11.1二次根式的概念（5知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本初中数学讲义聚焦二次根式的概念，系统梳理定义（含形式与取值双条件）、双重非负性（被开方数与结果非负）、基础性质（平方与开方关系）、有意义条件（单一及复合型式子），并通过识别、求值、参数求解等5类题型搭建学习支架，形成从概念到应用的完整脉络。 资料以“知识点+题型+检测”三维设计为特色，每个题型配备典例与变式，如利用双重非负性求参数培养推理意识，结合数轴化简式子发展几何直观。课中辅助教师高效授课，课后通过分层检测帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

11.1二次根式的概念 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二次根式的识别】 1 【题型2 求二次根式的值】 3 【题型3 求二次根式中的参数】 4 【题型4 二次根式有意义的条件】 6 【题型5 利用二次根式的性质化简】 7 · 1. 理解二次根式的定义，掌握二次根式的两大核心特征，能精准识别二次根式，区分二次根式与其他根式、普通代数式。 · 2. 掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解含二次根式式子中字母的取值范围，解决参数取值问题。 · 3. 掌握二次根式的双重非负性核心性质，能利用性质求值、化简代数式，解决基础化简题型。 · 4. 熟练掌握二次根式代入求值的方法，规范求值步骤，规避取值错误、化简错误。 · 5. 能结合二次根式概念与性质，解决参数求解、式子化简、取值范围判定等常规题型，夯实二次根式章节基础。 03 知识•梳理 知识点1. 二次根式的定义 一般地，形如 （）的式子叫做二次根式，其中“”为二次根号， 叫做被开方数。 二次根式必备两个条件（缺一不可）： · ① 形式条件：式子含有二次根号，根指数为2（根指数为3、4等不是二次根式）； · ② 取值条件：被开方数 为非负数（），可以是数字、单项式、多项式。 知识点2. 二次根式的双重非负性（核心性质） 二次根式 （）同时满足两个非负特征，是解题核心依据： · ① 被开方数非负：（式子有意义的前提）； · ② 根式结果非负：（二次根式运算、求值核心性质）。 知识点3. 二次根式基础性质 性质1：，二次根式平方后等于被开方数本身。 性质2：，平方开根号需加绝对值，再根据字母正负化简。 知识点4. 二次根式有意义的通用条件 单一二次根式 有意义：只需满足被开方数； 复合型式子（分式+二次根式）：需同时满足分母不为0、被开方数非负，取公共取值范围。 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的识别】 解题核心技巧：紧扣双重判定标准，两个条件同时满足才是二次根式。 判定步骤： 第一步看形式：是否带有二次根号，排除三次根号、无根号代数式； 第二步看取值：被开方数是否恒为非负数（常数直接判断，含字母需保证取值范围内非负）。 易错警示： 带根号不一定是二次根式（如 是三次根式）； 被开方数为负数的根式，无意义，不属于二次根式； 形如 、 含二次根式的代数式，整体不是二次根式，仅 为二次根式。 【典例1】．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数为非负数两个条件． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C、中的取值不确定，当时不是二次根式，不符合要求； D、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 【变式1】．下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项． 【详解】解：选项A：∵被开方数， ∴是二次根式，故A项不符合题意． 选项B：∵，满足被开方数非负的条件， ∴是二次根式，故B项不符合题意． 选项C：∵对任意实数，都有， ∴， ∴是二次根式，故C项不符合题意． 选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义， ∴不是二次根式，故D项符合题意． 【变式2】．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【变式3】．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据定义逐一判断选项即可，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件． 【详解】根据二次根式的定义对各选项逐一判断： A、根指数为3，属于三次根式，不满足二次根式定义，不是二次根式，不符合题意； B、根指数为2，且被开方数，满足二次根式的定义，一定是二次根式，符合题意； C、，当时，，式子无意义，不是一定为二次根式，不符合题意； D、是分数，不属于根式，不是二次根式，不符合题意． 【题型2 求二次根式的值】 标准解题步骤： 第一步：确认二次根式有意义，验证被开方数非负； 第二步：代入已知字母数值，替换式子中的未知数； 第三步：先算被开方数，再开方运算，最终化为最简数值； 第四步：含平方与根号混合运算，优先套用 、 化简。 解题技巧：优先化简、后代值，避免大数运算；遇到负数开平方，先利用绝对值性质转化为正数运算。 【典例2】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式1】．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 【变式2】．当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，. 【变式3】．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【题型3 求二次根式中的参数】 考查形式：已知二次根式为最简形式、式子值为0、根式恒有意义，求参数的值或取值范围。 万能解题流程： 利用双重非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（常用：）； 根据根式有意义条件，列不等式/等式； 求解参数，检验取值是否符合题意。 核心口诀：非负和为零，各项皆为零；根式有意义，被开方数必非负。 【典例3】．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 【变式1】．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 【变式2】．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 【变式3】．已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合是整数，得到为不大于18的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数． 【详解】解：根据二次根式的定义，得， 解得， 是自然数，是整数， 为不大于18的完全平方数，到之间的完全平方数有， 当时，，符合题意． 【题型4 二次根式有意义的条件】 基础解题规则： 纯二次根式 ：令 ，解一元一次不等式得取值范围； 根式+分式 ：需同时满足 且 ； 根式+负指数、零指数：叠加对应式子有意义条件，取公共解集。 解题步骤： 列出所有限制条件（被开方数非负、分母不为0等）； 分别求解不等式； 取所有解集的公共部分，即为字母取值范围。 高频易错：复合型式子遗漏限制条件，忘记分母不为0、零指数底数不为0。 【典例4】．函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数，函数才有意义， ∴， 解得． 【变式1】．若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是， ∴对于二次根式，可得不等式， 解不等式得． 【变式2】．已知，则_____． 【答案】8 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 两大核心化简公式： 1. ：先开方再平方，直接还原被开方数； 2. ：先平方再开方，必须先加绝对值，再判号去绝对值。 标准化简步骤： 第一步：观察式子结构，区分是“根号外平方”还是“根号内平方”； 第二步：根号内平方形式，先加绝对值； 第三步：根据题干隐含条件、字母取值范围判断正负； 第四步：去掉绝对值符号，化简得到最终结果。 关键技巧：化简 绝不直接等于，必须分类讨论或结合取值范围去绝对值，避免符号错误。 【典例5】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 【变式1】．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 【变式2】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】根据数轴上的位置确定被开方数的正负，再化简计算即可． 【详解】解：根据实数a、b在数轴上的位置可知：，， ∴， ∴，， ， ∴ ． 【变式3】．若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，确定的正负，判断，与的正负，再化简给出的代数式，合并后得结果． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可知，，， ，，， ． 05 过关•检测 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式的判定条件是根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 选项A中，被开方数，无意义， ∴A不符合要求； ∵ 选项B中，当时，，无意义， ∴B不符合要求； ∵ 对任意实数，都有，可得，被开方数恒为正数，满足二次根式要求， ∴一定是二次根式，C符合要求； ∵选项D中，当时，无意义， ∴D不符合要求． 2．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 4．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 5．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 6．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴对于函数， 被开方数满足 ， 解不等式得 ， 因此自变量的取值范围是． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，A错误． 选项B：∵根据完全平方公式展开，，B错误． 选项C：∵算术平方根的结果为非负数，先计算根号内的式子，，C错误． 选项D：∵表示3个相乘，即，，D正确． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 9．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为（    ）． A．10 B． C．4 D．10或 【答案】D 【分析】题目未说明已知的两条边均为直角边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：① 当6和8均为直角边时，第三边为斜边， 第三边长 ② 当8为斜边，6为直角边时，第三边为另一条直角边， 第三边长 因此第三边长为10或． 10．如图，在学校长方形篮球场上，放着一个长方体的器材箱，已知篮球场宽米，长米，该器材箱的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过器材箱到达处需要走的最短路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．39米 【答案】C 【分析】解答此题要将器材箱展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将器材箱展开，如图所示： 长相当于增加了2米， ∴长为米，宽为米， ∴最短路径为：（米）． 11．下列说法中， ①在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称； ②在平面直角坐标系中，点不可能在第一象限； ③9的算术平方根是； ④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； ⑤若，当为2或3时，都可以得到； 正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②⑤ 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称性质、象限内点的坐标特征、算术平方根的定义、平行公理、根式的性质，逐个判断每个结论的正误，即可得到结果． 【详解】解：①关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等，点与点符合该特征，故①正确； ②若点在第一象限，需满足：，解得，该不等式组无解，因此点不可能在第一象限，故②正确； ③根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，的算术平方根是，不是，故③错误； ④平行公理为：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，原说法未指明点在直线外，结论不成立，故④错误； ⑤当时，，由二次根式的非负性得，，因此，，可得；当时，可得，由立方根的性质得，可得，因此两种情况都能得到，故⑤正确， 综上，正确的结论有①②⑤． 12．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 【答案】 9316 【分析】①根据定义表示出，再代入计算即可； ②代入，根据定义，用仅含a，b的式子表示，再化简出所需式子的值为完全平方数的最简式，根据a，b的取值范围找出对应最大值的等式，再通过令a取得最大值的方式，求出最大值时b的取值，从而确定m． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴； 化简得， 由，，得，， ∴原式， 由题意，得是完全平方数， 又因数4是完全平方数， ∴是完全平方数， 由题意，得，， ∴， 满足题意的值有，，，和， ∵要使得m最大，故应千位数字a最大， 令，则，解得，（另两种情况显然不如该种情况数值大，故忽略） ∴，， ∴的最大值为9316． 13．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)29 (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 14．观察下列等式： ， ， ， … (1)利用你发现的规律，化简_________； (2)根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； (3)证明你猜想的第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）根据已知等式找出规律即可； （3）计算等式左边，看看是否与右边相等即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， …… ； （3）证明： ， 可知猜想成立． 15．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 16．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 17．阅读材料，回答问题． 主题 探索二次根式的取值特征． 探索过程 探索1：当时，二次根式_____； 探索2：当时，请在数轴上找出表示的点； 探索3：当时，学习小组经过多组验算，根据运算结果，提出了一个大胆的猜想． 分析猜想 猜想：当时，二次根式的值不是正整数． 推理证明 学习小组对以上猜想进行分析、并证明了以下命题： 命题：当时，二次根式的值不是正整数． 证明：假设的值是正整数 正整数包含奇数和偶数  分以下两种情况进行证明． （i）当为奇数时，设（为正整数） 则 是偶数，1是奇数 是奇数① 是偶数② ①和②矛盾 不是奇数； （ii）当为偶数时， (1)请解决探索1的问题； (2)请解决探索2的问题； (3)请完成（ii）中所缺的证明过程． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式求值，零指数幂： （1）根据零指数幂的法则，算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出时，，构造两直角边为2和1的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径，画弧，弧与数轴的交点即为点； （3）仿照给出的方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：当时，二次根式； （2）解：当时，； 如图，点即为所求作的点； （3）解：当为偶数时，设（为正整数） 则 是偶数，3是奇数 是奇数① 是偶数② ①和②矛盾 不是偶数； 综上所述，不是正整数． 18．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1二次根式的概念 （5知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二次根式的识别】 2 【题型2 求二次根式的值】 2 【题型3 求二次根式中的参数】 3 【题型4 二次根式有意义的条件】 3 【题型5 利用二次根式的性质化简】 4 · 1. 理解二次根式的定义，掌握二次根式的两大核心特征，能精准识别二次根式，区分二次根式与其他根式、普通代数式。 · 2. 掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解含二次根式式子中字母的取值范围，解决参数取值问题。 · 3. 掌握二次根式的双重非负性核心性质，能利用性质求值、化简代数式，解决基础化简题型。 · 4. 熟练掌握二次根式代入求值的方法，规范求值步骤，规避取值错误、化简错误。 · 5. 能结合二次根式概念与性质，解决参数求解、式子化简、取值范围判定等常规题型，夯实二次根式章节基础。 03 知识•梳理 知识点1. 二次根式的定义 一般地，形如 （）的式子叫做二次根式，其中“”为二次根号， 叫做被开方数。 二次根式必备两个条件（缺一不可）： · ① 形式条件：式子含有二次根号，根指数为2（根指数为3、4等不是二次根式）； · ② 取值条件：被开方数 为非负数（），可以是数字、单项式、多项式。 知识点2. 二次根式的双重非负性（核心性质） 二次根式 （）同时满足两个非负特征，是解题核心依据： · ① 被开方数非负：（式子有意义的前提）； · ② 根式结果非负：（二次根式运算、求值核心性质）。 知识点3. 二次根式基础性质 性质1：，二次根式平方后等于被开方数本身。 性质2：，平方开根号需加绝对值，再根据字母正负化简。 知识点4. 二次根式有意义的通用条件 单一二次根式 有意义：只需满足被开方数； 复合型式子（分式+二次根式）：需同时满足分母不为0、被开方数非负，取公共取值范围。 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的识别】 解题核心技巧：紧扣双重判定标准，两个条件同时满足才是二次根式。 判定步骤： 第一步看形式：是否带有二次根号，排除三次根号、无根号代数式； 第二步看取值：被开方数是否恒为非负数（常数直接判断，含字母需保证取值范围内非负）。 易错警示： 带根号不一定是二次根式（如 是三次根式）； 被开方数为负数的根式，无意义，不属于二次根式； 形如 、 含二次根式的代数式，整体不是二次根式，仅 为二次根式。 【典例1】．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【变式2】．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的值】 标准解题步骤： 第一步：确认二次根式有意义，验证被开方数非负； 第二步：代入已知字母数值，替换式子中的未知数； 第三步：先算被开方数，再开方运算，最终化为最简数值； 第四步：含平方与根号混合运算，优先套用 、 化简。 解题技巧：优先化简、后代值，避免大数运算；遇到负数开平方，先利用绝对值性质转化为正数运算。 【典例2】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2】．当时，二次根式的值是______． 【变式3】．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【题型3 求二次根式中的参数】 考查形式：已知二次根式为最简形式、式子值为0、根式恒有意义，求参数的值或取值范围。 万能解题流程： 利用双重非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（常用：）； 根据根式有意义条件，列不等式/等式； 求解参数，检验取值是否符合题意。 核心口诀：非负和为零，各项皆为零；根式有意义，被开方数必非负。 【典例3】．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【变式3】．已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【题型4 二次根式有意义的条件】 基础解题规则： 纯二次根式 ：令 ，解一元一次不等式得取值范围； 根式+分式 ：需同时满足 且 ； 根式+负指数、零指数：叠加对应式子有意义条件，取公共解集。 解题步骤： 列出所有限制条件（被开方数非负、分母不为0等）； 分别求解不等式； 取所有解集的公共部分，即为字母取值范围。 高频易错：复合型式子遗漏限制条件，忘记分母不为0、零指数底数不为0。 【典例4】．函数中的自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，则_____． 【变式3】．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 两大核心化简公式： 1. ：先开方再平方，直接还原被开方数； 2. ：先平方再开方，必须先加绝对值，再判号去绝对值。 标准化简步骤： 第一步：观察式子结构，区分是“根号外平方”还是“根号内平方”； 第二步：根号内平方形式，先加绝对值； 第三步：根据题干隐含条件、字母取值范围判断正负； 第四步：去掉绝对值符号，化简得到最终结果。 关键技巧：化简 绝不直接等于，必须分类讨论或结合取值范围去绝对值，避免符号错误。 【典例5】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式1】．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【变式2】．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 【变式3】．若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 05 过关•检测 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 4．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 5．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 9．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为（    ）． A．10 B． C．4 D．10或 10．如图，在学校长方形篮球场上，放着一个长方体的器材箱，已知篮球场宽米，长米，该器材箱的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过器材箱到达处需要走的最短路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．39米 11．下列说法中， ①在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称； ②在平面直角坐标系中，点不可能在第一象限； ③9的算术平方根是； ④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； ⑤若，当为2或3时，都可以得到； 正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 12．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 13．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 14．观察下列等式： ， ， ， … (1)利用你发现的规律，化简_________； (2)根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； (3)证明你猜想的第个等式成立． 15．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 16．已知实数，满足，求的值． 17．阅读材料，回答问题． 主题 探索二次根式的取值特征． 探索过程 探索1：当时，二次根式_____； 探索2：当时，请在数轴上找出表示的点； 探索3：当时，学习小组经过多组验算，根据运算结果，提出了一个大胆的猜想． 分析猜想 猜想：当时，二次根式的值不是正整数． 推理证明 学习小组对以上猜想进行分析、并证明了以下命题： 命题：当时，二次根式的值不是正整数． 证明：假设的值是正整数 正整数包含奇数和偶数  分以下两种情况进行证明． （i）当为奇数时，设（为正整数） 则 是偶数，1是奇数 是奇数① 是偶数② ①和②矛盾 不是奇数； （ii）当为偶数时， (1)请解决探索1的问题； (2)请解决探索2的问题； (3)请完成（ii）中所缺的证明过程． 18．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $