命题大赛 云南玉溪市峨山一中2025-2026学年高一下学期期中检测数学练习（必修一、必修二第6、7章）

**基本信息** 高一数学期中试卷涵盖集合、函数、向量、立体几何等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力及模型意识，解答题注重综合性与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、函数图像、向量垂直、立体几何命题|基础巩固，考查抽象能力与几何直观| |多选题|3/18|不等式解法、充分条件、三角函数定义|能力提升，注重逻辑推理| |填空题|3/15|向量共线（原创）、解三角形、投影向量|创新应用，体现符号意识| |解答题|5/77|正四棱锥表面积体积、复数方程、解三角形面积、向量与三角函数综合|综合考查空间观念、运算能力及模型意识，贴合真题命题趋势|

高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分,考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 已知集合则（ ） 已知则（ ） 已知向量若⊥，则（ ） 下列命题正确的是( ) 过三个点有且只有一个平面 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 四边形为平面图形 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 5.函数的图象大致为（ ） 6.已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是( ) 7. 如图，在中，为的中点，是线段上的一点，若则( ) 8.已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项中，正确的是( ) 不等式的解集为 不等式的解集为 不等式的解集为 设，则“”是“”的充分不必要条件 10.已知函数的图象过定点，且角的终边经过点，则( ) 11.已知则( ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （原创）12. 已知非零向量与向量共线，则= 13. 在中，角的对边分别为已知 则 . 14. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)计算： 16. (15分) 如图，已知正四棱锥 （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 17. (15分)（1）在复数范围内解方程. （2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值. 18. (17分) 在中，内角的对边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若的面积，求面积的最小值. 19. (17分) 已知向量函数 . （1）求函数的最小正周期； （2）若求的取值集合； （3）当求的取值范围． 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 已知集合则（ C ） 【解析】已知全集，集合，. 所以. 又因为， 所以. 故选：C. 已知则（ D ） 【解析】已知，则. 答案为D. 3. 已知向量若⊥，则（ A ） 【解析】已知，，则，. 因为两向量垂直，则. 即，化简得，解得. 答案为D. 4.下列命题正确的是( D ) A.过三个点有且只有一个平面 B.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C.四边形为平面图形 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解析】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ A ） A. B. C. D. 【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数， 其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 6. 已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是( B ) 【解析】∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 7. 如图，在中，为的中点，是线段上的一点，若则( C ) 【解析】设（），则. 因D为BC中点，故. 代入得. 又，则. 解得，. 故答案为：C. 8. 已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ B ） 【解析】函数恰有个零点，即与的图象有个交点. 当时，， 对称轴为的抛物线，在处取得最小值，时，. 当时，，在单调递增， 且趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于. 因为与的图象要有个交点，所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，正确的是( ABD ) 不等式的解集为 不等式的解集为 不等式的解集为 设，则“”是“”的充分不必要条件 【解析】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而，D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数的图象过定点，且角的终边经过点，则( BD ) 【解析】因为y＝loga(x－4)－12(a>0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，得y＝loga1－12＝－12，所以P(5，－12)，sinθ＝＝－，cosθ＝＝，tanθ＝－. 11. 已知，则( ACD ) 【解析】因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确； 因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0， 由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误； sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确； ＝＝＝，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】1或 【解析】 设计说明 背景;向量与三角函数综合考察。 知识考查;向量共线知识的考察，三角函数的化简和计算 能力考查;分类讨论的数学思想，数据分析能力 13. 在中，角的对边分别为已知 则 . 【解析】在中，因为，已知，则； 已知，则. 由正弦定理，可得. 将，，代入上式：. 14. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且则 4 . 【解析】根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为. 已知在方向上的投影向量为，且，所以. 因为是非零向量（），两边同时除以，可得. 将代入，即，解得. 根据定义，在方向上的投影向量为. 已知在方向上的投影向量为，且，所以. 因为是非零向量（后续求，若为零向量无意义），两边同时除以，可得. 把代入，即. 所以. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）计算： 【答案】解：..............................3分 .......................................6分 ................................9分 .................................13分 16.（15分）如图，已知正四棱锥 （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 【答案】解：（1）连接、相交于，连接. 过点作于点，连接，为斜高. 在正方形中，，则. 在中，，. 在中，，则. 的面积. 正四棱锥的侧面积，底面积. 所以表面积.....................7分 （2）由（1）知，底面正方形面积. 根据四棱锥体积公式，可得..............15分 17.（15分）（1）在复数范围内解方程. 【答案】解： （2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值.....6分 (2)因为2i-3是关x的方程=0的一个根， 所以有+q=0， 整理得 故有......................................15分 18.（17分）在中，内角的对边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若的面积，求面积的最小值. 【答案】解：（1）已知，根据正弦定理， 可得，，. 将其代入中，得到. 因为，所以，则. 那么， 展开得：, 移项可得：，得. 因为，所以，则，解得. 又，所以.......................7分 （2）由三角形面积公式，已知，则. 又已知，所以，化简得. 根据余弦定理，把代入得： . 可得，即. 将代入中，得到，即， 因为，得，所以. 当且仅当时等号成立..........................17分 那么，所以面积的最小值为. 19.（17分）已知向量函数 . （1）求函数的最小正周期； （2）若求的取值集合； （3）当求的取值范围． 【答案】解：（1）因为， 利用辅助角公式得， 所以最小正周期.........................4分 （2）由，得，即. 则或（）， 解得或（）， 故的取值集合为..................10分 （3）当时，，， 所以........................17分 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度 1 选择题 5 集合补集、交集运算 0.8 2 选择题 5 复数的运算和模长 0.7 3 选择题 5 已知平面向量垂直，求参数，平面向量坐标运算 0.8 4 选择题 5 点、线、面问题 0.8 5 选择题 5 判断函数图象 0.7 6 选择题 5 全称量词命题与存在量词命题的综合应用 0.6 7 选择题 5 平面向量基本定理 0.65 8 选择题 5 根据函数零点个数求参数范围 0.6 9 选择题 5 解不等式 0.8 10 选择题 5 利用三角函数定义求值 0.75 11 选择题 5 正弦、余弦、正切的关系 0.75 12 填空题 5 向量和三角函数结合 0.8 13 填空题 5 正弦定理 0.8 14 填空题 5 投影向量 0.7 15 解答题 5 复数的乘法、除法运算、指对数的化简计算 0.8 16 解答题 5 求正四棱锥的表面积、体积 0.8 17 解答题 12 复数范围内解一元二次方程 0.75 18 解答题 12 正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形面积的最小值 0.55 19 解答题 12 平面向量数量积与三角函数 0.5 $