专题02 平行四边形中线段和最值之将军饮马模型的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形中线段和最值，系统整合将军饮马、遛马及多线段和三大模型，通过模型解读-原理提炼-典例变式构建完整方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马模型|1例+5变式|对称转化，两点之间线段最短|从两点异侧到同侧，基础模型构建| |将军遛马模型|1例+4变式|平移定长线段+对称转化|双动点定长情境，模型拓展应用| |多线段和最小值|1例+5变式|多次对称/平移转化，化折线为直线|复杂情境综合，模型迁移深化|

专题02 平行四边形中线段和最值之将军饮马模型的三种模型 目录 题型一：求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 1 题型二：求两条线段和的最小值（将军遛马模型） 9 题型三：求多条线段和（周长）最小值 15 题型一：求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例题：（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形面积公式，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理；作C点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质可得，，，所以，当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，再根据平行四边形面积公式和勾股定理计算出的长度即可. 【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 当P点与F点重合时时有最小值即为的长度， ∵的面积为24 ∴ ∴ ∴ ∵四边行是平行四边形 ∴ ∴ 在中， ∴的最小值为10， 故答案为：10 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___． 【答案】5 【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点在上， ∴，则，当在同一条直线上时，有最小值， ∵点关于的对称点，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，作于点，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．利用含角的直角三角形的性质可计算出，则，利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴取得最小值． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为． 先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵平行四边形， ∴，， 由平移性质得：，， 四边形为平行四边形， ， ， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，， ， ，， ∵， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在▱中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 题型二：求两条线段和的最小值（将军遛马模型） 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 此时 故答案为：． 2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、最短路径问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）轴对称和平移变换是在解决有关最值问题时常用的思维方法，请利用所学知识解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，当的值最小时，点的坐标为_____． (2)如图，直线，且，之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且．在直线和直线上分别找点，，使得，且的值最小，并求出的最小值．    【答案】(1) (2)、位置见解析，的最小值为 【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，根据轴对称的性质得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，，利用待定系数法求出直线的解析式，求出与轴的交点坐标即可； （2）将点竖直向上平移个单位到，连接，交直线于，过点作于，连接，可得四边形是平行四边形，得出点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为，过点作，交延长线于，利用勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，连接， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：如图，将点竖直向上平移个单位到，连接，交直线于，过点作于，连接， ∵，，之间的距离为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴点、即为所求， 过点作，交延长线于， ∵，之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型三：求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 3.如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．    ， ， ， ， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 故答案为． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等知识点，过点C作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且E、F分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点G，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用． 【详解】过点C作以所在直线为对称轴的对称点，交于点P，由对称性质得，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴， 延长到Q，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴N为的中点， 同理可证，M为的中点， ∴为的中位线， ∴， 连接，此时与的交点G，由两点之间线段最短得，此时周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点D是延长线上一点，以，为邻边作． （1）连接，则面积为___________． （2）连接，则的周长最小值为___________． 【答案】 3 / 【分析】（1）连接，利用平行四边形的性质可得，的面积相等，求出的面积即可得解； （2）作，且，连接，证明点直线上运动，由勾股定理可得为定值，结合的周长为，得出当最小时，的周长最小，过点作的对称点，连接、，则，，则当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，等底等高， ∴，等底等高， ∴，的面积相等， ∵，，， ∴的面积为 ∴面积为：3； 故答案为3； （2）作，且，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∵，，， ∴为定值， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 过点作的对称点，连接、，则：，， ∴， ∴当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴，，三点共线， ∵到的距离为， ∴， 在中， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行四边形中线段和最值之将军饮马模型的三种模型 题型归纳 目录 题型一：求两条线段和的最小值（将军饮马模型） .1 题型二：求两条线段和的最小值（将军遛马模型） 9 题型三：求多条线段和（周长)最小值15 题型专练 题型一：求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小； (1)点A、B在直线m两侧： (2)点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A'是A关于直线m的对称点。 例题：(24-25八年级下·贵州六盘水·期末)如图，在面积为24的▣ABCD中，BC=6,点P为AD边上的一 点，连接PB,PC则PB+PC的最小值为 D 【变式训练】 1.(24-25八年级上·湖南长沙期末)如图，在等边ABC中，BD1AC于D,AD=3cm,点P,Q分别为 AB,AD上的两个定点且BP=AQ=1cm,点M为线段BD上一动点，连接PM,QM,则PM+QM的最小值 为cm D 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·江苏镇江期中)如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=2,AD=3,E,F分 别是边CD,AD上的动点，且CE=DF,则AE+CF的最小值为： A D B2526八年级上福建泉州周末)如图，在A8C中，∠ACB=90,AB-石，AC=5 16 ,点D,E分 别是线段BC,AB上的动点（点D不与点C重合），且CD=AE,连接AD,CE,则AD+CE的最小值为 B 4.(24-25八年级下·广东惠州月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,S。ABCD=30,将线段AB沿 着直线AB上下平移得到线段AB,连接AC,B'C，则A'C+B'C的最小值是· D 5.(23-24八年级下·辽宁本溪·期末)如图，在口ABCD中，AE为BC边上的高，点F和点G分别为高AE和 边CD上的动点，且AF=DG.若AB=5,BC=4,∠ADC=60°，则BF+AG的最小值为 E 题型二：求两条线段和的最小值（将军遛马模型） 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定 ,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）： 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AClm,且AC=PQ,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ 长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ,ACm,AC=PQ,得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。.PA+QB=QC+QB, 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AElm,且AE=PQ,作B关于m的对称点B”,连接BE,交 直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ,AEm,AE=PQ,得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴.PA+QB=QE+QB, 根据对称，可得QB'=QB,即QE+QB=QE+QB, 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB的最小值为EB',故PA+PO+QB的最小值=PQ+EB'。 例题：(2024陕西西安模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4√，BC=3√万，∠ABC=60°，E 、F分别为边AD、BC上的点，且AE=CF,连接BE,AF,则AF+BE的最小值为 【变式训练】 1.(24-25八年级下江苏南京·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为3,1，(6，-1.若 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x轴上有两个动点M、N(M在N的左侧)，且MN=1,则AM+BN的最小值为 Y 2.(2024四川广安.二模)如图，CD是直线x=1上长度固定为1的一条动线段.己知点A(-1,0),B(0,4), 则BC+AD的最小值为一· 3.(24-25八年级上江苏南京·期中)如图，长方形ABCD中，AB=9,BC=4,G是AD的中点，线段 EF在边AB上左右滑动，若EF=1,则GE+CF的最小值为一· 4.(25-26八年级下·辽宁沈阳·月考)轴对称和平移变换是在解决有关最值问题时常用的思维方法，请利用 所学知识解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，A(0,2),B(4,3),在x轴上找一点C,当AC+BC的值最小时，点C的坐 标为 B 4 0 (2)如图，直线a∥b,且Q,b之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为2，且 AB=√34.在直线Q和直线b上分别找点C,D,使得CD⊥a,且AC+CD+DB的值最小，并求出 AC+CD+DB的最小值. 4/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 题型三：求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。 (1)两个点都在直线外侧： (2)一个点在内侧，一个点在外侧： (3)两个点都在内侧： (4)台球两次碰壁模型 1)已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形 ADEB周长最短 2)己知点A位于直线m,n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短 【最值原理】两点之间线段最短。 例题：(24-25八年级上陕西西安期末)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D,E是 边AB上两动点，连接CD,CE.若DE=2,则aCDE周长的最小值为一 5/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D E B 【变式训练】 1.(24-25九年级下陕西西安期中)如图，在四边形ABCD中，AD=CD=4,∠C=∠ADC=90°，点E, F在边BC上，且EF=2.连接AE,DF,则四边形AEFD周长的最小值为· B E 2.(2025湖南娄底模拟预测)如图，在等边三角形ABC中，AB=3,D、E是边AC上的三等分点，点M N分别在边AB,BC上运动，则四边形DENM周长的最小值是 M B 3如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、点E为边AB上的点，且AD=BE,点M、N分别为边AC、 BC上的点.己知：AB=a,DE=b,则四边形DMNE的周长的最小值为一 D B 4.(24-25九年级上江苏无锡阶段练习)如图，口ABCD中，AB=6,BC=10,∠ABC=60°，若E、F分 别是边AB、CD的中点，连接EF,点G是边AD上任意一点，连接GB、GC分别交EF于点M、N,则 △GMN周长的最小值是 G E M B 5.(24-25八年级下·安微阜阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=3,点D是AC延 长线上一点，以BA,BD为邻边作ABDE. 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D (1)连接CE,则△ACE面积为 (2)连接BE,则△ABE的周长最小值为 7/7