精品解析：辽宁丹东市第十八中学2025-2026学年度八年级下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度八年级下学期期中考试 数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题（共20分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； B、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； C、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； D、当时，，则，不一定成立，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D． 4. 如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是直线位于直线的上方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解为， 故选：C． 6. 若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，通过不等式组的整数解求参数等，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组的整数解求参数即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为， ∵不等式组有4个整数解， ∴， 故选：D． 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：C． 8. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 9. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意； 故选：D． 10. 已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解得，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形． 故选A． 第二部分 非选择题（共80分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（共5题；共10分） 11. 多项式的公因式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定公因式的方法，依次确定系数的最大公约数，相同字母，相同字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的公因式是． 12. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 13. 不等式组无解，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式可得． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵不等式组无解， ∴， 故a的取值范围是：． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 15. 如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【解析】 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 三、解答题（共8道题，共70分） 16. 解不等式及解不等式组： （1）解不等式：． （2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴表示见解析 【解析】 【小问1详解】 解： ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴如下： 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和完全平方公式进行因式分解，运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，注意分解要彻底． （1）运用平方差公式进行分解即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续进行分解即可得到答案； （3）将式子化为两个数的平方差，再运用平方差公式进行分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为： （1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出关于点成中心对称的图形； （3）若绕点M旋转得到，请直接写出点M的坐标； （4）在y轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点M的坐标 （4）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，轴对称最短问题，一次函数与y轴交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）分别作出A，B，C关于点的对称点，，即可； （3）连接，交于点M，点M即为所求； （4）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求，然后求出所在直线解析式，将代入即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图，点M即为所求，点M的坐标； 【小问4详解】 如图所示，点P即为所求． ∵， 设所在直线解析式为 ∴ ∴ ∴ ∴当时，． ∴． 19. 如图，在中，于点D，，在上取一点，使，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得，根据等边对等角得，根据，得； （2）根据三线合一得，即得的周长为16． 【小问1详解】 解：∵在中，于点D，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，于点D，，， ∴． ∴． 故的周长为16． 20. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由旋转的性质得，，再由，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求，再由“等边对等角”和三角形内角和定理得＝，即可求解； 掌握相关的性质，并能熟练利用等腰三角形的性质进行角度求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ＝ ． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】（1）种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； （2）购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元．理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． 设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，根据两种购买方式列出二元一次方程组，解方程组即可； ：设购进类头盔个，类头盔个，根据总费用不超过元，可得不等式，解不等式得到的取值范围；设总利润为元，根据每个头盔的利润可得一次函数，根据一次函数的性质可知的值越大，利润越，从而可知购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元． 【小问1详解】 解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； 【小问2详解】 解：设购进类头盔个，类头盔个， 则， 解得：， 设总利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值元， 购进类头盔个，类头盔个时，获得最大利润为元． 22. 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数_____； （2）用配方法分解因式：； （3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，有最大值，最大值是5 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再求最值． 【小问1详解】 解： ， 是一个完全平方式， ， ， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：． ． 当时，有最大值，最大值是5． 23. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期期中考试 数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题（共20分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 第二部分 非选择题（共80分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（共5题；共10分） 11. 多项式的公因式是_______． 12. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 13. 不等式组无解，则的取值范围是______________． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 15. 如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 三、解答题（共8道题，共70分） 16. 解不等式及解不等式组： （1）解不等式：． （2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为： （1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出关于点成中心对称的图形； （3）若绕点M旋转得到，请直接写出点M的坐标； （4）在y轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 19. 如图，在中，于点D，，在上取一点，使，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 20. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 22. 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数_____； （2）用配方法分解因式：； （3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 23. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $