第17讲 导数中的恒（能）成立及不等式的证明讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的恒（能）成立及不等式证明核心考点，按基础知识点梳理、题型方法指导、例题精讲、分层练习的逻辑架构展开，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破导数综合问题难点。 讲义突出解题方法的创新性，如单变量恒成立问题采用必要条件探路法缩小参数范围，培养学生数学思维中的推理能力与创新意识。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保高效复习效果，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第17讲 导数中的恒（能）成立及不等式的证明 题型一 导数中单变量恒成立问题 1 题型二 导数中单变量能成立问题 4 题型三 导数中双变量恒（能）成立问题 5 题型四 导数中双函数恒（能）成立问题 6 题型五 导数中不等式的证明 7 课时精练 9 【基础回顾】 知识点1：利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 知识点2：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 知识点3：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 题型一 导数中单变量恒成立问题 【解决方法】： 方法1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 方法2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 方法3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 方法4、必要条件探路法 必要性探路法是求解带参数的恒成立问题的重要法宝.我们在解决问题时,先从满足题意的自变量范围中选择一个数,代入求得一个参数范围,此时这个范围是题意的必要条件.之后再设法证明该必要条件是题意的充分条件,或者讨论别的点.若充分性成立,则该范围就是题目所求范围.这种方法是逻辑条件的充分运用,因为先得到必要条件,故称为必要性探路法. 基本步骤： （1）探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. （2）证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 注意:这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.　　 方法5、端点效应： 又名充分必要法，是必要条件探路法的特殊情况： 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区间上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区间上,恒成立,且（或,）则（或）. 【例题精讲】 1．函数，若恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若，恒成立，则的最大整数值为（ ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 9．已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 10．设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 题型二 导数中单变量能成立问题 （1），； （2），． 【例题精讲】 1．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意x∈[0，4]，恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．[7，+∞） B． C． D． 4．设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 9．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 10．已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为_______. 题型三 导数中双变量恒（能）成立问题 一个函数，两个变量。主要为齐次化消元，同构消元，对称化消元。 【例题精讲】 1．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知有两个不同的极值点，则下列说法不正确的（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 9．（多选）已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 10．（多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 导数中双函数恒（能）成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【例题精讲】 1．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 2．已知函数，若，则可取（    ） A． B． C．1 D． 3．已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若函数，，存在、使得，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在 D．存在，使得当，时，的值随着、的增大而增大 6．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 9．已知函数，，若，且，则的最大值为______. 10．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 题型五 导数中不等式的证明 1．已知函数f（x）＝ex+1﹣eln（x+a）+b﹣2在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（1﹣e）x﹣y+1﹣e＝0． （1）求a，b； （2）证明：f（x）+1＞0． 2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）+1． （1）求f（x）的单调区间； （2）当a≤2时，证明：当x＞0时，f（x）＜ex恒成立． 3．设函数f（x）＝e2x﹣2ax． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）证明：当a＞0时，． 4．已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证f（x1）+f（x2）＜﹣16+16ln2 5．设a、b为实数，且a＞1，函数f（x）＝ax，g（x）＝bx﹣e2． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）当b＝lna时，证明：f（x）≥g（x）+e2+1； （3）若曲线y＝f（x）与直线y＝g（x）有且仅有两个交点，求的取值范围． 6．已知函数f（x）＝memx﹣1﹣lnx（m＞0），其图像在处的切线的倾斜角为钝角． （1）求m的取值范围； （2）证明：； （3）证明：，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）． 注：ln2≈0.69． 7．已知a≠0，函数f（x）＝ax﹣a2lnx． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a2﹣a3． 8．设函数． （1）a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值． （2）讨论f（x）的单调性． （3）当a＜0时，证明：． 9．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（a∈R）． （1）设x＝1是f（x）的极值点，求a，并求函数f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）≥2+a． 10．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex，， （1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间． （2）求证：． （3）令h（x）＝f（x）﹣g（x），若对任意不同的x1，x2∈[1，e]，都有|h（x1）﹣h（x2）|＜3|x1﹣x2|，求实数a的取值范围． 课时精练 一、单选题 1．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 5．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（多选）对于函数，下列选项正确的是（    ） A．函数有三个零点 B．是函数的极小值点 C．点是曲线的对称中心 D．，成立，则 11．（多选）已知函数,则下列说法正确的是(       ) A．.若，则 B．若存在，使得，则 C．若有两个零点，则 D．若有两个零点，则 三、填空题 12．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 13．已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________． 14．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围． 16．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 17．已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直． (1)求的最值； (2)若对任意实数，有恒成立，求整数的最大值． 19．已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 导数中的恒（能）成立及不等式的证明 题型一 导数中单变量恒成立问题 1 题型二 导数中单变量能成立问题 8 题型三 导数中双变量恒（能）成立问题 14 题型四 导数中双函数恒（能）成立问题 23 题型五 导数中不等式的证明 31 课时精练 47 【基础回顾】 知识点1：利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 知识点2：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 知识点3：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 题型一 导数中单变量恒成立问题 【解决方法】： 方法1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 方法2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 方法3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 方法4、必要条件探路法 必要性探路法是求解带参数的恒成立问题的重要法宝.我们在解决问题时,先从满足题意的自变量范围中选择一个数,代入求得一个参数范围,此时这个范围是题意的必要条件.之后再设法证明该必要条件是题意的充分条件,或者讨论别的点.若充分性成立,则该范围就是题目所求范围.这种方法是逻辑条件的充分运用,因为先得到必要条件,故称为必要性探路法. 基本步骤： （1）探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. （2）证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 注意:这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.　　 方法5、端点效应： 又名充分必要法，是必要条件探路法的特殊情况： 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区间上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区间上,恒成立,且（或,）则（或）. 【例题精讲】 1．函数，若恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0. 【详解】， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， ∴. 故选：C. 2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立. 【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以， 则的取值范围为. 故选：B 3．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 4．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由 . 故选：C 5．函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性与单调性转化不等式 【详解】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， 不等式 可转化为 ， 所以. 6．若，恒成立，则的最大整数值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定时的情况，当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可. 【详解】当时，，不等式成立，； 当时，恒成立，即， 令，则， 令，，则， 则在上单调递增，所以，即. 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以； 综上，故的最大整数值为. 7．已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对不等式进行变形，构造函数，通过分析函数的单调性，结合不等式有且仅有3个整数解可得实数的取值范围. 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 8．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】1 【详解】因为对于任意，不等式恒成立，即， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，恒成立， 当时，令，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在上单调递减，又因为，所以，不满足恒成立. 综上,.所以实数的最大值为. 9．已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为，且时（从下方趋近于0）， 题中条件，等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 因此的最小值为. 10．设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】同构变形给定不等式，构造函数并利用导数确定单调性建立不等式，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式 由，得，令函数，求导得， 函数在上单调递增，不等式 ，令函数，依题意，对，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以的取值范围是. 题型二 导数中单变量能成立问题 （1），； （2），． 【例题精讲】 1．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数存在减区间,则有解可求解. 【详解】由题可知, 因为函数存在减区间,则有解, 即有解, 令,, 令,解得 ; 令,解得 , 所以在单调递减, 单调递增, 所以, 因为有解,所以, 解得. 故选:D. 2．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 3．已知函数，若对任意x∈[0，4]，恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．[7，+∞） B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，当x∈[0，4]，恒成立， 因为函数， 即恒成立， 令，x∈[0，4]， 则g′（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）， 令g′（x）＞0，得0＜x＜2，令g′（x）＜0，得2＜x＜4， 所以g（x）在（0，2）上递增，在（2，4）上递减， 所以， 所以m≥7， 故m的取值范围是[7，+∞）． 故选：A． 4．设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图像，要求的最大值，即求直线斜率的最大值. 【详解】， 令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 根据题意，存在2个整数解使得， 则函数与直线的图像有2个横坐标为整数的交点，直线必过点， 函数在处的导数，则切线方程为且经过点， 即此时直线与相切，此时，又因为， 分析图像可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大， 即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得. 故选：C. 5．已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 6．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【详解】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 7．已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得时的值域是时值域的子集，根据二次函数的性质求出在上的值域，利用导数对进行讨论求出在上的值域，最后利用包含关系列出不等式即可求解. 【详解】当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递减， 则 ，即的值域为. 当时，，. 当时： 恒成立，故，在上单调递增， 当时，；当时，， 因此的值域为，显然包含，满足条件； 当时： ，值域为，取不到，不满足条件； 当时： 时，，单调递减；时，，单调递增. 最小值为，要让值域包含，只需最小值， 即满足条件. 综上：的取值范围是. 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 【答案】 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 9．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 10．已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为_______. 【答案】 【分析】的问题转化为，讨论的符号，分离参数处理即可. 【详解】由可得，下对的范围分情况讨论： （1）当，，即，不成立； （2）当，由可得， 设，则， 则在上单调递增，显然， 即时，， 于是，由于在时有解， 则，即； （3）当，由可得， 设，则， ，， 则在上递减，在上递增， 又， 而时单调递减，但注意到， 于是在上的值域为， 于是，由于在时有解， 则，即. 综上所述，. 故答案为： 题型三 导数中双变量恒（能）成立问题 一个函数，两个变量。主要为齐次化消元，同构消元，对称化消元。 【例题精讲】 1．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时． 所以函数的值域为， 即的取值范围是． 2．函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 3．已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数结合条件可设，，进而可得，再利用导函数求ab的取值范围即可. 【详解】由，得， 令，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此是直线与函数图像的两个交点的横坐标， 不妨令，，而， 则，即有，，因此， 令函数，求导得， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减， 因此，即，即，则， 由恒成立，得，所以实数的取值范围为. 故选：C 4．已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A、B，求导讨论函数单调性，然后计算可知；对C，，两边取对数然后结合对数均值不等式判断即可；对D，构建函数，然后求导可知函数单调性，结合，计算判断即可. 【详解】由题得，故当时，，不符合题意． 当时，令，得，若，则；若．则． 由题知必有，故．因为，所以．则A，B正确． 由和知，因为， 所以等号两边取对数得，即， 由对数平均不等式知，即．则C错误． 构造函数． 则，所以单调递增，故，即． 由知， 所以， 因为在上单调递增，所以．则D正确． 故选：C． 5．已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数，说明在上单调递增，得，换元并求导即可求解最小值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 令，求导得， 所以在上单调递增， 而，即， 从而，所以， 令，， 求导得，，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：C. 6．已知有两个不同的极值点，则下列说法不正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，由导函数及韦达定理计算参数a范围，可直接判定A；对于B项，消元转化为单变量，构造函数判定其单调性求最值即可；对于C项，利用韦达定理消元转化计算即可；对于D项，化简比值代数式，将问题化为判定两点斜率问题，结合对数函数的图像即可判定. 【详解】由题意知，则， 由于有两个不同的极值点， 即有2个正数根，则， 故需满足，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，故， 令，则， 即在上单调递减，故， 即，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D， 可看作曲线上两点，连线的斜率， 由于，故不妨设， 由于，则曲线 在处的切线斜率为1， 由于，故连线的斜率小于1，即， 所以，即，D正确． 故选：A． 7．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 8．（多选）若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 【答案】CD 【分析】举反例判断AB；对于C，先检验时满足题意，当时，由题设可得，设，利用导数分析其单调性，可得，，进而求解判断即可；对于D，由可得或，再结合函数图像求解即可判断. 【详解】对于A，当，时满足，而，故A错误； 对于B，当，时满足，故B错误； 对于C，当时，若，满足，且； 若，由，得， 设，则， 而，设，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则或时，， 所以在和上单调递增， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立． 当时，，当时，， 所以当且时，由，得， 则，即，又在上单调递增，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即； 综上所述，当时，，故C正确； 对于D，若存在，使得，由C知，若，可得， 当时，成立； 当时，得或，即或， 画出函数与函数的图像，易得两图像有交点，故D正确． 9．（多选）已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由已知易得，，构造，结合的单调性知，，进而判断AB；对于C，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而判断即可；对于D，可得，设，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，则，即(*)， 因为为正数，则，即， 设，，则(*)即， 而，则在上单调递增， 故， 即，，故B正确； 由求导得，，令，得，令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，若取，则对应的值有两个，故不是的函数，即A错误； 对于C，由，可得， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D，由，可得， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，令得，构造，，求导，得到其单调性和图像走势，得到，解得；BC选项，，数形结合得到的单调性，从而得到，；D选项，证明对数平均不等式，结合，得到，故. 【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立， 要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确； BC选项，因为，所以， 画出与的图像如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下： 因为，不等式变形为， 即，令， 则，令，， 则恒成立， 故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故， 结合A选项，，D正确. 故选： 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明 题型四 导数中双函数恒（能）成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【例题精讲】 1．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】解：由题意，令，则，， 所以，，， 令，所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 即的最小值为. 故选：D． 2．已知函数，若，则可取（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】探讨函数在上单调性，由已知可得，再构造函数并求出其最小值即可判断作答. 【详解】依题意，由得， 令，函数在上单调递增， 由得， 则， 由得：，又， 于是得，， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，，且，， ，且，，故 即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求. 故选：A 3．已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数法求出函数的最小值，再利用二次函数的性质求出最大值，结合已知条件及函数的图像即可求解. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时，取得最小值为， ，对称轴为，开口向下， 由二次函数的性质， 当时，取得最大值为. 令，即，解得或， 作两个函数的图象如图所示 由图可得：的最大值为 故选：B. 4．已知，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同构构造，得到，结合的单调性，得到，构造，求出其最大值，得到a的取值范围. 【详解】由题意得：，又因为，所以， ，即， 所以， 设， 则， ，所以单调递增， 所以， 因为， 所以， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在处取得极大值，也是最大值， ， 故. 故选：A 【点睛】同构构造函数，求解参数取值范围问题，通常适用于方程或不等式同时出现了指数函数与对数函数，此时利用同构构造函数，往往会是解题的突破口. 5．若函数，，存在、使得，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在 D．存在，使得当，时，的值随着、的增大而增大 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，证明出（当且仅当时，等号成立），由已知可得，分、、、四种情况讨论，讨论、的大小，可判断ABC选项的正误；取，可得出，利用导数分析函数在上的单调性，可判断D选项. 【详解】函数的定义域为，， 当时，，此时函数单调递减，且； 当时，，此时函数单调递减，且； 当时，，此时函数单调递增，且. 设，， 构造函数，其中，. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，即，当且仅当时，等号成立. 因为. ①若，即，则，此时， 因为函数在上单调递减，则； ②若，即， 由于函数在上递减，在上递增， 则存在，使得，此时， 存在，使得，此时； ③若，即，则只有唯一解，此时，即； ④若，即， 因为由于函数在上递减，在上递增， 则存在使得，此时， 存在使得，此时. 故A对，B错，C对； 取，因为函数在上单调递增，且，，则， 由可得，则， 因为函数在上单调递增，且，故随着的增大而增大，D对. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 6．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可 【详解】由题意， 令， 则，恒成立，即恒成立，即 令 令，即在单调递增； 令，即在单调递减. 令 令，即在单调递增； 令，即在单调递减； 故选：B 7．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，不等式对任意实数x都成立，只需，用导数法求出，即可求解. 【详解】, 当时，，当时，， 的递减区间是，递增区间是， 所以取得极小值，也是最小值， ， 不等式对任意实数x都成立， 所以. 故选:D. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于基础题. 8．已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 9．已知函数，，若，且，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据的单调性及特殊值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，即， 所以的最大值为. 10．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 题型五 导数中不等式的证明 1．已知函数f（x）＝ex+1﹣eln（x+a）+b﹣2在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（1﹣e）x﹣y+1﹣e＝0． （1）求a，b； （2）证明：f（x）+1＞0． 【答案】（1）a＝2，b＝1； （2）由（1）知f（x）＝ex+1﹣eln（x+2）﹣1，定义域（﹣2，+∞）， 所以， 则f′（﹣1）＝1﹣e＜0，， 则存在x0∈（﹣1，0），使f′（x0）＝0， 即，即ln（x0+2）＝﹣x0， 因为均在（﹣2，+∞）上单调递增， 所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增， 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 所以 ， 所以f（x）＞﹣1，即f（x）+1＞0． 【详解】（1）由f（x）＝ex+1﹣eln（x+a）+b﹣2，得， 因为f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（1﹣e）x﹣y+1﹣e＝0， 可得，即， 解得a＝2，b＝1； （2）证明：由（1）知f（x）＝ex+1﹣eln（x+2）﹣1，定义域（﹣2，+∞）， 所以， 则f′（﹣1）＝1﹣e＜0，， 则存在x0∈（﹣1，0），使f′（x0）＝0， 即，即ln（x0+2）＝﹣x0， 因为均在（﹣2，+∞）上单调递增， 所以f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增， 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 所以 ， 所以f（x）＞﹣1，即f（x）+1＞0． 2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）+1． （1）求f（x）的单调区间； （2）当a≤2时，证明：当x＞0时，f（x）＜ex恒成立． 【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）当a≤2，且x＞0时， 则ax≤2x，可得f（x）≤2x﹣ln（x+1）+1． 令g（x）＝ex﹣2x﹣1+ln（x+1），x＞0， 由，再令，得， 因为函数在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增， 则h′（x）＞h′（0）＝e0﹣1＝0，即g′（x）＝h（x）在（0，+∞）上单调递增， 可得g′（x）＞g′（0）＝e0﹣2+1＝0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以g（x）＞g（0）＝e0﹣0﹣1+ln1＝0，所以2x﹣ln（x+1）+1＜ex， 所以f（x）≤2x﹣ln（x+1）+1＜ex， 所以f（x）＜ex． 【详解】（1）因为f（x）＝ax﹣ln（x+1）+1的定义域为（﹣1，+∞）， 所以， 当a≤0时，x∈（﹣1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得， 当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0， 所以f（x）在上单调递减，在上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：当a≤2，且x＞0时， 则ax≤2x，可得f（x）≤2x﹣ln（x+1）+1． 令g（x）＝ex﹣2x﹣1+ln（x+1），x＞0， 由，再令，得， 因为函数在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增， 则h′（x）＞h′（0）＝e0﹣1＝0，即g′（x）＝h（x）在（0，+∞）上单调递增， 可得g′（x）＞g′（0）＝e0﹣2+1＝0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以g（x）＞g（0）＝e0﹣0﹣1+ln1＝0，所以2x﹣ln（x+1）+1＜ex， 所以f（x）≤2x﹣ln（x+1）+1＜ex， 所以f（x）＜ex． 3．设函数f（x）＝e2x﹣2ax． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）证明：当a＞0时，． 【答案】（1）y﹣1＝0； （2）当a≤0时，f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，当a＞0时，f（x）在处取得最小值，且a， 要证，即证，移项可得a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3≥0， 令g（a）＝a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3，a＞0， 对g（a）求导，可得， 令，对h（a）求导，可得， 因为，a2＞0，所以h'（a）＞0，即h（a）在（0，+∞）上单调递增， 又因为h（1）0，所以当0＜a＜1时，h（a）＜0，即g'（a）＜0，g（a）单调递减； 当a＞1时，h（a）＞0，即g'（a）＞0，g（a）单调递增． 所以g（a）在a＝1处取得最小值，3＝0， 因为g（a）≥g（1）＝0，所以a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3≥0，即． 【详解】（1）当a＝1时，f（x）＝e2x﹣2x，则f（0）＝e0﹣0＝1， 求导得：f′（x）＝2e2x﹣2，斜率k＝f′（0）＝0， 所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝0（x﹣0），即y﹣1＝0； （2）因为f（x）＝e2x﹣2ax，所以f'（x）＝2e2x﹣2a＝2（e2x﹣a）， 当a≤0时，因为e2x＞0，所以e2x﹣a＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，令f'（x）＝0，即2（e2x﹣a）＝0，则e2x＝a，两边取自然对数可得2x＝lna，解得， 当时，e2x＜a，即f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减； 当时，e2x＞a，即f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增； （3）证明：由（2）可知，当a＞0时，f（x）在处取得最小值，且a， 要证，即证，移项可得a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3≥0， 令g（a）＝a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3，a＞0， 对g（a）求导，可得， 令，对h（a）求导，可得， 因为，a2＞0，所以h'（a）＞0，即h（a）在（0，+∞）上单调递增， 又因为h（1）0，所以当0＜a＜1时，h（a）＜0，即g'（a）＜0，g（a）单调递减； 当a＞1时，h（a）＞0，即g'（a）＞0，g（a）单调递增． 所以g（a）在a＝1处取得最小值，3＝0， 因为g（a）≥g（1）＝0，所以a2﹣2alna﹣2lna+2a﹣3≥0，即． 4．已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证f（x1）+f（x2）＜﹣16+16ln2 【答案】（1）当0≤a≤8，f（x）在（0，+∞）单调递增， 当a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 当a＞8时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减． （2）证明：由（1）知f（x）有两个极值点x1，x2时， a＞8，，， ， ， ， 令，则， 设，，其中a＞8， 所以s′（a）＜0，即h′（a）单调递减，又因为h′（8）＝﹣3+2ln2＜0， 所以h′（a）＜0，即h（a）在（8，+∞）单调递减，所以h（a）＜h（8）＝﹣16+16ln2 即f（x1）+f（x2）＜﹣16+16ln2，证毕． 【详解】（1）由题意知，， 函数f（x）的定义域为（0，+∞），设g（x）＝2x2﹣ax+a， Δ＝a2﹣8a＝a（a﹣8），令Δ＝0，则a＝0或a＝8， ①当Δ≤0，即0≤a≤8时，g（x）≥0对x＞0恒成立， 即f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增， ②当Δ＞0，即a＞8或a＜0时，方程g（x）＝0， 有两不等实根， 当a＜0时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，x1＜0，x2＞0当x∈（0，x2）， f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x2）上单调递减， 当x∈（x2，+∞），f′（x）＞0，所以f（x）在（x2，+∞）上单调递增， 当a＞8时，由韦达定理，， 此时两根为正，且0＜x1＜x2当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）， f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增， 当x∈（x1，x2），f′（x）＜0，所以f（x）在（x1，x2）上单调递减， 综上所述：当0≤a≤8，f（x）在（0，+∞）单调递增， 当a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 当a＞8时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减． （2）证明：由（1）知f（x）有两个极值点x1，x2时， a＞8，，， ， ， ， 令，则， 设，，其中a＞8， 所以s′（a）＜0，即h′（a）单调递减，又因为h′（8）＝﹣3+2ln2＜0， 所以h′（a）＜0，即h（a）在（8，+∞）单调递减，所以h（a）＜h（8）＝﹣16+16ln2 即f（x1）+f（x2）＜﹣16+16ln2，证毕． 5．设a、b为实数，且a＞1，函数f（x）＝ax，g（x）＝bx﹣e2． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）当b＝lna时，证明：f（x）≥g（x）+e2+1； （3）若曲线y＝f（x）与直线y＝g（x）有且仅有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）y＝ln2•x+1； （2）证明：当b＝lna时，g（x）＝lna•x﹣e2， 设h（x）＝f（x）﹣g（x）﹣e2﹣1＝ax﹣lna•x﹣1， 则h′（x）＝ax•lna﹣lna＝（ax﹣1）•lna， 由于a＞1，则lna＞0， 令h′（x）＜0，得x＜0，令h′（x）＞0，得x＞0， 所以函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 则h（x）≥h（0）＝0，即f（x）≥g（x）+e2+1． （3）（e2，+∞）． 【详解】（1）当a＝2时，f（x）＝2x，则f（0）＝1， 而f′（x）＝2x•ln2，则f′（0）＝ln2， 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝ln2•x，即y＝ln2•x+1． （2）证明：当b＝lna时，g（x）＝lna•x﹣e2， 设h（x）＝f（x）﹣g（x）﹣e2﹣1＝ax﹣lna•x﹣1， 则h′（x）＝ax•lna﹣lna＝（ax﹣1）•lna， 由于a＞1，则lna＞0， 令h′（x）＜0，得x＜0，令h′（x）＞0，得x＞0， 所以函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 则h（x）≥h（0）＝0，即f（x）≥g（x）+e2+1． （3）设k（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣bx+e2， 由题意，曲线y＝f（x）与直线y＝g（x）有且仅有两个交点， 则函数k（x）有且仅有2个零点， 而k′（x）＝ax•lna﹣b， 令k′（x）＝0，得，而a＞1，则lna＞0， 当b≤0时，k′（x）＝ax•lna﹣b＞0，则函数k（x）在R上单调递增， 此时函数k（x）最多有1个零点，不符合题意； 当b＞0时，令k′（x）＜0，得，令k′（x）＞0，得， 所以函数k（x）在上单调递减，在上单调递增， 又x→﹣∞时，k（x）→+∞，x→+∞时，k（x）→+∞， 要使函数k（x）有且仅有2个零点， 则，即， 设，则t﹣t•lnt+e2＝t（1﹣lnt）+e2＜0， 当0＜t≤1时，lnt≤0，则t（1﹣lnt）+e2＞0，不满足题意； 当t＞1时，设u（t）＝t（1﹣lnt）+e2，则u′（t）＝﹣lnt＜0， 则函数u（t）在（1，+∞）上单调递减，又u（e2）＝0， 则t＞e2时，t（1﹣lnt）+e2＜0，即， 则的取值范围为（e2，+∞）． 6．已知函数f（x）＝memx﹣1﹣lnx（m＞0），其图像在处的切线的倾斜角为钝角． （1）求m的取值范围； （2）证明：； （3）证明：，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）． 注：ln2≈0.69． 【答案】（1）（0，1）； （2）因为，所以f'（x）在（0，+∞） 上单增， 因为，且当x→+∞时，f'（x）→+∞， 所以存在，使得f'（x0）＝0， 且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（x0）， 由f'（x0）＝0，得，两边取对数，有lnx0＝1﹣mx0﹣2lnm， 所以 ， 故要证结论成立，只需证，即， 令，0＜m＜1，只需证g（m）＞0， 因为，所以g（m）在（0，1）单减， 所以g（m）＞g（1）＝0，结论成立，即； （3）令， 则F'（x）＝f'（x+x2）﹣f'（x）， 由（1）知函数f'（x）在（0，+∞）上单增，又x+x2＞x， 所以f'（x+x2）＞f'（x），即F′（x）＞0，F（x）在上单增， 因为，所以， 令， 则f'（x），同理G（x）单增， 且， 令φ（m）＝G（）＝（e﹣2）m﹣lnm﹣ln2，m∈（0，1），则， 因为0＜m＜1，所以， 所以φ（m）在（0，1）上单减，所以φ（m）＞φ（1）＝e﹣2﹣ln2＞0， 所以， 所以f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）． 【详解】（1）因为， 由其图像在处的切线的倾斜角为钝角， 可得，解得0＜m＜1， 即m的取值范围是（0，1）； （2）证明：因为，所以f'（x）在（0，+∞） 上单增， 因为，且当x→+∞时，f'（x）→+∞， 所以存在，使得f'（x0）＝0， 且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（x0）， 由f'（x0）＝0，得，两边取对数，有lnx0＝1﹣mx0﹣2lnm， 所以 ， 故要证结论成立，只需证，即， 令，0＜m＜1，只需证g（m）＞0， 因为，所以g（m）在（0，1）单减， 所以g（m）＞g（1）＝0，结论成立，即； （3）证明：令， 则F'（x）＝f'（x+x2）﹣f'（x）， 由（1）知函数f'（x）在（0，+∞）上单增，又x+x2＞x， 所以f'（x+x2）＞f'（x），即F′（x）＞0，F（x）在上单增， 因为，所以， 令， 则f'（x），同理G（x）单增， 且， 令φ（m）＝G（）＝（e﹣2）m﹣lnm﹣ln2，m∈（0，1），则， 因为0＜m＜1，所以， 所以φ（m）在（0，1）上单减，所以φ（m）＞φ（1）＝e﹣2﹣ln2＞0， 所以， 所以f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）． 7．已知a≠0，函数f（x）＝ax﹣a2lnx． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a2﹣a3． 【答案】（1）若a＜0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间， 若a＞0，f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）； （2）证明：当a＞0时，， 要证f（x）≥2a2﹣a3，只需证f（a）≥2a2﹣a3， 又f（a）﹣2a2+a3＝﹣a2lna﹣a2+a3＝a2（a﹣lna﹣1）， 所以只需证a﹣lna﹣1≥0， 令g（a）＝a﹣lna﹣1，则， 则当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，g'（a）＞0， 即g（a）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）， 所以g（a）min＝g（1）＝0，即g（a）≥0， 所以当a＞0时，f（x）≥2a2﹣a3． 【详解】（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞）， 由f（x）＝ax﹣a2lnx，可得， 若a＜0，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立， 则f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间， 若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0， 则f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）； （2）证明：当a＞0时，， 要证f（x）≥2a2﹣a3，只需证f（a）≥2a2﹣a3，又f（a）﹣2a2+a3＝﹣a2lna﹣a2+a3＝a2（a﹣lna﹣1）， 所以只需证a﹣lna﹣1≥0， 令g（a）＝a﹣lna﹣1，则， 则当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，g'（a）＞0， 即g（a）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）， 所以g（a）min＝g（1）＝0，即g（a）≥0， 所以当a＞0时，f（x）≥2a2﹣a3． 8．设函数． （1）a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值． （2）讨论f（x）的单调性． （3）当a＜0时，证明：． 【答案】； （2）a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增， a＜0时，f（x）在单调递增，在单调递减； （3）证明：由（2）知，a＜0时，， ∴等价于， 即， 设g（x）＝lnx﹣x+1，∴， 当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝0，∴当x∈（0，+∞）时，g（x）≤0， 从而a＜0时，，即． 【详解】（1）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）， 当a＝﹣1时，， ∴， 当时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增， 当时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减， ∴； （2）f（x）定义域为（0，+∞），， 若a≥0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增， 若a＜0，则时，f′（x）＞0，∴f（x）单调递增， 时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减， 综上所述：a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增， a＜0时，f（x）在单调递增，在单调递减； （3）证明：由（2）知，a＜0时，， ∴等价于， 即， 设g（x）＝lnx﹣x+1，∴， 当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝0，∴当x∈（0，+∞）时，g（x）≤0， 从而a＜0时，，即． 9．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（a∈R）． （1）设x＝1是f（x）的极值点，求a，并求函数f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）≥2+a． 【答案】（1）a＝﹣1，单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）． （2）法一：，令h（x）＝f′（x）， 则，即f′（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x→0时，f′（x）→﹣∞，当x→+∞时，f′（x）→+∞， 所以∃x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝0，即， 所以x0+a＝﹣lnx0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0， 所以， 当且仅当x0＝1时取等．故得证． 法二：先证ex≥x+1， 令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1， 当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0， 所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增， 故h（x）≥h（0）＝0，即证得ex≥x+1（当x＝0时取等）， 将x替换为lnx，得x≥lnx+1，即lnx≤x﹣1（当x＝1时取等）， 所以f（x）＝ex+a﹣lnx≥（x+a）+1﹣（x﹣1）＝a+2（当x+a＝0且x＝1，即x＝1，a＝﹣1时，等号成立）． 故得证． 【详解】（1）x∈（0，+∞），， 由f′（1）＝ea+1﹣1＝0，得a＝﹣1， 此时，令g（x）＝f′（x），则， 所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f′（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0， 即f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）． （2）证明：法一：，令h（x）＝f′（x）， 则，即f′（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x→0时，f′（x）→﹣∞，当x→+∞时，f′（x）→+∞， 所以∃x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝0，即， 所以x0+a＝﹣lnx0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0， 所以， 当且仅当x0＝1时取等．故得证． 法二：先证ex≥x+1， 令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1， 当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0， 所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增， 故h（x）≥h（0）＝0，即证得ex≥x+1（当x＝0时取等）， 将x替换为lnx，得x≥lnx+1，即lnx≤x﹣1（当x＝1时取等）， 所以f（x）＝ex+a﹣lnx≥（x+a）+1﹣（x﹣1）＝a+2（当x+a＝0且x＝1，即x＝1，a＝﹣1时，等号成立）． 故得证． 10．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex，， （1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间． （2）求证：． （3）令h（x）＝f（x）﹣g（x），若对任意不同的x1，x2∈[1，e]，都有|h（x1）﹣h（x2）|＜3|x1﹣x2|，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）； （2）函数的定义域为（0，+∞），求导得g′（x）＝x+lnx+1， 因为，， 所以，使得g′（x0）＝0，即x0+lnx0+1＝0，lnx0＝﹣x0﹣1， 又因为g′（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0； 所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，在（0，x0）上单调递减， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即； （3）． 【详解】（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）ex，f′（x）＝xex， 令f′（x）＜0，得x＜0，令f′（x）＞0，得x＞0， 所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）； （2）证明：函数的定义域为（0，+∞），求导得g′（x）＝x+lnx+1， 因为，， 所以，使得g′（x0）＝0，即x0+lnx0+1＝0，lnx0＝﹣x0﹣1， 又因为g′（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0； 所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，在（0，x0）上单调递减， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即； （3）， ∀x1，x2∈[1，e]，且x1＞x2，都有﹣3（x1﹣x2）＜h（x1）﹣h（x2）＜3（x1﹣x2）， 即， 所以h（x）﹣3x在[1，e]上单调递减，h（x）+3x在[1，e]上单调递增； 所以h′（x）﹣3≤0在[1，e]上恒成立，h′（x）+3≥0在[1，e]上恒成立； h′（x）＝axex﹣x﹣lnx﹣1＝axex﹣ln（xex）﹣1， 令t＝ln（xex），因为xex在[1，e]上单调递增， 所以xex∈[e，e1+e]，t∈[1，1+e]， 则aet﹣t﹣4≤0在t∈[1，1+e]上恒成立，aet﹣t+2≥0在t∈[1，1+e]上恒成立， 由aet﹣t﹣4≤0，得，令，则a≤ω（t）min， ，在t∈[1，1+e]上单调递减， ，所以， 由aet﹣t+2≥0，得，令，则a≥φ（t）max， ， 当t∈[1，3）时，φ′（t）＞0，φ（t）单调递增； 当t∈（3，1+e]时φ′（t）＜0，φ（t）单调递减； ，所以； 综上所述，实数a的取值范围为． 课时精练 一、单选题 1．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则 ， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 2．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 4．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 5．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 6．若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 7．已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇函数定义可得为奇函数，再利用导数求得其单调性，利用单调性得恒成立，记， 利用导数法求得函数的最小值，即可得解. 【详解】由知， . 令，因为， 又定义域为R，则为奇函数. 因为，所以为R上的单调递增函数. 则，等价于， 即，也即， 所以，即， 记， ，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 故选：C 8．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可. 【详解】因为， 所以，设， 则，， 令 恒成立，故单调递减， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；. 故 所以，得到. 故选:A. 二、多选题 9．（多选）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】函数极值点问题转化为方程根的问题研究.A项转化为二次方程有两不等正根求参数范围；BC项由韦达定理与参数范围可得；D项，先将所求式子整理变形，再利用韦达定理将整体代入消元，转化为求解函数的范围即可. 【详解】A项，函数有两个极值点， 则至少有两正根. ，， 设， 当时，，即没有实数根，不符合题意； 当时，由题意知方程有两不等正根，设两根为， 则有，解得. 即的取值范围是为，故A错误； BC项，因为是方程的两个不同的实数根， 所以，，故BC正确； D项， ， 设， 因为在上单调递减，所以. 且当，故. 即，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选）对于函数，下列选项正确的是（    ） A．函数有三个零点 B．是函数的极小值点 C．点是曲线的对称中心 D．，成立，则 【答案】BCD 【分析】通过导数分析函数单调性、极值与最值，结合三次函数性质逐一推导选项. 【详解】∵ ，对其求导得 ，令 ，解得 或 . 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增. 对各选项逐一判断： A选项：的极大值， 的极小值，画出函数的草图如下： 观察图像可得，仅个不同零点，故A错误. B选项：∵ 时 单调递减， 时 单调递增， ∴ 是函数 的极小值点，故B正确. C选项：三次函数 的对称中心横坐标为 ，代入得 ， 验证可得 ， ∴ 点 是曲线 的对称中心，故C正确. D选项：当 时，，其中 ，，故 ，当且仅当 或 时取等号， ∵ ， 恒成立，即 小于 在区间内的最小值，∴ ，故D正确. 【点睛】方法归纳：三次函数性质分析通用流程：先求导得到极值点划分单调区间，再通过因式定理求解零点，利用二阶导数或对称公式确定对称中心，恒成立问题转化为函数最值与参数的大小关系即可. 11．（多选）已知函数,则下列说法正确的是(       ) A．.若，则 B．若存在，使得，则 C．若有两个零点，则 D．若有两个零点，则 【答案】ACD 【分析】由导数确定函数单调性及最值，即可得解选项A选项B,利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】选项A:的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增，， 若，则，即 所以的取值范围为， 故选项A正确，选项B错误， 选项C:由上面表述可知，若有两个零点.则则 则选项C正确， 选项D：若有两个零点， 由题知，一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证， 即证， 下面证明时，， 设， 则 ， 设， 所以,而， 所以,所以， 所以在单调递增， 即,所以， 令， ， 所以在单调递减， 即,所以； 综上, ，所以. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 13．已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 而，， 故当时，， 而，不等式恒成立， 故，即实数的最小值是. 14．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值. （2）先利用端点效应猜想的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （2）因为恒成立，所以，得， 下面证明：当时，． 证明如下：因为在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为，所以时，． 综上，的取值范围为． 16．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2). 【分析】(1)求f(x)的定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f(x)的单调区间； (2)参变分离不等式，构造函数，利用导数求F(x)的最大值即可得a的范围. 【详解】（1）时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； （2）由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 17．已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 18．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直． (1)求的最值； (2)若对任意实数，有恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)最小值为，无最大值； (2)1. 【分析】（1）对求导得到，代入得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为，求出，从而得到，的表达式.；根据导函数的正负性来判断函数的单调性，根据函数单调性确定函数的最值； （2）将不等式转化为，构造新函数，通过新函数的单调性来确定新函数的最值，进而确定的取值范围，求出整数的最大值. 【详解】（1）由，得函数的定义域为，且，. 在点处的切线与直线垂直． ，即； ，. 令，即．得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 当时，取得极小值，也是最小值，即. 的最小值为，无最大值． （2）由（1）得，定义域为. 由，得. 令，. 即对任意实数，有恒成立，等价于. . 令，则，在上单调递增，即在上单调递增. 时，；，； 又，； ，使得，即，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 当时，取得最小值， 即 . ，，即. . 由，得且； ，即整数的最大值为1． 19．已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在和上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $