专题09 平行四边形重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

**基本信息** 以十大题型系统覆盖平行四边形性质应用、判定及综合问题，题型从基础到复杂层层递进，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-4（每题3-4题）|考查角度、线段长度、面积计算及坐标表示|从平行四边形基本性质（对边平行/相等、对角相等）出发，结合图形变换与坐标知识，形成性质应用的完整链条| |特殊问题|题型5-6（每题3-4题）|涉及最值、折叠等动态问题|在性质基础上，融入图形运动与转化思想，提升空间观念与问题解决能力| |判定及综合|题型7-10（每题3-4题）|包含判定条件、存在性、动点及性质判定综合|从判定定理（边/角/对角线关系）到多知识点综合，构建“性质-判定-应用”逻辑闭环，强化推理意识|

专题09 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................2 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................3 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................4 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................5 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................6 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................7 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................8【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................9【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................10 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．如图，平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 7．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行四边形求面积】 9．如图，中，对角线交于点O，，，，则的面积是（    ） A．6 B．12 C． D． 10．如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20，，，则种植白色花卉土地的面积为（    ）    A． B．50 C．54 D．60 11．如图，在中，点E、F分别在和上，依次连接、、、．阴影部分面积分别为，，，，已知，则的值是（    ） A．8 B．14 C．16 D．22 12．如图，在中，，，的面积是，则的面积是_______ 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 13．如图，的顶点的坐标分别是，则顶点C的坐标是（   ） A．) B． C． D． 14．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到．若四边形的面积为12，则点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 15．在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 16．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 17．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 18．如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．6 C．4 D． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 21．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 22．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 23．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为______． 24．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为______．    【题型7 平行四边形的判定条件】 25．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 27．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 29．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 30．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 31．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【题型9 平行四边形的判定与动点 32．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 34．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 35．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 36．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 37．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 38．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 39．如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................3 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................7 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................10 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................13 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................17 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................20 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................23【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................26【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................29 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．如图，平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质得，最后由角平分线的定义求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 3．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理，即可得到的度数，再利用平行四边形的性质可得，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 4．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质可得，即得，利用平行四边形的性质得，再根据勾股定理解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】由作图可知平分，结合平行四边形的性质推出，进而证得，最后利用求解． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理是解题的关键． 7．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 8．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点F，根据线段垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点F， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【题型3 利用平行四边形求面积】 9．如图，中，对角线交于点O，，，，则的面积是（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质求出OA=，OD=2，由勾股定理求出AD=3，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AC=，BD=4， ∴OA=，OD=2， ∴AD==3， ∴▱ABCD的面积=AD•BD=3×4=12． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．如图，一块平行四边形的土地被分成4块小平行四边形，用来种植红、黄、蓝、白四种不同颜色的花卉，其中种植红、黄、蓝颜色花卉土地的面积分别是20，，，则种植白色花卉土地的面积为（    ）    A． B．50 C．54 D．60 【答案】C 【分析】由平行四边形由四个小平行四边形组成可知，，从而求得． 【详解】解：整体的平行四边形由四个小平行四边形组成， ， ∴． ∴．    故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，由图中平行四边形的位置关系得到平行四边形之间的面积关系是解题的关键． 11．如图，在中，点E、F分别在和上，依次连接、、、．阴影部分面积分别为，，，，已知，则的值是（    ） A．8 B．14 C．16 D．22 【答案】A 【分析】阴影部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2=平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE=S△CDF=S， 由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2=平行四边形ABCD的面积， ∴S=S△CBE+S△CDF+3+S4+4-15， 即S=S+S+3+S4+4-15， 解得S4=8， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积=△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2． 12．如图，在中，，，的面积是，则的面积是_______ 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及三角形面积公式，利用线段比例关系求出平行四边形面积，再根据中点性质求解目标三角形面积． 【详解】解：设平行四边形的面积为S，边上的高为，边上的高为 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 解得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 13．如图，的顶点的坐标分别是，则顶点C的坐标是（   ） A．) B． C． D． 【答案】B 【分析】由 A、D 两点纵坐标相同可知 轴，再说明 轴，即 B，C两点纵坐标相同．由A、D两点的坐标可求得的长度，再利用平行四边形对边相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 点 A 与点 D 的纵坐标相同， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 轴， ∴ 点 C的纵坐标与点 B 的纵坐标相同，即为， ∵， ∴点C的横坐标为，即点C的坐标为． 14．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到．若四边形的面积为12，则点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和D的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得D的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向右平移到， ∴四边形是平行四边形， ∴A和D的纵坐标相同， ∵四边形的面积为12，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换——平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键． 15．在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据题意结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 的横坐标是，纵坐标是， ．　 故选：A． 16．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为 【题型5 平行四边形中的最值问题】 17．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 18．如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，由，，求得，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，，所以，当时，的值最小，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵，， ， ∵， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 如图，当时，的值最小，此时的值最小， ，， ， ， ∴长度的最小值为． 19．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出长，然后求出的长度，再根据折线与线段重合时，线段的长度最短解题． 【详解】解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，， ∴，， ∴ ， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由翻折变换的性质得：， 当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故选C． 20．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 点的运动轨迹以E为圆心，以的长为半径的圆，则当点落在上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解． 【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以的长为半径的圆，则当点落在上时，取最小值，如图，过点E作的延长线于点H，延长交于点G，有， ∵，E是边的中点， ∴， 由沿所在直线折叠得到， ∴， 在平行四边形中， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 21．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】在中，推出，，由三角形内角和为推出，从而求出的长． 【详解】解：在中，，， ，，， ， 由折叠得，，，， ， ， F恰好为的中点， ， ， ， 在中，， ，即， ． 22．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，则可得，，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 23．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点．处，并得到折痕，小强测得长边，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可． 【详解】根据折叠的性质，得到，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 24．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为______．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可． 【详解】根据折叠的性质，得到，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【题型7 平行四边形的判定条件】 25．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 26．如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加，结合，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加，结合，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、添加，结合，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也满足一组对边相等，另一组对边平行，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 27．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据平行四边形的判定定理逐个证明即可． 【详解】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意． 28．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 29．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 30．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 31．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【答案】(1)画图见解析， (2)或或 【分析】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【详解】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 【题型9 平行四边形的判定与动点 32．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， ∴，， ∴，； （2）解：∵将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点A，B，的坐标分别为，，， ∴，点到的距离为， ∴， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ∴， 解得：，即； 如图，当M在B右侧时， ∴， 解得：，即． 34．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 35．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由可推出，根据四边形的对边平行且相等即可得出结论； （2）根据平分，得，由得，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的周长． 36．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得到且，因为已知，所以可推出，进而判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质证明两角相等； （2）先利用平行四边形对角相等的性质得到，在中根据三角形内角和定理求出的度数，再由的性质得到，最后结合平行四边形邻角互补的性质，或利用外角性质计算的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 37．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）作于F，根据可知长度，根据角平分线以及平行线的性质可知，进而可用面积公式求解； （2）取DE中点H，连，可证是平行四边形，根据三角形的中位线以及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）作于F， ， 平分， ∴, ， ， ， （2）取DE中点H，连，则． ∵点F是的中点，点H是的中点， ∵点E是BC的中点，， ∴是平行四边形， ． 38．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，得出，，结合题意可得，，进而得出四边形为平行四边形，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 在中，，， ∴． 39．如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $