精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年下学期九年级中考二模数学试题

2025-2026学年度第二学期九年级中考模拟测试（二） 数学试题 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和3 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 2. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，  ，     ，   ． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 随机事件发生的概率为0.5 B. “明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间在降雨 C. “连续2次投掷质地均匀的硬币，出现1次正面朝上”是必然事件 D. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念及事件类型的判断，正确掌握概率的意义是解题关键． 对每个选项逐一分析各即可． 【详解】A：随机事件的概率取值范围为0到1，但并非所有随机事件的概率均为0.5。例如，掷骰子出现点数为1的概率是，故A错误； B：概率为50%仅表示降雨的可能性为一半，而非时间上的“半天降雨”。概率反映可能性大小，与实际时间无关，故B错误； C：连续2次投掷硬币，可能的结果为（正正）、（正反）、（反正）、（反反），出现1次正面的概率为，但并非必然发生，故C错误； D：罚球投篮是否命中受多种因素影响，可能发生也可能不发生，属于随机事件，故D正确； 故选：D． 7. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含n的代数式表示第n幅图形中三角形的个数是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图中★的个数为2，即； 第2幅图中★的个数为6，即； 第3幅图中★的个数为12，即； 第4幅图中★的个数为20，即； …， 所以第n幅图中★的个数为； 所以 ． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点，分别在轴，轴上，抛物线的顶点为，与轴分别交于点，（点在点的左侧），抛物线与轴构成的封闭图形为，当正方形内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）落在图形内（不含边界）的个数为个时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知正方形内部的个整点的坐标，根据正方形内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）落在图形内（不含边界）的个数为个，可得：且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：正方形的边长为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 正方形内部的整点有、、、、、、、、， 正方形内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）落在图形内（不含边界）的个数为个， 这个点是、、、、， 当时，可得：且， 整理， 可得：， ， ， 整理， 可得：， 或， 解得：或， 可得：或． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解；若零上记作，则零下记作， 故答案为：． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式与二次根式有意义的条件，根据同时满足二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为，列出不等式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为，可得， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，直线，直线，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据关于的一元二次方程有实数根，得到一元二次方程根的判别式非负，代值解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， ， 解得， 故答案为：． 13. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【答案】64 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 14. 定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架竖直向下，且与吊板垂直，绳子的部分竖直向下，与相切于点B，绳子的部分与相切于点D．连接，，若，则绳子的部分所在直线与吊板所在直线所成的锐角的大小为_____°． 【答案】42 【解析】 【详解】解：沿反向延长，延长线交于点F，交于点G，如下图，即为所求． 垂直向下， ， 与相切， ， ， ， 都是直角三角形， ， ． 15. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值． 【详解】解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形AMNB为矩形， ∴ ． 由折叠性质可得， ． ， ， ，即 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 16. 如图，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，点C，D都在第一象限，，交于点E，当矩形的面积为24时，的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，过点B作交于H，连接，由矩形的性质得到，，则可得到；进而得到，则；取的中点M，连接，则，由矩形的性质可得，则，即可得到；由勾股定理可得，则，可推出O、C、M三点共线，证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作交于H，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取的中点M，连接，则， 由矩形的性质可得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴O、C、M三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据，绝对值的性质，算术平方根的性质，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行有理数的加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法，熟记“同分母分式的加法法则”是解答本题的关键．按照同分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6． （1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值． 【答案】（1）作图见解析； （2）点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是 【解析】 【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O； (2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案． 【小问1详解】 解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E； ②作直线OE，记OE与交点为D； ③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示； 【小问2详解】 解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示： ∵OD⊥AC， ∴F为AC中点， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF=BC=3， ∵OF⊥AC， ∴OF的长就是点O到AC的距离； Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴OD=OA=AB=5， ∴DF=OD-OF=5-3=2， ∵F为AC中点， ∴CF=AC=4， Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4， ∴CD=， 则， ∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是． 【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)． 21. 根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务，任务和任务． 背景 月日是第个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．从七、八年级中各随机抽取名学生进行测试（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 素材 八年级20名学生测试成绩的频数分布表： 成绩（分） 频数 素材 八年级测试成绩在这一组的数据如下（单位：分）： ，，，，，，， 素材 七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 （1）求表格中的______，______； （2）若小红同学的成绩为分，在她所属的年级排前名，根据表中数据判断小红同学是______年级的学生（填“七”或“八”）； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）； （2）七 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据总人数与各个成绩段的人数进行列式计算可求出，根据中位数的概念及八年级测试成绩在这一组的数据可求出； （2）根据表格及八年级测试成绩在这一组的数据可知前名的最低成绩为，可得答案； （3）用乘以竞赛成绩优秀的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：， ∵八年级测试成绩在的人数为（人）， 又∵八年级测试成绩在这一组的数据如下（单位：分）：，，，，，，，， ∴中位数为第个、个数的平均数，即； 【小问2详解】 ∵且八年级测试成绩在这一组的数据如下（单位：分）：，，，，，，，， 又∵八年级前名的最低成绩为，而小红同学的成绩为分，且， ∴小红同学不在八年级， ∴小红同学是七年级的学生； 【小问3详解】 八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为：（人）， 即八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为人． 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 23. 为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.已知每个烧杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等． （1）求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元．求最多能购买多少个烧杯? 【答案】（1）试管元个，烧杯元个 （2）最多购买个烧杯 【解析】 【分析】（1）设每个试管价格为元，则每个烧杯价格为元，根据“用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等”列出分式方程，据此求解即可； （2）设购买烧杯个，则购买试管个，根据“用于购买的总费用不超过150元”列不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设每个试管价格为元，则每个烧杯价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 烧杯：（元）， 答：试管元/个，烧杯元/个； 【小问2详解】 解：设购买烧杯个，则购买试管个， 根据题意得， 解得， 答：最多购买个烧杯． 24. 二次函数经过，两点． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求x的取值范围； （3）点，为该二次函数图象上满足 的部分上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式计算即可； （2）分别求出和时，x的值，即可得答案； （3）先求出时，x的值，再根据n的范围和二次函数的性质，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入解析式得 解得 函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或2， 当时，， 解得或， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴是， x的取值范围是： 或 ； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 当时，或， ，，， 点P，点Q在对称轴的右侧或点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， 在对称轴的右侧时，，，或，， ，即 ； 在对称轴的两侧，点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，，， ，即， 或． 25. 2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 【答案】（1）方案③较好 （2）①小时；②见详解 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大． （1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较； （2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间； ②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）在中， ，， ，， ∵ ∴ 方案①需要用时：小时分钟， 方案②需要用时：小时分钟， 方案③需要用时：小时分钟 方案③较好； 【小问2详解】 解：①， 设，，则， 解得：， 即可得，， ， 故可得所用时间为：小时； ②延长过作于， 点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时， 汽车开到放冲锋舟下水，用时， ∵ ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ； ∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：． 综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 26. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； （2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D到的距离为 （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、C、D的坐标，然后利用求出，最后根据等面积法求解即可； （2）先求出的解析式为；连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求，求出直线解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标；在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求 ，求出解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ， 对称轴， 当时，，故， 连接， ，， 设点D到的距离为h， ，得， ∴D到的距离为； 【小问2详解】 解：，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为； 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则； 【小问3详解】 解：抛物线沿着射线平移个单位时，函数图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位， 平移后的新抛物线， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 又， ， ， ，， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍）， ， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 则， 又， ， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍） 综上，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类是解题的关键． 27. 综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； （4）如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）存在， （3） （4）的长为或16或． 【解析】 【分析】（1）方法1：当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； （4）由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作于点，过点作延长线于点；②当时，过点作于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：方法1： 当时，则， ， ， 在和中， ， ， ． ， 是菱形． 方法2： ， ， 时，， ， 是菱形． 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作，， 矩形，， ，，，， ， 设，， ， 解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． 【小问4详解】 解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在中， ， 设，， ， 解得：， ，， ， 同理可得，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理可求，，， ， 由①可知，，， ， ， ， ， ， ； ③如图3，当时，连接，过点作， ， 设，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 又， ， ， ， ， ． 综上可知，的长为或16或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级中考模拟测试（二） 数学试题 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和3 B. 和 C. 和 D. 和 2. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 随机事件发生的概率为0.5 B. “明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间在降雨 C. “连续2次投掷质地均匀的硬币，出现1次正面朝上”是必然事件 D. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 7. 如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点，分别在轴，轴上，抛物线的顶点为，与轴分别交于点，（点在点的左侧），抛物线与轴构成的封闭图形为，当正方形内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）落在图形内（不含边界）的个数为个时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 11. 如图，直线，直线，，则__________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___． 13. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 14. 定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架竖直向下，且与吊板垂直，绳子的部分竖直向下，与相切于点B，绳子的部分与相切于点D．连接，，若，则绳子的部分所在直线与吊板所在直线所成的锐角的大小为_____°． 15. 如图，矩形纸片，点E在边上，连接，点F在线段上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为，若，则折痕的长为________． 16. 如图，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，点C，D都在第一象限，，交于点E，当矩形的面积为24时，的长是________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算：． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 计算：． 20. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6． （1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值． 21. 根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务，任务和任务． 背景 月日是第个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．从七、八年级中各随机抽取名学生进行测试（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 素材 八年级20名学生测试成绩的频数分布表： 成绩（分） 频数 素材 八年级测试成绩在这一组的数据如下（单位：分）： ，，，，，，， 素材 七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 （1）求表格中的______，______； （2）若小红同学的成绩为分，在她所属的年级排前名，根据表中数据判断小红同学是______年级的学生（填“七”或“八”）； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数． 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 23. 为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.已知每个烧杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等． （1）求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元．求最多能购买多少个烧杯? 24. 二次函数经过，两点． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求x的取值范围； （3）点，为该二次函数图象上满足 的部分上的两个点，且，求的取值范围． 25. 2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 26. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； （2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 27. 综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； （4）如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $