专题10 三角形中位线重难点题型（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形中位线八大题型，从基础计算到综合应用，构建递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|5题|结合中位线平行性质转化角度|从性质直接应用到折叠变式| |求线段长度|5题|利用中位线倍长关系计算|单一中点到多中点综合| |求周长|6题|中位线与周长比关系|静态计算到规律探究| |求面积|4题|中位线分割图形面积比|面积公式与性质结合| |求最值|5题|动态问题中性质转化|动点与几何最值综合| |规律探究|3题|中点连线图形周长规律|特殊到一般归纳推理| |实际应用|3题|测量距离等场景建模|数学建模与应用意识| |证明|4题|与平行四边形等综合证明|逻辑推理与性质综合|

专题10 三角形中位线重难点题型 （八大题型） 【题型1 利用三角形的中位线求角度】..........................................1 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】....................................3 【题型3 利用三角形的中位线求周长】..........................................4 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 ........................................5 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 ........................................6 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 ....................................8 【题型7 三角形中位线的实际应用】 ........................................9 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 ........................................11 .【题型1 利用三角形的中位线求角度】 1．如图，在中，点，分别是，的中点，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____． 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 6．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 7．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 8．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 11．如图，点D，E分别是边，的中点，若的周长是6，则的周长为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 12．如图，的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则的周长等于（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 13．如图，在中，，，为的中位线，过点作，交于点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 15．如图，的周长为，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（记为第1个），以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，以此类推，则第2026个三角形的周长是___________． 16．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得，再依次连接的三边中点得，…，则的周长为________． 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 17．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 18．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 19．厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积为16，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 21．如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 22．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 23．如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 24．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 25．如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 26．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______．    27．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，按这样的规律下去，的周长为______．    28．如图，在中，，，．分别是的中点，连接；分别是的中点，连接；……按此规律进行下去，则中最短边的长度为_______． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 29．如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 30．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         31．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 32．我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点． 求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中， ，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 33．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 34．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形中位线重难点题型 （八大题型） 【题型1 利用三角形的中位线求角度】..........................................1 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】....................................5 【题型3 利用三角形的中位线求周长】..........................................8 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 ........................................12 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 ........................................16 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 ....................................21 【题型7 三角形中位线的实际应用】 ........................................24 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 ........................................28 .【题型1 利用三角形的中位线求角度】 1．如图，在中，点，分别是，的中点，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 2．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线性质得出，，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：∵D、E、F分别是、、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质和平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABD的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵∠BAD=50°，∠ADB=90°， ∴∠ABD=180°-50°-90°=40°， ∵平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O， ∴OB=OD， ∵E是边AD的中点， ∴EO是△ABD的中位线， ∴EOAB， ∴∠1=∠ABD=40°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ABD的中位线是解题关键． 4．如图，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得到，进而推出，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵E，F，G分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知三角形中位线的长度等于第三边长度的一半是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____． 【答案】80°/80度 【分析】由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE； ∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE//BC， ∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°， ∴∠A1DA＝100°， ∴∠BDA1＝180°−100°＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键． 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 6．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】解：∵，分别是边，的中点．， ∴. 7．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 8．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴． 9．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 10．如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】分别取，的中点G，H，连接，根据三角形中位线定理可得，，，从而得到点G，H，F三点共线，进而得到，连接，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，，进而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别取，的中点G，H，连接， ∵， ∴，即， ∵点E，F分别是边中点，，， ∴，，即， ∴点G，H，F三点共线， ∴， 连接，， ∵，点E为的中点，，的中点分别为G，H， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 11．如图，点D，E分别是边，的中点，若的周长是6，则的周长为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵的周长是6，即， ∴的周长为． 12．如图，的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则的周长等于（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】因为的周长是5，，所以可以推出，又根据中位线性质，可以得到,由此即可推导出平行四边形的周长． 【详解】解：∵ 的周长是5，且 ∴ 又∵对角线、相交于点 ∴是的中点 ∵ ∴,点E为的中点 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的性质，根据相关内容解题是关键． 13．如图，在中，，，为的中位线，过点作，交于点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线定理，平行线的判定与性质，由为的中位线得，，，，证明四边形是平行四边形，故有，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形的周长， ∴， 故选：． 14．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴， ∴四边形的周长， 又∵， ∴四边形的周长． 故选A． 15．如图，的周长为，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（记为第1个），以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，以此类推，则第2026个三角形的周长是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理依次可求得第二个三角形和第三个三角形的周长，可找出规律，进而可求得第2026个三角形的周长． 【详解】解：如图，、F分别为、的中点， ，同理可得，， ， 即的周长的周长， 第一个三角形的周长是原三角形周长的， 同理可得的周长的周长的周长的周长， 第二个三角形的周长是原三角形周长的， 依次类推，第个三角形的周长是原三角形周长的， 的周长为a， ∴第2026个三角形的周长是，即； 故答案为：． 16．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得，再依次连接的三边中点得，…，则的周长为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、图形类规律探究，熟练掌握三角形的中位线性质，得到周长变化规律是解答的关键．由三角形的中位线定理得：、、分别等于、、的一半， 所以的周长等于 的周长的一半，以此类推可求出的周长为的周长的． 【详解】解：∵依次连接的三边中点，得到得， ∴、、分别等于、、的一半， 所以的周长等于的周长的一半； 同理，、、分别等于 、、的一半， 所以 的周长等于 的周长的一半，等于的周长的， 同理，、、分别等于、、的一半， 所以的周长等于的周长的， ∴以此类推：的周长为的周长的， ∴则的周长为． 故答案为：1． 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 17．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线，， ， 在和中， ， ， ∴， 长方形的面积为：， 的面积是48， 故选：B． 18．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可． 【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M， ∵、分别是的、边的中点， ∴，DF∥BC， ∵D、G为AB、BH中点， ∴DG∥AH，且DG=， ∵AH⊥BC ∴DG⊥BC， ∵DF∥BC，EM⊥DF ∴DG⊥DF， ∴DG=ME= ∵S△ABC= ∴． 故选择B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中位线性质，平行线间的距离性质，熟练掌握三角形的中位线性质，三角形的面积，平行线间的距离性质是解题关键． 19．厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3． 【详解】解：如图， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点 ∴DF=BE=EC，EF=AD=BD，DE=AF=FC ∴△BDE≌△ADF≌△CEF≌△DEF ∴S△BDE=S△ADF=S△CEF=S△DEF ∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3． 故选：C． 【点睛】本题构造的问题情境经常考查：根据三角形的中位线定理可以证明三角形被它的三条中位线分成的四个三角形全等． 20．如图，在中，已知点D，E，F分别是的中点，且的面积为16，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形面积的等积变换，因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是的中点，与同底，△EBC的高是高的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，高相等； ∴， 同理得，， ∴， ∴，且， ∴， 即阴影部分的面积为4． 故选：B． 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 21．如图，在中，分别是边上的动点，连接，E为的中点，F为的中点，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作，根据三角形的中位线可知，当与重合时，取得最小值，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于I， 则， ∵E为的中点，F为的中点， ， ∴当与重合时，取得最小值，最小， ∵在中， ∴， ， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 23．如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作于F，交于E，则的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，交于E，如图， ∵，为的中线， ∴ ，， ∴的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 24．如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理算出，作点D关于的对称点F，连接，根据轴对称的性质得出，取的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线定理得出，即可求出，，根据，得出故当三点共线时，最小， 根据勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点F，连接， 则， 取的中点， ∵点E为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， 故当三点共线时， 则最小， 最小值． 故选：A． 25．如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】过点B作于H，    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 26．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，按这样的规律下去，的周长为______．    【答案】 【分析】由再利用中位线的性质可得： 再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： ，，， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律： 当时，． 故答案为： 【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 28．如图，在中，，，．分别是的中点，连接；分别是的中点，连接；……按此规律进行下去，则中最短边的长度为_______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形中最短边的长度，找出规律，可得结论． 【详解】解：在中，，，，是的中点， ∴， 中最短边的边长为， 中最短边的边长为， 中最短边的边长为， ∴中最短边的边长为， 则中最短边的边长为，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了规律型，图形的变化类，解决本题的关键是观察图形变化寻找规律． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 29．如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 【答案】150 【分析】D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 30．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 31．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：在中，分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点是的中点， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 则四边形的周长 ． 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 32．我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点． 求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中， ，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 【答案】(1)平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 (2) ，且；见解析 (3) 且，见解析 【分析】（1）直接根据三角形的中位线定理，进行作答即可； （2）根据三角形的中位线定理补全求证，延长到点M，使得，易证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）连接并延长交的延长线于点N，证明，得到，再根据三角形的中位线定理结合线段的和差关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，且． 证明：延长到点M，使得，连接，，． ∵点E是的中点， 又 ∴四边形是平行四边形 ， ∵点D是的中点， ，且 ∴四边形是平行四边形 ，， 又 ，且． （3）解：且，理由如下： 连接并延长交的延长线于点N， ∵点S是的中点 ； 在和中 ， ∴ 在中，T，S分别为，的中点， ，， ，， 且； 33．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 【答案】(1)且 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得结论． （2）证明，，可得，进一步结合角的和差运算与三角形的外角的性质求解即可． （3）取中点，连接，，证明，证明且，且，证明，进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，． （2）解：点，，分别是，，的中点， ∴，， ， ， ． （3）解：取中点，连接，． ， 点分别是的中点， ∴且，且， ． ， ， 又 ． 34．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接并延长交于点，先证明，然后得到是的中位线，即可证明； （2）根据是的中位线得到，再由得到，再等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $