因式分解题型练习(整体代入求值、非负性求值、判定三角形形状、分组分解法、简便运算)2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学因式分解题型练习清单全面涵盖整体代入求值、平方非负性求值、三角形形状判定、分组分解法、简便运算五大核心应用题型，为学生搭建了从基础变形技巧到综合问题解决的递进式学习支架。 清单通过题型分类整合与方法指导结合的方式呈现知识体系，如“整体代入求值”强调先因式分解再代入的解题策略，“分组分解法”配套拆项添项实例解析，培养学生的数学思维与运算能力。特别设计“巩固练习”模块衔接各类题型，不同层次学生可针对性训练，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

因式分解题型练习(整体代入求值、非负性求值、判定三角形形状、分组分解法、简便运算) 题型1：整体代入求值 · 若先求出每一个字母的值，再代入代数式，则计算比较麻烦.若先对代数式进行因式分解或适当变形，设法整体代入，则可以简化计算 练习1. 1. 已知a－b＝5，则a2－b2－10b的值为( D ). A.5 B.10 C.15 D.25 2. 已知m－n＝5，mn＝4，那么m3n－2m2n2＋mn3＝ 100 ． 3. 若x2－2x＝4，则x4－2x3－8x－6的值为( B ). A．8 B．10 C．16 D．20 4. 已知x－y＝2，xy＝，那么x3y＋x2y2＋xy3的值为 ． 题型2：平方非负性求值计算 · ①任何实数的平方都大于等于0(非负数)，绝对值的计算结果都大于等于0(非负数)，根据平方的计算结果都大于等于0(非负数) ②若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 练习2. 1. 若＋y2－4y＋4＝0，则x＋y的值为 4 ． 2. 若代数式a2＋b2－4a＋8b＋20的值等于0时，a＝ 2 ，b＝ －4 ． 题型3：因式分解判定三角形形状 · 给出三角形三边组成的多项式等式，不用分别求边长，可先因式分解变形式子，推出三边之间的数量关系，再判断是等腰、等边、直角三角形 练习3. 1. 一个三角形的两边长为x，y，且使 x3＋x2y－xy2－y3＝0，则此三角形的形状按边分一定为( A ). A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 2. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a2＋b2)(a－b)－c2(a－b)＝0，则△ABC的形状是( D ). A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，若b2－2b＋c2－4c＋5＝0且a2＝b2＋c2－bc，则△ABC的面积为______ 题型4：分组分解法综合应用 · 多项式项数多，两项、三项常规方法无法直接分解，可先分组，再分别提公因式或套用公式分解 例：在对多项式am＋bm＋an＋bn进行因式分解时，可以把它先分组再分解： 原式＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n). 练习4. 1. 因式分解： (1)－2mnx2＋m2x2＋n2x2－4(m－n)2；(2)4x3－2x2－9xy2－3xy；(3)ac－bc－a2＋2ab－b2 解：(1)(x＋2)(x－2)(m－n)2；(2)x(2x＋3y)(2x－3y－1)；(3)(a－b)(c－a＋b) 2. 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式：x4＋4 解：原式＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2) 例2：分解因式：x3＋5x－6 解：原式＝x3－x＋6x－6＝x(x2－1)＋6(x－1)＝(x－1)( ？ ) 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)上述材料中例2括号中应填入 (x2＋x＋6) ； (2)运用拆项添项法分解因式：x3－x2－4＝ (x－2)(x2＋x＋2) ． 题型5：因式分解简便运算 · 遇到大数乘法、平方数值计算，直接硬算麻烦易错，能用因式分解、平方差、完全平方公式简化计算，不用复杂步骤，分解后就能快速口算得出结果 练习5. 1. 利用因式分解计算： (1)3032－606×297＋2972＝ 36 ；(2) 1.23×512－1.23×492＝ 246 . 2. 计算(－)×(1－) ×(1－)×(1－) ×…×(1－)×(1－)的结果是( A ). A．－ B． C．－ D． 3. 设A＝48×(＋＋＋…＋)，，则与A最接近的正整数是( A ). A．25 B．26 C．27 D．28 巩固练习： 1. 已知m＝－2，则m3＋4m2＋m－1的值为 4－9 ． 2. 因式分解： (1)a3－3a2－4a＋12；(2)a3－3a2＋2a－6；(3)4a2－x2＋4xy－4y2 解：(1)(a－3)(a－2)(a＋2)；(2)(a－3)(a2＋2)；(3)(2a＋x－2y)(2a－x＋2y) 3. 已知m＋n＝5，m－n＝1，求m2－n2＋2m－2n的值． 解：m2－n2＋2m－2n＝7 4. 已知：a＝x＋25，b＝x＋26，c＝x＋27，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值． 解：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝3 5. 按要求解答下列问题： (1)若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y≥2，求m的取值范围； (2)已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2－c2＋ab－bc＝0，请判断△ABC的形状并说明理由． 解：(1)m≤；(2)△ABC是等腰三角形 6. 常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2－2xy＋y2－16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2－2xy＋y2－16＝(x－y＋4)(x－y－4).这种因式分解的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)9a2＋4b2－25m2－n2＋12ab＋10mn. (2)已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2＋b2＋c2－2a(b＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由. 解：(1)(3a＋2b＋5m－n)(3a＋2b－5m＋n)；(2)△ABC是等边三角形. 7. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分剪拼成的一个长方形. (1)用这两个图可以验证因式分解中的哪个公式? (2)若图1中的阴影部分的面积是12，a－b＝3，求a＋b的值. (3)试利用这个公式计算：(1－) ×(1－))×(1－)) ×…×(1－) 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(2)a＋b＝4；(3) 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解题型练习(整体代入求值、非负性求值、判定三角形形状、分组分解法、简便运算) 题型1：整体代入求值 · 若先求出每一个字母的值，再代入代数式，则计算比较麻烦.若先对代数式进行因式分解或适当变形，设法整体代入，则可以简化计算 练习1. 1. 已知a－b＝5，则a2－b2－10b的值为( ). A.5 B.10 C.15 D.25 2. 已知m－n＝5，mn＝4，那么m3n－2m2n2＋mn3＝ ． 3. 若x2－2x＝4，则x4－2x3－8x－6的值为( ). A．8 B．10 C．16 D．20 4. 已知x－y＝2，xy＝，那么x3y＋x2y2＋xy3的值为 ． 题型2：平方非负性求值计算 · ①任何实数的平方都大于等于0(非负数)，绝对值的计算结果都大于等于0(非负数)，根据平方的计算结果都大于等于0(非负数) ②若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 练习2. 1. 若＋y2－4y＋4＝0，则x＋y的值为 ． 2. 若代数式a2＋b2－4a＋8b＋20的值等于0时，a＝ ，b＝ ． 题型3：因式分解判定三角形形状 · 给出三角形三边组成的多项式等式，不用分别求边长，可先因式分解变形式子，推出三边之间的数量关系，再判断是等腰、等边、直角三角形 练习3. 1. 一个三角形的两边长为x，y，且使 x3＋x2y－xy2－y3＝0，则此三角形的形状按边分一定为( ). A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法判断 2. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a2＋b2)(a－b)－c2(a－b)＝0，则△ABC的形状是( ). A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，若b2－2b＋c2－4c＋5＝0且a2＝b2＋c2－bc，则△ABC的面积为 题型4：分组分解法综合应用 · 多项式项数多，两项、三项常规方法无法直接分解，可先分组，再分别提公因式或套用公式分解 例：在对多项式am＋bm＋an＋bn进行因式分解时，可以把它先分组再分解： 原式＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n). 练习4. 1. 因式分解： (1)－2mnx2＋m2x2＋n2x2－4(m－n)2；(2)4x3－2x2－9xy2－3xy；(3)ac－bc－a2＋2ab－b2 2. 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式：x4＋4 解：原式＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2) 例2：分解因式：x3＋5x－6 解：原式＝x3－x＋6x－6＝x(x2－1)＋6(x－1)＝(x－1)( ？ ) 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)上述材料中例2括号中应填入 ； (2)运用拆项添项法分解因式：x3－x2－4＝ ． 题型5：因式分解简便运算 · 遇到大数乘法、平方数值计算，直接硬算麻烦易错，能用因式分解、平方差、完全平方公式简化计算，不用复杂步骤，分解后就能快速口算得出结果 练习5. 1. 利用因式分解计算： (1)3032－606×297＋2972＝ ；(2) 1.23×512－1.23×492＝ . 2. 计算(－)×(1－) ×(1－)×(1－) ×…×(1－)×(1－)的结果是( ). A．－ B． C．－ D． 3. 设A＝48×(＋＋＋…＋)，，则与A最接近的正整数是( ). A．25 B．26 C．27 D．28 巩固练习： 1. 已知m＝－2，则m3＋4m2＋m－1的值为 ． 2. 因式分解： (1)a3－3a2－4a＋12；(2)a3－3a2＋2a－6；(3)4a2－x2＋4xy－4y2 3. 已知m＋n＝5，m－n＝1，求m2－n2＋2m－2n的值． 4. 已知：a＝x＋25，b＝x＋26，c＝x＋27，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值． 5. 按要求解答下列问题： (1)若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y≥2，求m的取值范围； (2)已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2－c2＋ab－bc＝0，请判断△ABC的形状并说明理由． 6. 常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2－2xy＋y2－16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2－2xy＋y2－16＝(x－y＋4)(x－y－4).这种因式分解的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)9a2＋4b2－25m2－n2＋12ab＋10mn. (2)已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2＋b2＋c2－2a(b＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由. 7. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分剪拼成的一个长方形. (1)用这两个图可以验证因式分解中的哪个公式? (2)若图1中的阴影部分的面积是12，a－b＝3，求a＋b的值. (3)试利用这个公式计算：(1－) ×(1－))×(1－)) ×…×(1－) 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $