河南省叶县高级中学2025-2026学年高二下学期期末复习数学训练卷（一）

**基本信息** 本卷聚焦高二数学核心考点，通过“村BA”文化、电动汽车电池测试等真实情境，融合导数应用、概率统计等知识，考查数学建模与数据分析能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数（1,2,7）、统计（8）、计数原理（5）|第6题结合图像辨析函数性质，考查直观想象| |填空题|3题/15分|随机变量（12）、导数极值（13）、回归分析（14）|13题需转化极值点问题为方程根分布，体现逻辑推理| |解答题|5题/77分|概率分布（15）、二项式定理（16）、独立性检验（17）、导数综合（18）、数列与概率（19）|19题以篮球训练为背景构建概率模型，培养数学应用意识；18题分层设问，从切线到单调区间再到参数范围，形成能力梯度|

人教A版高二数学下学期期末复习训练卷（一） 主要考点：导数 计数原理 随机变量及分布列 成对数据的统计分析 数列 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 4．甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A． B． C． D． 5．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 6．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（    ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是. C．在定义域内无最小值，无最大值. D．. 11．某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在含有4件次品的10件产品中，任取5件，表示取到的次品数，则__________． 13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 14．已知下表中是关于变量，的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型得到经验回归方程为，则______. 1 2 3 4 5 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 16．（15分）已知展开式共有11项. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值. 17．（15分）某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； (2)现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 19．（19分）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二数学下学期期末复习训练卷（一）（详解版） 主要考点：导数 计数原理 随机变量及分布列 成对数据的统计分析 数列 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故正确； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故错误. 2．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 3．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4．甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则， ，， ． 5．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 6．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 8．下列说法正确的有（    ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】D 【分析】对于A,根据样本相关系数的意义可判断；对于B,根据正态分布对称性即可判断；对于C, 利用独立性检验的意义可判断；对于D，由残差公式即可判断. 【详解】对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误; 对于B，随机变量X服从正态分布，， 若，则，根据正态分布对称性可知，，故B错误； 对于C, 两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到， 由，说明在的显著水平下，拒绝与相互独立的假设，故C错误; 对于D, 当时，，由残差等于实际值减去预测值，即，故正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 【答案】AC 【分析】由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D. 【详解】由题意得多项式展开式的通项如下， 为 ， 即， 对于A，令得， 所以各项系数之和为32，故A正确； 对于B，常数项中的次数为0，则或或， 则，故B错误； 对于C，令，得或， 所以项为， 故项的系数为，故C正确； 对于D，因为，的指数为的整数， 化简可得， 所以展开式一共有9项，故D错误； 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是. C．在定义域内无最小值，无最大值. D．. 【答案】ACD 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确， 对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确. 11．某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 【答案】ABD 【分析】对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得. 【详解】对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对， 由相互独立事件的概率公式得，A正确. 对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道， 答对道的概率：由A选项可知为； 答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：； ​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：， 因此总概率：，​ 故B正确. 对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数）， 由期望的性质得 ， 因为， 故C错误. 对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”， 则，，， 根据贝叶斯公式 ， ​ 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在含有4件次品的10件产品中，任取5件，表示取到的次品数，则__________． 【答案】 【详解】含有4件次品的10件产品中含有6件正品， 意思是从4件次品中任取3件且从6件正品中任取2件， 则. 13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，转化为和图象上有两个交点问题. 【详解】的定义域为，且，，令，则， 令，，则，， 因为有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，即有两个不同的实根， 设，，当，，为增函数；当，，为减函数； ，而当，，当，，故图象如下图所示： 结合和的图象，易得m的取值范围是. 14．已知下表中是关于变量，的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型得到经验回归方程为，则______. 1 2 3 4 5 【答案】 【详解】令，则， ，两边同时取对数得，即， 因为回归直线经过样本中心点，所以有， 即，，解得. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 16．（15分）已知展开式共有11项. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值. 【答案】(1) (2)（或） (3) (4) 【分析】（1）先求的值，利用赋值法可求答案； （2）去掉绝对值，利用赋值法可求答案； （3）对赋值为可得答案； （4）先求导数，再赋值可得答案. 【详解】（1）因为展开式共有11项，所以， 令可得，令可得， 所以. （2）的展开式的通项公式为，； 当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，所以， 由，令可得，即. （3）由，令可得 . （4）对两边求导可得， 令可得，即. 17．（15分）某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； (2)现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题中数据求，并与临界值对比，结合独立性检验思想分析判断； （2）分析可知的所有可能取值为，，，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）零假设：“是A级电池”与“电池冷却技术类型”无关， 由题中数据得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 所以“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关． （2）从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池， 则A级电池抽取8组，B级电池抽取2组，则的所有可能取值为，，， ，，， 故的分布列为 1 2 3 所以． 18．（17分）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 19（17分）．某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $