10.5分式方程（5知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义聚焦初中数学“分式方程”核心知识点，系统梳理分式方程的定义（分母含未知数）、解法（去分母转化整式方程并验根）、增根概念（使公分母为0的整式方程解）、无解两种情况（整式方程解为增根或整式方程无解）及应用题六步法（审设列解验答），形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以10类题型为载体，通过典例与变式结合，强化解题技巧（如解分式方程四步法、参数问题“先表解再限号剔除增根”口诀）。注重培养抽象能力（区分分式与整式方程）、推理意识（分类讨论无解问题）、模型意识（行程工程等实际问题建模）。课中助力教师高效授课，课后学生可通过过关检测查漏补缺，提升解决实际问题能力。

10.5分式方程 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 7 【题型4 分式方程无解问题】 10 【题型5 列分式方程】 14 【题型6 分式方程的行程问题】 16 【题型7 分式方程的工程问题】 18 【题型8 分式方程的经济问题】 21 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 24 【题型10 分式方程的其他实际问题】 28 · 1. 精准理解分式方程的定义，清晰区分分式方程与整式方程，掌握分式方程的核心特征。 · 2. 掌握分式方程的标准解法，理解去分母的转化思想，明晰增根的产生原因，熟练掌握验根步骤。 · 3. 能根据分式方程的解的正负、整数解、无解、有增根等情况，求解参数的值或取值范围。 · 4. 掌握列分式方程解应用题的完整步骤，能精准识别行程、工程、经济、和差倍分等常见实际问题模型。03 知识•梳理 知识点1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定标准：只看分母是否含未知数，与分子无关；分母仅含数字、常数参数的方程为整式方程。 举例： 是分式方程；、（a为常数）是整式方程。 知识点2. 分式方程的解法（核心：转化思想） 解题核心：将分式方程通过去分母转化为整式方程求解，必须验根。 标准解题四步： · ① 分解分母：对所有分母因式分解，确定最简公分母； · ② 去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，化为整式方程； · ③ 解方程：求解一元一次整式方程，得到未知数的值； · ④ 验根：将解代入最简公分母，判定是否为增根。 知识点3. 增根的概念与性质 增根：去分母后得到的整式方程的解，但该解会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式无意义，不属于原方程的解。 产生原因：等式两边同乘了含有未知数的整式（可能为0），扩大了未知数的取值范围。 关键结论：增根一定是整式方程的解，一定使原方程分母为0。 知识点4. 分式方程无解的两种情况 · ① 整式方程有解，但所有解都是增根，原方程无有效解； · ② 整式方程本身无解（化简后为 矛盾形式），原分式方程无解。 知识点5. 分式方程应用题解题六步法 审（审题找等量关系）→ 设（设未知数，优先设所求量）→ 列（列分式方程）→ 解（解整式方程）→ 验（双重检验：分母不为0、符合实际意义）→ 答（规范作答） 04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 解题核心技巧：紧扣唯一判定条件：分母含有未知数。 快速判断规则： 分母含未知数（x、y等变量）→ 分式方程； 分母只有数字、常数、参数字母（非未知数）→ 整式方程； 方程是否为分式方程，与分子、方程项数无关。 易错警示：不要误将含分数的整式方程判定为分式方程。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【变式2】．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【变式3】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【题型2 解分式方程】 标准解题步骤： 因式分解分母，确定最简公分母； 方程所有项（含常数项）同乘最简公分母，杜绝漏乘； 去括号、移项、合并同类项，解整式方程； 代入最简公分母验根，判定解的有效性。 结果书写规范：公分母≠0，写明方程的解；公分母=0，写明该解为增根，原方程无解。 高频易错点：漏乘常数项、忘记验根、增根直接当作方程的解。 【典例2】．解分式方程： (1)； (2)． 【变式1】．解方程： (1)； (2)． 【变式2】．在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【变式3】．已知关于的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解． (2)小华认为时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 考查形式：已知方程的解为正数、负数、整数、非负数，求参数取值/值。 万能解题流程： 去分母化为整式方程，用参数表示出未知数x； 根据题干要求（正负、整数）列出对应不等式/整除条件； 排除增根情况（解不能使原分母为0）； 综合所有条件，确定参数取值或具体值。 核心口诀：先表解，再限号，最后剔除增根。 【典例3】．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【变式2】．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【变式3】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【题型4 分式方程无解问题】 解题两大分类应对技巧： 1. 增根导致无解： 令最简公分母=0，求出所有可能增根； 将增根代入整式方程，求出参数值。 2. 整式方程矛盾无解： 整理整式方程为 形式； 当 时，整式方程无解，原分式方程无解。 关键提醒：解题必须分两种情况讨论，避免漏解。 【典例4】．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【变式1】．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【变式3】．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【题型5 列分式方程】 核心解题思路：找准题目中等量关系，优先以“差值、倍数、相等、多/少、快/慢”为列式依据。 常用建模公式： 总量÷单量=数量；路程÷速度=时间；工作总量÷工作效率=工作时间 核心特征：两个量对比产生差值，适合列分式方程求解 列式技巧：优先用除法式子构建等式，整式方程多为加减乘等量，分式方程核心为除法等量关系。 【典例5】．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【题型6 分式方程的行程问题】 核心公式： 常见题型模型：匀速行驶、提速/降速、早到/迟到、往返行程问题。 解题技巧： 路程一般为定值，根据时间差列等式； 设速度为未知数，用分式表示两种行驶方式的时间； 根据“快的时间=慢的时间-差值”列方程。 【典例6】．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 【变式3】．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 【题型7 分式方程的工程问题】 核心公式：，无总量时默认工作总量为1。 常见题型模型：单独做工、合作做工、提速完工、延期完工问题。 解题技巧： 效率=单位时间工作量，合作效率=各效率之和； 根据“时间差值、工期要求”建立分式等量关系； 总量设1，简化列式，避免复杂整数运算。 【典例7】．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 【变式2】．近年来，昭通苹果产业持续壮大，其销售渠道也日趋多元化，其中电商已成为昭通苹果销售的又一重要渠道．某电商商家计划装箱6000箱苹果进行售卖，为加快装箱进度，实际每日装箱数量为原计划的倍，最终比原计划提前1天完成全部装箱任务．求该商家原计划每天装箱多少箱？ 【变式3】．某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做个机身或个机翼． (1)现有块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ (2)在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【题型8 分式方程的经济问题】 核心公式： 常见题型模型：商品打折、单价涨跌、购买数量变化、优惠采购问题。 解题技巧： 总金额不变，单价变化导致购买数量变化； 根据“前后数量差、数量相等”列分式方程； 注意单价、数量均为正数，验根时剔除负数解。 【典例8】．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（  ） A．该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B．该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C．该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D．该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 【变式2】． 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【变式3】．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 题型特征：已知两个数的和、差、倍数关系，结合除法比例关系列方程。 解题技巧： 设较小量或标准量为未知数； 根据“甲÷乙=倍数、甲比乙多/少几分之几”构建分式等式； 结合和差条件联立求解，全程规范验根。 【典例9】．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【变式3】．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【题型10 分式方程的其他实际问题】 常见题型：浓度问题、配比问题、平均数问题、单位产量问题等。 通用解题技巧： 找准核心比例公式，用分式表示对应量的比值； 抓住“配比前后不变量、平均值恒定、比例相等”等量关系； 严格执行双重检验，既要保证分式有意义，又要符合生活实际（数量为正、整数等）。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【变式3】．在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 05 过关•检测 1．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 3．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 4．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 5．李老师在多媒体上展示了一个关于的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；丙：当此方程的解是非负数时，的取值范围是．下列判断正确的是（   ）． A．甲、乙对，丙错 B．甲、丙对，乙错 C．乙、丙对，甲错 D．甲、乙、丙都对 6．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 7．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 8．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 9．某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 13．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 14．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 15．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 17．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 18．关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 19．解方程： (1) (2) 20．为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 21．某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 22．五一黄金周即将来临之际，重百超市准备大量购进磁器口陈麻花咸口和甜口两种口味麻花，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口麻花和用600元购进咸口的袋数相同． (1)求甜口和咸口的麻花每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味麻花共60袋，其中咸口麻花的数量不超过甜口麻花数量的两倍，该超市将甜口麻花每袋的售价定为40元，咸口麻花每袋的售价定为32元，并计划在五一节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口麻花售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋麻花获总利润最大，该如何进货？ 23．综合与实践 背景 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售． 素材一 某超市计划购进这两种手办共400个，经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元， 素材二 用810元购进“哪吒”手办的个数与用630元购进“敖丙”手办的个数相同． 素材三 其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半． 素材四 “哪吒”手办、“敖丙”手办的售价分别为60元/个、55元/个 (1)问题一：单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)问题二：超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 24．下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 25．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 26．位于成都未来科技城的商业航天产业园“未来星谷”部分地块主体已完工，预计2026年底逐步投运，聚焦卫星整星制造、地面设备制造等商业航天产业链关键环节．某航天科技公司为该产业园配套生产A，B两种型号的卫星零部件，已知每个B型零部件的成本是每个A型零部件成本的，用4200元生产B型零部件的数量比用3150元生产A型零部件的数量多12个． (1)分别求每个A型和B型零部件的成本； (2)该公司计划用不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个．生产过程中，每个A型零部件可获利25元，每个B型零部件可获利20元，试问：A，B两种型号的零部件分别生产多少个时，公司所获得的总利润最大？并求出最大总利润． 27．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 28．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5分式方程 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 7 【题型4 分式方程无解问题】 10 【题型5 列分式方程】 14 【题型6 分式方程的行程问题】 16 【题型7 分式方程的工程问题】 18 【题型8 分式方程的经济问题】 21 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 24 【题型10 分式方程的其他实际问题】 28 · 1. 精准理解分式方程的定义，清晰区分分式方程与整式方程，掌握分式方程的核心特征。 · 2. 掌握分式方程的标准解法，理解去分母的转化思想，明晰增根的产生原因，熟练掌握验根步骤。 · 3. 能根据分式方程的解的正负、整数解、无解、有增根等情况，求解参数的值或取值范围。 · 4. 掌握列分式方程解应用题的完整步骤，能精准识别行程、工程、经济、和差倍分等常见实际问题模型。03 知识•梳理 知识点1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定标准：只看分母是否含未知数，与分子无关；分母仅含数字、常数参数的方程为整式方程。 举例： 是分式方程；、（a为常数）是整式方程。 知识点2. 分式方程的解法（核心：转化思想） 解题核心：将分式方程通过去分母转化为整式方程求解，必须验根。 标准解题四步： · ① 分解分母：对所有分母因式分解，确定最简公分母； · ② 去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，化为整式方程； · ③ 解方程：求解一元一次整式方程，得到未知数的值； · ④ 验根：将解代入最简公分母，判定是否为增根。 知识点3. 增根的概念与性质 增根：去分母后得到的整式方程的解，但该解会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式无意义，不属于原方程的解。 产生原因：等式两边同乘了含有未知数的整式（可能为0），扩大了未知数的取值范围。 关键结论：增根一定是整式方程的解，一定使原方程分母为0。 知识点4. 分式方程无解的两种情况 · ① 整式方程有解，但所有解都是增根，原方程无有效解； · ② 整式方程本身无解（化简后为 矛盾形式），原分式方程无解。 知识点5. 分式方程应用题解题六步法 审（审题找等量关系）→ 设（设未知数，优先设所求量）→ 列（列分式方程）→ 解（解整式方程）→ 验（双重检验：分母不为0、符合实际意义）→ 答（规范作答） 04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 解题核心技巧：紧扣唯一判定条件：分母含有未知数。 快速判断规则： 分母含未知数（x、y等变量）→ 分式方程； 分母只有数字、常数、参数字母（非未知数）→ 整式方程； 方程是否为分式方程，与分子、方程项数无关。 易错警示：不要误将含分数的整式方程判定为分式方程。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式1】．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 【变式2】．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 【变式3】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【题型2 解分式方程】 标准解题步骤： 因式分解分母，确定最简公分母； 方程所有项（含常数项）同乘最简公分母，杜绝漏乘； 去括号、移项、合并同类项，解整式方程； 代入最简公分母验根，判定解的有效性。 结果书写规范：公分母≠0，写明方程的解；公分母=0，写明该解为增根，原方程无解。 高频易错点：漏乘常数项、忘记验根、增根直接当作方程的解。 【典例2】．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． （2）先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴ 解得：．经检验，是原方程的根． （2）解：， 方程的两边同乘以， 得， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式1】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可. （2）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可. 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 【变式2】．在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】解：小明的解答过程不正确，正确解答如下： ， 两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式3】．已知关于的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解． (2)小华认为时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)小华的结论正确，理由见解析 【分析】（1）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可； （2）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：当时，方程为． 两边同乘，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的解． （2）解：小华的结论正确．当时，方程变为， 两边同乘得， 解得． 检验，当时，， ∴是增根， ∴原分式方程无解． 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 考查形式：已知方程的解为正数、负数、整数、非负数，求参数取值/值。 万能解题流程： 去分母化为整式方程，用参数表示出未知数x； 根据题干要求（正负、整数）列出对应不等式/整除条件； 排除增根情况（解不能使原分母为0）； 综合所有条件，确定参数取值或具体值。 核心口诀：先表解，再限号，最后剔除增根。 【典例3】．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 【变式1】．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 【变式2】．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【答案】 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 【变式3】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 【题型4 分式方程无解问题】 解题两大分类应对技巧： 1. 增根导致无解： 令最简公分母=0，求出所有可能增根； 将增根代入整式方程，求出参数值。 2. 整式方程矛盾无解： 整理整式方程为 形式； 当 时，整式方程无解，原分式方程无解。 关键提醒：解题必须分两种情况讨论，避免漏解。 【典例4】．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 【变式1】．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【变式3】．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【题型5 列分式方程】 核心解题思路：找准题目中等量关系，优先以“差值、倍数、相等、多/少、快/慢”为列式依据。 常用建模公式： 总量÷单量=数量；路程÷速度=时间；工作总量÷工作效率=工作时间 核心特征：两个量对比产生差值，适合列分式方程求解 列式技巧：优先用除法式子构建等式，整式方程多为加减乘等量，分式方程核心为除法等量关系。 【典例5】．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 【变式1】．某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，即可． 【详解】解：设第一次买了个足球 ∴每个足球的单价为：； ∵第二次用元在同一商家买同样的足球，结果比上次多买了个， ∴第二次购买的足球的单价为：； ∵商家第二次购买足球每个优惠元， ∴分式方程为：． 【变式2】．为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后A生产线每小时组装块，找到“A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：优化后A生产线组装900块太阳能板所用时间为， 优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为， 根据题意可列方程为：． 故选：B． 【变式3】．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【答案】 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒． 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等． 根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为． 由时间相等可得方程： ． 【题型6 分式方程的行程问题】 核心公式： 常见题型模型：匀速行驶、提速/降速、早到/迟到、往返行程问题。 解题技巧： 路程一般为定值，根据时间差列等式； 设速度为未知数，用分式表示两种行驶方式的时间； 根据“快的时间=慢的时间-差值”列方程。 【典例6】．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再结合快马速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天， ∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵速度路程时间，总路程为里， ∴ 慢马速度为，快马速度为， ∵ 快马速度是慢马的倍， ∴． 【变式1】．小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程关于行程问题的实际应用．根据两人行驶时间的关系：小明比爸爸多用分钟列方程即可． 【详解】解：根据题意，设自行车速度为，则电动车速度为， ∵总路程为，根据时间路程速度，并将时间单位统一为，即分钟， ∴可列方程为：． 【变式2】．为了进一步厚植热爱祖国、热爱家乡的情怀，铸牢中华民族共同体意识．某校组织学生去聂耳故居研学，聂耳故居距学校，一部分师生乘坐大客车先行，出发后，另一部分师生乘坐小客车前往，结果同时到达．已知小客车的平均速度是大客车平均速度的倍，则大客车、小客车的平均速度分别是每小时多少千米？ 【答案】大客车的平均速度是，小客车的平均速度是 【分析】根据行驶时间的关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设大客车的平均速度为，则小客车的平均速度为，由题意，得 ，         解得．             检验，当时，，且符合实际． ．         答：大客车的平均速度是，小客车的平均速度是．     【变式3】．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 【答案】大巴车行驶的时间为． 【分析】设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为． 【题型7 分式方程的工程问题】 核心公式：，无总量时默认工作总量为1。 常见题型模型：单独做工、合作做工、提速完工、延期完工问题。 解题技巧： 效率=单位时间工作量，合作效率=各效率之和； 根据“时间差值、工期要求”建立分式等量关系； 总量设1，简化列式，避免复杂整数运算。 【典例7】．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 【变式1】．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 【变式2】．近年来，昭通苹果产业持续壮大，其销售渠道也日趋多元化，其中电商已成为昭通苹果销售的又一重要渠道．某电商商家计划装箱6000箱苹果进行售卖，为加快装箱进度，实际每日装箱数量为原计划的倍，最终比原计划提前1天完成全部装箱任务．求该商家原计划每天装箱多少箱？ 【答案】1000箱 【分析】设原计划每天装箱苹果，则实际每天装箱苹果，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天装箱苹果，则实际每天装箱苹果． 由题意可列方程： ， 解得，， 检验，当时，最简公分母， 是原分式方程的解. 答：原计划每天装1000箱苹果． 【变式3】．某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做个机身或个机翼． (1)现有块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ (2)在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【答案】(1)用块材料板做机身，块材料板做机翼 (2)原计划每天制作个飞机模型 【分析】（1）设出未知数，根据等量关系：制作的机翼总数机身总数，列出方程求解即可解决问题； （2）先计算飞机模型总数，设出未知数，根据提前3天完成，列出方程求解即可解决问题． 【详解】（1）解：设用x块材料板做机身，块材料板做机翼才能使机身与机翼恰好配套， 由题意得：， 解得：， ， 答：用块材料板做机身，块材料板做机翼才能使机身与机翼恰好配套． （2）解：（个） 设原计划每天制作y个飞机模型， 由题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 答：原计划每天制作个飞机模型． 【题型8 分式方程的经济问题】 核心公式： 常见题型模型：商品打折、单价涨跌、购买数量变化、优惠采购问题。 解题技巧： 总金额不变，单价变化导致购买数量变化； 根据“前后数量差、数量相等”列分式方程； 注意单价、数量均为正数，验根时剔除负数解。 【典例8】．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程． 【详解】解：∵设第一批柑橘单价为元， ∴第一批购进的数量为箱， 又∵第二批单价比第一批便宜4元， ∴第二批单价为元，购进的数量为箱， ∵第二批数量与第一批数量一样多， ∴可列方程， 故选A． 【变式1】．某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（  ） A．该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B．该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C．该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D．该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是理解方程中各代数式的实际意义． 【详解】解：∵年售价为万元，是年的售价 ∴年售价比年降价． 又∵表示年购置的车辆数，表示年购置的车辆数 由方程变形得： 即年购置的车辆数比年多辆． ∴选项C正确． 故选：C． 【变式2】． 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】（1）根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出现在单枪和双枪新能源充电桩的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，列分式方程可得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个） 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 根据题意，得 解得 ∵a为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 【变式3】．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 【答案】(1)A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元 (2)a的最小值为8 【分析】（1）设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴， 答：A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元； （2）解：种纪念品购进数量：，种纪念品购进数量：个， 由题意得： ， 解得：； 答：a的最小值为8． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 题型特征：已知两个数的和、差、倍数关系，结合除法比例关系列方程。 解题技巧： 设较小量或标准量为未知数； 根据“甲÷乙=倍数、甲比乙多/少几分之几”构建分式等式； 结合和差条件联立求解，全程规范验根。 【典例9】．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 【变式1】．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 【变式2】．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 【变式3】．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 常见题型：浓度问题、配比问题、平均数问题、单位产量问题等。 通用解题技巧： 找准核心比例公式，用分式表示对应量的比值； 抓住“配比前后不变量、平均值恒定、比例相等”等量关系； 严格执行双重检验，既要保证分式有意义，又要符合生活实际（数量为正、整数等）。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 【变式1】．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 【变式2】．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 【变式3】．在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 【答案】(1)应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 (2)至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 【分析】（1）设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人，根据“两种中国结同时完成”列分式方程求解即可； （2）设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结，先列方程求得完成A种中国结任务的学生人数m，再根据题意，得到n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； （2）解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 05 过关•检测 1．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 2．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察分母的关系，对分母变形后确定最简公分母，给方程两边同乘最简公分母即可得到所求整式方程． 【详解】解：将原方程变形为， 将方程两边同时乘以最简公分母得． 3．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“时间相等”建立等量关系，利用公式“时间=搬运总重量÷每小时搬运重量”列方程求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运材料，则B型机器人每小时搬运材料，根据题意得， ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运材料． 4．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 5．李老师在多媒体上展示了一个关于的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；丙：当此方程的解是非负数时，的取值范围是．下列判断正确的是（   ）． A．甲、乙对，丙错 B．甲、丙对，乙错 C．乙、丙对，甲错 D．甲、乙、丙都对 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再分别验证甲、乙、丙的结论即可． 【详解】解：原方程整理得：， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ， 分式方程分母不为， ，即，得， 验证甲：当时，，满足，结论正确； 验证乙：若方程有增根，则增根为，代入得，解得，结论正确； 验证丙：若方程的解为非负数，则，即，解得，又， 的取值范围是且，丙的结论错误； 甲、乙对，丙错，故选A． 6．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 7．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 8．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 9．某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总价和单价分别表示出原价与降价后购买笔记本的数量，再根据“降价后比原价多买4本”的等量关系列方程． 【详解】解：原价为元/本，每本降价3元后，售价为 元/本， 360元按原价可购买笔记本数量为本，360元按降价后价格可购买笔记本数量为本， 降价后可比原价多买到4本，即降价后购买数量减去原价购买数量等于4， 列方程得 ， 故选：A． 10．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 11．若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 12．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 13．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】根据第二次每人所得与第一次相同，确定等量关系，列分式方程即可． 【详解】解：已知第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人． 第一次每人分得钱数为， 第二次每人分得钱数为， 由两次每人分得钱数相等可得． 14．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 15．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 16．若关于x的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】14 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解，得出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数，结合的取值范围，找出所有满足条件的整数，计算其和即可． 【详解】解：解不等式组 解不等式 去分母得 移项合并得 解不等式 移项得 系数化为1得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有5个整数解，整数解为 不等式同乘6得 移项得 解分式方程 方程两边同乘得 去括号得 合并同类项得 系数化为1得 分式方程的解是非负整数，且分式分母不为零 ，，且为整数 即，，为整数 解得，，且为偶数 结合，可得，为偶数 满足条件的整数为， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 17．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙追上甲时，乙行驶了． 18．关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 20．为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 【答案】月季的单价为10元，桂花树的单价为20元 【分析】设月季的单价为元，则桂花树的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设月季的单价为元，则桂花树的单价为元， 由题意得：，解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，即． 答：月季的单价为10元，桂花树的单价为20元． 21．某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 【答案】(1)型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； (2)元． 【分析】（）设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先求出，然后根据题意得，最后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元， 根据题意，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； （2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为（元）． 22．五一黄金周即将来临之际，重百超市准备大量购进磁器口陈麻花咸口和甜口两种口味麻花，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口麻花和用600元购进咸口的袋数相同． (1)求甜口和咸口的麻花每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味麻花共60袋，其中咸口麻花的数量不超过甜口麻花数量的两倍，该超市将甜口麻花每袋的售价定为40元，咸口麻花每袋的售价定为32元，并计划在五一节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口麻花售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋麻花获总利润最大，该如何进货？ 【答案】(1)甜口麻花每袋进价25元，咸口麻花每袋进价20元 (2)购进甜口麻花24袋，咸口麻花36袋时，总利润最大 【分析】（1）设一袋咸口麻花的进价为每袋元，则一袋甜口麻花的进价为每袋元，根据题意列出分式方程即可； （2）设甜口麻花进货袋，则咸口麻花进货袋，然后根据题意列出不等式组求得a的取值范围，再设销售两种麻花共获利元，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设一袋咸口麻花的进价为每袋元，则一袋甜口麻花的进价为每袋元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）． 答：甜口麻花每袋进价25元，咸口麻花每袋进价20元． （2）解：设甜口麻花进货袋，则咸口麻花进货袋， 由题意得：， 解得：， 设销售两种麻花共获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时获利最大，即购进甜口麻花24袋，咸口麻花36袋时，总利润最大． 23．综合与实践 背景 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售． 素材一 某超市计划购进这两种手办共400个，经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元， 素材二 用810元购进“哪吒”手办的个数与用630元购进“敖丙”手办的个数相同． 素材三 其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半． 素材四 “哪吒”手办、“敖丙”手办的售价分别为60元/个、55元/个 (1)问题一：单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)问题二：超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个 “敖丙”手办的进价是35元，单个“哪吒”手办的进价是45元； (2)超市应进“哪吒”手办134个，“敖丙”手办266个，获得最大利润，最大利润为7330元． 【分析】（1）设单个 “敖丙”手办的进价是x元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出方程，求解即可； （2）由题意得，求出的范围，再由题意得到与的关系式，分析求解可得答案． 【详解】（1）解：设单个 “敖丙”手办的进价是x元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 单个 “敖丙”手办的进价是35元，单个“哪吒”手办的进价是45元； （2）解：设购进“哪吒”手办的个数为a个，则购进“敖丙”手办的个数为个，设两种手办全部售完时获得的利润为w元， 根据题意得：， 解得，， 根据题意，， w随a的增大而减小，又a为整数， ∴当时，（元）， 此时（个）， 超市应进“哪吒”手办134个，“敖丙”手办266个，获得最大利润，最大利润为7330元． 24．下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【答案】(1)长治到郑州的大巴速度；两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间 (2)长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 【分析】（1）根据题意和所列方程可得答案； （2）选芳芳的解法，解方程求出x的值，检验后求出的值即可得到答案；选橙橙的解法，解方程求出t，再根据速度等于路程除以时间求出对应的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意可得芳芳同学所列方程中表示的实际意义是长治到郑州的大巴速度；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间． （2）解：选芳芳同学的解法： ， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意 ； 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 选橙橙的解法： ， 去分母得， 解得， ，， 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为． 25．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 【答案】(1)A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 (2)①m的值为2，且满足平台的购买数量规定；②或或 【分析】（1）设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱，根据购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元列方程组求解即可； （2）①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．根据合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的列方程求解即可； ②先根据A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱求出，然后同①列方程求出，再令，求解即可． 【详解】（1）解：设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱， 由题意得： ， 解得， 答：A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 （2）解：①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元． ∴， 解得， 此时购买A类礼盒2箱，B类礼盒箱，总数为箱，满足总数不少于5箱且不超过10箱， 即m的值为2，且满足平台的购买数量规定． ②∵， ∴， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或或． 经检验或或是原方程的解且符合题意， ∴a的所有值为或或． 26．位于成都未来科技城的商业航天产业园“未来星谷”部分地块主体已完工，预计2026年底逐步投运，聚焦卫星整星制造、地面设备制造等商业航天产业链关键环节．某航天科技公司为该产业园配套生产A，B两种型号的卫星零部件，已知每个B型零部件的成本是每个A型零部件成本的，用4200元生产B型零部件的数量比用3150元生产A型零部件的数量多12个． (1)分别求每个A型和B型零部件的成本； (2)该公司计划用不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个．生产过程中，每个A型零部件可获利25元，每个B型零部件可获利20元，试问：A，B两种型号的零部件分别生产多少个时，公司所获得的总利润最大？并求出最大总利润． 【答案】(1)每个A型零部件的成本为175元，每个B型零部件的成本为140元 (2)生产A型零部件114个，B型零部件286个时总利润最大，最大总利润为8570元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设每个A型零部件的成本为元，每个B型零部件的成本为元，依题意，列出分式方程，计算求出满足要求的解，进而求解作答即可； （2）设生产A型零部件个，则B型零部件个，总利润为元，得，解得，再结合利润关系，建立，然后运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设每个A型零部件的成本为元，每个B型零部件的成本为元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴每个A型零部件的成本为175元，每个B型零部件的成本为140元； （2）解：设生产A型零部件个，则B型零部件个，总利润为元， ∵不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个， ∴， 化简得， 解得 ∵为非负整数， ∴取最大值为， 则 ∵ ∴随增大而增大， 因此时最大， 此时型数量为（个）， 最大总利润：元， ∴生产A型零部件114个，B型零部件286个时总利润最大，最大总利润为8570元． 27．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据十字分式方程的定义解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，，再利用完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，进而由可得，，再代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ 为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴； （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∵时， ∴， ∵关于的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 28．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 (2)该商店共有5种进货方案 (3)①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【分析】（1）设种商品进价为元，根据用固定金额购进两种商品数量相同列分式方程求解 （2）设购进种商品件，根据资金限制和数量关系列一元一次不等式组，通过整数解的个数得到进货方案数． （3）先推导总利润关于的一次函数，根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得， ∵为正整数 ∴， ∴共5种不同的进货方案； （3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得： 的实际售价为，每件的利润为； 的售价为，每件的利润为． 则 整理得： ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $