3.6 利用导数研究恒(能)成立问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦利用导数研究恒（能）成立问题，覆盖分离参数法、分类讨论法、双变量问题及极值偏移四大高考核心考点，按从单参数到双变量、基础方法到复杂问题的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破导数应用难点。 资料以分层练习设计和真题情境对接为特色，采用问题链引导学生深化数学思维，如在极值偏移问题中通过构造对称函数培养逻辑推理能力，在双变量问题中指导变量代换转化提升数学语言表达。设置基础巩固与综合应用训练，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

3.6 利用导数研究恒(能)成立问题 考点一　分离参数法求参数范围 考点二　分类讨论法求参数范围 考点三　双变量恒(能)成立问题 考点四　导数中的极值偏移问题 考点一　分离参数法求参数范围 1．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 3．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 4．（24-25高三上·北京·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 5．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 考点二　分类讨论法求参数范围 7．（25-26高三上·湖北恩施·阶段检测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 8．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 9．（25-26高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为__________． 10．（2026·重庆·三模）对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 12．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，恒成立，求实数． 考点三　双变量恒(能)成立问题 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 14．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 16．（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 考点四　导数中的极值偏移问题 17．（2026·湖南·一模）已知函数和的定义域均为，其中. (1)求的极值. (2)若，使得. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 18．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 19．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 20．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 22．（25-26高三上·河南许昌·期中）已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 23．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，若有两个不等实根，，求证：． 1．（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（2026·福建泉州·三模）当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·期中）若在上单调递增，则实数最大值是（     ） A． B． C．1 D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 6．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 7．（25-26高三上·福建福州·期中）已知函数，，若，且，则的最大值为______. 8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 9．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值； (3)已知，当时，函数恰有两个不同的极值点，证明：． 10．（25-26高三上·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 11．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 13．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 14．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 15．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 16．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 利用导数研究恒(能)成立问题 考点一　分离参数法求参数范围 考点二　分类讨论法求参数范围 考点三　双变量恒(能)成立问题 考点四　导数中的极值偏移问题 考点一　分离参数法求参数范围 1．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的单调增区间为；单调减区间为； 当时，的单调减区间为；单调增区间为； 当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为；单调减区间为； (3) 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【详解】（1）当时，得到，则， ，则， 所以切线方程为，即. （2）由题意得， 可得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数即可求出切线方程； （2）根据导数分类讨论的取值范围，得到函数的单调性即可求解；或者分离参数，利用函数的单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，得， ，则 ， 所以切线方程为：，即 ； （2）解法一：， 当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增， 成立，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，所以 成立，符合题意； 当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在区间上有 ，不符合题意， 综上所述，的取值范围是． 解法二：当时，恒成立，等价于“当时， 恒成立”， 即在上恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以恒成立， 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以，所以， 综上所述，的取值范围是. 3．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 4．（24-25高三上·北京·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到的取值范围. 【详解】因为在单调递增， 所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 5．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于的不等式有解，等价于，令，然后对求导，利用导数求得的最小值即可. 【详解】关于的不等式有解，等价于. 令，则. 令，则，在单调递增， . 令，得. 增 极小值 减 ，，故的最小值为. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 考点二　分类讨论法求参数范围 7．（25-26高三上·湖北恩施·阶段检测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 8．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数对进行分类讨论，时导数恒正，单调递增，且时，必然存在x使得成立；时通过单调性分析得到极大值点，求出满足条件的的范围；时，最大值为，不满足条件，合并符合条件的a的取值范围； （2）利用（1）的结论转化不等式为在内恒成立，构造函数并求导，按分情况讨论，进而合并符合条件的b的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 时：若，则，故恒成立，在上单调递增； 当时，，必然存在x使得成立，符合要求； 时：令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 要存在使得，需满足，解得； 当时，的最大值为，恒成立，不符合题意； 综上，a的取值范围为． （2）由（1）可知时，的最大值， 在上恒成立， 在定义域内恒成立，等价于在内恒成立， 令，则，求导得， 当时，，则，故，在上单调递增， ，满足在内恒成立，符合要求； 当时，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 在处取得最小值：， 令，求导得， 故在上单调递减，，即， 存在使得，不符合要求； 综上，b的取值范围为． 9．（25-26高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先对原不等式整理变形，分和两类讨论参数的符号，时构造函数求导分析单调性，发现趋向负无穷时有无穷多个整数解，舍去；时同构构造函数，求导借助辅助函数判定在单调递增，算出的函数值，结合不等式仅有两个整数解为1，2，进而锁定的取值范围. 【详解】由题意得，，不等式化简整理得，即． 当时，，且. 令，所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，所以在上单调递减. 当，此时不等式有无穷多个整数解，不符合题意； 当时，，且. 令，所以. 记，则，所以在上单调递增. 所以，即，所以在上单调递增. 因为，且不等式有且仅有2个整数解，则这2个整数解为. 所以，即. 10．（2026·重庆·三模）对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】双变量不等式恒成立，先对一个变量求导分析求最值，再对另一个变量分析，即可得到参数范围. 【详解】原不等式对，恒成立，移项整理得： 我们先将看成常量，把不等式看作关于的函数， 令，， 求导得：， 当时， 因为，，所以， 即在上单调递减， 又因为当时，，所以不可能恒成立，即被舍去； 当时， 由时，，则在上单调递减， 由时，，则在上单调递增， 所以， 要对，不等式恒成立， 则，解得，所以实数的取值范围是. 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 12．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，恒成立，求实数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值； （2）由（1）及零点存在定理可得当时，恒成立；再通过导数的正负判断单调性，得的极小值为，继而按、、及分类分析判断的符号，最终得到答案. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，导函数， 令，因为，所以是增函数 又， 故当时， ，单调递减；当时，，单调递增. 即的单调递减区间为，单调递增区间为． 当时，函数取极小值，且极小值为． （2）因为，，， 所以由（1）及零点存在定理知， ，，使，，即，． 故 且当时，，即，即， 从而 ， 当时，，即 ，即， 从而， 当时，，同理可得， 故当时，恒成立． 又，而在内单调递增，且， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的极小值为， 若，则在上恒成立， 当时，，不成立，不符合题意，舍去； 若，由零点存在定理知， ，，使， 且当或时，，当时，， 若， 则，当，，不合题意，舍去； 若， 则，当，，不合题意，舍去． 综上所述，． 考点三　双变量恒(能)成立问题 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 14．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导代入得到斜率，再求出切点坐标，最后写出点斜式方程即可； （2）分和讨论即可； （3）分和讨论即可. 【详解】（1）∵，切点为， ∵， 则曲线在处的切线方程为. （2）， 等价于， 则使得成立，只需， ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上有最小值， ， 即对恒成立， 令，即， ，， ①当时，，所以单调递增， 在，不符合题意， ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）因为，令， 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，且， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，由，得，则， 因此，即． 综上可知． 16．（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 【答案】(1) (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为； (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分、与讨论函数单调性，并根据单调性结合极值点定义计算即可得； （3）令，可得关于的方程有两根，设为、，则有，，借助比值换元及作差运算可得，计算可得取最大值时，也取得最大值，即可构造函数，求出使得取最大值时的的值. 【详解】（1）， 则有，解得； （2）当时，，则， 令，则， 当时，，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，恒成立，故在上单调递减， 又，当时，， 故存在，使得， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时有唯一极值点； 当时，若，，若，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 令，则在上单调递减，又， 故当时，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，，又， 当时，， 故存在、，使得， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故此时存在两个极值点、； 综上所述：当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； （3）若，则，令， 即，令，则， 令，则， 若，则，即单调递增，不可能有两个零点，不符； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得有两个零点，则， 即有，又时，，时，， 故此时有两个零点，设为、，且，则，， 有，， 作差得， 令，则，则， 即，则， 由，可得， 则，即， 又，故， 令，则，故单调递减， 则，故，则恒成立， 令，则， 令，则，故单调递增， 则， 即对任意，恒成立， 且越大，越小，即越大， 由，则也会越大， 因此的最大值与的最大值可同时取到， 即当取最大值时，也取得最大值， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，取得最大值， 即取最大值时，的值为. 考点四　导数中的极值偏移问题 17．（2026·湖南·一模）已知函数和的定义域均为，其中. (1)求的极值. (2)若，使得. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极小值是，无极大值. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分和两种情况讨论的单调性，从而得到其极值； （2）（i）当时，由得，构造函数，利用导数分析其单调性，可得的取值范围，从而得到的取值范围；（ii）利用的几何意义，得，对不等式进行放缩，并构造函数，，利用导数分析其单调性，并得到其最小值，从而证得. 【详解】（1），. 当时，，函数在上单调递增，既无极大值也无极小值； 当时，令，得. 若，，函数单调递减；若，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值是，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数的极小值是，无极大值. （2）（i）当时，由得，即， 令，则. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 因时，， 所以且，即或， 所以的取值范围是. （ii）设方程的正实数根为，则， 即点为直线上一点，表示点到原点的距离， 显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则，即. 又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 18．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 19．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 20．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）证明：由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值． （2）分类讨论不同取值下需满足的条件，最后取并集. （3）利用函数对称性，将转化为证明，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得． 【详解】（1）， 令，所以，解得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令， 则， 令，则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点， 且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． （3）当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为， 所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 【点睛】规律总结  极值点偏移问题的解法： （1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性证得不等式． （2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 22．（25-26高三上·河南许昌·期中）已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）分离参数后构造函数，转化问题为直线与的图象有两个交点，利用导数分析单调性和最值可得； （3）类似极值点平移问题，先由单调性得到，构造函数，，求导分析单调性后可得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为； （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 23．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，若有两个不等实根，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先设，将变为，将问题转化为有两个不相等实根，利用导数求出的单调性，进而找到，再将问题转化为，再令将问题转化为证明不等式，构造函数借助导数证明即可. 【详解】设，，则， 则有两不等实根，（不妨设）， 要证，只要即可；又， 令，解得， 所以时，，单调递增；时，单调递减； 所以， 方程要有两个不等实根，则，即，且， 下面证明，由，两式作差得（①）， 作和得（②）， 由①②两式化简可得， 若要证明，只需证明， 只需证明，只需证明， 令，即证明， 只需证明， 令， 令，解得，故，单调递减， 所以，故不等式成立，从而原不等式成立. 所以得证，所以，所以． 1．（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意的，，因为，令，，则问题转化为对任意的，恒成立，构造函数，，求导，利用导数分析的单调性，求出最大值即可求解． 【详解】对任意的恒成立，即对任意的，恒成立， ， 令，，，则对任意的，恒成立， 令，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以的最小值为. 2．（2026·福建泉州·三模）当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，把问题转化为，，对分与讨论；从而存在满足条件的充要条件是：；接着再对作分类讨论，得到满足条件的. 【详解】因为当时，，得， 令，且，则，即， 所以， 当，，恒成立； 当，，得， 所以； 当，，得， 所以； 所以，存在满足条件的充要条件是：， 令，，则转化为， ， 当，，则在单调递减，，矛盾； 当，令，得, ​当，即，此时，则在单调递增， ，满足条件； 当，即，此时在单调递减，在单调递增， ，，所以， 所以，，因为， 所以，满足条件； 当，即，此时在单调递减，在单调递增， ，，但， 与矛盾； 当，即，则，则在单调递减，，矛盾； ​综上所述， 3．（25-26高三上·重庆·期中）若在上单调递增，则实数最大值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】分析可知，恒成立，可知对任意的，，参变量分离得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，则， 由题意可知对任意的，恒成立， 因为，故只需对任意的，， 参变量分离可得，构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，所以，即当时，， 由可得，由可得. 所以函数在上递减，在上递增， 所以，故的最大值为. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时． 所以函数的值域为， 即的取值范围是． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【分析】对求导，由极值点的定义可判断A；将转化为，求出的取值范围可判断B；要使有两个零点，则即可判断C；利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则， 则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点， 所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 6．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 7．（25-26高三上·福建福州·期中）已知函数，，若，且，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据的单调性及特殊值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，即， 所以的最大值为. 8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 9．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值； (3)已知，当时，函数恰有两个不同的极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，分类讨论，，三种情况，判断导数的正负进而得出单调性； （2）结合（1）的单调性，由恒成立，得出函数的最大值，列出不等式，再构造函数求解； （3）由题，设，则是方程的两个不同的实数根，构造函数，由导数分别得出和即可证明． 【详解】（1）， ①当时，，则在上单调递减， ②当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； ③当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）①当时，在上单调递减，且， 所以当时，，不合题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 又，时，，时，， 所以当时，，满足题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，不合题意； 综上所述，． （3），则， 令， 设，则是方程的两个不同的实数根， 则，令， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ，， 由于，且的极小值，当时，当时， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以在区间内，由于且递减，要使，必有， 在区间内，由于且递增，必有， 所以， 设，则， 令， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即， 因为是方程的根，所以，代入不等式得：， 由于，则， 下面证明，那么就有， 由，令，， 则， 因为，，，所以， 所以在上单调递增，又， 因此当，，即， 由于且在上单调递增，且， 所以必有， 所以． 10．（25-26高三上·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】方法归纳：研究时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为，通过研究函数的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式，属于极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量，构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的单调性与最值完成证明. 易错归纳：求解过程中易忽略定义域的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂. 11．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)1 (3) 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可； （2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值； （3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. （3）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. (2)． 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 13．（25-26高三上·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，极大值点为0 (2) 【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，进而得到函数的单调性，再求解极值点即可； （2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 14．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0个 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导得，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得； （2）构造，利用导数证明在上恒成立，即可证； （3）问题化为，上，，应用导数求它们的区间最大值，即可求. 【详解】（1）由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； （2）令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； （3）由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 15．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 16．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间； （2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论，进而确定的极小值点，再建立 关于极小值点的二次不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，因此：时，， 时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由可知， ①当时 若，由于， 当时， ，而. 故存在使得. 若，，取 ，，满足题意. ②：当时，令，则，时，， 故在递增，且最小值为， 由，方程在上有唯一实根， 使得，则为的最小值点. 根据题意需满足： ， 代入： ， 则 ，整理得 ， 解得：或. 由，得：当 时，. 当 时，. 综上所述，的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $