命题大赛 云南玉溪市峨山一中2025-2026学年高一下学期期中检测数学练习（必修一、必修二第6、7章）

**基本信息** 期中试卷覆盖函数、几何等核心知识，通过原创题、图形情境及选择性设问，梯度考查抽象能力、推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数最值、集合运算、复数、向量|结合图形考查空间观念（如第5题向量分解）| |多选题|3|复数几何意义、圆台性质|原创题（第10题）考查函数性质辨析| |填空题|3|向量投影、异面直线夹角|解三角形中线问题（第14题）体现综合应用| |解答题|5|三角函数性质、立体几何证明|第16题三选一条件设计，考查推理能力|

一、单选题 1．已知，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．若（）为纯虚数，则（ ） A． B．2 C． D．4 4．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）    A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D．7 7．函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A． B．1 C． D． 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A．9 B．18 C． D．6 二、多选题 9．若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A． B． C． D．为纯虚数 （原创）10．已知函数，下列说法正确的是（） 11．如图为圆台的轴截面，其上底面直径为4、下底面直径为8，母线长为4，为边的中点，则（ ）    A．圆台的高为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积是 D．在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径的长度为10 三、填空题 12．已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 13．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 14．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 四、解答题 15．已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 16．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求函数的对称中心 (3)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 18．已知函数的图象关于y轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若函数，求的最大值． 19．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 基本不等式 0.85 2 单选题 5 集合交集 0.88 3 单选题 5 复数的除法运算 0.76 4 单选题 5 比较指数幂的大小,比较对数式的大小,基本（均值）不等式的应用,对数的运算性质的应用 0.62 5 单选题 5 已知向量共线（平行）求参数,基本不等式求积的最大值,平面向量基本定理的应用 0.72 6 单选题 5 用和、差角的正切公式化简、求值,二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式 0.65 7 单选题 5 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数,由图象确定正（余）弦型函数解析式,求图象变化前（后）的解析式 0.72 8 单选题 5 求三角形面积的最值或范围 0.65 9 多选题 6 复数的除法运算,共轭复数的概念及计算,复数的坐标表示,求复数的模 0.65 10 多选题 6 函数的性质 0.62 11 多选题 6 求组合旋转体的表面积 0.55 12 填空题 5 数量积的运算律,已知数量积求模,求投影向量 0.94 13 填空题 5 求异面直线所成的角,余弦定理解三角形 0.65 14 填空题 5 三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 0.65 15 解答题 13 数量积的运算律,已知数量积求模,向量夹角的计算,垂直关系的向量表示 0.7 16 解答题 15 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,三角函数与解三角形综合,余弦定理解三角形 0.65 17 解答题 15 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心,三角恒等变换的化简问题,求cosx型三角函数的单调性,求含sinx（型）的二次式的最值 0.64 18 解答题 17 由奇偶性求函数解析式,求已知指数型函数的最值,对数的运算性质的应用 0.65 19 解答题 17 面面平行证明线面平行,证明线面平行,求异面直线所成的角,证明面面平行 0.65 $ 《2026年5月24日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D B B A ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 2．A 【难度】0.88 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由，，可得. 3．D 【难度】0.76 【知识点】复数的除法运算 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 4．C 【难度】0.62 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、基本（均值）不等式的应用、比较对数式的大小 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 5．D 【难度】0.72 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 6．B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式和弦化切，齐次化，诱导公式求解值. 【详解】由，则 故，故（舍去） 则 故选：B 7．B 【难度】0.72 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】结合余弦型函数的图象及性质求出，根据函数的平移变换得到，代入求解即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. ，所以. 又，，所以. 所以. 将代入解析式，得，所以， 则，则，又，所以. 因此. 将的图象向右平移个单位长度得到. 所以. 8．A 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的几何意义可得对应的点，即可根据向量相等得，进而可判断A，根据复数模长公式即可求解B，根据共轭即可求解C，根据复数的除法运算即可求解D. 【详解】如图，由题意得，，， 由于,则，，A正确．   ，B正确． ，C错误． ，D正确． 故选：ABD 10．BCD 【难度】0.62 【答案】B,C,D 【解析】根据题意，定义域为R，由偶函数的定义确定为偶函数，由单调性的定义知道最小值为0，由性质确定函数的基本图像，可知D正确 设计说明 背景：本题适合高一上学期期中试题，源题为课本练习题，“分析的单调性和奇偶性”，体现了回归课本的必要性。 知识考查:学生学习了基本初等函数，能够理解函数的单调性，最值，奇偶性等，基本掌握分析函数的基本要素。 鼓励学生运用信息技术学习，画出函数图像。 11．ABD 【难度】0.55 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，    根据题意，在中，，，则，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，因为圆台上底面半径，下底面半径，高， 所以圆台的体积，故C错误； 对于D，圆台侧面展开为扇环，设扇环的圆心角为，将其补充为扇形，大扇形母线长为，小扇形母线长为， 根据弧长公式，，解得，其展开后的示意图如图所示，    在圆台的侧面上，从沿圆台侧面到的最短路径为， 由题意可得， 因为为中点，所以，所以，故D正确． 12． 【难度】0.94 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 13．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 14．/ 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【详解】设中点为，在和中，分别使用余弦定理可得 ①， ②， 又，所以， 联立①②可得③， 又在中，根据余弦定理有即④， 联立③④可得，所以． 15．(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1），解得， 由，则，解得；..................6分 （2）由，则，， ，则，， 故.......................13分 16．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）选①，由余弦定理、正弦定理化简可得，再利用三角恒等变换可得，进而可证；选②化简条件可得，结合余弦定理及二倍角公式可得，进而可证；选③，由余弦定理可得，化简证明同①； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简可得，令，则，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以；............................................6分 （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即...............................15分 17．(1)最小正周期为，递增区间为 (2). (3) 【难度】0.64 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用余弦函数单调增区间列不等式求解即可； （2）函数化简后利用正弦函数对称中心求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）因为，余弦函数单调增区间为， 所以， 所以的单调增区间为.............................4分 （2）化简，则，正弦函数的对称中心为， 所以令，即函数的对称中心为 .....8分 （3）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为.......................................15分 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求已知指数型函数的最值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据题意，得到函数为偶函数，得到，求得，即可求解 （2）根据题意，得到，令，转化为，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：函数的图象关于y轴对称， 即为偶函数，可得，即， 可得，解得， 所以．.......................................6分 （2）解：由函数， 由，可得， 令，设， 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为， 综上可得，函数...............................................17分 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；....................................5分 （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为；.............................10分 （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面...................................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $