湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025年5月高一下学期数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．化简：（   ）． A． B． C． D． 3．已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　) A． B． C．8 D． 7．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 二、多选题（每题5分，共20分） 9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（   ） A．是的一个周期 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 10．某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（    ） A．销量的极差为3.6 B．销量的平均数为13.5 C．销量的第40百分位数为13.8 D．销量的中位数为13.2 11．已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 12．如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形的面积为 C．外接圆的周长为 D． 三、填空题（每题5分，共20分） 13．三棱锥中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足，A点在侧面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是 . 14．已知，且为第三象限角，则______. 15．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 16．若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为 ． 四、解答题（共70分） 17．（本题10分）已知向量，，且与垂直． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值． 18．（本题12分）已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 19．（本题12分）已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. (1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； (3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 20．（本题12分）在中，角，，的对应边分别为，，，． (1)求； (2)若，，求的面积． 21．（本题12分）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． (1)证明：平面平面； (2)求； (3)记与侧面所成的角分别为，证明：． 22．（本题12分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， (1)若向量为函数的“线性向量”，求 (2)若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； (3)若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D C C B A ABD AB 题号 11 12 答案 AC BCD 13．36 14．/ 15． 16．/ 17．(1) (2) 18．(1) (2) 19．(1)不是； (2)； (3)，的最大值为1. 20．(1) (2) 21．(1) (2) (3) 22．(1) (2) (3) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$