专题05 空间向量与立体几何（3大题型29题）（期末真题汇编，河南专用）高二数学下学期

专题05空间向量与立体几何 3大题型概览 题型01空间向量的运算 题型02利用空间向量求距离与线面角 题型03利用空间向量求二面角 ( 题型 01 空间向量的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由空间直角坐标系,可得点关于平面对称的点的坐标为.故选B. 2．（24-25高二下.河南省开封市.期末）在空间直角坐标系中,,则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段上靠近点A的三等分点为,则有,又,所以,所以,即,所以,故选A. 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）已知在直三棱柱中,,,,,则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中以B为顶点,BA为x轴,在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴,为z轴建立空间直角坐标系如图所示： ,,,设异面直线与所成角为,则.故选A. 4．（24-25高二下. 周口市.期末）如图,在四面体中,.点在上,且,点是的中点,则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,因为点是的中点,所以. 所以,故选A. 5．（多选）（24-25高二下.河南省周口市部分学校.期末）在空间直角坐标系中,已知点,（与点不重合）,则下列结论正确的是（   ） A．若点,关于平面对称,则 B．若点,关于轴对称,则 C．若,则 D．若,则 【答案】BC 【解析】对A,若点,关于平面对称,则,所以,故A错误；对B,若点,关于轴对称,则,所以,故B正确； 对C,若,则,故C正确；对D,若,则,所以,两式相减得,故D错误.故选BC. 6.（多选）（24-25高二下.河南省安鹤新联盟.期末）如图,在正方体中,,M为棱的中点,动点P满足,其中,,则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若,则点P在平面上 C．若,则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心,则 【答案】ABD 【解析】对于A,, 所以 ,当且仅当时,取等号,所以的最小值为4,故A正确； 对于B,连接,若,则三点共线,因为,所以共面, 所以点P在平面上,故B正确； 对于C,连接,则,且互相平分,因为平面,平面,所以,又平面,所以平面,所以点到平面的距离为,因为M为棱的中点,所以点M到平面的距离为,故C错误； 对于D,如图,取的中点,连接,则,所以,故D正确. 故选ABD. 7.（多选）（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）已知正方体的棱长为2,且,,,则（   ） A．当时, B．当时,平面 C．当时,面积的最小值为 D．当时,的最小值为 【答案】ABD 【解析】 如图,以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系.,,,,,,,当时,,所以,A正确. ,,当时,.因为平面,平面,所以平面,B正确. 由, 当时,,,, 当时,的面积取得最小值,最小值为,C错误. 当时,,,, 可看作是平面内点到点,的距离之和, 点关于轴的对称点为,则, 所以的最小值为,D正确.故选ABD. 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省开封市.期末）已知四面体的所有棱长都等于,、分别是的中点,则___________． 【答案】 【解析】如下图所示： 由题意可得,因为、分别为、的中点,所以,,故, 因此,. 9．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知平面的法向量为,直线l在平面外,且方向向量,则直线l与平面的位置关系为______． 【答案】 【解析】因为,所以,所以或．因为,所以． ( 题型 0 2 利用空间向量求 距离与 线面角 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）在四棱锥中,平面平面,为正三角形,为梯形,,,,,,则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点O,连接,因为为正三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,平面,建立如图所示的直角坐标系, 则,,,,,. 设平面的法向量为,则,即,令,得平面的一个法向量为.又,设与平面所成角为,所以. 故选B. 2．（24-25高二下.河南省开封市.期末）在正方体,中,E是的中点,则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2, 则,所以, 设平面的法向量为,所以,令,所以, 设与平面所成角为,所以.故选B. 二、填空题 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）在空间直角坐标系中,,平面的一个法向量为,则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】因为,所以点到平面的距离. 4.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）如图,正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,E为棱的中点,点F,G分别在棱,BC上（含端点）,若,则线段FG长度的最小值为______． 【答案】 【解析】设为下底面中心,构建如下图示的空间直角坐标系, 结合题设知,,且,, 所以,,故, 所以,可得,而,则, 又,故时,. 三、解答题 5．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）如图,在三棱锥中,为半圆的直径,是弧上异于的点.点在直线上,平面,其中为的中点. (1)证明：平面； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面,平面平面平面,所以. 又为的中点,所以为的中点. 又为的中点,所以. 因为平面平面,所以平面. （2） 如图,连接,取的中点,连接. 因为,所以. 由已知底面在半圆上,为圆的直径, 可得. 因为,所以, 所以. 又,所以,所以, 则有, 所以, 又平面平面,所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系,因为, 则, 所以. 设为平面的一个法向量,则,即, 令,则,则平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为, 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,,,E是BC的中点,点Q在侧棱PC上. (1)求证：； (2)是否存在点Q,使DC与平面DEQ所成角的正弦值为,若存在,求的值；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：取AD中点O,连接OP,OB. ∵,∴, 在菱形ABCD中,,可得为等边三角形, ∴,又∵PO,平面PBO,且, ∴平面PBO,∵平面PBO,∴. （2）解：∵,平面平面ABCD,平面平面, 且平面PAD,∴平面ABCD, 以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,, 假设存在点Q满足题意,设,, 则, ∴,,,, 设平面DEQ的法向量为, 则 令,则,,∴. 设DC与平面DEQ所成角为,则,解得或. ∴存在点Q,使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为,此时或. 7．（24-25高二下.河南省洛阳市强基联盟.期末）如图,平面,,,,,,. (1)求直线与平面所成角的正弦值以及点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）因为平面,,所以,,两两垂直,以,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,,. 设为平面的一个法向量,则取,,则, 设直线与平面所成角为,则, 点到平面的距离为. （2）设为平面的一个法向量, 则取,,则, , 所以二面角的正弦值为. 8．（24-25高二下.河南省开封市.期末）如图,两个正方形框架、的边长都是,且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义,求异面直线与之间的距离． 【解析】（1）因为四边形为正方形,所以, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面, 因为平面,故. （2）因为四边形为正方形,所以, 又因为平面,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系, 则、、、, 所以,,, ①若,即,即,无解, 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交,记它们所确定的平面为, 因为、,所以,设, 即,所以,无解, 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面,故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点,设,,、, 则, 故,即点, ,故,则, 由得,则, 所以, 因此,当时,取最小值, 所以异面直线与之间的距离为. ( 题型 0 3 利用空间向量求二面角 ) 一、解答题 1．（24-25高二下.河南省鹿邑县.期末）如图,在圆锥中,为底面的圆心,,,点是底面圆周上一点,是的中点,,. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）如图1,取的中点,取靠近点的四等分点,连接,,. 因为是的中点,所以是的中位线,所以,. 因为,所以,所以根据相似的性质可得,, 所以,,所以四边形为平行四边形,所以. 因为平面,平面,所以平面. （2）根据圆锥的性质可得平面,因为平面,平面,所以,.因为,所以以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图2所示, 则,,,,.设平面的法向量为,则,取.易得平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为,则,因为平面与平面的夹角为为锐角, 故平面与平面夹角的余弦值为. 2．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）如图（1）,在平面四边形中,,,形如这样的四边形称为“筝形”,将沿着翻折得到三棱锥,如图（2）,设的中点为. (1)证明：平面平面； (2)在图（2）中,若,,,求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由题意得,,,为的中点, 所以, 因为平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面. （2）过点作于点,由得为中点. 因为,,所以,,, 所以. 由（1）得,平面平面,又平面平面,平面, 所以平面. 如图,以为原点,所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系, 则, 所以. 设平面的法向量为, 则,取,则. 设平面的法向量为, 则,取,则. 因为, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（24-25高二下.河南省新未来.期末）如图,在正三棱柱中,,点为的中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）连接,设与交于点,连接, 在正三棱柱中,四边形是矩形,所以点是的中点, 在中,点是的中点,所以. 又平面平面, 所以平面. （2）取的中点,连接, 因为为等边三角形,点为的中点,所以. 如图,以点为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系. 则,,,, ,,,, 设平面的一个法向量为, 则, 令,得. 设平面的一个法向量为, 则, 令,,得 设平面与平面的夹角为, 则 故平面与平面夹角的余弦值为. 4.（24-25高二下.河南省周口市.期末）如图,在四棱锥中,平面,,,,,在棱上,且平面. (1)设,求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面,且, 故以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图, 则,,,, 所以,,则, 所以,. 因为平面,平面,所以, 所以,解得. （2）因为,所以,. 设平面的法向量为, 则,取,则. 由（1）得,平面的一个法向量为. 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）在四棱台中,底面是边长为2的菱形,,,,过的平面分别交,于点,,且平面. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）连接,, 因平面,平面,平面平面,所以, 设,,连接, 由在四棱台中,平面平面, 平面平面,平面平面, 则得, 又由题意知,则得四边形是等腰梯形, 所以,同理可证, 因,平面,所以平面, 又底面是菱形,所以, 则以为原点,直线,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图, 因为菱形的边长为,,则,, 则,,则, 所以,,,,, 则,,, 设,, 设平面的一个法向量为, 则, 令,则,,所以, 所以,即平面, 又平面,所以平面平面； （2）设,因,, 则,,, 所以,则得, 又在上,设,则,解得, 可得,所以,, 设平面的一个法向量为, 则,令,则,, 则得, 所以,所以, 故平面与平面夹角的正弦值为. 6．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）如图,在四棱锥中,,,,平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点,求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面,平面,所以 因为,,, 所以,,, 所以,所以, 又,平面,所以平面 因为平面,所以平面平面. （2）因为平面,, 所以以为原点,以,,分别为x,y,z轴正方向建立如图空间直角坐标系, 则,,,,, 则,, 设平面的法向量为,则, 取,得平面的一个法向量, 易知平面的一个法向量为, 设平面与平面的夹角为, 则, 平面与平面夹角的余弦值为. 7．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,且,． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 【解析】（1）由题意：,,平面,, 所以平面. 因为平面,所以. 又,平面,且四边形为梯形,且,所以与必相交, 所以平面. 又平面, 所以平面平面. （2）以为原点,建立如图空间直角坐标系,因为平面,所以轴. 设,,则,,,. 所以,,. 设平面的法向量为,则 ,取. 设平面的法向量为,则 ,取. 所以,,. 所以, 所以,即二面角所成平面角的正弦值为. 8．（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）如图（1）,在菱形中,,,是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起,落到的位置,此时,如图（2）． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)设为线段上的点,平面与平面的夹角为,若,求的值． 【解析】（1）取的中点,连接、、,如下图所示： 因为是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点,故, 因为四边形为菱形,且,故为等边三角形, 因为为的中点,则, 因为,、平面,所以平面, 因为平面,因此,. （2）因为是边长为的等边三角形,为的中点,所以, 且, 因为是以为直角的等腰直角三角形,故,, 由余弦定理可得, 因为,故, 过点在平面内作,垂足为点,如图所示： 因为,,,、平面, 所以平面, 因为平面,所以, 因为,,、平面,故平面, 因为,. 因此. （3）因为平面,, 以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系, 则、、、、, 设平面的一个法向量为,,, 所以,取,可得, 设,其中, 则, ,设平面的一个法向量为, 则, 取,可得, 所以, 整理可得,即, 因为,解得或. 故当时,或. 9．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）如图,直四棱柱的底面是菱形,,,为锐角,,,分别是,,的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【解析】（1）由题意证明如下, 连接,,,设,连接． 在中,,分别是,的中点,所以∥, 在中,,分别是,的中点,所以∥, ∴∥． ∵平面,平面, ∴∥平面． （2）由题意及（1）得, 过点作交于点． 以为坐标原点,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,． 设, 则,． 设, 则,, 即, 则,． 设平面的法向量为, 则所以 可取． 由几何知识得,平面DCF的一个法向量为, ． 令, 则, 当且仅当,即,,等号成立, 所以． ∴二面角的余弦值的最大值为． 10．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）如图,在四面体中,为等边三角形,,,且. (1)求证：平面平面； (2)若点满足,求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由题可知, 因为是等边三角形,所以. 由余弦定理得, 所以,因此. 又因为,平面,,所以平面, 又平面,故平面平面. （2）记的中点为,的中点为,连接,, 所以,又,所以, 因为为等边三角形,所以, 又因为平面,平面,所以, 又,平面,所以平面, 又平面,,所以,,两两垂直, 故以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,如图, 则,,,,. ,,设平面的法向量为, 则,即,可取. ,,设平面的法向量为, 则,即,可取. 因为, 故平面与平面夹角的余弦值为. 11. （24-25高二下.河南省濮阳市.期末）在如图所示的几何体中,正方形与菱形所在的平面垂直,,且,为的中点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】(1)连接,设,连接, 因为四边形为菱形且,,故为等边三角形, 因为四边形为正方形,故为的中点,故, 而平面平面,平面平面, 平面,故平面, 故可以为原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 故,故, 又为的中点,故, 故,而, 由不在一条直线上可得. （2）由（1）中结果可得,,, 设平面的一个法向量为, 故即,取, 设平面的一个法向量为, 故即,取, 故, 故平面与平面夹角的余弦值为. 12. （24-25高二下.河南省商丘市.期末）如图,在四棱台中,底面,底面是边长为2的正方形,,点为线段上的动点,棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面,请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【解析】（1）底面是边长为2的正方形,, 故底面是边长为1的正方形, 所以底面的面积为,底面的面积为, 底面,故为棱台的高, 故棱台的体积为,解得； （2）因为底面,平面, 所以,, 又,故两两垂直, 以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 由（1）知, 则, 设,, 则,, 设平面的法向量为, 则, 令,则,, 所以, 因为平面,所以, 解得,此时,点的位置为靠近的4等分点； （3）, 设平面的法向量为, 则, 令,则,故, 由（2）知,平面的法向量为, 设平面与平面的夹角为, 则, 令, 则, 因为,故当,即时,取得最大值, 最大值为. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05空间向量与立体几何 3大题型概览 题型01空间向量的运算 题型02利用空间向量求距离与线面角 题型03利用空间向量求二面角 ( 题型 01 空间向量的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省开封市.期末）在空间直角坐标系中,,则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）已知在直三棱柱中,,,,,则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下. 周口市.期末）如图,在四面体中,.点在上,且,点是的中点,则 （    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下.河南省周口市部分学校.期末）在空间直角坐标系中,已知点,（与点不重合）,则下列结论正确的是（   ） A．若点,关于平面对称,则 B．若点,关于轴对称,则 C．若,则 D．若,则 6.（多选）（24-25高二下.河南省安鹤新联盟.期末）如图,在正方体中,,M为棱的中点,动点P满足,其中,,则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若,则点P在平面上 C．若,则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心,则 7.（多选）（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）已知正方体的棱长为2,且,,,则（   ） A．当时, B．当时,平面 C．当时,面积的最小值为 D．当时,的最小值为 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省开封市.期末）已知四面体的所有棱长都等于,、分别是的中点,则___________． 9．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知平面的法向量为,直线l在平面外,且方向向量,则直线l与平面的位置关系为______． ( 题型 0 2 利用空间向量求 距离与 线面角 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）在四棱锥中,平面平面,为正三角形,为梯形,,,,,,则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省开封市.期末）在正方体,中,E是的中点,则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）在空间直角坐标系中,,平面的一个法向量为,则点到平面的距离为__________. 4.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）如图,正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,E为棱的中点,点F,G分别在棱,BC上（含端点）,若,则线段FG长度的最小值为______． 三、解答题 5．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）如图,在三棱锥中,为半圆的直径,是弧上异于的点.点在直线上,平面,其中为的中点. (1)证明：平面； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,,,E是BC的中点,点Q在侧棱PC上. (1)求证：； (2)是否存在点Q,使DC与平面DEQ所成角的正弦值为,若存在,求的值；若不存在,请说明理由. 7．（24-25高二下.河南省洛阳市强基联盟.期末）如图,平面,,,,,,. (1)求直线与平面所成角的正弦值以及点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 8．（24-25高二下.河南省开封市.期末）如图,两个正方形框架、的边长都是,且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义,求异面直线与之间的距离． ( 题型 0 3 利用空间向量求二面角 ) 一、解答题 1．（24-25高二下.河南省鹿邑县.期末）如图,在圆锥中,为底面的圆心,,,点是底面圆周上一点,是的中点,,. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）如图（1）,在平面四边形中,,,形如这样的四边形称为“筝形”,将沿着翻折得到三棱锥,如图（2）,设的中点为. (1)证明：平面平面； (2)在图（2）中,若,,,求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高二下.河南省新未来.期末）如图,在正三棱柱中,,点为的中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 4.（24-25高二下.河南省周口市.期末）如图,在四棱锥中,平面,,,,,在棱上,且平面. (1)设,求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）在四棱台中,底面是边长为2的菱形,,,,过的平面分别交,于点,,且平面. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 6．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）如图,在四棱锥中,,,,平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点,求平面与平面夹角的余弦值. 7．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,且,． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 8．（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）如图（1）,在菱形中,,,是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起,落到的位置,此时,如图（2）． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)设为线段上的点,平面与平面的夹角为,若,求的值． 9．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）如图,直四棱柱的底面是菱形,,,为锐角,,,分别是,,的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 10．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）如图,在四面体中,为等边三角形,,,且. (1)求证：平面平面； (2)若点满足,求平面与平面夹角的余弦值. 11. （24-25高二下.河南省濮阳市.期末）在如图所示的几何体中,正方形与菱形所在的平面垂直,,且,为的中点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 12. （24-25高二下.河南省商丘市.期末）如图,在四棱台中,底面,底面是边长为2的正方形,,点为线段上的动点,棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面,请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05空间向量与立体几何 3大题型概览 题型01空间向量的运算 题型02利用空间向量求距离与线面角 题型03利用空间向量求二面角 ( 题型 01 空间向量的运算 ) 1 2 3 4 5 6 7 B A A A BC ABD ABD 8． 9． ( 题型 0 2 利用空间向量求 距离与 线面角 ) 一、选择题 1． B 2． B 3． 4. 5．【解析】（1）因为平面,平面平面平面,所以. 又为的中点,所以为的中点. 又为的中点,所以. 因为平面平面,所以平面. （2） 如图,连接,取的中点,连接. 因为,所以. 由已知底面在半圆上,为圆的直径, 可得. 因为,所以, 所以. 又,所以,所以, 则有, 所以, 又平面平面,所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系,因为, 则, 所以. 设为平面的一个法向量,则,即, 令,则,则平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为, 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 6．【解析】（1）证明：取AD中点O,连接OP,OB. ∵,∴, 在菱形ABCD中,,可得为等边三角形, ∴,又∵PO,平面PBO,且, ∴平面PBO,∵平面PBO,∴. （2）解：∵,平面平面ABCD,平面平面, 且平面PAD,∴平面ABCD, 以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,, 假设存在点Q满足题意,设,, 则, ∴,,,, 设平面DEQ的法向量为, 则 令,则,,∴. 设DC与平面DEQ所成角为,则,解得或. ∴存在点Q,使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为,此时或. 7．【解析】（1）因为平面,,所以,,两两垂直,以,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,,. 设为平面的一个法向量,则取,,则, 设直线与平面所成角为,则, 点到平面的距离为. （2）设为平面的一个法向量, 则取,,则, , 所以二面角的正弦值为. 8．【解析】（1）因为四边形为正方形,所以, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面, 因为平面,故. （2）因为四边形为正方形,所以, 又因为平面,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系, 则、、、, 所以,,, ①若,即,即,无解, 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交,记它们所确定的平面为, 因为、,所以,设, 即,所以,无解, 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面,故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点,设,,、, 则, 故,即点, ,故,则, 由得,则, 所以, 因此,当时,取最小值, 所以异面直线与之间的距离为. ( 题型 0 3 利用空间向量求二面角 ) 1．【解析】（1）如图1,取的中点,取靠近点的四等分点,连接,,. 因为是的中点,所以是的中位线,所以,. 因为,所以,所以根据相似的性质可得,, 所以,,所以四边形为平行四边形,所以. 因为平面,平面,所以平面. （2）根据圆锥的性质可得平面,因为平面,平面,所以,.因为,所以以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图2所示, 则,,,,.设平面的法向量为,则,取.易得平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为,则,因为平面与平面的夹角为为锐角, 故平面与平面夹角的余弦值为. 2．【解析】（1）由题意得,,,为的中点, 所以, 因为平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面. （2）过点作于点,由得为中点. 因为,,所以,,, 所以. 由（1）得,平面平面,又平面平面,平面, 所以平面. 如图,以为原点,所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系, 则, 所以. 设平面的法向量为, 则,取,则. 设平面的法向量为, 则,取,则. 因为, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．【解析】（1）连接,设与交于点,连接, 在正三棱柱中,四边形是矩形,所以点是的中点, 在中,点是的中点,所以. 又平面平面, 所以平面. （2）取的中点,连接, 因为为等边三角形,点为的中点,所以. 如图,以点为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系. 则,,,, ,,,, 设平面的一个法向量为, 则, 令,得. 设平面的一个法向量为, 则, 令,,得 设平面与平面的夹角为, 则 故平面与平面夹角的余弦值为. 4.【解析】（1）因为平面,且, 故以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图, 则,,,, 所以,,则, 所以,. 因为平面,平面,所以, 所以,解得. （2）因为,所以,. 设平面的法向量为, 则,取,则. 由（1）得,平面的一个法向量为. 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．【解析】（1）连接,, 因平面,平面,平面平面,所以, 设,,连接, 由在四棱台中,平面平面, 平面平面,平面平面, 则得, 又由题意知,则得四边形是等腰梯形, 所以,同理可证, 因,平面,所以平面, 又底面是菱形,所以, 则以为原点,直线,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图, 因为菱形的边长为,,则,, 则,,则, 所以,,,,, 则,,, 设,, 设平面的一个法向量为, 则, 令,则,,所以, 所以,即平面, 又平面,所以平面平面； （2）设,因,, 则,,, 所以,则得, 又在上,设,则,解得, 可得,所以,, 设平面的一个法向量为, 则,令,则,, 则得, 所以,所以, 故平面与平面夹角的正弦值为. 6．【解析】（1）因为平面,平面,所以 因为,,, 所以,,, 所以,所以, 又,平面,所以平面 因为平面,所以平面平面. （2）因为平面,, 所以以为原点,以,,分别为x,y,z轴正方向建立如图空间直角坐标系, 则,,,,, 则,, 设平面的法向量为,则, 取,得平面的一个法向量, 易知平面的一个法向量为, 设平面与平面的夹角为, 则, 平面与平面夹角的余弦值为. 7．【解析】（1）由题意：,,平面,, 所以平面. 因为平面,所以. 又,平面,且四边形为梯形,且,所以与必相交, 所以平面. 又平面, 所以平面平面. （2）以为原点,建立如图空间直角坐标系,因为平面,所以轴. 设,,则,,,. 所以,,. 设平面的法向量为,则 ,取. 设平面的法向量为,则 ,取. 所以,,. 所以, 所以,即二面角所成平面角的正弦值为. 8．【解析】（1）取的中点,连接、、,如下图所示： 因为是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点,故, 因为四边形为菱形,且,故为等边三角形, 因为为的中点,则, 因为,、平面,所以平面, 因为平面,因此,. （2）因为是边长为的等边三角形,为的中点,所以, 且, 因为是以为直角的等腰直角三角形,故,, 由余弦定理可得, 因为,故, 过点在平面内作,垂足为点,如图所示： 因为,,,、平面, 所以平面, 因为平面,所以, 因为,,、平面,故平面, 因为,. 因此. （3）因为平面,, 以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系, 则、、、、, 设平面的一个法向量为,,, 所以,取,可得, 设,其中, 则, ,设平面的一个法向量为, 则, 取,可得, 所以, 整理可得,即, 因为,解得或. 故当时,或. 9．【解析】（1）由题意证明如下, 连接,,,设,连接． 在中,,分别是,的中点,所以∥, 在中,,分别是,的中点,所以∥, ∴∥． ∵平面,平面, ∴∥平面． （2）由题意及（1）得, 过点作交于点． 以为坐标原点,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,． 设, 则,． 设, 则,, 即, 则,． 设平面的法向量为, 则所以 可取． 由几何知识得,平面DCF的一个法向量为, ． 令, 则, 当且仅当,即,,等号成立, 所以． ∴二面角的余弦值的最大值为． 10．【解析】（1）由题可知, 因为是等边三角形,所以. 由余弦定理得, 所以,因此. 又因为,平面,,所以平面, 又平面,故平面平面. （2）记的中点为,的中点为,连接,, 所以,又,所以, 因为为等边三角形,所以, 又因为平面,平面,所以, 又,平面,所以平面, 又平面,,所以,,两两垂直, 故以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,如图, 则,,,,. ,,设平面的法向量为, 则,即,可取. ,,设平面的法向量为, 则,即,可取. 因为, 故平面与平面夹角的余弦值为. 11. 【解析】(1)连接,设,连接, 因为四边形为菱形且,,故为等边三角形, 因为四边形为正方形,故为的中点,故, 而平面平面,平面平面, 平面,故平面, 故可以为原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 故,故, 又为的中点,故, 故,而, 由不在一条直线上可得. （2）由（1）中结果可得,,, 设平面的一个法向量为, 故即,取, 设平面的一个法向量为, 故即,取, 故, 故平面与平面夹角的余弦值为. 12. 【解析】（1）底面是边长为2的正方形,, 故底面是边长为1的正方形, 所以底面的面积为,底面的面积为, 底面,故为棱台的高, 故棱台的体积为,解得； （2）因为底面,平面, 所以,, 又,故两两垂直, 以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 由（1）知, 则, 设,, 则,, 设平面的法向量为, 则, 令,则,, 所以, 因为平面,所以, 解得,此时,点的位置为靠近的4等分点； （3）, 设平面的法向量为, 则, 令,则,故, 由（2）知,平面的法向量为, 设平面与平面的夹角为, 则, 令, 则, 因为,故当,即时,取得最大值, 最大值为. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $