微专题03 构造中位线的方法（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题03 构造中位线的方法 题型01 常规三角形的中位线（直接计算与简单证明） 考向本质：考查三角形中位线定理的单向或双向应用。即“知平行且倍半关系求长度”，或“知两边中点证平行及倍数关系”。这是最简单的基础模型。 解题方法： 1. 通用思路：读题时只要看到“D、E分别是AB、AC的中点”，大脑立刻条件反射“DE是中位线”。直接套用定理得出两条结论：一是数量关系（DE=BC），二是位置关系（DE∥BC）。 2. 关键步骤： (1) 确认中点：明确哪两个点分别是哪两条边的中点。 (2) 锁定第三边：确认中位线所对的底边。 (3) 代入公式：若求线段，直接用DE=BC或其变形BC=2DE；若求角度，利用平行线的同位角/内错角相等进行转移。 3. 防坑要点：注意区分“中位线”（连接两边中点）和“中线”（连接顶点与对边中点），中线不具备平行性质；计算时别漏掉系数或忘记翻倍。 1．（22-23九年级下·河南南阳·月考）如图，分别为中边的中点，将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行线的判定与性质，折叠性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是的中位线，，结合平行线的性质得，因为折叠，得，最后由等边对等角，即可作答． 【详解】解：∵分别为中边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵将此三角形沿折叠，使点C落在边上的点P处． ∴ ∴ 故选：D 2．（2022·湖南邵阳·一模）将沿它的中位线折叠后，点落在点处，如下图所示．若，，则的大小为（    ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得,，根据中位线的性质可得，进而可得，根据平角的定义即可求得答案 【详解】折叠 , 又， 是的中位线 故选C 【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线，平行四边形，勾股定理．解题关键是中位线性质．由已知可得，是三角形的中位线，所以，当时，最短，此时最小． 【详解】如图，连接， E、F分别为、的中点， 是三角形的中位线， ， 当时，最短，此时最小． ，， ， 由勾股定理可得， 解得：， 此时． 故选C． 4．（2024·广东惠州·二模）“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，折叠的性质，根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得是的中位线，是的中位线，最后由三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． 如图所示，取中点H，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合， ∴是的中位线， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，点是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出为的中点，，即可得出，根据为的中点，得出是的中位线，进而即可求解． 【详解】解：∵过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，为的中点， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线性质、含30度角的直角三角形的性质，先得出，根据当最小时，取最小值，求出值，进而求出结论． 【详解】解：分别是和的中点， ， 当最小时，取最小值， 点是边上的动点， 当时，最小，此时取最小值， 在中，， ， 当时，， ， ， ， 此时取最小值为， 故答案为：． 题型02 梯形及缺中点的四边形（构造中位线） 考向本质：原题中没有现成的中位线，需要通过连接对角线或作平行线，人为创造出三角形中位线来解局。常见于不规则四边形或梯形的边长求解。 解题方法： 1. 通用思路： (1) 梯形模型：若已知梯形上底、下底和中位线位置，直接利用梯形中位线公式。若未知，则连接对角线，将梯形切割成两个三角形，在三角形中构造中位线。 (2) 任意四边形模型：若四边形只有一对边有中点，可连接对角线，将问题转移到三角形中解决。 2. 关键步骤： (1) 找现有中点：观察图形中哪两条线段的交点是中点（通常是两条线段，如AC和BD的交点O）。 (2) 连线造三角：连接AC（或BD），并取它的中点M。 (3) 连中构位线：连接OM并延长交某边于N，则OM和ON分别是两个三角形的中位线。 3. 防坑要点：构造辅助线时，取对角线中点最常用；若作平行线，需注意利用“A字型”或“8字型”相似/全等模型来推导。 4. 答题模板：分析图形找隐含中点→连接对角线并取其重点（或作底边平行线）→根据三角形中位线定理表示出新线段的长度→利用平行关系转移角度或建立方程→求解目标量。 1．（2023·广东佛山·一模）如图梯形中，取的中点E，的中点F，并连接，线段与线段、间的数量关系（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，与线段相交于G，由题意转化成三角形的中位线，再根据三角形中位线定理的性质即可． 【详解】解：如图所示，连接，与线段相交于G， ∵四边形中，取的中点E，的中点F， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了转化为三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键． 2．（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 【详解】解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 3．（22-23八年级下·上海闵行·期末）我们把连接梯形两底中点的线段叫做梯形的中底线，在梯形中，，，，为梯形的中底线，那么线段长的范围为______． 【答案】 【分析】连接，取的中点E，利用三角形定中位线定理以及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：连接，取的中点E，连接，， ∵点P，Q分别是的中点， ∴，， 在中， ∴， ∴线段长的范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边的关系，掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半”是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】平行线和角平分线结合构造出等腰三角形，推出，，等量代换得出，结合题干中得出的，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵梯形的周长为， ， ． 6．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【实践与应用】 重温知识 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”． 阅读素材 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 任务1 如图②，在梯形中，，点是腰的中点，请沿着剪开将梯形剪拼成一个完整的三角形．（在图②中直接画出剪拼后的三角形） 任务2 如图③，在梯形中，，点、分别是两腰、的中点，线段叫做梯形的中位线．请类比三角形中位线的性质，猜想和、具有怎样的位置关系和数量关系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论．（如图③） 任务3 如图③，若梯形的面积为，高为，求梯形的中位线的长． 【答案】任务1：见解析；任务2：，见解析；任务3：6 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： 任务1：根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可； 任务2：延长交延长线于M，证明可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论； 任务3：由任务2：可知，，结合梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：任务1：如图所示为剪拼后的三角形． 任务2：解：和、位置关系和数量关系是：，． 证明：连接并延长与的延长线交于点． 点分别是的中点 又 ， ，点分别是的中点 是的中位线 ， ， ，， 又， ； 任务3：由任务2可知，， 而梯形的面积为，高为 即 ． 题型03 出现“单边中点”的三角形（倍长中线法） 考向本质：三角形中只有一条中线（或只知道一条边的中点），要求证与另一边相关的不等关系、倍半关系。此时需通过“倍长中线”来构造全等三角形，从而诞生新的中位线。 解题方法： 1. 通用思路：遇到“中线”或“单边中点”，第一反应就是“延长中线加倍”。通过SAS证明全等，将分散的线段和角集中到一个新的三角形中。 2. 防坑要点：倍长中线的核心目的是“转移线段和角”，构造出以中线两倍为边的三角形；注意新构造的三角形与原三角形的共角/补角关系。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（   ） A． B． C．6 D．不确定，随着四边形的形状改变 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理将已知的对角线和的长度及垂直关系转化到中，从而求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】分别取，的中点G，H，连接，根据三角形中位线定理可得，，，从而得到点G，H，F三点共线，进而得到，连接，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，，进而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别取，的中点G，H，连接， ∵， ∴，即， ∵点E，F分别是边中点，，， ∴，，即， ∴点G，H，F三点共线， ∴， 连接，， ∵，点E为的中点，，的中点分别为G，H， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，由三角形的中位线定理，可得，，，，由平行线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边可得，根据勾股定理可得，即可得． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则， ∵是的中点，是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图中，点是边的中点，点在内，平分，，点在上，．若，求的长为___________． 【答案】3 【分析】延长交于点G，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明为的中位线，四边形是平行四边形．由中位线和平行四边形的性质得出，再进一步代入求解即可． 【详解】解：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵为的中位线， ∴ ∴． 5．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 6．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点N，连接，，利用三角形中位线的性质得到，，，，得到，利用三角形内角和定理求出，证明为等边三角形，即可得到． 【详解】证明：取的中点N，连接，， ∵点E、N是、的中点， ，， 同理可得，，， ∵， ， ， ． ∵，， ， ∴， ， 为等边三角形， ∴． 题型04 多点共线或多边形中的中位线链（拐点与连线问题） 考向本质：图形中有三个及以上的中点，呈“连环套”分布（如三角形各边中点连线构成中位线三角形，或四边形四边中点连线构成平行四边形）。考查中位线的传递性和连锁反应。 解题方法： 1. 通用思路：逢“多中点”必画连线。先连接任意两个最近的中点得出第一条中位线，利用其平行和半价性质，去寻找下一个中点，形成“多米诺骨牌”效应。 2. 关键步骤： (1) 顺藤摸瓜：从已知条件最多的中点出发，连接相邻两边中点。 (2) 平行传递：由第一条中位线得出平行关系，结合其他中点，证明第二组、第三组线段平行。 (3) 边长累加/比例计算：利用各条中位线的半价关系，将外围图形的边长一步步向中心目标线段转移。 3. 防坑要点：在复杂多边形中，中位线往往不止一条，需甄别哪条是解题的“钥匙”；若证明中点四边形，切记任意四边形四边中点连线必是平行四边形（中点四边形性质）。 4. 答题模板：标出所有已知中点 →连接包含两个中点的线段启动模型 →依次推导各条中位线的长度和平行关系 →利用平行转移角度、利用半价关系计算长度 →归纳总结得出最终几何结论。 1．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2) 当时，，证明过程见解析； 当时，，证明过程见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，是等边三角形，证明，可得，是的中位线，可得，即可证得结论； （2）当时，延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系；当时，延长到点，使，连接，，作于点，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴， ∵，点为的中点， ∴垂直平分， ∴, ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． （2）解：图结论：， 证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 图③结论：， 证明：延长到点，使，连接，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线． ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）延长交于点，先证明，再得到垂直平分，然后由等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）①延长交于点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的判定结合等量代换即可证明；②可设，则，则，那么，由题意可得，，则由勾股定理得，列出方程求解得到，则，，再由三角形的中位线定理得到，即可求解平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，， ∴， ∵点E为边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴； ②由（1）得， ∴ ∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 由（1）知，而， ∴ ∴ ∴的面积． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在和中，，，，绕点旋转． (1)如图1，若连接、，则、的数量关系为：___________；位置关系为___________（不用证明）； (2)如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当旋转到使点落在直线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)，，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用“”，可得，根据全等三角形的性质和角之间的关系等量代换，即可得，； （2）延长交于点，延长至，使，连接，先根据中位线定理，易证，，再根据“”，可证，从而，，进而根据角之间的关系和等量代换，可证，即证，； （3）过点作，交于点，由（2）可知，，根据题意，易求，，再根据勾股定理，计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，与相交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； （2）解：，， 证明：如图2，延长交于点，延长至，使，连接， 点是的中点，， ，， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，即； （3）解：过点作，交于点， 由（2）可知，， ， ， ，， ，即是等腰直角三角形， 在中，，，即， ， ， 在中，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于G，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 的性质得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 根据解析①可得：， ∴， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：当在边上时（图1）， 由折叠可知，根据解析（1）可得：，， 过D作， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据解析（1）可得：， ， 由折叠，； 当在边上时（图2）， 由折叠，，， 又，故是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或或． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，我们知道：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点． ．．．．．． 经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是__________； (3)【拓展应用】如图③，直线为外的任意一条直线，过、、、分别作直线的垂线段、、、，请直接写出线段、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，．理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线. 利用三角形中位线定理得出结论； （2）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于，再根据梯形面积公式计算即可； （3）连接相交于，过点作于，过作交于，延长至点，过作交于，利用四边形、都是平行四边形，以及得出，同理可证，那么是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下， 如图，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， 是梯形的中位线， ， ， ， 是的中位线， ，，即， ， ，； （2）解：梯形的中位线长为， 梯形两底和的一半等于， ； （3）解：， 证明：连接相交于，过点作于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 过作交于，延长至点，过作交于， 则四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证， ∵是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03构造中位线的方法 题型01常规三角形的中位线（直接计算与简单证明） 题型02梯形及缺中点的四边形（构造中位线） 构造中位线的方法 题型03出现单边中点"的三角形（倍长中线法） 题型04多点共线或多边形中的中位线链（拐点与连线问题） 00 微点童戒 题型01常规三角形的中位线（直接计算与简单证明) 啸方法 考向本质：考查三角形中位线定理的单向或双向应用。即“知平行且倍半关系求长度”，或“知两边中 点证平行及倍数关系”。这是最简单的基础模型。 解题方法： 通用思路：读题时只要看到“D、E分别是AB、AC的中点”，大脑立刻条件反射“DE是中位线”。直 接套用定理得出两条结论：一是数量关系(DE-=2BC)，二是位置关系(DEBC)。 关键步骤： (1) 确认中点：明确哪两个点分别是哪两条边的中点。 (2) 锁定第三边：确认中位线所对的底边。 (3) 代入公式：若求线段，直接用DE=2BC或其变形BC2DE,若求角度，利用平行线的同位角内错角相 等进行转移。 防坑要点：注意区分“中位线”（连接两边中点）和“中线”（连接顶点与对边中点），中线不具备平 行性质；计算时别漏掉系数)或忘记翻倍。 1.(22-23九年级下·河南南阳月考)如图，D,E分别为△ABC中AC,BC边的中点，将此三角形沿DE 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CED=70°，则∠BPE等于() C D P A.40° B.50° C.60° D.70 2.(2022湖南邵阳·一模)将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A处，如下图所示.若 ∠A=35°，∠B=105°，则∠A'NC的大小为() M B A.80° B.90° C.100° D.120° 3.(24-25八年级下·湖南永州期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45°，AD=2,点M、N分别 是边AB、BC上的动点，连接DN、MN,点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF,则EF的最小 值为() D E M B A.1 B.√ c. D.2W2 4.(2024广东惠州·二模)“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片ABC, 第1次折叠使点B落在BC边上的点B处，折痕AD交BC于点D;第2次折叠使点A落在点D处， 折痕MN交AB'于点P.若BC=24,则MP+MN=一· 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B (第1次折又叠) (第2次折又叠)》 5.(22-23九年级上福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,沿过点A的直线折叠△ABC 使点B落在AC边上的点F处，折痕交BF于点D,点E是BC的中点，则DE的长为一 6.(24-25八年级下河南信阳期末)在口ABCD中，∠C=120°，AB=6,点P是BC边上的动点，连接 AP,DP E,F ,F分别是D和PD的中点，则EF的最小值是 题型02梯形及缺中点的四边形（构造中位线） 螺方法 考向本质：原题中没有现成的中位线，需要通过连接对角线或作平行线，人为创造出三角形中位线来解 局。常见于不规则四边形或梯形的边长求解。 解题方法： 通用思路： (1) 梯形模型：若已知梯形上底、下底和中位线位置，直接利用梯形中位线公式m+)。若未知，则 连接对角线，将梯形切割成两个三角形，在三角形中构造中位线。 (2) 任意四边形模型：若四边形只有一对边有中点，可连接对角线，将问题转移到三角形中解决。 关键步骤： 3/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)找现有中点：观察图形中哪两条线段的交点是中点（通常是两条线段，如AC和BD的交点O)。 (2) 连线造三角：连接AC(或BD),并取它的中点M。 (3) 连中构位线：连接OM并延长交某边于N,则OM和ON分别是两个三角形的中位线。 防坑要点：构造辅助线时，取对角线中点最常用；若作平行线，需注意利用“A字型”或“8字型”相 似全等模型来推导。 答题模板：分析图形找隐含中点→连接对角线并取其重点（或作底边平行线）→根据三角形中位线定理 表示出新线段的长度→利用平行关系转移角度或建立方程一求解目标量。 1.(2023广东佛山一模)如图梯形ABCD中，取AB的中点E,CD的中点F,并连接EF,线段EF与 线段AD、BC间的数量关系() D E A.EF=AD+BC B.EF-(ADIBC) C.EF=(AD+BC) 1 D.EF=(AD+BC) 4 2.(25-26八年级下·全国·周测)梯形上底长为L,两条腰的中点连线长为m,则梯形两条对角线中点的 连线长为() A.m-2L B.2 C.2m-L D.m-L 3.(22-23八年级下·上海闵行·期末)我们把连接梯形两底中点的线段叫做梯形的中底线，在梯形ABCD 中，AD∥BC,AB=8,DC=12,P为梯形ABCD的中底线，那么线段P吧长的范围为一 4.(2425八年级下·上海月考)（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形ABCD中， AD∥BC,AD<BC,E、F分别是对角线BD.AC中点，求证：EF=BC-AD) 5.(25-26八年级下·全国课后作业)如图O,在梯形ABCD中，AD∥BC,E、F分别是AB、CD的 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中点，连接EF,EF叫做梯形的中位线.小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段EF、AD与 BC之间的位置和数量关系做了探究.通过连接AF,并延长交BC的延长线于点G,证明 △ADF2aGCF,再结合三角形中位线的定理可得出EF∥AD∥BC, EF-(AD+BC). E 图① 图② 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P,且点P在梯形中位线EF上.若梯 形ABCD的周长为24cm,求EF的长. 6.(24-25八年级下广西来宾期中)【实践与应用】 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证 明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”， 重 温 知 识 (图①) 阅 读 组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平 素 行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 材 如图②， 在梯形ABCD中，AD∥BC,点F是腰DC的中点，请沿着AF剪开将梯形剪拼成一个完 任 务 1 整的三角形.（在图②中直接画出剪拼后的三角形） B (图②) 5/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E、F分别是两腰AB、DC的中点，线段EF叫做梯形 ABCD的中位线.请类比三角形中位线的性质，猜想EF和AD、BC具有怎样的位置关系和数量关 系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论.（如图③) 任 务 2 E B (图③) 如图③，若梯形ABCD的面积为30cm2,高为5cm,求梯形的中位线EF的长. D 任 务 3 (图③) 题型03出现“单边中点”的三角形（倍长中线法) 啸方法 考向本质：三角形中只有一条中线（或只知道一条边的中点），要求证与另一边相关的不等关系、倍半 关系。此时需通过“倍长中线”来构造全等三角形，从而诞生新的中位线。 解题方法： 通用思路：遇到“中线”或“单边中点”，第一反应就是“延长中线加倍”。通过SA$证明全等，将分 散的线段和角集中到一个新的三角形中。 防坑要点：倍长中线的核心目的是“转移线段和角”，构造出以中线两倍为边的三角形；注意新构造的 三角形与原三角形的共角补角关系。 1.(25-26八年级下·江苏苏州期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC1BD,且AC=8,BD=10 点E、F分别是边AB、CD的中点，则EF的长度是() 6/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.47 B.2V0 C.6 D,不确定，随着四边形的形状改变 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，己知AB=AC，点E,F分别是边BC,AD中点，若 BC=10,AB=13,CD=4 EF ,则”的长为() A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 3.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江期中)如图，在△ABC中，∠C=45°，点D,E分别在边AC和BC上， 且AD=2N2,BE=2,连接DE,M,N分别是AB和DE的中点，连接MN,则MN=() 以 D C B. 12 5 c.2 13 A.5 D.5 4.(25-26八年级下·安徽准南期中)如图△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分 ∠BAC,CE⊥AE,点F在AB上，EF∥BC.若AB=IO,AC=4,求BF的长为 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026浙江丽水·一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点，连接BD,E 为BD的中点，过点D作DM⊥BC,垂足为点M,交EP的延长线于点N,连接AE,AN. E (I)若AB=8,求EP的长： (2)证明：CD=PV; S△MBED (3)当AE⊥EN时，求S△c的值. 6.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中)定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”·四 边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD,边BA与CD的延长线交于点M,点E、F是对角线 AC、BD的中点，若∠M=60,求证：EF=?AB B 题型04多点共线或多边形中的中位线链（拐点与连线问题） 啸方法 考向本质：图形中有三个及以上的中点，呈“连环套”分布（如三角形各边中点连线构成中位线三角 形，或四边形四边中点连线构成平行四边形)。考查中位线的传递性和连锁反应。 解题方法： 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通用思路：逢“多中点”必画连线。先连接任意两个最近的中点得出第一条中位线，利用其平行和半价 性质，去寻找下一个中点，形成“多米诺骨牌”效应。 关键步骤： (1) 顺藤摸瓜：从已知条件最多的中点出发，连接相邻两边中点。 (2) 平行传递：由第一条中位线得出平行关系，结合其他中点，证明第二组、第三组线段平行。 (3) 边长累加比例计算：利用各条中位线的半价关系，将外围图形的边长一步步向中心目标线段转移。 防坑要点：在复杂多边形中，中位线往往不止一条，需甄别哪条是解题的“钥匙”；若证明中点四边 形，切记任意四边形四边中点连线必是平行四边形（中点四边形性质）。 答题模板：标出所有已知中点→连接包含两个中点的线段启动模型→依次推导各条中位线的长度和平 行关系→利用平行转移角度、利用半价关系计算长度→归纳总结得出最终几何结论。 .(25-26八年级下·黑龙江牡丹江期中)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AD=AE,连接BD, DE,点B,D,E在同一条直线上，∠ABC=∠ADE,点F为BE的中点，连接CF. 0咖如图O,当∠B4C-30P时，求证：BF=CF+号4D: D 图① 图② 图③ (2)当∠BAC=45°时，如图②；，当∠BAC=60°时，如图③，分别写出线段BF,CF,，AD之间的数量 关系，并选择图②或图③进行证明. 2.(25-26八年级下·湖北武汉期中)已知在口ABCD中，点E为AD边的中点. 图1 图2 (I)如图1，若BE⊥CE,求证：BE平分∠ABC; (2)如图2，点F为DC延长线上一点，且∠ABE=∠F, ①求证：BE=EF; 9/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若CF=CD,AE=2,BE=3,求口ABCD的面积， 3.(25-26八年级下山东济南期中)如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=90°，△ADE绕点A旋转， B B C 图1 图2 图3 (I)如图1，若连接BD、CE,则BD、CE的数量关系为： 、 ；位置关系为 (不 用证明)； (2)如图2，若连接CD、BE,取BE中点F,连接AF,试探究AF与CD的关系，并证明你的结论： (3)在(2)的条件下，当△ADE旋转到使点D落在直线BC上，若AF=1.5,AC=2W2,请直接写出线 段AD的长. 4.(25-26八年级下浙江杭州期中)如图1，在平行四边形1BCD中，B=3W5,4D=5.∠ABC=45° 点E,F分别为边AD,BC上的动点（不与顶点重合），且AE=CF,连接EF,将四边形CFED沿着 EF折叠(D在BC边的上方)得到四边形C'FED' D D 图1 图2 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 备用图 (I)连接BD交EF于点O,连接BD'. ①求证：OB=OD ②如图2，连接DD交OE于点H,若OF=BD',求DE的长. (2)若点C'落在平行四边形ABCD的边上，请直接写出CC'所有可能的值， 5.(25-26八年级下·江苏宿迁·期中)【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究 的过程，我们知道：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. D 图① 图② 图③ (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的 线段叫做梯形的中位线.如图①，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接AF并延长，交BC的延长线于点G. 经过你的分析，请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由， (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为7cm,高为6cm,则梯形面积是 cm'; (3)【拓展应用】如图③，直线I为口ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线I的垂线 段BE、AF、CG、DH,请直接写出线段BE、AF、CG、DH之间的数量关系. 6.(25-26八年级下广东广州期中)如图1，点C是射线B0上的一个动点，点A在射线BC的上方.现 以点A,B,C为顶点构造平行四边形 BCD(BC>AB).∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F, 直线CF与BE相交于点G. 11/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E Be Q 图1 图2 (I)如图1，求证：BE⊥CF: (2)如图2，点为BC中点，连接AG并延长交线段CD于点H,若AB=6,G=5,求DH的长： (3)如图1，在点C的运动过程中，探究线段AB,CF，BE之间的数量关系，并说明理由 12112