专题03 一次函数（必刷50题25种题型，期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材冀教版

**基本信息** 以25种题型系统覆盖一次函数核心考点，从定义到综合应用形成完整逻辑链，突出高频易错点突破，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与概念|4题|重点考查定义辨析、参数求解|从正比例函数到一次函数定义，构建概念基础| |图像与性质|11题|含难点（图像绘制）、易错（平移/象限参数）|从图像特征到性质应用，形成几何直观| |解析式与应用|5题|高频（解析式求解）、重点（行程/利润问题）|从代数表达过渡到实际模型，发展应用意识| |综合与拓展|5题|综合几何与方程不等式，含规律探究|整合知识网络，提升推理能力与运算能力|

专题03 一次函数 （必刷50题25种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正比例函数的定义 （重点） 题型二 根据一次函数的定义求参数 题型三 求一次函数自变量或函数值（高频） 题型四 正比例函数的图象 （难点） 题型五 正比例函数的性质 （高频） 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 已知函数经过的象限求参数范围（易错） 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十 画一次函数图象（难点） 题型十一 一次函数图象平移问题 （易错） 题型十二 判断一次函数的增减性（高频） 题型十三 根据一次函数增减性求参数 （重点） 题型十四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况（易错） 题型十五 比较一次函数值的大小 （高频） 题型十六 一次函数的规律探究问题 题型十七 求一次函数解析式（高频） 题型十八 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型十九 行程问题(一次函数的实际应用)（重点） 题型二十 一次函数与几何综合（高频） 题型二十一 其他问题(一次函数的实际应用) （难点） 题型二十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 （重点） 题型二十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型二十五 求直线围成的图形面积 （易错） 题型一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知y是x的正比例函数，x与y的部分对应值如表： x … m … y … 8 … (1)求y与x解析式； (2)求m的值． 题型二 根据一次函数的定义求参数 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在一次函数中，的值是（   ） A． B．4 C． D．7 4．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）形如 (其中都是常数， )的函数叫做一次函数． 题型三 求一次函数自变量或函数值 5．（23-24八年级下·河北承德·期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如表： … 0 1 2 … … 0 3 … 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）已知． (1)化简P； (2)若点在一次函数的图象上，求P的值． 题型四 正比例函数的图象 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如果一个正比例函数的图象经过两点，那么的值为（　　） A．3 B． C．12 D． 8．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 题型五 正比例函数的性质 9．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）若正比例函数，函数y随x的增大而减小，则k的值可能是（    ） A．2 B．6 C．3 D． 10．（八年级下·河北承德·期中）已知y是的正比例函数，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值； 题型六 判断一次函数的图象 11．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 12．（八年级下·河北保定·期末）正比例函数的函数值随着增大而减小，则一次函数的图象大致是 （画出草图）． 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二，三，四象限 B．图象与轴交于点 C．图象向下平移6个单位经过原点 D．点在函数图象上 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象不经过第 象限． 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 15．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级·河北张家口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求正整数k的值； (2)在（1）的条件下，判断并说明点是否在这个函数图象上． 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 17．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）已知关于的一次函数（为常数且）． (1)判断点是否在一次函数的图像上，并说明理由． (2)若一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形，求的值． 题型十 画一次函数图象 19．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（   ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）已知与成正比例，且当时，， (1)求与x之间的函数解析式； (2)已知（1）中函数的图象为直线，关于x的函数的图象为直线． ①若无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，则点P的坐标是 ； ②当时，若点始终在直线，及x轴所围成的封闭区域内（包括边界），求a的取值范围． 题型十一 一次函数图象平移问题 21．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 22．（八年级下·河北保定·阶段练习）已知关于x的函数． (1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值． (2)若y随x增大而增大，求k的取值范围． (3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值． 题型十二 判断一次函数的增减性 23．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）已知一次函数，当时，y的最大值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D． 24．（八年级下·河北秦皇岛·期末）已知一次函数，当时，y的取值范围是 ．（用含k的代数式表示） 题型十三 根据一次函数增减性求参数 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．3 26．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在一次函数中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 题型十四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 27．（八年级下·河北唐山·期末）已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=ax+2(a＜0)上，则y1， y2的大小关系为 ． 28．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． (1)当随的增大而增大时，求的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，求的取值范围． 题型十五 比较一次函数值的大小 29．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 30．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）已知一次函数的图像经过点、，则m n．（填写“＞”“＜”或“＝”） 题型十六 一次函数的规律探究问题 31．（八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，都在x轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 题型十七 求一次函数解析式 33．（23-24八年级下·河北承德·期末）平面直角坐标系中有一动点． ①动点在直线上， ； ②不论为何值，动点始终在一条直线上，则该直线解析式为： ． 34．（23-24八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图像过点． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)已知点在这个一次函数的图像上，求a的值． 题型十八 最大利润问题(一次函数的实际应用) 35．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 36．（23-24八年级下·河北唐山·期末）根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， (1)按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； (2)若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 题型十九 行程问题(一次函数的实际应用) 37．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目：“甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的倍，并先到达山顶等待甲．根据图象所提供的信息，求甲、乙两人距地面的高度差为米的登山时间”，甲答：分钟；乙答：分钟；丙答：分钟．对于以上说法，正确的是（    ） A．甲对 B．甲、乙合在一起对 C．甲、乙、丙合在一起对 D．甲、乙、丙合在一起也不对 38．（24-25八年级下·河北邢台·期中）“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 题型二十 一次函数与几何综合 39．（23-24八年级下·河北保定·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，是轴上的两点， （1）当为等腰三角形时，点的坐标为 ． （2）求的最小值为 ． 40．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，平面直角坐标系中，有一动点，线段的端点为． (1)求所在直线的解析式； (2)淇淇说：“无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)设线段分别交轴，轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求的值； ②若点在的内部（不含边界），直接写出的取值范围； (4)点在轴的正半轴上，连接．若直线使线段（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数的值． 题型二十一 其他问题(一次函数的实际应用) 41．（23-24八年级下·河北张家口·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确时 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 42．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）为了解某品牌汽车的耗油量，在高速公路上我们对这种汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，如表所示： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） … (1)如表反映的两个变量中，自变量是______，自变量的函数是______； (2)根据表可知，该汽车每小时耗油______升，汽车行驶4小时的时候，油箱的剩余油量为______升； (3)根据上表的数据，写出Q与t的关系式（不用指出自变量的取值范围）：______； (4)若汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？ 题型二十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 43．（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 44．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．    题型二十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 45．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点． (1)求交点A、B的坐标，并画出该一次函数的图象； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 题型二十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 47．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（    ） A．方程的解是 B．不等式组的解集是 C．不等式和不等式的解集相同 D．方程组的解是 48．（2025·河北石家庄·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 题型二十五 求直线围成的图形面积 49．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 50．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． $专题03 一次函数 （必刷50题25种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正比例函数的定义 （重点） 题型二 根据一次函数的定义求参数 题型三 求一次函数自变量或函数值（高频） 题型四 正比例函数的图象 （难点） 题型五 正比例函数的性质 （高频） 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 已知函数经过的象限求参数范围（易错） 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十 画一次函数图象（难点） 题型十一 一次函数图象平移问题 （易错） 题型十二 判断一次函数的增减性（高频） 题型十三 根据一次函数增减性求参数 （重点） 题型十四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况（易错） 题型十五 比较一次函数值的大小 （高频） 题型十六 一次函数的规律探究问题 题型十七 求一次函数解析式（高频） 题型十八 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型十九 行程问题(一次函数的实际应用)（重点） 题型二十 一次函数与几何综合（高频） 题型二十一 其他问题(一次函数的实际应用) （难点） 题型二十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 （重点） 题型二十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型二十五 求直线围成的图形面积 （易错） 题型一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如 (其中)的函数是正比例函数，根据正比例函数的定义即可判断． 【详解】解：根据正比例函数的定义可知：为正比例函数， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知y是x的正比例函数，x与y的部分对应值如表： x … m … y … 8 … (1)求y与x解析式； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等问题，解题的关键是： （1）设y与x解析式为，把，代入求解即可； （2）把，代入（1）中所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设， 将，代入得：， 解得：， ∴解析式为：． （2）解：由题得，将，代入得：， 解得：． 题型二 根据一次函数的定义求参数 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在一次函数中，的值是（   ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据即即可得出答案． 【详解】解：即， ∴， 故选：C． 4．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）形如 (其中都是常数， )的函数叫做一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义作答即可． 【详解】解：形如，（其中都是常数，）的函数叫做一次函数； 故答案为：，． 题型三 求一次函数自变量或函数值 5．（23-24八年级下·河北承德·期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如表： … 0 1 2 … … 0 3 … 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据函数的性质即可判断． 【详解】解：当或或0时，函数的值分别或或， 即自变量增加1，则函数值增加2， 所以当，函数的值应该等于， 此时当时，函数值为， ∴点明显不对， 故选：C． 6．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）已知． (1)化简P； (2)若点在一次函数的图象上，求P的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、分母有理化、分式化简求值 【分析】（1）先把除法化为乘法得，再化简，即可作答．； （2）将点代入得到，再将代入化简后的，即可求解； 本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征，分母有理化；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）点在一次函数的图象上 ∴， ， 题型四 正比例函数的图象 7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如果一个正比例函数的图象经过两点，那么的值为（　　） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查求正比例函数，求自变量的值，根据点求出正比例函数的解析式，进一步求出的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：，把，得：， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选A． 8．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据正比例函数的性质，可以判断，，的大小关系，然后即可用“”表示，，的不等关系．解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得， ，， ∴， 故答案为：． 题型五 正比例函数的性质 9．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）若正比例函数，函数y随x的增大而减小，则k的值可能是（    ） A．2 B．6 C．3 D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵正比例函数，函数y随x的增大而减小， ∴ ∴k的值可能是． 故选：D． 10．（八年级下·河北承德·期中）已知y是的正比例函数，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正比例函数的性质 【分析】（1）由题意可设：y=k(x+1)，把x=2时，y=9代入所设的式子，解出k的值，代入表达式中，化简整理可得y与x的函数关系式； （2）把x=5代入（1）中所得的函数解析式，可求得对应的y的值； （3）把y=5代入（1）中所得函数解析式，解方程可求得对应的x的值． 【详解】（1）设 ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为，即． （2）当时，． ∴当x=3时，y=18； （3）当时，，解得：， ∴当y=5时，． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求正比例的表达式，掌握若第一个代数式与第二个代数式成正比例，则第一个代数式等于一个常数乘以第二个代数式是解题的关键． 题型六 判断一次函数的图象 11．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 12．（八年级下·河北保定·期末）正比例函数的函数值随着增大而减小，则一次函数的图象大致是 （画出草图）． 【答案】见详解 【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象 【分析】根据正比例函数的性质得到然后根据一次函数的性质得到一次函数的图象经过第一，三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随着增大而减小， ∵一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数的图象经过第一，三象限，且与y轴的负半轴相交． 故一次函数的图象大致为： 【点睛】本题主要考查了一次函数图象：一次函数（k，b为常数，）是一条直线，当，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大，当图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小，图象与y轴的交点坐标为熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二，三，四象限 B．图象与轴交于点 C．图象向下平移6个单位经过原点 D．点在函数图象上 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，由一次函数解析式可得图象经过第一，二，四象限，即可判断A，当时，，解得，故图象与轴交于点，即可判断B；图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，即可判断C；当时，，即可判断D． 【详解】解：A、图象经过第一，二，四象限，故原选项说法错误，不符合题意； B、当时，，解得，故图象与轴交于点，故原选项说法错误，不符合题意； C、图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，故原说法正确，符合题意； D、当时，，故点不在函数图象上，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即中，当，时函数图象在一、二、三象限，当，时函数图象在一、三、四象限，当，时函数图象在一、二、四象限，当，时函数图象在二、三、四象限．先根据一次函数图象与系数的关系判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论． 【详解】解：一次函数中，，， 此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四． 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 15．（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，据此列出不等式组求解即可 【详解】解：∵经过第二、三、四象限． ∴． 故选A． 16．（24-25八年级·河北张家口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求正整数k的值； (2)在（1）的条件下，判断并说明点是否在这个函数图象上． 【答案】(1)1 (2)点不在这个函数的图象上，见解析 【知识点】正比例函数的性质、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质， （1）根据正比例函数的图象经过第二、四象限，得到求解即可； （2）把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得， 又k为正整数，k取1； （2）解：不在， 理由：由（1）得：， 当时，，则 点不在这个函数的图象上． 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 17．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数以坐标轴的交点的计算，根据与轴相交，横坐标为零，即可求解，理解并掌握一次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 故选：A ． 18．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）已知关于的一次函数（为常数且）． (1)判断点是否在一次函数的图像上，并说明理由． (2)若一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)1或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数上点的坐标，与坐标轴围城的三角形的面积，能求出一次函数与x轴和y轴交点的坐标是解题的关键． （1）直接把点代入函数解析式判定即可； （2）分别令，求得直线与坐标轴的交点坐标，然后结合三角形的面积计算方法求得答案即可． 【详解】（1）点在一次函数的图像上． 理由如下： 当时，， 点在一次函数的图像上． （2）令，则，解得， 一次函数的图像与轴的交点坐标为． 令，则， 一次函数的图像与轴的交点坐标为． 一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形， 或． ， 或，即的值为1或． 题型十 画一次函数图象 19．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（   ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画一次函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键．在坐标系描点，即可得到在同一直线上的点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 可知点不在一次函数的图象上， 故选：A 20．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）已知与成正比例，且当时，， (1)求与x之间的函数解析式； (2)已知（1）中函数的图象为直线，关于x的函数的图象为直线． ①若无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，则点P的坐标是 ； ②当时，若点始终在直线，及x轴所围成的封闭区域内（包括边界），求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求一次函数的自变量，一次函数的图象等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求一次函数的自变量，一次函数的图象是解题的关键． （1）设与x之间的函数解析式为，则，可求，则，整理作答即可； （2）①由题意知，，当时，，然后作答即可； ②当时，，如图，当时，，可求；当时，，可求；结合图象求a的取值范围即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数解析式为， ∵当时，， ∴， 解得，， ∴，即， ∴与x之间的函数解析式为； （2）①解：由题意知，， ∴当时，， ∴无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，点P的坐标是， 故答案为：； ②解：当时，， 如图， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； ∴a的取值范围． 题型十一 一次函数图象平移问题 21．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据函数图象平移法则“左加右减、上加下减”， 将函数的图象向右平移2个单位长度，就是将函数中的自变量换成，化简即可得到答案，熟记函数图象平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是， 故答案为：． 22．（八年级下·河北保定·阶段练习）已知关于x的函数． (1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值． (2)若y随x增大而增大，求k的取值范围． (3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据题意可得，进行计算即可得； （2）根据题意和一次函数的性质得，进行计算即可得； （3）根据图像的平移可得向下平移2个单位长度后，函数，再将点代入中，进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数的图像与y轴的交点的纵坐标为5， ∴ 解得，． （2）解：∵y随x增大而增大， ∴ 解得，． （3）解：将图像向下平移2个单位长度后，函数， ∵过点， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是掌握理解题意，掌握一次函数的性质． 题型十二 判断一次函数的增减性 23．（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）已知一次函数，当时，y的最大值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，根据所给取值范围即可求解． 【详解】解：， 中y随x的增大而减小， 当时，时y取最大值，最大值， 故选：A． 24．（八年级下·河北秦皇岛·期末）已知一次函数，当时，y的取值范围是 ．（用含k的代数式表示） 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】由题意可知该一次函数y随x的增大而减小，再结合x的取值范围即可求出答案． 【详解】∵， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值， ∴y的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．根据题意得出该一次函数y随x的增大而减小是解题关键． 题型十三 根据一次函数增减性求参数 25．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可能是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（k、b为常数），当时，随的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 26．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在一次函数中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十四 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 27．（八年级下·河北唐山·期末）已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=ax+2(a＜0)上，则y1， y2的大小关系为 ． 【答案】y1＞y2 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【详解】∵k=a<0， ∴y随x的增大而减小． ∵−4<2，∴y1＞y2. 故答案为y1＞y2. 28．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． (1)当随的增大而增大时，求的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时， 题型十五 比较一次函数值的大小 29．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，由直线是一次函数，且，随的增大而增大，判断即可．掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数的自变量的系数， 随的增大而增大， ， ， 故选：A． 30．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）已知一次函数的图像经过点、，则m n．（填写“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小． 又∵， ∴. 故答案为：＞． 题型十六 一次函数的规律探究问题 31．（八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，都在x轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】首先根据点A的变化规律得到An的坐标（2n-1，0），代入直线y=x求出点B的坐标． 【详解】解：∵△B1OA2是等腰直角三角形，B1A1⊥OA2， ∴OA2=2OA1=2， ∴同理OA3=2OA2=22， …… OAn=2n-1， 故点A1，A2，A3，……An的坐标分别为（1，0）（2，0）（）22，0）……（2n-1，0）， 点Bn在y=x上， Bn坐标为（2n-1，2n-1）， B2018坐标为（22017，22017）， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数直线上点的规律探究，解决问题的关键是确定点的变化与序号之间的关系． 32．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，，”是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为，， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：，． 题型十七 求一次函数解析式 33．（23-24八年级下·河北承德·期末）平面直角坐标系中有一动点． ①动点在直线上， ； ②不论为何值，动点始终在一条直线上，则该直线解析式为： ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征． ①将代入，解方程即可求解； ②令，，通过找出与之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：①将代入，得， 解得， 故答案为：； ②令，， 即， ∴， 整理得，， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图像过点． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)已知点在这个一次函数的图像上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）将代入一次函数解析式中即可求出k的值，进而可确定一次函数解析式； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像过点 ∴ ∴， ∴； （2）当时， ∴． 题型十八 最大利润问题(一次函数的实际应用) 35．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 36．（23-24八年级下·河北唐山·期末）根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， (1)按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； (2)若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)，， (2)当时，w的值最大，最大值为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意确定正确的函数关系式是解本题的关键 （1）由裁剪得到的正方形的面数等于制作80个，两种塑料盒的正方形的面，再建立函数关系式即可； （2）先确定．结合，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：按甲方法裁成小正块方形板块（用含x的式子表示）， 按甲方法裁成小正方形板（用含y的式子表示）， ∴ ∴； （2）解：总成本为（元． 由题意，． 解得． ． 销售利润：． 整理，得． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，最大值为（元）． 题型十九 行程问题(一次函数的实际应用) 37．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目：“甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的倍，并先到达山顶等待甲．根据图象所提供的信息，求甲、乙两人距地面的高度差为米的登山时间”，甲答：分钟；乙答：分钟；丙答：分钟．对于以上说法，正确的是（    ） A．甲对 B．甲、乙合在一起对 C．甲、乙、丙合在一起对 D．甲、乙、丙合在一起也不对 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲的速度，乙乙提速前的速度和提速后的速度及的值，设分钟后两人的高度差为米，分三种情况：相遇前两人距地面的高度差为米；相遇后两人距地面的高度差为米；乙到达山顶，两人距地面的高度差为米；看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，甲的速度为米分钟， 乙提速前的速度为米分钟，提速后的速度为米分钟， ∴提速前乙距地面的高度米， 设分钟后两人的高度差为米， 分三种情况：相遇前两人距地面的高度差为米， 由题意可得，， 解得； 相遇后两人距地面的高度差为米， 由题意可得，， 解得； 乙到达山顶，两人距地面的高度差为米， 由题意可得，， 解得； 综上，当登山时间为分钟或分钟或9分钟时，两人距地面的高度差为米， ∴甲、乙、丙合在一起对， 故选：． 38．（24-25八年级下·河北邢台·期中）“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1)该车平均每千米的耗油量为升/千米， (2)当千米时，油量的值为升 (3)他们不能在汽车报警前回到家 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，能够列出正确的关系式，并会代入求值是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式； （2）代入求出Q值即可； （3）根据行驶的路程油量平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)， 剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为； （2）解：当时，（升）． 答：当(千米)时，油量的值为升． （3）解：(千米)， ∵， 他们不能在汽车报警前回到家． 题型二十 一次函数与几何综合 39．（23-24八年级下·河北保定·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，是轴上的两点， （1）当为等腰三角形时，点的坐标为 ． （2）求的最小值为 ． 【答案】 或 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理： （1）分两种情况讨论：当时，点P在线段的垂直平分线上；当时，此时，即可求解； （2）作点A关于直线的对称点交y轴于点，连接交直线于一点即是点P，此时的值最小，即是线段的长，则点，即可求解 【详解】解：（1）∵点是直线上的动点， ∴， 设点P的坐标为， 当时，点P在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， 此时点的坐标为； 当时，此时， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即轴， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）由题意可得直线是第一三象限的角平分线， ∴作点A关于直线的对称点交y轴于点，连接交直线于一点即是点P，此时的值最小，即是线段的长，则点， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： 40．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，平面直角坐标系中，有一动点，线段的端点为． (1)求所在直线的解析式； (2)淇淇说：“无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)设线段分别交轴，轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求的值； ②若点在的内部（不含边界），直接写出的取值范围； (4)点在轴的正半轴上，连接．若直线使线段（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)； (2)淇淇的说法是正确的，理由见解析； (3)①，②； (4)或． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，特别是在平面直角坐标系中一次函数与不等式以及线段最值． （1）由题意直接利用待定系数法即可求解； （2）可设动点所在直线解析式为：，将代入即可得出结论； （3）①当动点在和的交点上时，取得最小值，联立和求出交点即可； ②由（2）得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解； （4）当x的值为3的整数倍时，该点为整点，则整点的横坐标为15，12，9，6，3，0，，，，共10个，与直线l的交点横坐标在之间（包括端点），设直线的解析式为，得到，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：设线段的解析式为：， ∵线段的端点为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为； （2）淇淇的说法是正确的，理由如下： 可设动点所在直线解析式为：， 将代入，可得， 可知当时，符合条件， 即动点所在直线解析式为； （3）① 如图当动点在和的交点上时， 取得最小值， 联立，解得， 即，此时； ②由（2）得出点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，， ∵点P在的内部点P在线段上， ∴； （4）对于直线，当的值为的整数倍时，该点为整点， 则在线段上，整点的横坐标为，，，，，，，，，共10个， ∵平分这10个整点， ∴与直线的交点横坐标在之间（不包括端点）， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程， 得， ∴， 当，即，则且， ∴且（舍去）； 当，即，则， ∴， ∵， ∴； ∵为整数， ∴可取或． 题型二十一 其他问题(一次函数的实际应用) 41．（23-24八年级下·河北张家口·期末）甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确时 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．正确的列出函数关系式以及分类讨论是解题的关键．先根据题意分别写出与的关系式分别为：；当时；，当时，．由此可得结论Ⅰ正确，然后分两种情况：若；若，分别求出x的值，即可判断结论Ⅱ． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 当时，．故结论Ⅰ正确； 当时，； 当时，分两种情况： 若，则， 解得； 若，则， 解得． ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为400或800．故结论Ⅱ错误． 故选：A 42．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）为了解某品牌汽车的耗油量，在高速公路上我们对这种汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，如表所示： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） … (1)如表反映的两个变量中，自变量是______，自变量的函数是______； (2)根据表可知，该汽车每小时耗油______升，汽车行驶4小时的时候，油箱的剩余油量为______升； (3)根据上表的数据，写出Q与t的关系式（不用指出自变量的取值范围）：______； (4)若汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？ 【答案】(1)汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q (2)6， (3) (4)小时 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据表格中的数据求出函数关系式， （1）根据函数的定义解答即可； （2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶1小时，油量减少，据此可得汽车行驶4小时时，该车油箱的剩余油量； （3）根据（2）中的信息，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，油箱剩余油量随汽车行驶时间变化而变化， ∴汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量， 故答案为：汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q． （2）解：由表格可知：（升），（升），（升）， ∴汽车每行驶1小时，耗油6升， ∴汽车行驶4小时时，耗油量为：（升）， ∴该汽车油箱的剩余油量为：（升）， 故答案为：6，． （3）解：由（2）得：， 故答案为：． （4）解：由题可得：， ∵ ∴当时，即， 解得：， ∴汽车油箱中剩余油量为时，汽车行驶了小时． 题型二十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 43．（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据一次函数图象的交点坐标进行判断即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象相交于点， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程．理解方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点的横坐标是解决问题的关键． 44．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．    【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题. 【详解】解：∵点在的图象上， ∴当时，， 解得， ∴点， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 题型二十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 45．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组．熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据图象可知，直线在直线的下方，且在x轴下方，对应的x的取值范围即为所求．直线和直线都过点，结合不等式组与函数图象，即可求出不等式的解集． 【详解】∵直线经过点和点，直线过点A，而满足不等式组的图象为如图之间所示的部分， ∴不等式的解集为． 故选：D． 46．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，O是坐标原点． (1)求交点A、B的坐标，并画出该一次函数的图象； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 【答案】(1)，一次函数的图象见解析 (2)4 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查了已知一次函数解析式求与x轴，y轴交点坐标的方法，由此便可画出一次函数图象，并会根据图象掌握一次函数性质． （1）在解析式中分别令和，则可求得A、B的坐标，利用两点法可画出函数图象； （2）由A、B的坐标可求得的长，则可求得的面积； （3）由图象可求得答案． 【详解】（1）解：当时， ， 当时，， ， 作出一次函数图象，如图所示： （2）解：， ， ； （3）解：根据图象可知：当时，， x的取值范围为． 题型二十四 两直线的交点与二元一次方程组的解 47．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（    ） A．方程的解是 B．不等式组的解集是 C．不等式和不等式的解集相同 D．方程组的解是 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．根据直线与直线的交点P的坐标为，结合图象即可解答． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴不等式的解集是，故B选项错误，符合题意； ∵由图象可得，不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 48．（2025·河北石家庄·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点即在上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴或． 题型二十五 求直线围成的图形面积 49．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据一次函数自变量与函数值的计算，两直线平行时比例系数的关系，一次函数图象与坐标轴围成图形面积的计算方法，即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴一次函数与直线相交，故B选项错误，不符合题意； 令时，；令时，； ∴一次函数与坐标轴围成的图形面积为，故C选项错误，不符合题意； ∵一次函数过， ∴经过y轴的负半轴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 50．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识： （1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （2）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （3）联立可得，可以求得当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标；根据题意和（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （2）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （3）解：联立得：， 整理得：， ∵， ∴， 即当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是1； ∵， ∴两函数解析式分别为，， 对于，当时，， 对于，当时，， ∴两函数图象与y轴的交点坐标分别为为， ∴（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为． $