第38期 5.1 分式及其基本性质 5.2 分式的运算(乘除)（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数学诊 分式的分子与分母 报纸发行质量反馈电话： 查杀分式中的病毒” 都乘（或除以）同一个 分 0351-5271248 不等于零的整式，分式 (上接4版参考答案) 的值不变，这是分式的 间 五、22.(1)①(a ◎安徽朱丽娜 基本性质.现就有关分 的 c)(a-b): 分式的学习中经常会存在一些“病毒”，下 x-2 式的基本性质的题型讲 ②(3+a+3b)(3 面就让我们一起目睹这些“病毒”的真面目吧 错解：因为x+1):-2)=x+1所以要 解如下，供同学们参考. a-3b). 病毒一、对分式的定义理解不透致错 x-2 使分式(x+):-2有意义，则有x+1≠0， 一、分式的变形 (2)因为a2+2b2+ 例1下列各式：ab,t+35+y3 例1在不改变分 界 c2-2ab+4b-6c+13 21 ,4(x2 解得x≠-1. =0. 式的值的情况下，把分 +1).a-62 故选A. 王 中，不是分式的为 a +b 剖析：出现错解的原因是对原分式进行了 0.4a- 题 性 所以(a2-2ab+ 62)+(62+4b+4)+ 错解：因为0-人-(a+6)(a-b) =a- 约分.要注意，在分式中，分子、分母都乘（或除式 2的分子、 (c2-6c+9)=(a- a+b= a +b 以)同一个整式，可能会改变字母的取值范围， 5a+0. b)2+(b+2)2+(c b。-6是整式.所以不是分式的为：”2，子(：在求使分太有意义的字母的取位范因时，必须分母的各顶系数都化成 面 3)2=0. 根据原分式进行求解，而不能先约分再求解 + 整数的形式为： 因为(a-b)2≥0， x-2 正解：要使分式(x+)-2)有意义，则 (b+2)2≥0，(c-3) 益之+1 ≥0， 有(x+1)(x-2)≠0.所以x+1≠0且x-2≠ 分析：根据分式的 所以a-b=0,b+ 0.解得x≠-1且x≠2 剖析：出现错解的原因是对分式的定义理解不 基本性质，将分式的分 2=0,c-3=0. 故选D. 透，分式是一种形式上的定义，不应该在变形或化 子与分母同乘10即可得解 解得a=b=-2,c 简之后去判断，即心上是分式：5+虹的分母足 病毒三、忽略分母不能为0的条件致错 a +b T 例3若分式m1:5的值为零，则m的值 (0.4a- m-5 解：原式= )×10 4a-5b 所以a+b+c= (写a+0.36)x10 2a+3b 而，表示圆周率，是常数，所以+上不是分式 ( -2-2+3=-1. A.-5 B.5 C.±5 D.0 (3)△ABC是等边 正解：2,5，(+1 错解：根据题意，得|ml-5=0.解得m=±5. 故填4a-56 2a+3b 三角形.理由如下： 病毒二、提前约分致错 故选C. 例2不改变分式的值，使分子、分母含 因为2a2=c(2a c)+b(2a-b), X-2 剖析：错解的原因是只考虑了分式的分子 例2要使分式(x+i)-2)有意义，x的值为0，而忽略了分母的值不能为0 项的系数都化为正数，则二2x+2 = -x-3y 所以2a2=2ac-c 的取值应该满足 ( 解：根据题意，得1m-5=0,m-5≠0.解 分析：先将原分式的分子与分母都提取负 +2ab-62. A.x≠-1 B.x≠2 得m=-5. 整理，得2a2-2ac 号，然后根据分式的基本性质，将分式的分子 C.x≠-1或x≠2 D.x≠-1且x≠2 故选A. +c2-2ab+b2=(a2- 分母同除以-1即可得解 2ac+c2)+(a2-2ab+ 第37期2版参考答案 二、11.2x2(2y+3)(2y-3)；12.y+4; 2x-y 62)=(a-c)2+(a 4.1因式分解 13.x2+2x:14.154;15.20. 解原式2动 x+3y b)2=0. 基础训练1.B;2.A; 三、16.(1)(x-y)(a+b)(a-b); 所以a-c=0,a- 3.x2+6x+8=(x+4)(x+2) (2)(x+2)2(x-2)2. 故填， b=0. 4.连线略 17.(1)39.6:(2)6760. 二、判断分式的值的情况 5.256-50能被24整除.理由如下： 18.a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2 所以a=c,a=b. 256-50=52-50=50(52-1)=510× -(2a)2=(a2+2+2a)(a2+2-2a). 例3若将兰中的字母a,6的值分新 所以a=b=c. 所以△ABC是等边 24. 四、19.(1)平方差公式和提公因式，提公 大为原来的3倍，则分式的值 三角形. 所以256-510能被24整除 因式 (2)x2-6xy+9y2-3x+9y=(x-3y)2 A.扩大为原来的3倍 23.(1)①(3x 4.2提公因式法 基础训练1.A;2.B;3.-5. 3(x-3y)=(x-3y)(x-3y-3). B.缩小为原来的) 2)(x-3): 20.（1)提公因式法 ②(b+2)(b-2)(b 4.(1)6a2b(2ac2-3b); (2)n,(1+x)n+1. C.缩小为原来的兮 +3). (2)3(x-y)(x+4y); (3)2y(2m-n). (3)原式=(1+x)4[1+x+x(1+x)+x(1 (2)(x-1)(x+ +x)2+x(1+x)3] D.不变 4.3公式法 2)(x-3)(x+4)+9 =(1+x)4(1+x)4 分析：此题考查分式的基本性质，解题的关 基础训练1.B;2.D: =(x2+x-2)(x 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =(1+x)8 键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题应首 +x-12)+9 4.(1)2ab(b+3a)(b-3a); 21.(1)因为a2+6a+9=(a+3)2,所以多 先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再 =(x2+x)2 项式a2+6a+9是“双一次可分解式”. (2)(x+3;(3)(m-2)(m+2). 与原式比较，最终得出结论.依题意分别用3a和 14(x2+x)+33 (2)因为m(x-y)+n(y-x)=m(x-y) 3b去代换原分式中的a和b,利用分式的基本性 =(x2+x-3)(x3 5.(1)① -n(x-y)=(m-n)(x-y),所以多项式m(x +x-11). (2)原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) -y)+n(y-x)是“双一次可分解式” 质化简即可. 当x2+x=4时，原 解：将a,b的值分别扩大为原来的3倍后的 =(4x+4y)(2x-2y) (3)设另一个因式为mx+3. 式=-7. =8(x+y)(x-y). 所以(mx+3)(x+2)=mx+2mx+3x+ (3)p的所有可能 第37期3,4版参考答案 6=mx2+(2m+3)x+6=mx2+5x+6. 分式为品治=3》=片“所以分 9ab Γ3ab 的值为-7，-2,2,7. 所以2m+3=5. 题号12345678910 式的值缩小为原来的} (全文完) 解得m=1. 答案DD B C D C A B D C (下转1,4版中缝)1 故选C. 数理极 2026年3月18日·星期三 初中数学 第38期总第1182期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-204 专题辅导： 恋周进 不等式和分式“手牵手” 5.1分式及其基本性质 5.2分式的运算（乘除） 广东李哲宇 学习目标：1.了解分式的概念，会判断 一、不等式“牵手”分式有意义的条件 二、不等式“牵手”分式的值 个代数式是不是分式. 2.能判断分式有意义及分式的值为0的 例1 若分式 ·在实数范围内有意义， 例3若分式，十3的值为负数则：的取值 条件. 则实数x的取值范围是 ()范围是 3.掌握分式的基本性质，了解最简分式 A.x>-1 B.x<-1 分析：直接利用“分式的值为负数”结合偶 的概念 C.x=-1 D.x≠-1 次方的性质得出x的取值范围 4掌握分式的乘法、除法和乘方法则，并 分析：根据分式有意义的条件即可得解. 能熟练进行分式的乘除混合运算」 解：因为分式于3的值为负数，所以> 解：根据题意，得x+1≠0.解得x≠-1. 0,x+3<0.解得x<-3. 一、分式的分子、分母 故选D. 故填x<-3. 都是单项式的乘除运算 例2使式子5：2 +4式+6有意义的x的取 三、不等式“牵手”分式的基本性质 例1计算-20.2 x+8 b 值范围是 ( 例4若等式3=24从左到 分式的乘除运算 的正确结果是 A.x≠-6且x≠-4 右变形成立，则x的取值范围是 () A.2 B.26 B.x≠-6且x≠7 A.x>8且x≠3 C.-26 D.-2ab2 C.x≠7且x≠-4 B.x=-8 解：原式=-2b. C.x<8 江 故选C D.x≠7且x≠-6且x≠-4 综合赏析 D.x≠-8且x≠3 西 分析：利用分式的除法法则将除法转化为 例2 计算： ÷ 分析：根据分式有意义的条件和分式的基 -6z2 乘法，根据分式有意义的条件求解即可 本性质求解即可， 向明 -3x23 解+房十6=号根裙题 x+8 x+8 解：x-3=+5x-24(x-3)(x+8 解：原式= -6z3 意，得x+4≠0且x+6≠0且x-7≠0.解得根据题意，得x-3≠0且x+8≠0.解得x≠3 x≠-4且x≠-6且x≠7： 2a 且x≠-8 -3x=9y 故选D 故选D. 十一十4十4十一 二、分式的分子、分母中含有多项式的乘除 重点精进 运算 例3 计算，心，1·】4的结果为 a2-2a+1a2+a 勇闯分式求值关 A.、1 D. 解：原式=a+1)(a.1-a ©吉林刘承允 a(a+1) 分式的求值题多种多样，有的可以直接求 (a-1)2 为 值，有的需要根据已知条件求出字母之间的关 A. C.2 系，再代入分式求值.下面让我们一起来闯关 0.2 故选A. 吧！ 分析：引入参数k,用含k的式子表示a,b,c, 例4计算+4x+4:+2的结果是 第一关：运用等式的基本性质求值 代入待求式即可得解 x2-4 x-2 ( 例1若，1广则分式23 解：设号=台=异=k则a=2,6=3, y +xy-x A. B.x+2 的值为 （）。=4k.所以“+0=+⊙== 4k .x-2 A- 9 (x+2)2 B.-1 解：原式= +2)(x-2)x(x+2) c D- 故选B. 分析：运用等式的基本性质将已知条件变 第三关：结合因式分解求值 故选A 三、分式的乘除混合运算 形得y-x=3y,整体代入待求式即可得解. 例3如果-6y+9y=0,则+的值 5化简心 a ab.a 的 解：因为y=13x所以y-x=3 结果为 ( 所以2x-3y-22=2×(-3xy）-3= 分析：利用完全平方公式因式分解得到(： y+xy-x a 3xy +xy a+6D.63 -3y)2=0,则x=3y,代入待求式即可得解. A.- B.- a-b a+b 解：因为x2-6xy+9y2=(x-3y)2=0,所 解：原式=a(a+b)(a-b) .62 以x=3y (a-b)2 a(a +b) 故选A. 第二关：引入参数求值 5=a-6 所以+影器 故选A 例2已知号：台：÷≠0，则的值 故填) 素养专练 A 数理极 A.缩小为原来的0 x+2 (3)2-6x+9 1.x-3 跟踪训练 ÷3-xx+2 B.扩大为原来的10倍 GENZONGXUNLIAN C.缩小为原来的0 5.1分式及其基本性质 D.不变 5.1.1分式 4.约分： 屋础训练 (1)6m2n (2)- a2-4b2 3mn2 2+4ab+4b2 1.下列代数式中，是分式的是 ( 1 A.2026 B.t+1 5.以下是小茗同学化简分式m4 2 m2-4m+4 c品 D.x-2026 2的运算过程： 2- 2.若分式6的值为负数，则x的取值范围 解：原式= m2-4 2-m m2-4m+42 ① x2+4 是 ( ) 5.已知三个整式x2+4x,4x+4,x2,从中选出 =(m+2)(m-22.2-m ② (m-2)2 2 A.x为任意数 B.x<3 两个作为分式的分子与分母，要求这个分式不是 C.x>3 D.x<-3 最简分式，并对这个分式进行约分 =m+2 2 ③ 3当=-2时，分式考号号的值为 (1)上面的运算过程中第 步开始出 现了错误； 4.下列分式中的字母满足什么条件时，分式 (2)请你写出完整的解答过程 有意义？ (1)m-4 (2)21x1+7 (3)-20-b a+b (4)-6r+9 x2-5x+6 5.2.2分式的乘方 垦础训练 5.2分式的运算（乘除） 5.某市对一段全长为1500米的道路进行改 5.2.1分式的乘除 1计算()：的结果是 造，原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市 交通所造成的影响，实际施工时，每天修的路比原 垦础训练 B.4a3 C.ta c2 D.a 2c2 计划的2倍还多30米. (1)用代数式表示修这段路实际用的天数， 1.计算3x.1的结果是 x-y 3y ( 2已知(-a:(2=27,则a的值为 并判断所列出的代数式是整式还是分式； (2)若x=135,求实际修完这段路用的天数 A.2 B.a C.-Y D.- y 3.计算： 2若，，产运第的结果为整式则 (1)(y-)2.2￥； x-y x2y “口”中的式子可能是 () A.y-x B.y+x C.2x D.I 3.若M+二=上，则M= (x-y)2 y 4.计算： , 2+第品 5.1.2分式的基本性质 3a26 垦础训练 1.下列分式中，是最简分式的是 A32 B.Y-2 4xy x2-4 C.+2 D.,2-x x+y “x2-4x+4 （2)2生.÷10 2华式号成业的件是( 3y26x21x A.x≠3 B.x≠±3 C.x>3 D.x≠-3 3.如果把分式+Y中的x,y同时扩大为原来 xy 数理报社试题研究中心 的10倍，那么该分式的值 ( )t (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.(10分)甲、乙两个工程队合修一条公路， 同步检测 已知甲工程队每天修(a2-4)m,乙工程队每天修 (a-2)2m(其中a>2),则甲工程队修900m所用 的时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？ ● TONGBUJIANCE 【检测范围：5.1~5.2（乘除）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） (写出一个即可). 题号1 2345 6 7 8 12.已知()2÷()2=3，则xy的值为 答案 1.下列代数式中，是分式的是 ( 13已知分式1乘一个分式后结果为 A. B.2 C.x+y D.2x (1-,那么这个分式为 2化的结果为 x2 ( 14.当x= 时，+16-8x.4+16 x2-16 x2-4x 11分)约法指数：号-片 A.-1 B.+1 x+1 x-1 的值是正整数 53+235+2 C.-1 D.2x-1 三、耐心解一解（共44分） 5+3=5+3.你见过这样的约分吗？面对这 3计第（学2…品的结果是 15.(8分)约分： 荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果 ( 竟然正确！这是什么原因呢？仔细观察式子，我们 A.m B.m2 C.m3 (1)x+g D.3m x2- a3+b3 ,并证明 4.如果一个分式的分子或分母可以因式分 可作如下猜想。+a-b) 解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为 此猜想的正确性. “和谐分式”.下列分式中，是和谐分式的是() 提示：a23+b3=(a+b)(a2-ab+b2). A.y B.ty (x+y) x2-y 0.-22 x2-y2 D.2 x2+2 5.下列各式变形正确的是 (2)m2+4+4m 2m+m2 A.二x+y=龙+y -x-yx-y B.20-2b=a-b c+dc+d c.0.2a-0.03b-2a-36 “0.4c+0.05d=4c+5d 附加题⊙ 82- 16.(12分)计算： (以下试题供各地根据实际情况选用) 6.若：为监致则度分式228·的值 1.(10分)已知abc=1,不改变分式的值，使 2x2 422 分r的分与c的 1 1 为整数的x的值有 ( A.2个 B.3个 分母相同. C.4个 D.无数个 7出吉的计结果是经式，则 “口”中的式子可能是 ( N2-1 1 B.x2-1 (2)(吧)·0÷(-2)： m C.x2-x D.x-1 8.如图是一个长、宽、高分 别为a,b,2r的长方体纸盒装满 了一层半径为r的小球的平面 2.(10分)若x2+xy-2y2=0且2x+y≠1， 图，则纸盒的空间利用率（小球 求分式+3y+y-=Y的值 4 总体积与纸箱体积的比，V=3π)为（ 2x2-xy -y2-x+y x3-9x x3-3x2 A.T B等 c罗 D.T 3)+2+2x-3+5x+6 2x 6 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.要使分式，6)有意义，则：器满足的条件 10,若号=子则分式”。的值为 11.已知三张卡片上分别写有：6，x-1,x2-1 数理报社试题研究中心 从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 (参考答案见下期)