精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年高二下学期5月学情调研数学试题

重庆市第十八中学高2027届2025—2026学年（下）5月学情调研 数学试题 考试说明： 1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量的分布列为，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数可导，则“有零点”是“有极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 5. 从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（ ） A. 无数条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上是减函数 C. 在区间内有2个极值点 D. 曲线在点处的切线的斜率大于0 10. 随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某农场规划了如图的小矩形网格作为试验田，其右上方为一池塘，虚线不能作为路，以下说法正确的是（ ） A. 若管理员从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条 B. 若管理员从图中A沿实线走到C，最短路径有186条 C. 将在试验田1、2、3、4和池塘共5块区域养殖鱼苗，相邻区域养殖不同鱼种，现有4种不同的鱼可供选择，则有252种不同养法 D. 图中除池塘外，“L型”网格图中包含了117个矩形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值是______. 14. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的值： （1）常数项； （2）； （3）． 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 17. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 18. 某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． （1）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； （2）以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 19. 已知函数在有零点． （1）求实数a的取值范围． （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学高2027届2025—2026学年（下）5月学情调研 数学试题 考试说明： 1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量的分布列为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定满足不等式的正整数取值，再结合分布列计算可得. 【详解】已知随机变量的取值，满足的正整数为和， 根据离散型随机变量分布列的概率可加性，且，，可得： . 2. 若函数可导，则“有零点”是“有极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】对于，有零点1，在R上单调递增，无极值， 则由“有零点”，不能得到“有极值”； 对于，有极小值，，则无零点，则由“有极值”，不能得到“有零点”． 从而“有零点”是“有极值”的既不充分也不必要条件． 3. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算4人全排列的总情况数，再利用捆绑法计算甲乙相邻的情况数，二者作比得到所求概率。 【详解】首先计算所有基本事件总数：四名同学排成一排的全排列数为种。 再计算甲与乙相邻的符合条件的事件数：采用捆绑法，将甲、乙看作一个整体，此时相当于对个元素（甲乙整体、丙、丁）进行全排列，排列数为 种； 同时甲、乙二人内部存在顺序差异，排列数为 种， 因此符合条件的事件总数为种。 根据古典概型概率公式，所求概率. 4. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 5. 从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分甲被选中和甲未被选中两类情况计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】根据题意，分两类完成： 第一类：甲被选派参加活动：由于甲不参加和活动，故甲仅能参加活动， 剩余两项活动需从其余人中选人参加，方案数为种； 第二类：甲未被选派参加活动：需从其余人中选人分别参加三项不同活动， 方案数为种. 根据分类加法计数原理，总方案数为种. 6. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 7. 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 8. 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（ ） A. 无数条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上是减函数 C. 在区间内有2个极值点 D. 曲线在点处的切线的斜率大于0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数的图像确定的极值点、单调区间，进而判断各选项的正误. 【详解】由题图，的极小值点为、，极大值点为，C错误； 在上递减，B正确；上递增，则，A正确； 由图知：，即在点处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：ABD 10. 随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项. 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 11. 某农场规划了如图的小矩形网格作为试验田，其右上方为一池塘，虚线不能作为路，以下说法正确的是（ ） A. 若管理员从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条 B. 若管理员从图中A沿实线走到C，最短路径有186条 C. 将在试验田1、2、3、4和池塘共5块区域养殖鱼苗，相邻区域养殖不同鱼种，现有4种不同的鱼可供选择，则有252种不同养法 D. 图中除池塘外，“L型”网格图中包含了117个矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，从A到B，从B到C，分别按排列数计算求解；选项B，分情况计算从A沿实线走到C的路径数；选项C，按区域1和4，2和3相同与否划分，计算不同养法；选项D，先以左两列计算，再以下三行计算，去掉相同部分得到. 【详解】选项A，从A到B需向右走2步，向下走2步，路径数为， 从B到C需向右走3步，向下走3步，路径数为， 从图中A沿实线走到B，再走到C，最短路径共有120条，选项A正确； 选项B，经过B点，再走到C，最短路径共有120条， 不经过B点，走到C，路径数为 ， 从图中A沿实线走到C，最短路径有，选项B正确； 选项C，若区域1和4，区域2和3都相同，共种， 若区域1和4相同，区域2和3不同，共种， 若区域1和4不同，区域2和3相同，共种， 若区域1和4不同，区域2和3不同，共种， ，则有168种不同养法，选项C错误； 选项D，图中除池塘外，“L型”网格图中包含的矩形个数为，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式求解. 【详解】展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为20. 故答案为：20 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 14. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用枚举法列出所有可能情况，确定的可能取值，求出每一个取值的概率，得到分布列，计算均值，进而计算方差. 【详解】因为，且， 所以方程的所有解： ，共个； ，共个； ，共个； ，共个； ，共个； ，共个； ，共个；共种情况. 随机变量为中的最小值，所以可能取值为， ， ， ， ， ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的值： （1）常数项； （2）； （3）． 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）令结合题设可得答案； （2）令，可得，再由展开式通项可得，再由（1）解析可得答案； （3）令，可得，再由（2）可得，据此可得答案. 【小问1详解】 令，则 ； 【小问2详解】 令，则 . 又展开式的第项为：，其中 . 令，可得的系数即 ，又由（1）可得， 则； 【小问3详解】 令，则， 又由（2）可得：，两式相加可得： 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 17. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 【答案】（1） （或写为 ） （2）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可； 【小问1详解】 当时，，． 且，． 曲线在点处的切线方程为，即得 ． 【小问2详解】 ． 当时，，是增函数，无极值点； 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值点为，无极大值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 18. 某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． （1）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； （2）以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 【答案】（1） 0 1 2 （2） 或 （3）估计获得“纪念证书”的学生人数为人；竞赛成绩为分的学生能获得“先锋证书”． 【解析】 【分析】（1）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （2）随机抽一名学生，求出成绩在的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答. （3）由频率分布直方图求出平均数可得，由正态分布的概率特征即可求解. 【小问1详解】 由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】 用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率， 则， ． 令 ，解得 ，当且仅当 时取等号，即， 当时，，当时，， 所以当或，最大． 【小问3详解】 由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为 ， 所以取，由已知， ，. 由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， ，所以竞赛成绩为91分的学生能获得“先锋证书”． 19. 已知函数在有零点． （1）求实数a的取值范围． （2）求证： （ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论单调性，利用零点的定义求解. （2）（ⅰ）（ⅱ）由（1）的信息，利用分析法变形不等式，再构造函数并利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 因此函数在上无零点，不符合题意； 当时，而，则，函数在上单调递减，， 因此函数在上无零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，求导得，函数在上单调递减， 因此，即，而当时，， 函数在上有唯一零点，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，由， 不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，所以. （ⅱ）由（i）知，不等式， 令函数，求导得 ，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，即当时，， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $