第二章　第5课时函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念及其表示，覆盖定义域、解析式、分段函数等高考核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，通过典例分析（如多选判断、定义域求解）和易错提醒（定义域集合表示、换元法新变量范围），归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于真题训练与应试技巧指导，含2025-2026模拟题及教材改编题，通过换元法、配凑法突破解析式求法，分段函数分段求解培养数学思维，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升高考冲刺效率。

第5课时　函数的概念及其表示 第二章　函 数 常用结论必备 注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为． 2 考点一　函数的概念 [典例1]　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　) A．函数f (x)＝＋的定义域是(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞) B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点 C．函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D．对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同 核心考点突破 √ √ √ (2)(2025·济宁高新区月考)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为(　　) A． C．[0，1] D． √ (1)ABD　(2)C　[(1)对于A，要使函数f (x)＝＋有意义， 则解得x＜－2或－2＜x≤－1或x≥1． 所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞)，A正确； 对于B，根据函数的定义可知，函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点，B正确； 对于C，函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数y＝x－1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数，C错误； 对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，D正确． 故选ABD． (2)因为函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]， 所以－2≤x－1≤1， 则y＝f (1－3x)中，－2≤1－3x≤1， 解得0≤x≤1， 故y＝f (1－3x)的定义域为[0，1]． 故选C．] 易错提醒：(1)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． (2)f (φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围． (3)直线x＝a与函数y＝f (x)的图象至多有1个交点． 考点二　函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式． (1)已知f ＝ln x，求f (x)； (2)已知f ＝x4＋，求f (x)； (3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求 f (x)； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)． [解]　(1)换元法：令＋1＝t(t>1)，则x＝， ∴f (t)＝ln ， ∴f (x)＝ln (x>1)． (2)配凑法：∵f ＝x4＋＝－2， 令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号， ∴f (t)＝t2－2(t≥2)，∴f (x)＝x2－2(x≥2)． (3)待定系数法：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7， ∴f (x)＝2x＋7． (4)解方程组法：∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x． 易错提醒：(1)定义域不要漏写． (2)用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围． 考点三　分段函数 [典例3]　(1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(－∞，4] C．若f (x)＝2，则x的值是－ D．f (x)<1的解集为(－1，1) √ √ (2)(人教A版必修第一册P68例6改编)定义max{a，b}＝设函数f (x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，记函数F(x)＝max{f (x)，g(x)}，且函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 √ (1)BC　(2)D　[(1)函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解；当－2≤x<1时， 令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)；当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． 故选BC． (2)令f (x)≥g(x)，即x＋1≥(x＋1)2，解得－1≤x≤0； 令f (x)<g(x)，即x＋1<(x＋1)2，解得x<－1或x>0， 所以F(x)＝max{f (x)，g(x)}＝ F(x)的图象如图所示， 又F(0)＝F(－2)＝1，F(－1)＝0， 要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]， 当n＝0时，－2≤m≤－1； 当m＝－2时，－1≤n≤0， 则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2． 故选D．] [母题探究] 1．(综合变式)本例(1)中，若f (a)＝0，则实数a＝________． 0或2　[当－2≤a＜1时，由a2＝0，得a＝0；当a≥1时，由－a＋2＝0，解得a＝2，故实数a的值为0或2．] 0或2　 2．(变结论)本例(1)条件不变，则f (f (3))＝________． 1　[ f ( f (3))＝f (－1)＝1．] 1 易错提醒：分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易忽略自变量的取值范围而出错． 课时作业(五)　函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数 f (x)＝的定义域为 (　　) A． C． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 21 D　[要使f (x)有意义，只需满足 即x≤且x≠0．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 22 2．(2026·盐城模拟)函数f (x)满足2f (x)－f (1－x)＝x，则函数f (x)＝ (　　) A．x－2 B． C． D．－x＋2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[因为2f (x)－f (1－x)＝x，① 所以2f (1－x)－f (x)＝1－x，② 由①×2＋②得3f (x)＝x＋1，即f (x)＝．故选B．] 3．(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f (x)＝1，g(x)＝x0 B．f (x)＝，g(x)＝|x| C．表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2 D．f (t)＝，g(t)＝t＋4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[对于A，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于C，因为函数h＝130t－5t2中，0≤t≤26，而函数y＝130x－5x2中，x∈R，即这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 4．(2025·佛山禅城区月考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　　　　　　 B C D √ C　[考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，排除A； 再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D；之后为了赶时间加快速度行驶，这一时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2026·汉川市校级模拟)已知函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]，则y＝的定义域为(　　) A．(1，2] B．[－1，9] C．(1，9] D．[－1，2] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[函数y＝f (x＋1)的定义域为[－1，4]， 则－1≤x≤4， 故0≤x＋1≤5， 故函数f (x)的定义域为[0，5]， 由解得1＜x≤2， 故函数y＝的定义域为(1，2]．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．(2025·江西名校联盟联考)若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，则f (30)＝(　　) A．189 B．190 C．464 D．465 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3， f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6， f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10， f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15， f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21， f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28， f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36， f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120， f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题　 7．(苏教版必修第一册P112习题5.1T4，T6改编)下列说法正确的是 (　　) A．式子y＝可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点 C．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1 D．f (x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ BCD　[对于A选项，有不等式组无解，A错误；对于B选项，根据函数的概念知，当函数f (x)在x＝1处无定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1无交点，当函数f (x)在x＝1处有定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，B正确；对于C选项，因为f (x)＝|x－1|－|x|，所以f ＝0，故f ＝f (0)＝1，C正确；对于D选项，两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，故这两个函数是同一个函数，D正确．故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．(人教A版必修第一册P73习题3.1T8改编)如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么下列关系中正确的是(　　) A．y＝，x>0 B．d＝，x>0 C．l＝2x＋，x>0 D．l＝，d≥2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ ABC　[∵矩形的面积为10，长为x，宽为y，∴xy＝10，∴y＝，x>0，根据d＝，得到d＝，x>0， ∵周长l＝2(x＋y)，∴l＝2x＋，x>0， 根据d2＝x2＋，l2＝4＝4＝4(d2＋20)，∴l＝2，d≥2．故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 9．函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　) A．D(D(2))＝D(D()) B．D(x)的值域与函数f (x)＝的值域相同 C．D(x)≠D(－x) D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ ABD　[对于A，根据狄利克雷函数的定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D())＝D(0)＝1，所以A正确； 对于B，易知D(x)的值域为{0，1}，函数f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x∈(－∞，0)时，f (x)＝＝0；当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝＝1，即函数f (x)＝的值域为{0，1}，所以B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1，若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得D(x)＝D(－x)，所以C错误； 对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1； 当x∈∁RQ时，x＋1∈∁RQ，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 10．(2025·上饶期末)已知函数f ()＝x＋2，若f (a)＝4，则实数a＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 1　[令＝t，t≥0，则x＝t2＋1(t≥0)，f (t)＝t2＋3， 故f (a)＝a2＋3＝4(a≥0)，解得a＝1．] 1　 11．(2024·上海卷)已知函数f (x)＝则f (3)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[ f (x)＝ 则f (3)＝．] 12．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝若f (a)＝，则实数a＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 2或± 2或±　[当a>1时，f (a)＝1＋＝，解得a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f (a)＝a2＋1＝，解得a＝±∈[－1，1]； 当a<－1时，f (a)＝2a＋3＝， 解得a＝－>－1，舍去． 综上，a＝2或a＝±．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 $