专题02 整式的乘除10大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用-规律”为逻辑主线，系统覆盖整式乘除10大题型，融合定义法、数形结合等方法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式乘法|31题（含等比数列推导、图形面积计算）|定义法、代入求值法、系数为0法|从单项式到多项式，从纯运算到几何应用，层层递进| |整式除法|7题（含密码编制、规律探究）|转化法、归纳法|与乘法运算互逆，结合实际情境强化应用意识|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式的乘除10大题型归类 考点归纳 考点01单项式乘单项式 考点02单项式乘多项式及求值 考点03单项式乘多项式的应用 考点04多项式乘多项式 考点5多项式乘多项式与图形面积 考点06利用单项式乘法求字母或代数式的值 考点07己知多项式乘积不含某项求字母的值 考点08多项式乘法中的规律性问题 考点9单项式除以单项式 考点10多项式除以单项式 考点专练 考点01单项式乘单项式 1.若x2y=-2,则10xy2 的值为 n -m a 2.若三角形 表示3abc,方框 表示-4x'w,则 的值为 6 /n-3 2 5 n m 3.“三角” 表示3)z,“方框” a c 表示-ad,则 m b d /n3 25 4.若xm+n=3,ym+2=2, 5.“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中 桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面可以排列组合，按需设席.如图，给出了《燕几图》中名 称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x,则一张小桌的面积为· 长 回文 1/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.先化简：214(，并求出=4，y=-时，代数式的值。 4 8 7.阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：a1,a2,a,…,a,…一般 地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用9表示.如：数列1,2,4,8，…为等比数列，其中4，=1， a=2,公比q=2 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3,9,27，…的公比9为，第5项是： (②)【公式推导】如果一个数列a,a,a,,a,…是等比数列，且公比为9，那么根据定义可得g=q, g是g,宁g,所以4，a9,a,=0,g=a9g=4g，a=ag=0g9=09, a, a 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a· (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特.下 面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值所采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020,① 则2S=2+22+…+22020+22021,(② ②-①得2S-S=S=22021-1,S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1. 【解决问题】请仿照小明的方法计算1+3+32+33+…+32026的值. 考点2单项式乘多项式及求值 a b 8.定义：对于任意有理数a,b,c,d,规定一种运算，记作： =ad-bc. c d 例如： =1×4-2×3=-2 34 -5 (1)求 3 4的值 2x2x-3引 2若x+1x-2 =9,求x的值 9.先化简，再求值：（-2a'+a8a2-2,其中，a=-1. 10.先化简，再求值：2a)ab-3b-aab+1,其中a=-1,b=2. 11.已知t是方程x2-2x-2=0的根，求： (1)代数式3t2-6t+4的值： 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)代数式t3-4t2+2t+1的值 12.问题提出：在平面上，给出个圆把平面至多分割成多少个区域？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题. 探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1 条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与 前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2 个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 2+1=3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就 必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这 样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4-2=2条线段，而每条射线和线段将已 有的区域一分为二，这样就多了2+2=4个区域，所以4条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如 图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相 交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5-2=3 条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3=5个区域，所以5条直线至多将平面 分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成_个区域；依此类推”条直线可以将平面至多分 成_个区域 × 图1 图2 图3 探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个 区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2(3-1)=4条弧，将平面至 多分成了4+4=8个区域：4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了 2(4-1)=6条弧，将平面至多分成了8+6=14个区域；以此类推5个圆可以将平面分成 个区域 问题解决：个圆至多可以将平面分成_个区域. 问题拓展：仿照前面的过程，个三角形至多可以将平面分成个区域， 考点03单项式乘多项式的应用 13.计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为 (用a,b表示) 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ←a 3b a> 14.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S;若再在图1中大 正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S,.当 S,+S2=60时，则图3中阴影部分的面积S,= b b S, S 图1 图2 图3 15.如图，点B,E,C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a,b,且 a2-b2=10,则阴影部分面积为 B E C 16.已知A=2x+6,B是多项式，在计算B-A时，小海同学把B-A错看成了B÷A,结果得x,那么B-A的 正确结果为 17.为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为5a+4b)m,宽为(2a+5b)m的长方形区 域，用来打造儿童活动区域.如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休 息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为3am的正方形， 文化 体验区 (2a+5b)m 游戏娱乐区 不 绿化 3am 休息区 (5a+4b)m (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含α，b的式子表示）. (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每 平方米C元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米（℃-40）元.求处理这片儿童活动区域的地面所需的 费用（用含a,b,c的式子表示） 4/20 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动. 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形ABCD内，未被覆盖的区域恰好构成两 个长方形，面积分别为S,S2,已知小长方形的长为a,宽为b,且a>b. D b 图1 图2 【初步尝试】 (1)当a=6,b=2,AD=16时，请求出长方形ABCD的面积； (2)当AD=16时，请用含a,b的式子表示S,-S2的值： 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片ABCD继续探究，其中AB长度不变，AD变长，将这6张小长方形纸片按照 同样的方法放在新的长方形ABCD内，小睿发现，当a,b满足一定的数量关系时，S,-S2的值总保持不变， 求此时a,b应满足怎样的数量关系. 19.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数 比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的， 称图2中的1,4,9,16.…这样的数为“正方形数”. ●●●● ●●●● ●。●● ● ● 6 10 9 16 图1 图2 ①第n个“三角形数”可表示为”+.第n个“正方形数”可表示为 既是三角形数又 是正方形数且大于1的最小正整数为 (2)可以发现：1+3=4,3+6=9,6+10=16……任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第 n-1个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通 过计算证明， ③通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为-，第n个“六边形数”可表示为2r-n ，则推测第n个“七边形数”可表示为 考点04多项式乘多项式 5/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.已知x+2m(x+3n=x2+5x+a(a是常数)，则22m.8的值为 21.已知多项式x2+mx+2与x2-3x+n的乘积中不含x3项和常数项，则m+n= 22.已知代数式(mx2+2x)与x2+3nx+2)的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含x2项的系数为-2， 则(m+n2的值为 m2 n 23.如果规定 表示多项式(x+y), 表示多项式(ab-cd),则计算 b d 13 的结果是 24.a2-a=2025,则(a-3)(a+2)的值是 25.已知两个整式M=x+y,N=x-y,将整式M与整式N求和后得到整式A=2x,此操作记作第一次求 和操作；将第一次求和操作的结果A加上M+2N的结果记为A,记作第二次求和操作；将第二次求和操 作的结果A加上2M+3N的结果记为4，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果A加上3M+4N的结 果记为A,记作第四次求和操作，·，以此类推.根据以上材料，回答下列问题： (1)计算：A= (用含x,y的代数式表示)： (2)当n为大于3的正整数时，(4。-4)(m-2x2--(m-)y+xy+是关于x,y的五次三项式（其 中m和k均为整数且m+k>3),则m+k的值为 26.已知xx2…,x016均为正数，且满足M=(x+x3+…+x2015)(x3++…+x2016), N=(x+x3++x2016)(x2+x+…+x05),则M,N的大小关系满足 27.小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世 界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图 中阴影)更大展开了讨论. ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为S)更大： ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为S2)更大. 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示. 6/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3a+2b 2a+b b a-2b 图1回字形福建土楼 米2ab 图2山西大院 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积： (②)若0<a<b,则（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由. 28.仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n), 由题意得x2-4x+m=(x+3)(x+n),即x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 则有 3n=m ，解得 m=-21 =-7，所以另一个因式为x-7,m的值是-21. 问题：请仿照上述方法解答下面问题， (1)若x2+bx+c=(x-2)(x+3),则b= ;C (2)已知二次三项式2x2-7x+k有一个因式为2x-3,求另一个因式以及k的值. 29.已知(ax-3)(x+2)-x2+b展开后，不含有X2项和常数项. (1)求a、b的值： (2)在(1)的条件下，求(a-b)(a2+ab+b2)的值， 30.定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式f(x)和g(x),规定 fx※gx)=fx)gx)+fx-gx.例如：f(x=x+l,gx=x-1时， f(x)※g(x)=(x+1)(x-1)+(x+1-(x-1=x2-1+2=x2+1 (1)若f(x=2x-3,gx=x+2,求fx)※gx: ②若/=2+g国=+，当x取任意数时，八到※g到=-子x恒成立，求m的值 31.如图，长为40，宽为x的大长方形被分割为9小块，除阴影A,B两块外，其余7块是形状、大小完全 相同的小长方形，其较短一边长为y. 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A (1)分别用含x,y的代数式表示阴影A,B两块的周长，并计算阴影A,B两块的周长和. (2)分别用含x,y的代数式表示阴影A,B两块的面积，并计算阴影A,B的面积差. (3)当y取何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，并求出这个值 考点05多项式乘多项式与图形面积 32.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明： 如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B,并拼成图2.由面积相等得： 4-=2-2-,所以，当x=2时，长方形面积取得最大值为4.据此可得，代数式4+5的 最大值为 x 2 B A B 图1 图2 33.图1是把两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长 为b的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的 部分.设图1阴影部分面积为S,图2阴影部分面积为S2.若AB=m,当边长a与b在大小允许的情况下 发生变化，S2-S,始终为2m,则a与b的关系是 （用含a,b的代数式表示). 4 图1 图2 34.如图，现有A,B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为3m+2,宽为 (m+3n)的大长方形，那么需要C类卡片张. C n 35.如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形 DEFG和正方形HJK),其中3个阴影部分的面积满足2S,+S,-S2=5,则长方形ABCD的面积是. 8/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E N D 日 G L M S3 S1 B K 36.如图，点F在ABC内，∠C=90°，FE⊥AC于点E,FD⊥BC于点D,且△AEF,BDF,四边形 CDFE的面积分别为3,9,6，则△ABF的面积为 3 F E 6 9 B D 37.如图，某小区有一块长(3a+2b)m,宽(2a+b)m的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形 的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）. 3a+2b 2a+b (1)请用含a,b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a,b的代数式表示铺设地砖的面积： (3)若α=2，b=5,预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用. 38.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现.例如图1，可得等式(a+b)2=a2+2ab+b2 或a2+2ab+b2=(a+b)2 b b aa bH G 2 e b 6 D a e BbM 图1 图2 图3 (1)如图2，请写出你发现的恒等式： (2)利用(1)中的发现计算：若x2+4y2+9z2=4,2xy+6z+3zx=6,求x+2y+3z的值： 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)利用6个相同的宽为a,长为b的小长方形，拼成如图3所示的大长方形AMGN,记长方形ABCD面积 与长方形EFGH的面积差为S,求S(用含a的代数式表示). 39.【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化， 其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质：若x-y>0,则x>y;若 x-y=0,则x=y;若x-y<0,则x<y. 例：己知m=a2+ab,n=3ab-b2,其中a≠b.求证：m>n,证明： m-n=a2+ab-3ab+b2=a2-2ab+b2 =(a-b). .a≠b .(a-b2>0. ..m>n. (1)比较大小：x-1 2+x. (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示(m为正整数)，其面积分别为S、S,.试比较S,、S2的大小关系， m+7 n+4 m+1 甲 1m+2 乙 40.【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式a+y-5-3x+2y的值与x的取值无关，求a的值.通 常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0.具体解题过程是：原式=(a-3)x+3y-5,代数式的值与x的取值无关，.a-3=0,解 a=3 S S2 D 图1 图2 (1)【理解应用】若关于x的代数式2m2-3.x-m(3-5x)的值与x的取值无关，则m值为_， (2)【理解应用】A=-2x2-2(2x+1-x1-3n)+x,B=-x2-x+1,且A-2B的值与x的取值无关，求n 的值。 (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为S,左下角的面积为S2,当AB的长 变化时，S,-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系. 41.对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的 方向来思考这个问题， 10/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长 方形的面积：5×5=25,6×4=24,7×3=21,8×2=16,9×1=9. 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足 关系时，长方形的面积最大.请你利用所学的数学 知识帮助小华解释上面发现的结论， (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 己知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x,则相邻一边的长是(10-x). ①当0<x<5时，将原长方形沿直线1剪成长方形A和长方形B(如图1、图2)，再将长方形B割补到长方 形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为5-x, 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x(10-x),25, (5-x)满足的等量关系为 0一X 图1 图2 图3 ②当5<x<10时，进行类似上述过程的割补（图4图6），由图，可得出的等量关系为 -x 图4 图5 图6 ③当x=5时，该长方形即为正方形，其面积为25. 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是 (3)当-4<x<10时，仿照(2)中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式 (x-10)x+2的最小值. 考点06利用单项式乘法求字母或代数式的值 42.（xm-y+4）x5my)=x3y,求n"的值 43。若单项式-8xy和y的积为-2xy,则(ab)(ab)°÷(ab)°的值为 44.若(-5amb2m-2a2b=-10a3b,则2m+n= 45.小明计算一道整式乘法题7x-6y3-".(-2x3m+ly2)时，由于将第一个单项式中的-3-n抄成了3-n,将第 11/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二个单项式中的3m+1抄成了2m+1,结果得到-14xy4. (1)根据上述信息，分别计算出m,n的值 (2)在(1)的条件下，请你计算出这道题的正确答案. 题多解法(2)由(1)知，m=5,n=1, 所以原式=7xy4(-2x6y2) =-14x5y2. 46.（)已知x=2y=弓求代数式2144的值。 (2)先化简，再求值：xx-6r--r-8x-15到+2x(3-,其中x= 47.已知-2x3my2m与4x3y的积与-4x4y2是同类项. (1)求m,n的值， (2)先化简，再求值：5m3n(-3n2+(6mn2.(-mn-mn3.(-4m2. 48.化简求值： (1)当a=2022时，求-3a2(a2-2a-3)+3a(a3-2a2-3a)+2022的值. (2)求Xm(x十9x-12)-3(3xn1-4xm)的值，其中x=-2,n=3. 考点07已知多项式乘积不含某项求字母的值 49.解决下列问题： (1)已知2x+3y-4=0,求9.27的值： (2)已知-2x2(3x2-ax-6)-3x3+x2的计算结果中不含x的三次项，求a的值. 50.已知(x+2mr-x+2”的乘积中不含x项和2项. (1)求m、n的值. (2)求代数式m2026n2027的值. 51,定义：把多项式A化简后的项数记为L(A),例如多项式A=x2+2x-3,则L(A)=3.一个多项式A乘 以多项式B,化简得到多项式C(即C=AxB),如果L(C)=L(A)+1,则称B是A的“好多项式”，如果 L(A=L(C),则称B是A的“极好多项式”. (1)若A=x-2,B=x+3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由： (2)若A=x-2,B=x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a= (3)若A=x+3m,B=x2+x均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则m= 52.琳琳准备完成题目“计算：（■x-1)(-3x+)”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了， 12/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 她把被污染的一次项系数猜成5. (1)请你帮她完成“计算：(5x-1(-3x+1)”; (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含x的一次项.”请通过计算说明原题中被污染的一次项 系数是多少？ 53.已知代数式A=x2+x-3,B=2x+n. (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为-6，求n、的值： (2)先化简(m+n)m2-mn+n2),再将(1)中的结果代入求值 54.阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道 2+4 2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式.并且 最高次项为：23x=3,常数项为：4x5x-6=-120.那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就 是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是。×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5=-3， 即一次项为-3x,参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算(x+2)(3x+1(5x-3所得多项式的一次项系数为 一，二次项系数为一· (2)如果计算x2+x-l(x2-3x+2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值； (3)如果(x+1)204=a,x2024+a,x2023+a,x202+…+a203x+a2024,则直接写出a,4，a203，a24的值. 55.若(2x2-mr+2)(x2+3x-n)的乘积中不含x2与x3项，求m2-n2的值. 56若2+3m局-x+列的积中不含有x与术项 (1)直接写出m、n的值，即m= (2)求代数式(-m2m°+(9mn2+(3m204n206的值. 考点08多项式乘法中的规律性问题 57.你能求(x-1)(x”+x8+x”+.+x+1的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先计算下列各式的值： (1)(x-1(x+1)= (2)(x-1)(x2+x+1= (3)(x-1)(x3+x2+x+1=; (4由此我们可以得到(x-1(x9+x8+x”++x+1)= 请你利用上面的结论，完成下面的计算： 13/20 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (5)29+2198+297+..+2+1: (6)若x3+x2+x+1=0,求x2016的值 58.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（α+b)”(为正整数）的展开式 (按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律 (a+b)1=a+b 2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 d 6 (a+b)4=a+4ab+6a2b2+4ab3+b4 … (1)填出(a+b)展开式中共有 项，第三项的系数（字母部分是b) (2)已知(x+y)=x3-3×2x2+3×4x-8,则y= (3)若(x-1)2026=a,x2026+a,x2025+…+a202sx2+a206x+a207，求a,+a,+…+a205+a2026的值. 59.观察以下等式： 第1个等式：1×3=42-13： 第2个等式：2×4=52-17： 第3个等式：3×5=62-21； 第4个等式：4×6=72-25： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明. 60.项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)”展 开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 14/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 左右 积隅 ￥除⊙⊙ 方⊙⊙⊙ O自@0 立 乘日四因四O 乘⊙国①①国日 五O@⊕①围@⊙ (1)【应用体验】根据图表直接写出(a+b)= (2)【拓展提升】 ①若(x-1)°=a,x6+a,x3+a,x4+ax3+asx2+a6x+a,其中a1,a2,a,a4,a5,a6,a2为各项系数，则a2+a5= ②若(x+1)2026=ax2026+a,x2025+.…+a20msx2+a2026x+1,其中a1,02,02024,0025,026为各项系数，则求 a1+a2+a3+.+a2025+a2026的值. 61.【资料阅读】(25=(x+1x+2) 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”·据 资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”.欧洲人帕斯卡在1654年也有类 似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年.杨辉三角是一种离散型数与形的 结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一， 规定：若a≠0，则a°=1. 15/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 左积右隅 本积□ 商除 平方白白 立方Q复自只 三乘日 @公@ 四乘○ 团⊕⊕日 五乘Q-) 命 以 中右 左 廉 藏 裹 而 乘 者 乃 肪 商 之 方 廉 算 数 图1 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为 (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和.若继续画出第10条斜线，该斜线经过 的数之和为 杨辉三角 第0行 1 第1行 第1条 第2行 第2条 第3行 第3条 13 第4条 1 第4行 6 4 第5行 10 10 第5条 第6条 10 1051 第6行 15201561 6 第7行1 7 21 35352171 第7条十 15201561 图2 图3 (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题(2)揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 2 3 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④ 16/20 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11 ① ② ③ ④ 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形①的周长为 62.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用n×的方框在日历上框出一些数，选 取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为a,b,c,d(a<b<c<d),计算“bc-ad”的值，探索其运 算结果的规律。 如2025年1月份的日历图，当n=2时（如图1），小明在其中画出两个2×2的方框，通过计算 7×13-6×14=7,17×23-16×24=7:发现bc-ad=7. 2025年1月 2025年2月 四五六 四五六 a 4 b 1011 61 18 14 15 a b 19202122232425 16171819202122 c d d d 262728293031 232425262728 图1 图2 图3 (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的日历，继续进行如下探究. ①当n=3时，如图2，在日历中用3x3的方框框住位置上的4个数，探究“bc-ad”的值的规律（直接写 出结论，不用证明)： ②当n=4时，如图3，若在日历中用4×4的方框框住位置上的4个数，直接写出“bc-ad”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“bc-ad”运算结果的一般规律（用含的式子表示）. 63.【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： 15×15=225=1×2×100+25,25×25=625=2×3×100+25,35×35=1225=3×4×100+25,…你能写出 般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请 你补充完整 解：设该两位数的十位数字 是n(1≤n≤9，且n是整 数)，个位数字是5. 17/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 规律为： (10m+5)2=100n(n+1)+25 证明如下： .(10n+5)2=… 【类比探究】 列 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 14×16=1×2×100+4×6=224,23×27=2×3×100+3×7=621,32×38=3×4×100+2×8=1216,… (1)请你利用上述规律计算：81×89= (2)观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(1≤n≤9，且n是整数)，其中一个两位数的个位数 字为m(1≤m≤9，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为 ,一般规律是 证明：… 【迁移应用】 (3)兴趣小组的同学利用规律快速计算了102×108，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程. 考点09单项式除以单项式 64.密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学.小李利用数学知识进行密码编制，通过整式的乘除运算， 取运算结果x,y,z的指数依次生成密码，如xy·xz运算结果为x3yz对应的密码是1314，则 (x)'y2÷x2对应的密码是 65.对于任意的有理数a,b,定义关于“*”的一种运算，规定：a*b=(a+b)2-(a-b)2,若a*b=4,则 10ab3÷5b2的值为. 66.2026年3月29日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属.二维金属是 极薄的单原子层金属材料，厚度超小.已知某二维金属材料厚度1.5×100米，一根头发丝直径约0.03毫米， 换算为米是3×103米.则头发丝直径是该二维金属材料厚度的 倍.（用科学记数法表示） 67.如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的 4 ("=πr3) 3 18/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 68.某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察， 输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是· 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ x20y7z7=2076 x3y4z3=2 (xz)÷y=? 69.随着科技的发展，芯片的制造工艺越来越精密.某高端芯片的核心-晶体管的栅极宽度己经达到了3纳 米(1纳米=0.000000001米)的级别. (1)将3纳米用科学记数法表示为米； (2)如果把一个晶体管近似看作一个长8纳米、宽为5纳米的长方形，那么这个晶体管的面积是多少平方米？ (结果用科学记数法表示) (3)在面积为4×104平方米（约指甲盖大小）的芯片上，如果完全铺满这种晶体管（假设晶体管之间无空隙 无重叠，且每个晶体管面积为第(2)问的结果)，理论上大约能容纳多少个这样的晶体管？ 考点10多项式除以单项式 70.观察下列各式： 在x≠1时， （x-1÷x-1=1; (x2-÷(x-1）=x+1: (x3-1÷(x-1)=x2+x+1: (x4-1÷(x-1)=x3+x2+x+1 (1)根据上面各式的规律可得x”-÷(x-1)=;(n为正整数，x≠1) (2)利用(1)中的结论，求24+203+…+2+1的值； 19/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若1+x+x2+…+x2023=0,求x的值. 71.如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x,y的二项式.请仔细观察图中的例题 及解答过程，完成下列问题： 例题：化简： (A)+2x(B) 解：原式-3y+y2+6x2-2 注意：运算顺序从 左到右，逐个去掉 括号。 (1)多项式A为 ,多项式B为 ，例题的计算结果为 (2)计算：A2-A.B: 72.已知关于x的多项式f(x除以x-2,余数为7，f(x除以x-3,余数为9，求多项式∫(x)除以 (x-2)(x-3的余式. 73.己知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F,此时四边形DCFE恰 好是正方形，已知CD=a,AD=a+ab2,BC=a+2ab2,(单位：米)其中a>0,1<b2<4,现有甲乙两 只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A-D-C-F-A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B-C-D-E-B 的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止。甲的速度是a(米/秒，乙的速度是0（米/秒） D M (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时 秒； ②当甲走到点C时，乙走了米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米； ④当甲走到点C时，己经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒， (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间.如果没有，简要 说明理由. 20/20 专题02 整式的乘除10大题型归类 考点01 单项式乘单项式 考点02单项式乘多项式及求值 考点03单项式乘多项式的应用 考点04多项式乘多项式 考点05多项式乘多项式与图形面积 考点06利用单项式乘法求字母或代数式的值 考点07已知多项式乘积不含某项求字母的值 考点08多项式乘法中的规律性问题 考点09单项式除以单项式 考点10多项式除以单项式 考点01 单项式乘单项式 1．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解： 当时，原式． 2．若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 【答案】 【分析】按照题意列式，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 3．“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 4．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 5．“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等， ∴小桌的宽为x， 由题图可得小桌的长为2x， ∴一张小桌的面积为． 6．先化简：，并求出，时，代数式的值． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，在化简过程中要注意运算顺序以及符号的改变．先算乘方，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解： 当， ， 原式 7．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 【答案】(1)3；243 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：等比数列的公比为 3 ，第 5 项是； 故答案为： 3；243 ； （2）解：根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为：． （3）解：设，① 则，② 得， ． 考点02单项式乘多项式及求值 8．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义得出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：． 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2． 【详解】解：原式 当时，原式 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项得到化简结果，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 11．已知是方程的根，求： (1)代数式的值： (2)代数式的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）将代回方程并将其变形得，进而即可求解； （2）由（1）可得，将变形为，再将其代回原式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ∵， ∴ ； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴ ， ∴ ． 12．问题提出：在平面上，给出个圆把平面至多分割成多少个区域？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题． 探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以3条直线至多将平面分成个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以4条直线至多将平面分成个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以5条直线至多将平面分成个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域；依此类推 条直线可以将平面至多分成 个区域． 探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；以此类推5个圆可以将平面分成　　　个区域． 问题解决：个圆至多可以将平面分成 个区域． 问题拓展：仿照前面的过程，个三角形至多可以将平面分成 个区域． 【答案】探究一：22； ；探究二：22；问题解决：()；问题拓展：() 【分析】探究一：从简单到复杂，寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； 探究二： 从简单到复杂推导出规律即可得出； 问题解决：根据“探究二”得到的规律即可得到结论； 问题拓展：仿照前面的过程，寻找出规律即可得到结论． 【详解】解：探究一：根据题意： 1条直线，将平面分成了个区域； 2条直线，将平面分成了个区域； 3条直线，将平面分成了个区域； 4条直线，将平面分成了个区域； 5条直线，将平面分成了个区域； 6条直线，将平面分成了个区域； ； n条直线，将平面分成了个区域； 故答案为：22，； 探究二：根据题意： 1个圆，分成了个区域； 2个圆，分成了个区域； 3个圆，分成了个区域； 4个圆，分成了个区域； 5个圆，分成了个区域； 故答案为：22； 问题解决：n个圆，分成了个区域； 故答案为：()； 问题拓展： 设n个三角形最多将平面分为个区域， 时，； 时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形有个交点，个交点将第二个三角形的边分成了6段，这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域，从而增加了6个区域， 即； 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有个交点，从而增加了12个区域， 即； 一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有个交点，从而增加了个区域， 故 ， 故答案为：()． 【点睛】本题主要考查了规律的寻找，连续n个正整数的和的公式，解本题的关键是审清题意，找出变化规律，是一道中等难度的题目． 考点03 单项式乘多项式的应用 13．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 14．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 15．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 16．已知是多项式，在计算时，小海同学把错看成了，结果得x，那么的正确结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘除，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题目的已知可知，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 17．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 18．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 【答案】(1)160 (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再根据长方形面积公式求解即可； （2）易得，，由图可知，，，根据长方形面积公式得出，，即可求解； （3），，，，根据长方形面积公式得出，，则，根据的值总保持不变，得出的值与无关，则． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴长方形的面积； （2）解：对图形作字母标记如图， ∵， ∴，， 由图可知，，， ，， ； （3）解：对图形作字母标记如图， 由图可知：，，，， ，， ， 的值总保持不变， 的值与无关， ，即． 19．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． (1)第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． (2)可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． (3)通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 【答案】(1)；36 (2)见解析 (3) 【分析】（1）理解题意，结合图中信息，得出第n个“正方形数”可表示为，再把三角形数和正方形数从小到大写出来，即可得出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36，即可作答． （2）理解题意，列式得出即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和为，再整理得出，即可作答． （3）研究三角形数，正方形数，五边形数，总结规律得边形数公式：，最后把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察图中信息，得第n个“正方形数”可表示为； 依题意，三角形数： 正方形数： ∴既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为． （2）解：∵第n个“三角形数”可表示为， ∴第个“三角形数”可表示为，其中 则第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于， 由（1）得第n个“正方形数”可表示为； 即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数． （3）解：依题意，三角形数，； 正方形数，； 五边形数，； 以此类推：边形数公式：， ∴当（七边形数）时：． 考点04 多项式乘多项式 20．已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 21．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 【答案】 【分析】先计算出两个多项式的乘积，由题意可知项的系数和常数项都是，从而得到和的值，最后计算出即可． 【详解】解：， ∵乘积中不含项和常数项， ∴，， ∴，， ∴． 22．已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为_______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项将化简，再根据积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，进而求得m，n的值，将其代入中计算即可． 【详解】解： ， 由题意得，与积是一个关于x的三次多项式，且含项的系数为， ∴不含项， ∴，， ∴， ∴． 23．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 24．，则的值是_______ 【答案】2019 【详解】解：∵， ∴ ． 25．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）根据题意，求出和的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为， ∴； （2）解：由题意知，， ， ， ， ， （2）由题意知，原多项式 ， ∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），原式展开后有5个潜在项， ∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当或时，才能保证有两个项的系数恒为0， ∴或， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴得或， 或，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上，． 26．已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 27．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 28．仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 由题意得，即， 则有，解得，所以另一个因式为的值是． 问题：请仿照上述方法解答下面问题， (1)若，则___________；___________； (2)已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)1； (2)； 【分析】（1）计算出的展开结果即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴另一个因式为． 29．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 30．定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 31．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影A，B两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，两块的周长和． (2)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，的面积差． (3)当取何值时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，并求出这个值． 【答案】(1)阴影A的周长为：，∴阴影的周长为：，则其周长和为：； (2)阴影A的面积为：，阴影的面积为：，阴影A，的面积差为： ； (3)当y=5时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，这个值是100． 【分析】（1）由图可知阴影A的长为（），宽为（），阴影的长为，宽为，从而可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据题意，使含x的项提公因式x，再令另一个因式的系数为，从而可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意得：阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的周长为： ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的周长为：， ∴其周长和为：； （2）∵阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的面积为：． ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的面积为：， ∴阴影A，的面积差为：． （3）∵阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化， 阴影A，的面积差． ∴当，即时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化． 此时：阴影A，的面积差． 【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个长方形的长与宽． 考点05多项式乘多项式与图形面积 32．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 33．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，得出，，再得到，即可求解． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵始终为， ∵， ∴． 34．如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片______张． 【答案】11 【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案． 【详解】解：， 类卡片的面积为， ∴需要11张类卡片． 35．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 36．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可得的面积，的面积，四边形的面积，设，，则，，，求出的面积为，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 37．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 38．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 39．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． (1)比较大小：______． (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （2）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料得，， ∴； （2）解：由图知：， ， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴． 40．【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 41．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 考点06利用单项式乘法求字母或代数式的值 42．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 43．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 44．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 45．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 46．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的去处法则，把代数式化简，再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 47．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 48．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 考点07已知多项式乘积不含某项求字母的值 49．解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 50．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 51．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【答案】(1)B是A的“好多项式” (2)2 (3) 【分析】先计算出两个多项式乘积化简后的结果，再根据定义判断或建立方程求解未知数即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 可得 ， ， 满足 ， 符合“好多项式”的定义，因此是的“好多项式”； （2）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”， ， 因此需要， 解得； （3）解：由题意得 ，， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”，则 ， ①当时，则，，此时，故不符合题意； ②当时，则 ， ∴，解得； 因此的值为． 52．琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 则 ， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 53．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 54．阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 【答案】(1)，26 (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 二次项系数为， 故答案为：，26； （2）解：根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）解：， ∴，，，． 55．若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 56．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 考点08多项式乘法中的规律性问题 57．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______；… (4)由此我们可以得到______； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： (5)； (6)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （6）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解：， ， 解得， ∴． 58．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6，10 (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，第三项的系数是10； （2）由题意知，据此求解即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得展开式中共有项， 第三项的系数（字母部分是）是10； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 59．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 60．项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【应用体验】根据图表直接写出__________． (2)【拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则__________； ②若，其中为各项系数，则求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义问题，多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项和的乘方展开式的系数规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，将代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【详解】（1）解：由图表可得：， 故答案为：； （2）解：①根据规律可得， ， ， ， 则，， ， 故答案为：； ②将代入可得 ， ． 61．【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①找到规律：第n行是的字母的系数，即可求解； ②数之和可以看作时的值，即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）找到规律：前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，即可求解． 【详解】（1）解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． （2）观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． （3）观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 62．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)；； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 63．【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 【详解】解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 考点09单项式除以单项式 64．密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．小李利用数学知识进行密码编制，通过整式的乘除运算，取运算结果x，y，z的指数依次生成密码，如运算结果为对应的密码是1314，则对应的密码是________． 【答案】2026 【分析】先根据幂的乘方法则进行计算，再计算单项式除以单项式，得到x，y，z的指数，按顺序组合即可得到对应密码． 【详解】解：，按x，y，z的指数依次组合，得到密码为2026． 65．对于任意的有理数，，定义关于“*”的一种运算，规定：，若，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查整式的化简求值，正确理解新定义运算，先根据新定义运算求出的值，再化简所求式子，代入计算即可． 【详解】解：根据新定义运算，可得 ， 又∵， ∴ ，解得 ∴ ． 66．年月日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚度米，一根头发丝直径约毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的______倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后通过法则即可求解． 【详解】解：． 67．如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（） 【答案】 【分析】设球的半径为r，分别求出三个球的体积和盒子的体积，即可求解． 【详解】解：设球的半径为r， 则三个球的体积和为， 盒子的体积为， 故三个球的体积之和占整个盒子容积的． 68．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 【答案】1038 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． 69．随着科技的发展，芯片的制造工艺越来越精密．某高端芯片的核心-晶体管的栅极宽度已经达到了3纳米（1纳米米）的级别． (1)将3纳米用科学记数法表示为______米； (2)如果把一个晶体管近似看作一个长8纳米、宽为5纳米的长方形，那么这个晶体管的面积是多少平方米？（结果用科学记数法表示） (3)在面积为平方米（约指甲盖大小）的芯片上，如果完全铺满这种晶体管（假设晶体管之间无空隙无重叠，且每个晶体管面积为第（2）问的结果），理论上大约能容纳多少个这样的晶体管？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）根据矩形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：3纳米米米； （2）解：（平方米）， 答：这个晶体管的面积是平方米； （3）解：（个）， 答：理论上大约能容纳个这样的晶体管． 考点10多项式除以单项式 70．观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式归纳得到规律即可； （2）将所求式子结合规律变形，计算得到结果； （3）利用规律得到，再结合已知条件排除不符合的解，得到x的值． 【详解】（1）解：根据已知各式的规律，可得（n为正整数）． （2）解：由（1）可知，． ∴． （3）解：， 由规律可得， ， 解得或． 把代入原方程左边， 得左边， 不符合题意，舍去． 把代入原方程左边， 得左边， 符合题意． ． 71．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________； (2)计算：； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可知多项式，多项式，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得到多项式A和B；根据合并同类项的运算法则计算即可得到计算结果； （2）根据（1）中所求结果代入，利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； ； 计算结果： 原式 ； （2）解：原式 ． 72．已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 【答案】 【分析】根据题意可得 ，为含的多项式，，为含的多项式，把得，把得，把即可求解． 此题考查了整式的除法，弄清因式与积之间的关系，列出等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，为含的多项式， ，为含的多项式， 把得， 把得， 得，， 多项式除以的余式为． 73．已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)会有第二次相遇，用时秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用一次一次方程和数形结合的思想解答． （1）①根据路程速度时间可得结论； ②根据速度时间路程可得结论； ③根据三角形的面积公式可得结论； ④这一次相遇，用时t秒，根据总路程和列方程可得结论； （2）根据总路程，列方程可得结论． 【详解】（1）解：（1）①甲走到点C时，用时：（秒）； 故答案为：； ②（米） 则当甲走到点C时，乙走了米； 故答案为：； ③， ∴的面积＝（平方米）， 故答案为：； ④设这一次相遇，用时t秒， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在上， 根据题意得： ， 答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $