专题08 解分式方程积分式方程应用重难点汇编（六大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

**基本信息** 聚焦分式方程解法与应用，以题型为纲系统覆盖基础求解、参数讨论及工程、行程等实际问题，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|5题|含去分母、验根基础操作|从整式方程到分式方程，强调转化与验根必要性| |参数问题|4题|涉及增根、解的正负性讨论|解法延伸，深化对分式方程解的理解| |工程问题|5题|含效率对比、工期优化|用分式方程刻画工作总量与效率关系| |行程问题|6题|涉及速度差、时间差情境|建立路程-速度-时间的等量关系模型| |销售问题|5题|含单价、数量、费用关系|应用分式方程解决经济生活中的比例问题| |其他问题|5题|含生产效率、产量对比等|拓展分式方程在不同实际场景的应用|

专题08 解分式方程积分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................4 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................6 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................9 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................12 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................16 【题型01 解分式方程】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：， ， ，即， 检验：当时， ， 是原方程的解． 2．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 3．解方程：. 【答案】 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式方程的解法，求解检验即可； （2）根据分式方程的解法，求解检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 5．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以： ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 6．已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数结合分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可确定出的范围，解分式方程注意要检验． 【详解】解：， 移项得， 两边同乘最简公分母去分母得： 整理得：， 解得 ∵方程的解为负数，因此，即：，解得 ∵分式方程分母不能为0，因此且； 若，则，解得，此时方程产生增根，无解，因此 综上，的取值范围是且． 7．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 8．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，求出分式方程的解，根据解是非负数结合分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是非负数， ∴． 解得． 又∵， ∴ ∴m的取值范围是且． 9．若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】先解关于的方程，得到用代数式表示方程的解，再利用的值为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边乘，得 ， 解得． 由分式方程的解为正数，得 ，解得． 要使原分式方程有意义， ， 即， 得， 的取值范围为且． 【点睛】本题考查了含参分式方程，解题的关键是含参的解要满足分式的分母不能为零． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 10．青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘米； (2)每天还应多挖掘米． 【分析】（）设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务，列分式方程求解； （）设每天还应多挖掘米，根据完成该项工程的工期不超过天，列不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴实际每天挖掘， 答：实际每天挖掘米； （2）设每天还应多挖掘米， 由题意，得， 解得， 答：每天还应多挖掘米． 11．三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等. (1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？ (2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？ 【答案】(1)甲工程队每天植树80棵，乙工程队每天植树60棵 (2)甲工程队至少植树5天可以完成任务 【分析】本题考查了解分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到数量关系列出方程与不等式是关键； （1）设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，根据丙队的时间相等列出分式方程，求解即可，注意检验； （2）设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，根据：植树任务不少于1160棵，列出不等式并解之即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵， 由题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际， 则甲工程队每天植树（棵）； 答：甲、乙两工程队每天各植树80棵、60棵； （2）解：设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队至少植树5天可以完成任务． 12．某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 【答案】20份 【分析】设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：智能体乙平均每小时能完成20份日常办公任务． 13．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 14．快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时．求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？ 【答案】一名工人每小时可分拣件货物，一台机器人每小时可分拣件货物 【详解】解：设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 答：一名工人每小时可分拣件货物，一台机器人每小时可分拣件货物． 【题型04 分式方程应用-行程问题】 15．列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． (1)求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ (2)对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 【答案】(1)A型机器人每小时检测450个零件，B型机器人每小时检测400个零件． (2)B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【分析】（1）设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件，再根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件， 根据题意列方程：，解得：， 则A型每小时检测个． 答：A型每小时检测450个零件，B型每小时检测400个零件． （2）解：设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件， 根据题意列方程： ， 整理解得：， 经检验是原方程的解，符合题意． 升级前B型每小时检测400个，因此增量为：个． 答：B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【点睛】找到等量关系、正确列出方程是解题的关键． 16．某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【答案】3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 17．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 【答案】80千米/时 【分析】根据路程=速度×时间的关系，结合A型车比B型车少用0.75小时的等量关系，设未知数列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度为千米/时，则A型车的平均速度为千米/时． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度为千米/时． 18．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． 【答案】该动车行驶的平均速度 【分析】设普通列车的平均速度为，根据动车所需时间比普通列车少，列分式方程求解即可． 【详解】解：设普通列车的平均速度为， 根据题意列方程为：， 解得：， 经检验是方程的根且符合题意， 可得：， 答：该动车行驶的平均速度． 19．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 【答案】甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时 【分析】根据“行驶时间相同”的等量关系，设乙车速度为未知数，列分式方程求解． 【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时． 20．云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 21．电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． (1)求甲、乙两种型号电动车的单价； (2)若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 【答案】(1)甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元 (2)该商店最多可以采购11辆甲型电动车 【分析】（1）设甲型号电动车的单价为a万元，则乙型号电动车的单价为万元，根据题意，即可求解； （2）设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种型号电动车的单价为a万元，则乙种型号电动车的单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元； （2）解：设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴x的最大值为11， 答：该商店最多可以采购11辆甲型电动车． 22．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 23．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 【答案】(1)购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 (2)荣庆公司最多可购买18个该品牌台灯 【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； （2）解：设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买18个该品牌的台灯． 24．为了营造更加浓厚的读书氛围，我校初二年级计划采购古典名著、原创诗歌两种课外读物用于学生阅读．年级预算资金为2000元，且原创诗歌每本的价格是古典名著每本价格的1.25倍．若用800元购买古典名著，剩余的资金购买原创诗歌，则购买到的古典名著的数量比原创诗歌的数量少10本． (1)求古典名著和原创诗歌每本的价格分别为多少元？ (2)由于采购方案的变化，现在共需采购古典名著、原创诗歌两种课外读物共100本，恰逢商家进行促销活动，商家决定给予一定的优惠，古典名著在原价的基础上降价，原创诗歌按原价的九折销售，购买两种读物的总费用不超过1694元，请问古典名著最少购买多少本？ 【答案】(1)古典名著和原创诗歌每本的价格分别为16元和20元 (2)古典名著最少购买18本 【分析】本题主要考查了运用分式方程以及一元一次不等式解决实际问题． （1）设古典名著每本的价格为x元，则原创诗歌每本的价格为元，根据“花费资金÷单价=购买数量”，结合题意列出分式方程，解方程，进行检验后得出答案； （2）设购买古典名著m本，则购买原创诗歌本，根据“销售单价×销量=费用”，结合题意“购买两种读物的总费用不超过1694元”，注意题中“降价”和“打折”的数学表示，列出相关不等式，解不等式，最后根据实际情况m应为正整数，得出正确答案． 【详解】（1）解：设古典名著每本的价格为x元，则原创诗歌每本的价格为元， 由题意得：． 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：古典名著和原创诗歌每本的价格分别为16元和20元． （2）解：设购买古典名著m本，则购买原创诗歌本， 由题意得：． 解得：， ∵m为正整数， ∴． 答：古典名著最少购买18本． 25．2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 【答案】(1)足球单价为50元，篮球单价为60元 (2)最多能购买30个篮球 【分析】（1）根据“300元购买的篮球数量等于250元购买的足球数量”的等量关系列分式方程求解； （2）根据总费用不超过2800元的不等关系列一元一次不等式，求解得到篮球的最大购买数量． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：足球单价为50元，篮球单价为60元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意得， 化简得， 解得， ∵要求尽可能多买篮球， ∴的最大值为． 答：最多能购买30个篮球． 【题型06 分式方程应用-其他问题】 26．列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】(1)该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元 (2)2万元 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 27．某厂家生产，两种智能分拣设备，已知设备分拣1500件快件所用的时间与设备分拣1800件快件所用的时间相同，且设备每小时比设备少分拣100件快件． (1)求设备每小时分拣多少件快件？ (2)一公司现需从该厂家购进，设备若干，由于费用限制要求设备比设备多购进2个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进多少个设备？ 【答案】(1)设备每小时分拣500件快件 (2)至少要购进个设备 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设设备每小时分拣件快件，则设备每小时分拣件快件， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：设备每小时分拣500件快件． （2）解：设购进设备个，则购进设备个， 由题意得，， 解得，． 答：至少要购进个设备． 28．随着我国科技事业的不断发展和航天技术的需要，某航天企业推出甲、乙两种型号的卫星零部件加工机器人．已知甲型号机器人比乙型号机器人平均每小时多加工15个零部件，甲型号机器人加工900个零部件所用时间与乙型号机器人加工600个零部件所用时间相同．则甲、乙两种型号机器人平均每小时分别加工多少个零部件？ 【答案】甲型号机器人平均每小时加工45个零部件，乙型号机器人平均每小时加工30个零部件 【详解】解：设甲型号机器人平均每小时加工个零部件，则乙型号机器人平均每小时加工个零部件. 根据题意，得.         解得.             经检验，是原分式方程的解，且符合题意.     .             答：甲型号机器人平均每小时加工45个零部件，乙型号机器人平均每小时加工30个零部件. 29．学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，已知B馆的文物比A馆少件，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍，两组同学认真地听完了各自选择的馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前分钟结束参观，求A馆有多少件文物． 【答案】A馆有件文物 【分析】对于应用题，通常问什么就设什么，设A馆的文物有件，再由B馆的文物比A馆少件，得到B馆的文物有件，再结合甲组同学分钟结束参观，乙组同学分钟结束参观，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍这个等量关系列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设A馆的文物有件，则B馆的文物有件， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题中的实际意义， 答：A馆有件文物． 【点睛】对于分式方程应用题，也必须要验根，这是极容易忽略出错的地方． 30．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为_____，“丰收2号”单位面积产量为_____（以上结果均用含的式子表示）： ②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由； (2)某农户试种“丰收1号”．“丰收2号”两种小麦种子．两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450平方米，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求的值． 【答案】(1)①；；②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由见解析 (2)19 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． （2）解：根据题意，得：， 解得 经检验，是原方程的解且符合题意． ∴的值是19． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解分式方程积分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................2 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................3 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................5 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................7 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................8 【题型01 解分式方程】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解下列分式方程： (1) (2) 3．解方程：. 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．解分式方程： (1) (2) 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 6．已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 7．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 8．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 9．若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 10．青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 11．三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等. (1)求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？ (2)甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？ 12．某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 13．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 14．快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时．求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？ 【题型04 分式方程应用-行程问题】 15．列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． (1)求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ (2)对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 16．某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 17．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 18．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． 19．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 20．云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【题型05 分式方程应用-销售问题】 21．电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． (1)求甲、乙两种型号电动车的单价； (2)若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 22．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 23．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 24．为了营造更加浓厚的读书氛围，我校初二年级计划采购古典名著、原创诗歌两种课外读物用于学生阅读．年级预算资金为2000元，且原创诗歌每本的价格是古典名著每本价格的1.25倍．若用800元购买古典名著，剩余的资金购买原创诗歌，则购买到的古典名著的数量比原创诗歌的数量少10本． (1)求古典名著和原创诗歌每本的价格分别为多少元？ (2)由于采购方案的变化，现在共需采购古典名著、原创诗歌两种课外读物共100本，恰逢商家进行促销活动，商家决定给予一定的优惠，古典名著在原价的基础上降价，原创诗歌按原价的九折销售，购买两种读物的总费用不超过1694元，请问古典名著最少购买多少本？ 25．2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 【题型06 分式方程应用-其他问题】 26．列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 27．某厂家生产，两种智能分拣设备，已知设备分拣1500件快件所用的时间与设备分拣1800件快件所用的时间相同，且设备每小时比设备少分拣100件快件． (1)求设备每小时分拣多少件快件？ (2)一公司现需从该厂家购进，设备若干，由于费用限制要求设备比设备多购进2个，若购进的这批设备1小时至少需要共同完成10900件快件的分拣任务，那么至少要购进多少个设备？ 28．随着我国科技事业的不断发展和航天技术的需要，某航天企业推出甲、乙两种型号的卫星零部件加工机器人．已知甲型号机器人比乙型号机器人平均每小时多加工15个零部件，甲型号机器人加工900个零部件所用时间与乙型号机器人加工600个零部件所用时间相同．则甲、乙两种型号机器人平均每小时分别加工多少个零部件？ 29．学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，已知B馆的文物比A馆少件，B馆平均每件文物的讲解语音时长是A馆的倍，两组同学认真地听完了各自选择的馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前分钟结束参观，求A馆有多少件文物． 30．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为_____，“丰收2号”单位面积产量为_____（以上结果均用含的式子表示）： ②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由； (2)某农户试种“丰收1号”．“丰收2号”两种小麦种子．两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450平方米，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $