即其面积为， ∴． 28．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）设，表示出，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ∴， 即， ∴图中阴影部分的面积． （3）解：设， 则， ， ， ． 29．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)60 (3)9 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）先通过大正方形的面积减去两个空白部分的面积表示出阴影部分的面积，再根据求得，从而解出答案； （3）设，那么，，根据求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意，可知空白部分的两个直角三角形，两直角边分别为， ∴阴影图形面积为：， ∵，， ∴， ∴阴影图形面积为：； （3）解：设， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 30．解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)1 (3)33 【分析】（1）根据已知的两个等式变形即可解答； （2）设，，则，，再由，求出，即可解答； （3）由四边形的面积为6得到，设，，则，，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵；； ； ． （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵四边形的面积为6， ∴，即， 设，，则，， 由题意可得， ∴， ∴ ． 31．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 32．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 33．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)134 (4) 【分析】（1）正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片这四张卡片的面积之和，据此可得答案； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）分别表示出，根据，，求出即可得到答案； （4）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：图2是一个边长为的大正方形，则其面积为， 图2是由1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片组合而成，则其面积为， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 由题意得，面积为的图形是正方形，且其边长为， ， ， ， ， ∴， 大正方形面积为134； （4）设，由图可知， ， ∴ ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 34．综合与探究 “数形结合”是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 【观察探究】 (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________________； 【拓展应用】根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，，且，求的值； (3)如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【总结反思】 (4)综合以上内容，结合课本知识，谈谈你对“数形结合”的认识，写一篇不少于100字的小短文． 【答案】(1) (2)3 (3)79 (4)见解析（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）利用大正方形的面积等于小正方形的面积与四个相同小长方形面积的和，即可求解； （2）利用（1）得到的结论，变形即可求得的值，从而求得； （3）设正方形、正方形的边长分别为a、b，由题意得；易得，由完全平方公式变形即可求解． （4）可根据“数形结合”的特点，结合题中例子进行分析． 【详解】（1）解：观察图2，大正方形的边长为，阴影部分为小正方形，其边长为，长方形的长和宽分别为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，一个长方形的面积为， 由图知，大正方形的面积等于小正方形的面积与四个相同小长方形面积的和， 即； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设正方形、正方形的边长分别为a、b， ∵的面积等于， ∴，即； ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即正方形和正方形的面积和为79； （4）解：数形结合中的数是代数式或等式，形是几何图形，比如完全平方公式，左边是，用一个边长为的正方形的面积表示；右边是，边长为的正方形的面积又可表示为边长分别为与的两个正方形面积，加上两个长与宽分别是与的长方形面积，通过构造正方形得到完全平方公式；如图，构造这么一个正方形，就把三个代数式间的关系表示出来了，这就是“数形结合”的特点，是一种很重要的数学思想与方法． 35．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为______． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． 【拓展】 (3)如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为60平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2)30 (3)长为13米 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，解题的关键是通过图形面积的不同表示方法，正确推导公式并灵活运用其变形． （1）通过大正方形面积减去两个长方形的面积，用两种方式表示阴影部分的面积，推导完全平方和公式的变形； （2）利用（1）中得到的公式变形，整体代入求值； （3）结合等腰直角三角形的面积公式，设未知数后利用（1）中得到的公式变形求解线段长度． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可表示为，也可表示为边长为的大正方形面积减去两个长为、宽为的长方形面积，即． 故答案为：． （2）解：； （3）解：设，． ∵ ， ∴ ，，． 由题意得 整理得 ∵ ， 又∵根据图②所得的公式， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即米． 答：AC的长为13米． 考点05 整式乘法混合运算 36．若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 37．若，则______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 38．已知，，．求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 39．要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是______． 【答案】4 【分析】此题考查了多项式不含项问题，单项式乘以多项式，整式的混合运算，根据整式混合运算法则先化简整式，根据多项式化简后不含x的二次项，得，求出m的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键 【详解】解： ∵多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为4 40．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有_____． 【答案】①③④ 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②错误； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 41．如果，那么代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式是解题关键． 42．阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； （3）解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 43．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 44．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 45．阅读材料：如果将（，n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 观察上式，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． 应用规律： (1)根据规律的展开式共有_____项，直接写出它的展开式，_______； (2)观察上式，可以发现的展开式中，时，前两行共有3项，时，前三行共有6项，时，前四行共有10项……依此类推，当时，前行共有多少项？ 【答案】(1)五， (2)前行共有351项． 【分析】本题考查了整式乘法的应用、数字规律的探究，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）根据前三个式子，找出规律，根据规律作答即可； （2）根据前四个式子，找出规律，根据规律作答即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角知： 的展开式有二项，； 的展开式有三项，； 的展开式有四项，； ∴的展开式有五项，； （2）解：由题可得，当时，展开有1项， 当时，展开有2项， 时，展开有3项，前三行共有项， 时，展开有4项，前四行共有项 …… ∴时，展开有26项． ∴前26行共有：． 答：前行共有351项． 46．定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 考点06多项式乘多项式——化简求值 47．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 48．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 49．化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 50．按要求完成下列计算： (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，10 (2) 【详解】（1）解： ， ∵ ∴原式； （2）解：∵ ∴ ∴ ， ． 51．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题： (1)填空：________； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义展开并合并同类项得到化简结果，再根据代数式中不含的一次项列方程并解方程即可； （3）根据新定义展开并合并同类项得到化简结果，再把已知条件变形并整体代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ， 的代数式中不含的一次项， ， ． （3）解： ， ， ， 原式 52．为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)平方米 (2)9850元 【分析】（1）把两个乒乓球场地平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）先求出乒乓球场地和其余场地的面积，再根据每平方米的造价求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：这两个乒乓球场地的占地面积平方米． （2）解：场地的总面积为 （平方米）， 其余场地的面积为 （平方米）， 当，时， 乒乓球场地的面积（平方米）， 其余场地的面积（平方米）， 总造价为（元）． 答：整个长方形场地的造价是9850元． 53．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 54．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=16，ab=40代入进行计算即可； （3）根据S3=（a2+b2-ab），S1+S2=a2+b2-ab=76，即可得到阴影部分的面积S3． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键． 考点07通过对完全平方公式变形求值 55．已知，，则的值是________． 【答案】 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 56．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得， ，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 57．将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则________； （2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________． 【答案】 【分析】（1）由材料中的方法得到，将代数式代入计算即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且，由题意得出，，变形求出，代入图中摆放花卉场地的面积计算即可． 【详解】解：（1）由得， 将，代入上式得，； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且， 则，， 由题意可得，， 则， ， 则， 联立，解得， 图中摆放花卉场地的面积是． 58．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积为_________． 【答案】35 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 59．已知，则的值是___________． 【答案】727 【分析】利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 【答案】49 【分析】本题利用完全平方公式的变形，先结合已知条件求出的值，再对平方变形，代入已知条件即可求出目标代数式的值． 【详解】解：根据完全平方公式，可得 ． 将，代入上式，得 ， 整理得， 解得． 对平方，得 ， 整理得． 将，，代入上式，得 ， 即， 移项计算得． 61．若x满足，则的值为_______． 【答案】80 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先利用偶次方的性质得到，再通过换元法设，，得到与的值，再利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】解：由偶次方的性质可知 设， 62．阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． (1)【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是________（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)【能力提升】已知． ①若，，求对称式的值； ②若，且对称式的值为，求的值． 【答案】(1)②④ (2)①8；② 【分析】（1）根据对称式的定义进行排除选项即可； （2）①根据题意易得，然后根据完全平方公式进行求解即可； ②由①可得，然后根据完全平方公式可进行求解． 【详解】（1）解：①，交换两个字母的位置可得：，当且仅当时，两个代数式相等，所以不是对称式； ②交换代数式两个字母的位置得：，观察发现它们相等，所以是对称式； ③交换代数式两个字母的位置得：，观察发现它们不一定相等，所以不是对称式； ④交换代数式任意两个字母的位置得：或或，观察发现它们都是相等的，所以是对称式； ∴符合题意的有②④； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 63．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． (1)【方法初探】 求的值（其中n是正整数）． 如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子的值．现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为_________，可得_________； (2)【深入探索】 我们知道了的值，那么的结果等于多少呢？ 如图2，是正方形的一边，，，…，，，则，分别以，，…，，为边作正方形，将正方形的面积记为，六边形的面积记为…六边形的面积记为，六边形的面积记为． 结合图形，可以得到_________， 同理有_________，_________，…，，， _________； (3)【解决问题】 根据以上发现，求的值． 【答案】(1)； (2)；；； (3)5050 【分析】（1）将三角形倒放组成平行四边形，平行四边形的底为，高为，总点数为，原三角形点数为一半； （2）利用正方形面积分割，表示最外层六边形面积，通过边长关系推导，同理递推得立方和公式； （3）利用小问2的结论，立方和除以等差数和，化简求值． 【详解】（1）解：如图1，将左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形， 该平行四边形的底边有个点（每层个），共有层， 组成平行四边形的小圆圈的个数为， 原三角形（即所求）的个数为平行四边形的一半： ， （2）解：由题意，， 正方形的面积为， 观察图形，，， 同理，，，，，， （3）解：由小问1和小问2的结论： ， ， ． 64．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足，求的值． (3)如图丁，在线段CE上取一点D且，分别以，为边作正方形，，连接，，． ①若阴影部分的面积和为33，四边形的面积为13，求的长度． ②若P为边上一点，连接，，线段的长度为4，，的长度为正整数，且与四边形的面积相等，求的长度． 【答案】(1)①③② (2) (3)①；②或 【分析】（1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积，列出等式整理即可； （2）令，，则，，，再代入根据等式③，即可求解； （3）设，，，则，，①由图可得，，，从而，，进而，即可求出；②由图可得，，，从而，整理可得，根据m和n为正整数且，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：图甲中，或，则，整理得，即①； 图乙中，或，则，整理得，即③； 图丙中，或，则，整理得，即②； 综上可知：甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②； （2）解：令，，则，， ， ， 由（1）中的等式③，得， ， 则； （3）解：设，，， 正方形和正方形， ，，则，， ①由图可得，，， ，，则，， ，则， 则； ②由图可得，，， ， ，即， 则，整理得， m和n为正整数，， 当时，，即，，则； 当时，，即，，则； 当时，，即，不符合题意，舍去； 综上所述：的长度为或． 65．在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化． 【思考探究】 (1)图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积（请用含有，的代数式表示），第一种方法可表示为：__________，第二种方法可表示为：__________；由此可得等式__________； (2)图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别为，，，其中，为直角边．试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明． (3)如果图2中直角三角形的两条直角边满足，，请你利用（1）和（2）的结论，求出图2中小正方形的面积． 【拓展延伸】 (4)图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为，宽为．可以得到，和之间的等量关系为__________； (5)当时，应用（4）的结论，可得的值为__________． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)100 (4)（形式不唯一） (5)0 【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可解答； （2）用两种方法表示中间的正方形的面积即可得解答； （3）利用和，然后将已知条件代入求值即可； （4）用两种方法表示阴影部分的面积即可解答； （5）利用（4）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知：． ． （2）解：∵中间正方形的面积，中间正方形的面积， ． （3）解：由（1）可得：， ∵，， ， 由（2）可得， ∴，即图2中小正方形的面积为100． （4）解：如图3：由题意可得：， ∴. （5）解：设，则，， ∴， ∵， ∴． 考点08求完全平方式中的字母系数 66．如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【答案】或 【分析】通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 67．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 【答案】(1)8 (2) (3)3 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先根据新定义化简，再由完全平方公式的结构特征求解即可； （3）先根据新定义得到，再化简得到，然后进行整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∵结果是一个关于，的完全平方式， ∴； （3）解：∵的值为2， ∴ ∴， ∴． 68．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 69．若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 70．若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【答案】25或 【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得或． 71．已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 72．（原创）一个三位自然数，将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数，得到的结果叫做的“逆差数”，记为．例如：，．则__________．若是一个完全平方数，且与的和能被3整除，则满足条件的的个数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方数以及数的整除性，熟练掌握新定义的理解、完全平方数的性质以及数的整除规律是解题的关键．按照“逆差数”的定义，直接计算的倒排后的三位数与原三位数的差值．先设三位数（其中、、为整数，，，），推导“逆差数”的表达式，再结合完全平方数和能被3整除的条件，分析满足条件的数字组合数量． 【详解】解：已知，将其各位数字倒排后得到的三位数是． ． 设三位数（其中、、为整数，，，），则其各位数字倒排后的三位数为． 所以“逆差数”． 因为是完全平方数，是完全平方数， 所以也必须是完全平方数． 又因为，， 所以的取值范围是，且为整数． 要使是完全平方数，结合的范围，只有当时，（是完全平方数）．此时． 接下来分析能被整除的情况． 将变形为， 因为能被整除， 所以只需能被整除即可． 分别讨论从到时的可能取值： 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个． 将所有情况相加：． 故答案为：；． 73．【教材呈现】： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ． 综上所述，为或或． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如： ， 发现这两个多项式的系数规律：． ③一般地：若关于的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． (1)请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________； 【解决问题】 (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式，并对进行因式分解； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 【答案】(1)； (2)为或或， 当 时，， 当 时，， 当时，； (3)1 【分析】（）观察发现多项式的系数规律即可． （）根据完全平方公式，先化成即可得到；当为含字母的四次单项式是可化为即可求得． （）根据（）得到的规律代入计算即可． 【详解】（1）（1）观察发现多项式的系数规律可知； （2）（2）当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方 ， ； 当 时，; 当 时，; 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ， 当时，; 综上所述，为或或； （3）解：， 根据可得：， 解得． 74．对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使得，则称A是完全平方式．例如：因为，，所以，是完全平方式． 请解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，求k的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)5或 (2)60 (3)80 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用完全平方式变形进行求解即可； （3）根据题意，先用代数式表述出长方形的面积，再利用进行计算即可． 【详解】（1）解：是一个完全平方式， ， 或， 或； （2）解：，， ， ； （3）解：由题意可得，， 长方形的面积为32， ， ， ， 即 ． 75．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：； 例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从而得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即； （3）解：，， ，，， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，且，， 阴影部分的面积为：． 76．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2) (3)，画图见解析 (4)2号卡片的边长为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 77．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $