专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题02二次根式的乘除重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 分母有理化 题型五 最简二次根式的判断 题型六 化为最简二次根式 题型七 已知最简二次根式求参数 题型八 复合二次根式的化简 拓展训练一 二次根式与数轴问题 拓展训练二 二次根式的乘除综合应用 拓展训练三 利用分母有理化比较大小 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简：______． 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 2．（2026·湖南益阳·二模）计算：__________． 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（2026·河北张家口·一模）若，则（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（2026·山西太原·一模）计算的结果为______． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如果成立，则x的取值范围是____________； 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）已知：，． （1）代数式的值为______． （2）代数式的值为______． 3．（25-26八年级下·福建厦门·月考）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 1．（24-25八年级下·山东济宁·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是__________． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（    ） A．使式子有意义的是x＞﹣3 B．使是正整数的最小整数n是3 C．若正方形的边长为3cm，则面积为30cm2 D．计算3÷×的结果是3 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 3．（24-25八年级下·山东济宁·月考）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求方程的解． 【经典例题四 分母有理化】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知的整数部分为a，的小数部分为b，则________ ． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）下列二次根式的运算：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦；其中运算正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化：_______． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【经典例题五 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·山东东营·月考）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 1．（24-25八年级下·四川德阳·月考）根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级·全国·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【经典例题六 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 3．（24-25八年级上·福建泉州·月考）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 【经典例题七 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【例2】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则______．______． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 1．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【拓展训练一 二次根式与数轴问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则化简得（　　） A．2 B．2 C．2＋ D．3 【例2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）数轴上A，B两点对应的实数分别是2和，C为数轴上异于A，B的一点，若，则点C对应的实数是______，这三个点表示的数的积为______． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． （1）分母有理化的值为________； （2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值． 【拓展训练二 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【例2】（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________． 1．（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 3．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【拓展训练三 利用分母有理化比较大小】 【例1】（24-25八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 【例2】（24-25八年级下·浙江·开学考试）比较大小：①_______②_______（填＞、＜或=） 1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较与的大小，并证明． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． A基础训练 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 5．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（2025八年级·贵州遵义·模拟预测）化简二次根式______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 9．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：______． 10．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）计算： (1)； (2)+÷ 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 14．（24-25八年级下·河南周口·期中）老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 小丽的做法： ① ② ③ ④ 小明的做法： ① ② ③ ④ 15．（25-26八年级下·河南新乡·期中）我们已学习完全平方公式，也知道所有非负数都可看作是一个数的平方，如，，利用以上知识我们可以解决下面的问题： 例1，求的算术平方根． 解：．则． 例2．求的算术平方根． 解：． 请根据上面的方法化简： (1)_________； (2)______；（直接写出化简结果） (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次根式的乘除重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 分母有理化 题型五 最简二次根式的判断 题型六 化为最简二次根式 题型七 已知最简二次根式求参数 题型八 复合二次根式的化简 拓展训练一 二次根式与数轴问题 拓展训练二 二次根式的乘除综合应用 拓展训练三 利用分母有理化比较大小 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意， B．是最简二次根式，符合题意， C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意， D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简：______． 【答案】 【详解】解： 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式乘法法则，即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2．（2026·湖南益阳·二模）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（2026·河北张家口·一模）若，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：若，则． 2．（2026·山西太原·一模）计算的结果为______． 【答案】2 【详解】解：． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的关键． 逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解． 【详解】二次根式乘法法则：， ，故正确； ，故错误； ，故错误； ，故错误； 故选． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如果成立，则x的取值范围是____________； 【答案】 【分析】结合题意，根据二次根式乘法公式逆运算满足的条件，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】∵成立， ∴， ∴ ∴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·周测）已知：，． （1）代数式的值为______． （2）代数式的值为______． 【答案】 -3 3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，并能利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算. （1）可将代数式变形为完全平方公式后再进行计算. （2）利用平方差公式进行计算. 【详解】解：（1）原式 故答案为： （2）原式 故答案为：3． 3．（25-26八年级下·福建厦门·月考）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，理由见解析 (2)x的值为4 (3)证明见解析 【分析】（1）根据完整平方根的定义，计算出即可判断； （2）由完整根式的定义，，进而即可求出，则，则可求出x； （3）由，可得，，将其代入，计算得，进而即可证明． 【详解】（1）解：是的完整平方根，理由如下： 由题意得， ， ∴是的完整平方根； （2）解：由题意得， ， ∴ ∴，即， ∵为正整数， ∴或， ∴或， ∴； （3）证明：由题意得， ∴， ∴ ， ∵为正整数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数． 【点睛】本题为二次根式新定义题型，以“完整根式”为载体，融合完全平方公式、对应相等、代数变形等知识，考查对新定义的理解与应用，体现化归的数学思想． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），，（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，结果正确，符合题意； B.，结果错误，不符合题意； C.不能进行运算，结果错误，不符合题意； D. 结果错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东济宁·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：．，选项不正确，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项不正确，不符合题意； D．，选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ． （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：5． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（    ） A．使式子有意义的是x＞﹣3 B．使是正整数的最小整数n是3 C．若正方形的边长为3cm，则面积为30cm2 D．计算3÷×的结果是3 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误； B、使是正整数的最小整数n是3，故此选项正确； C、若正方形的边长为3cm，则面积为90cm2，故此选项错误； D、3÷×的结果是1，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键； 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 3．（24-25八年级下·山东济宁·月考）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求方程的解． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则求解； （2）利用二次根式的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得或． 【经典例题四 分母有理化】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求的值，再计算，然后将所求的代数式分子和分母先除以，利用进行化简得出结果．本题是分式的计算，考查了分母有理化及代数式的化简问题，利用特殊方法进行变形，得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知的整数部分为a，的小数部分为b，则________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．由，可得，即可得和，则a和b的值可求，则问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分为8，即， 的整数部分为1，小数部分为，即， ∴ 故答案为：． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）下列二次根式的运算：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦；其中运算正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，分别根据二次根式的性质以及运算法则计算出各小题后再判断即可 【详解】解：①，故①运算正确； ②，故②运算错误； ③，故③运算正确； ④，故④运算错误； ⑤，故⑤运算错误； ⑥，故⑥运算错误； ⑦，故⑦运算错误， ∴运算正确的是①③，共2个， 故选：A 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化：_______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）利用分母有理化进行运算，从而可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【经典例题五 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·山东东营·月考）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由可知，选项中的四个式子中是最简二次根式． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 1．（24-25八年级下·四川德阳·月考）根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：，则不是最简二次根式； ，则不是最简二次根式； 是立方根，则不是最简二次根式； 都是最简二次根式，共有3个； 故选：C． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个． 【答案】2 【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案. 【详解】解： =，=，=，=，=，=，=， ∴，是最简二次根式， 故答案为：2. 【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式. 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【经典例题六 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 3．（24-25八年级上·福建泉州·月考）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式是解题的关键． （1）把等式左边利用配方法配方得到，由此即可求出a、b的值； （2）利用配方法把配方得到，根据得到，则当时，有最小值，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∵代数式的最小值为， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 【例2】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则______．______． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 【经典例题八 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 1．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 【拓展训练一 二次根式与数轴问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则化简得（　　） A．2 B．2 C．2＋ D．3 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质即可确定x的值，代入所求代数式进行化简变形即可； 【详解】解：∵点B关于点A的对称点为点C， ∴AB＝AC． ∴， 解得：， ∴点C表示的数x为， ∴，， ∴， 故选择：D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键． 【例2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）数轴上A，B两点对应的实数分别是2和，C为数轴上异于A，B的一点，若，则点C对应的实数是______，这三个点表示的数的积为______． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式，二次根式的乘法运算法则．先求出长，再根据，即可求出点C对应的实数，再由二次根式的乘法运算法则计算即可； 【详解】由题意知，点C的位置如图所示， A，B两点对应的实数分别是2和， ， ， ， C表示的数为； 这三个点表示的数的积为， 故答案为：，． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】0 【分析】根据数轴确定a，b，c的正负性，再判断（a+c），（b﹣c）得正负性，然后用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：由数轴可知：a＜0，c＜0, b＞0，且 所以：a+c＜0，b﹣c＞0， 原式＝|a|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|b|， ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b， ＝0． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，以及数轴上数的大小比较，运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，解答此题得关键判断a，b，c的符号与大小． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，二次根式的化简，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）根据倒数的定义得到点A表示的数的倒数，再将分母有理化即可解答； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． 故答案为： （2）解：∵的倒数是， ∴点表示的数的倒数为． 故答案为： （3）解：如图，点G表示的数为． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． （1）分母有理化的值为________； （2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意，分子分母都乘以进而即可分母有理化； （2）根据题意得，再代入分式求解即可 【详解】解：（1） 故答案为： （2）依题意可知： ∵点B和点C关于点A对称 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分母有理化，数轴与实数，理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【拓展训练二 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 【例2】（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________． 【答案】15 【分析】本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：15． 1．（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 3．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【拓展训练三 利用分母有理化比较大小】 【例1】（24-25八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， ∴，故②错误； ③∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵ ，故④错误； 综上，①③正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·浙江·开学考试）比较大小：①_______②_______（填＞、＜或=） 【答案】 ＜ ＜ 【分析】本题考查了，二次根式的大小比较，分母有理化，求倒数分母有理化是解题的关键． ①求倒数分母有理化，计算比较即可． ②求倒数分母有理化，计算比较即可． 【详解】①∵， ， ∴ ∴， 故答案为：＜． ②， ， ∴ ∴， 故答案为：＜． 1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较与的大小，并证明． 【答案】，证明过程见解答． 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，实数大小比较，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 将原式进行分母有理化可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：， 证明：将原式进行分母有理化可得：，， ， ， 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 【答案】(1) (2)> (3)> (4) 【分析】本题考查二次根式的化简和分母有理化，利用平方差公式将二次根式的分母变为整数是解题的关键． （1）根据分数的基本性质，将分子分母同乘以，化简即可； （2）根据分母有理化得到，，判断即可解答； （3）根据，，且，即可解答； （4）根据分母有理化将各项化简即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＞ （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ （4）解： ． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． A基础训练 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C正确． 选项D：，D错误． 2．（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． B、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． C、，被开方数是能开得尽方的平方数，∴不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 5．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． B 提高训练 6．（2025八年级·贵州遵义·模拟预测）化简二次根式______． 【答案】 【分析】先得出，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 9．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）计算： (1)； (2)+÷ 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式+ 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 14．（24-25八年级下·河南周口·期中）老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 小丽的做法： ① ② ③ ④ 小明的做法： ① ② ③ ④ 【答案】小明的做法是错误的，错误的步骤是③，改正见解析 【分析】根据二次根式的化简过程解答求解即可． 【详解】解：小明的做法是错误的，错误的步骤是③，分子分母需同时乘以． 改正： ． 15．（25-26八年级下·河南新乡·期中）我们已学习完全平方公式，也知道所有非负数都可看作是一个数的平方，如，，利用以上知识我们可以解决下面的问题： 例1，求的算术平方根． 解：．则． 例2．求的算术平方根． 解：． 请根据上面的方法化简： (1)_________； (2)______；（直接写出化简结果） (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （3）同理得，，再分别代入原式进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即； （2）解：依题意，， ∴； （3）解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $