培优02 勾股定理中解答题压轴7大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦勾股定理压轴题，构建"证明-性质-应用"三阶方法体系，通过7大题型系统培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形面积|6题|面积法（半圆/正方形/弦图面积转化）|从基本图形面积关系验证勾股定理| |线段平方和|6题|构造直角三角形/中线倍长法|深化勾股定理对线段关系的表达| |平方关系证明|5题|全等转化/作高法|培养逻辑推理与代数表达能力| |定理证明|7题|赵爽弦图/总统证法/双求法|溯源定理本质，强化数形结合| |弦图计算|5题|弦图边长关系/整体代换|以经典模型巩固定理应用| |构造图形应用|7题|代数式几何化/将军饮马模型|提升数学建模与问题转化能力| |最短路程|3题|对称法/展开图法|结合空间观念解决路径优化问题|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优02勾股定理中解答题压轴 题型归纳·内容导航 题型1以直角三角形三边为边长的图形面积（压轴）题型5以弦图为背景的计算题（压轴） 题型2利用勾股定理求两条线段的平方和（压轴） 题型6利用勾股定理构造图形解决实际问题（压轴） 题型3利用勾股定理证明线段平方关系（压轴） 题型7利用勾股定理解决最短路程问题（压轴） 题型4勾股定理的证明方法（压轴） 题型通关·靶向提分 题型一以直角三角形三边为边长的图形面积（共6小题） 1.(24-25八年级下·广东惠州期末)小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进 行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完 成 B G S ① ② ③ (1)如图①是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1,S2,S3,请写出S1,S2, S3之间的数量关系： (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得AB+AC=20,OC=5,求该 飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD,记图中正方形ABCD,正方形 EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3·设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,斜边长 为c,则c2=a2+b2.若S1+S2十S3=16,求S2值. 2.(24-25八年级下.重庆期末)教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公 式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角 形较大的直角边长都为α，较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以 表示为4×ab十(a一b)2,由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为4，b,斜边长 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为c,则a2+b2=c2. D b 图① 图② 图③ 图④ (1)如图②，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm,则斜边AB上的高CD的长为_： (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理. (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48， 0C=6,求该“勾股风车”图案的面积. 3.(24-25八年级下北京期末)阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科 学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五” 的记载， D S2 S2 S2 6 a S3 S3 图① 图② 图③ 图④ (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形 中面积关系满足S1+S2=S的有_个 (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边α，b,c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分） 的面积分别为S1,S2,直角三角形的面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系，并说明理由. 4.(24-25八年级下.广西崇左期末)探究不同情境，回答下面问题： S S S S S2 B S S S3 ① ② ③ ④ (1)【初步探究】如图①，分别以Rt△ABC三条边为边向外作正方形，其面积分别用S1S2S表示.请写 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 出S1yS2S3之间满足的等量关系，并说明理由 (2)【类比探究】如图②，分别以Rt△ABC三条边为直径向外作半圆，其面积分别用S1S2S3表示，请写 出S1S2S之间满足的等量关系，并说明理由. (3)【探究应用】如图③，分别以Rt△ABC三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1S2S3 表示，则S1S2S3之间满足的等量关系是_ (4)【拓展应用】如图④，在四边形ABCD中，AC⊥BD,现以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形， 其面积分别为S1S2S3S4·请写出S1,S2S3S4之间满足的等量关系，并说明理由. 5.(24-25八年级下，内蒙古呼和浩特期末)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为 毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为 了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今 S S 图2 图3 图4 图5 A C 对D M 图6 图7 图8 图9 (1)①如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则一（用含有a,b和c的式子表示三者 之间的等量关系)： ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定 理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图 形中面积关系满足S1+S2=S的有个： ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别 为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这 一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d已知∠1=∠2=∠3=∠，则当∠变 化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） 则：a2+b2+c2+d2= 6.(24-25八年级下广东深圳期末)【回顾教材】 在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初 步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理.在研究勾股定理的过程中，我们观察到 面积与线段之间存在着可相互转化的关系.具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型 或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换. 【基础应用】 (1)如图1，Rt△ABC的三边分别为a,b,c,以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1S2S3,若 S3-S2=8,则a=-: 【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？ (2)小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形ACBD的四条边为边向外作四个正方形，已知 ∠ACB=∠ADB=90°，面积分别为m,n,p,9.若m十n=12求p+q的值. (3)小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形OPQR中，使点I,J、K,L,M,N都 在长方形OPQR的边上，连接KCLC,若S△KLc=10,b=2a,求c的值. S2 b B B a B n M 图1 图2 图3 题型二利用勾股定理求两条线段的平方和（共6小题） 1.(24-25八年级下江苏准安期末)探究与应用 [问题初探](1)如图1，AD是△ABC的中线，则线段AB、ACAD、BD会有何种数量关系呢？下面是小刚 的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1)，过点A作AE⊥BC于点E, 在Rt△ABE中，：∠AEB=90°，·AB2=AE2+BE2=AE2+(BD+DE)2.① 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ACE中，：∠AEC=90°，：AC2=AB2+EC2=AE2+(CD-DE)2.② 由①+②得：AB2+AC2=2AE2+2DE2+BD2+CD2+2BD·DE-2CD·DE· DB=DC, 又：在Rt△ADE中，AB2+DE2=-, AB2+AC2=… DE 图1 根据小刚的方法，可以得到线段AB、ACAD、BD的数量关系是 [简单应用](2)如图(2)，在△ABD中，AD是中线，AB=4,AD=3,AC=V34,求BC的长. D D D 图2 图3 图4 [灵活应用](3)在△ABD中，AB=AC,点D是BC上一点，且BD=2DC=4,连接AD,过点D作 DE⊥AD,AE=AC则DE2= [深度思考](4)已知线段BC=8,点D在线段BC上，CD=2,点A是平面内任意一点，且满足 AB2+AC2=44,则AD的最大值为 2.（24-25八年级下陕西西安期末)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AD⊥BC.若AB=5,BD=3,CD=6,则AC= 问题探究 (2)如图2，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且AC⊥BD· 求证：BC2+AD2=AB2+CD2. 问题解决 (3)如图3，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD,DE是两条小道， D为BC的中点，DE⊥AC于点E.该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF,且满足EF=EC, ∠AFE=90°.请根据上述条件，求骑行小道AF的长. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 3,(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)已知，如图①，在Rt△ABC中，CA=CB,O为斜边AB的中点， OD,OE分别交AC于点D,交BC于点E,且∠D0E=90°，连接DE,OC, 图① 图② (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对：②△ABC的面积等于四边形CD0E的面积的2倍；③ cD+CB=号AB,其中正确的结论有.（填序号）： (2)求证：AD2+BE2=DE2; (3)如图②题目中的条件CA=CB改为CA<CB,其余条件不变，则(2)中的结论AD+BE2=DE2还能 成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由 4.(24-25八年级下.安徽淮南·期末)【问题发现】(1)如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B, D,E在同一直线上，连接CE,容易发现： ①∠BEC的度数为； ②线段BD、CE之间的数量关系为 【类比探究】(2)如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B,D, E在同一直线上，连接CE,试判断∠BEC的度数以及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】(3)如图3，∠A0B=∠ACB=90°，0A=2,0B=4,AC=BC,则0C2的值为 图1 图2 图3 5.(24-25八年级下.辽宁沈阳期末)如图1，已知△ABC,以AB,AC为边分别向△ABC外作等边 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABD和等边△ACE,连接BE、CD,则有BE=CD, 图1 图2 图3 (1)如图2，已知△ABC,以AB,AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,连接 BE、CD,猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由. (2)如图2，连接DE,若AB=4,AC=5,BC=6,BC2+DE2的值为 (3)运用图.(1)，图(2)中所积累的经验和知识，完成下题：如图(3)，要测量池塘两岸相对的两点B、E 的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AEBE的长为（结果 保留根号). 题型三利用勾股定理证明线段平方关系（共5小题） 1.（24-25八年级下·吉林长春，期末)如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边 的平方.在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2=AB2.我们定义为"商高定理”. D 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠C=90°中，若BC=4,AB=5,则AC=_: (2)如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0，AC⊥BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2; (3)如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED,连结CE、 AG、GE, ①求证：△ABG兰△EBC; ②当BC=3,AB=4时，则GE2的值是— 2.(24-25八年级下·安微准南·期末)如图1，在△ABC和△CDE中，已知AC=BC=CD=DE, ∠ACB=∠CDE=90°，CD,CE分别交AB于点M,N. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图2，作△ACF兰△BCN,连接FM,求证：△CMF兰△CMN; (2)改变△CDE的位置： ①如图2，在(1)的条件下，当点M,N在AB上（不与点A,B重合）时，求证：AM2+BN2=MN2; ②如图3，当点M在AB上，点N在AB的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由. 3.(24-25八年级下.安微淮北期末)在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°，如 图1，由勾股定理可得结论：（a2+b2=c2;若∠C<90·（如图2)或∠C>90·(如图3)时，请你完 成下列探究： 图1 图2 图3 (1)猜想：(i)若∠C<90°，则a2+b2 c2;(填“=">"或“<") (i)若∠C>90°，则a2+b2 C2;(填“=">"或"<") (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性. 4,(24-25八年级下.河南郑州·期末)在Rt△ABC中，AB=AC,D为直线BC上的一个动点（不与点B、C 重合)，连接AD,以AD为直角边作Rt△ADE,且AD=AE,连接EC E D B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在边BC延长线上时，易证BD=CE,且BD⊥CE:此时BD2,CD2,AD2三者之间的 数量关系为：一· (2)如图2，当点D在边BC上（点D不与点B,C重合）时，(1)中BD2,CD2,AD2三者之间数量关系是香 仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)类比构造：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=13,CD=5,直 接写出边AD的长 5.(24-25八年级下.江苏扬州期末)【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1， 在△ABC中，若AB=6,AC=4,求BC边上中线AD的取值范围.小丽在组内经过合作交流，得到了如 下的解决方法：如图2，延长AD到点M,使DM=AD.连接BM,可证△ACD兰△MBD,从而把 AB,AC,2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围 D D 图1 图2 图3 图4 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构 造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”， 【问题解决】 (1)直接写出图1中AD的取值范围： (2)如图3，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F,EA=EF,求证： AB=CF; (3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，连接CD,作ED⊥CD交AC于点E.试探究线 段AE,BC,CE之间的数量关系，并说明理由. 题型四勾股定理的证明方法（共7小题） 1.(24-25八年级下山西临汾期末)阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形 较长直角边为a,较短直角边为b,斜边长c,用面积法得到直角三角形三边长a、b、c之间的一个重要结 论：a2+b2=c2, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G H b 图1 图2 图3 (1)已知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, ·.正方形CFGH的边长为」 “AB=C,且S正方形ABED=4S△4BC+S正方形CFGH(等面积法)， .c2=4× 十 -=a2+b2, a2+b2=c2 (2)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90°，BC=a,AC=b,AB=c, 其中AB=BD,∠ABD=90°· ①求证：△ABC≌△BDE; ②仿照(1)用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2. (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若 a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为 2.(24-25八年级下.安徽六安期末)综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三 角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。 5 B 图1 图2 图3 图4 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图， 它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c2=a2+b2; 【定理应用】 (2)如图2，在5×6网格中，△ABC是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点B到边AC的距离： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,点E是高CD上一点，∠DEB=2∠EBC.若EB=10,ED=6,求 AB的长； 【拓展延伸】 (4)已知△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，如图4，连接BD,CE,若 AB=4V2,BE=3,∠ABE=45,直接写出AD的长。 3.(24-25八年级下山西吕梁期末)综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角 形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四个 直角三角形与一个小正方形的面积之和，即号b×4+(b一a)2,从而得到等式 c2=专b×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或 方程的方法，我们称之为“双求法”。 A(E) D 赵爽弦图 图1 图2 图3 图4 【方法运用】千 百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种.小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的 直角三角板ABC和DEF,顶点F在AC边上，顶点A,E重合，∠ACB=∠DFE=∠BAD=90°， BC=EF=a,AC=DF=b(a<b),AB=DE=C,也利用“双求法"验证了勾股定理. 证明：连接BD,CD,则CF=AC-EF=b-a 则S四边形ABCD=·· (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程， (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC,则AB边上的高为 (3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值， 4.（24-25八年级下·广东广州期末)回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早己被广 泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一，历史上不同时代、不同国家的人 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 士，先后给出了各种证明方法，据统计己有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜 6 图1 图2 图3 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究.他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边 分别为a、b,斜边为c)拼成如图1所示的图形 (1)从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积=4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式① ，化简证得勾股定理② 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： (2)如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24， OC=2,求该风车状图案的面积. 【迁移运用】如图3，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的 验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ (3)请直接写出此等量关系式： 5.(24-25八年级下.河南焦作期末)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定 理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者， A 6 E Bb 图1 图2 图3 (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°， AD=BE=a,AE=BC=b,DE=CE=C,请依据图1推导勾股定理. (2)如图2，在△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为H,求CH的长。 (3)如图3，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C,D为两个村庄（看作两个点）， AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=24千米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供应站P ,使得PC=PD,请用尺规作图在图中作出P点的位置并直接写出AP的距离.（不写作法，保留作图痕迹） 6.（24-25八年级下辽宁大连期末)【背景介绍】 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用 它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形 与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,小正方形的边长为b一a,即 专ab×4+(b-a)2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种 求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”， a 6 a B 图1 图2 图3 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC兰△CDE,∠B=∠D=90°），使BC和CD在 条直线上，连接AE,请用a,b,c分别表示出梯形ABDE,△ABC,△CDE,△ACE的面积，再 探究这四个图形面积之间的关系，证明：a2+b2=c2. 【方法迁移】 (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=6,AC=7,BC=8,设CD=x,求x的值， 7.(24-25八年级下安徽池州期末)【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为α，较小的直角边长都为b,斜边长都 为c,大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×ab十(a一b)2,由此推导出重要的勾股定理： 如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2, D a b A ■ Eb B 图① 图② 图③ 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的"总统证法”，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接 CD,其中∠A=∠B=∠DEC=90°，请你利用图②推导勾股定理； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种 原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一 条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=1200米，HB=900米，求新路CH比原路CA少 多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=7,BC=8,AB=9,设AH=x,求x的值. 题型五以弦图为背景的计算题（共5小题） 1.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)某校七年级(2)班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与 实践学习 D 图1 图5 备用图 (1)如图1，把两个面积为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起， 就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是dm (2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为3dm,4dm,用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放， 拼成图2所示的大正方形ABCD,其中间恰好形成一个空白小正方形， ①中间空白小正方形的面积是 .dm2;大正方形ABCD的边长 dm: ②在①问的条件下，若在大正方形ABCD内沿边的方向裁剪出一个长宽比为3：2的长方形，其面积为 18dm2,请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由.（参考数据：2心1.414，V5≈1.732 (3)若一个直角三角形的两条直角边分别为5dm,12dm,请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的 第三条边（斜边）的长是 dm 2.（24-25八年级下江苏扬州期末)综合与实践 图 图3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在 学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法.如课本38页，在边长为a的 正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形（如图1）.通过计算图中的阴影面积，小明发现了 个重要的乘法公式：一·其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理. (2)【实践活动】 活动材料：如图2,4张A型直角三角形纸片， 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从 而探究出相应的等式： 活动内容：①图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张A型直角三角形纸 片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,最长的 斜边为c.试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由. ②利用上述结论计算：若(a+b)2=23,大正方形的面积为17，求小正方形的面积。 (3)【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”.（用铅笔画图，保 留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑) 3.（24-25八年级下，宁夏固原期末)动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是 α，b,斜边长为c),拼成含有正方形的图案如（图2）.拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 图1 图2 图3 图① 图② 图③ (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为 (a-b)2+4× 也可表示为 因此化简可得 (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形， 其中图 可以证明勾股定理， (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式a2c2+a2b2与c4-b4的大小。 (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程 4.(24-25八年级下.湖南郴州八年级下)阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1， 弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,斜边长c,用面积 法得到直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论：a2+b2=c2. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G b a 图1 图2 图3 (1)如图1，己知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2. 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, :正方形CFGH的边长为】 :AB=C,且S正方形AED=4S△4Bc十S正方形CFGH(等面积法)， c2=4X —=a2+b2 :a2+b2=c2. (2)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90°，BC=a,AC=b,AB=C,其中 AB=BD,∠ABD=90°.求证：△ABC≌△BDE. (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若 a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积. 5.(24-25八年级下河南南阳·期末)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为 4×号ab+(a一b)2,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则 a2+b2=c2. D b A Hh B 0 二二二----------- 图1 图2 图3 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因， 由C到A的路现在己经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0,4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)已知△ABC中，AB=15,AC=13,AD为BC边上的高，且AD=12,请直接写出△ABC的面积. 题型六利用勾股定理构造图形解决实际问题（共7小题） 1.（24-25八年级下·安徽安庆期末)按要求解答下列各题： 2 12-x 3 (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题.如，“求代数式 x2+4+V(12-x)2+9的最小值”，小明同学发现y2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形 斜边长，√(12-x)2+9可看作是两直角边分别为12一x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出如图 所示，将问题转化为求线段AB的长.求Vx2+4+√(12-x)2+9的最小值 (2)类比迁移：已知a,b均为正数，且a+b=15,求√a2+25+Vb2+9的最小值 2.(24-25八年级下.河南许昌期末)【模型建立“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法， 先阅读以下材料，然后解答后面的问题， 例：求代数式Vx2+32+V12-x)2+22的最小值， 分析：√2+32和√(12一x+22很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用 “x2+32"表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“12-x2+22"表示直角边分别是 (12一x)、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角△ABC和△DEF,并 使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=X+12-X=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？" 121 B(E)12-x 图1 图2 图3 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (1)根据：两点之间 得到：线段AD就是AB+DB的最小值，如图3连接AD,延长AC至H, 使CH=FD=2,连接HD,可证：四边形CHDF是矩形，AH= —’DH=,在 Rt△AHD中，由勾股定理可求得AD的长，V2+32+V12-x)+22的最小值是 【模型应用】 2)代数式Vx2+4+V5-x)+1的最小值是 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数x满足V36-x2+V64-x2=10,求x的值. 3.(24-25八年级下山东菏泽期末)综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直 观的几何问题解决.例如：已知x,y是正数，且x+y=4,求√1+x2十√4十y2的最小值.如图1，令 线段AB=X+y=4,其中AC=x,CB=y,然后构造Rt△DAC和Rt△EBC,使DA=1,BE=2 ,则DC=V1+x2,EC=V4+y2,因此，当点D、C、E三点共线时，如图，DC+EC的值最小. 1 B 图1 图2 (1)【解决问题】己知x,y是正数，且x+y=4,则√1+x2+V4+y2的最小值为-： (2)【实践探究】己知m,n是正数，且m+n=6,求√2+m2+V8+n2的最小值；（请画出示意图并求解） 3)【拓展应用】求√a2+32+V(12-a)2+22的最小值为_（直接写出答案）. 4.(24-25八年级下.北京期末)先阅读以下材料，然后解答后面的问题. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例：求代数式2+32+V12-x)+22的最小值.分析：Vx2+32和12-x+22是勾股定理的形式， √2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12一x)子+22是直角边分别是12一x和2的直角 三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图1）， 向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就 变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？"根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值. 12-x 12-x x B(E) 图1 图2 《1)代数式Vx2+32+V(12-x)2+22的最小值为 (2)变式训练：求代数式Vx2+25+V8-x)+9的最小值 (3)解决问题：已知正数x满足V25-x2+√144-x2=13,则x的值为 5.(24-25八年级下辽宁鞍山期末)按要求解答下列各题： 12-9 X 3 B (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题.如，“求代数式 Vx2+4+√(12-x)2+9的最小值”，小明同学发现2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形 斜边长，√(12一x)2+9可看作是两直角边分别为12一x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出如图 所示，将间题转化为求线段AB的长，进而求得Vx2+4+√(12-x)2+9的最小值是 2)类比迁移：已知a,b均为正数，且a十b=15,求Va2+25+Vb2+9的最小值一· 3)方法应用：已知a,b均为正数，且ya2+4b2,√4a2+b2,√a2+9b2是三角形的三边长，求这个三角形 的面积（晒出构造图形，用含a,b的代数式表示）. 6.(24-25八年级下.浙江绍兴期末)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公 式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 比如Va2+b2的几何意义是以a,b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求 √2+9+√(3一x)2+1的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和3-x,1为直角边的直角三角 形（如图），∠B=∠D=90°，AB=3,BP=x,CD=1,DP=3-x,由勾股定理知 AP=Vx2+9,CP=V(3-x)2+1,细心观察发现BP与DP的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一 起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时， x2+9+V(3-x)2+1的最小值为线段AC的长. 3/ p'3-x Bx P(P)3-x B x P (1)根据上述方法，求Vx2+9+√(3-x)2+1的最小值（线段AC的长）. (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式Vx2+9+√(8-x)2+9的最小值（其中0<x<8): (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0): ①解方程：V36-x2+V64-x2=10: ②求代数式W(x+4)2+16-Vx2+1的最大值， 7.(24-25八年级下广西河池·期末)如图1，某公园内有一条笔直的马路EF,马路EF同侧有观景台A、凉 亭B,己知AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D,AC=700m,BD=100m,CD=800m, B B ◇ -F h EC ECG D 图1 图2 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台A与凉亭B之间的直线距离AB= m;(直接写出结果) 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G,使G到A,B两处的距离相等，该自 动售货点G应修建在离点C多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF边上设置一个便民服务点M,使得M到A、B 两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）. 题型七利用勾股定理解决最短路程问题（共3小题） 1.(2026湖北襄阳·模拟预测)日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活. 主题探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线1上方两点，点A到直线1的距离为1m,点B到直线1的距离为3m,在 直线1上找一点P,使PA十PB最短. B 图1 (1)如图2，作点A与点A关于直线1对称，连接AA交直线1于点O,连接AB交直线1于点P,连接AP, 则点P即为所求，则0A=m,PA一PA(选填>、<或=) (2)如图3，过A作AC‖1，过B作BC⊥AC于C,若AC=3m,则BC=m,PA+PB=一： B P 图2 图3 活动二：某小区有一个矩形ABCD停车场，长AD=34m,宽AB=30m,大门EF设在CD处，如图4， 小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是 边长为2m的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与 停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m,01、02是两个充电桩的中心，O102叫做充电桩的中心距 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D 充电桩1 E 0 充电桩2F B C 图4 (3)如图5，若沿AD方向修建一排充电桩，最多可以修建 个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距 为 m; D E F B 图5 (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为1m,需 在AD边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到O1、O2的距离的和最短，则这个最短距离为」 m. E B 图6 2.(24-25八年级下.广东佛山期末)综合与实践 如图1，点A代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路1上建一个储物点B. A A A B -1 BD 图1 图2 图3 图4 (1)如图，若车间在道路的另一侧点C处. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点B处取物品，然后到车间C,请画图说明，储物点B设在道路的何 处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据 ②如图3，在道路1上增加一个储物点D,要求储物点D在储物点B的右侧，两个储物点的间距固定，工作人 员每天进入工厂后，先到储物点B处取物品，然后沿着道路走到储物点D取物品，最后到车间C,请画图说 明，储物点D设在道路的何处，工作人员所走的路程最短 (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点A、点C到水平直线1的距离分别为500米、300米，点A、点 C之间的水平距离为700米，BD的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 3.(24-25八年级下.安徽蚌埠.期末)综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式k2+32+V(12-x)2+22的最小值，2+32可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜 边，√(12-x)2+2是直角边分别是12一x和2的直角三角形的斜边.因此，构造两个直角三角形，使 它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时BC=x+12-x=12, AB=3,CD=2,原问题就变成“点E在线段BC的何处时，AE+DE的值最小？” B E12- ● 图1 图2 图3 解决方法：如图2，连接AD,交BC于点E',此时当点E与点E重合时，AE+DE的值最小，依据为 ①，将AB延长至点F,使得BF=② (填线段)，连接DF,则 AF=AB+BF=3+2=5,BC=DF=12,易求得AD=_③，即AE+DE的最小值为AD的 长 (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① :② ;③ 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km,A村庄到河岸的垂直距离为2km,B村庄到河岸的垂直距离为3km, 且A,B之间的水平距离为12km.现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ,使得从A到B的路程最短， 求出这个最短路程的长， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25八年级下.北京期末)如图1，一圆柱的底面半径为5cm,BC是底面直径，高AB为5cm,求一只 妈蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C(点A与点C正对)的最短路线，小明设计了两条路线. B 沿AB剪 开摊平 图1 图2 路线1：侧面展开图中的线段AC,如图2所示. 设路线1的长度为l1,则=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2. 路线2：高线AB+底面直径BC. 设路线2的长度为l2,则=(5+10)2=225. 为比较112的大小，采用“作差法”： 因为匠-=25（π2-8）>0，所以匠>公，所以1>12，所以小明认为路线2较短. (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”.请你用上述方 法帮小亮比较出1与12的大小。 (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为rcm,高为hcm.蚂蚁从点A出发沿圆柱表 面爬行到点C,当方满足什么条件时，路线2较短？请说明理由. 5.（24-25八年级下广东广州期末)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公 式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： D D A 备用图 (1)如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点）， AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米，BC=16千米，求两个村庄的距离； (2)在(1)的条件下，要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,求AP的距离： (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中x>0) ①代数式Vx2+9+V(x-16)2+81(0<x<16)的最小值为一 ②代数式√(x+4)2+16-Vk2+1的最大值为 6.(24-25八年级下.山东潍坊·期末)【阅读材料1】 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 我们知道数轴上表示实数a,b的两点之间的距离是|a一b|,由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距 离 己知：如图1，在平面直角坐标系中，点P1,P2的坐标分别为(xy1),（x2y2): VA P2(x2,y2） PL. (x1,y1) Q(x2,y1) 图1 求：线段PP2的长度（即P1,P2两点间的距离）. 解：①分别过点P1、P2作x轴、y轴的平行线交于点Q,则Q的坐标为(x2y1),且∠P1QP2=90°. 在Rt△P1QP2中，由勾股定理得P1P3=P1Q2+P2Q2, 所以PP2=√(x-2)2+(y-y2) 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-1,2)，(3,4). 6 5 5 4 A 3 2 2 65-4-3-2-19i 123456x 6-5-4-3-2-10123456x 2 -5 -6 图2 备用图 (1)求线段AB的长； (2)在x轴上有一动点P,求PA十PB的最小值. 【阅读材料2】 问题：求√(t+1)2+(0-2)2+V(t-3)+(0-4)2的最小值. 解析：因为W(t+1)2+(0-2)表示点(t,0)到点(-1,2)的距离，√(t-3)+(0-4)2表示点 (t,0)到点(3,4)的距离 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以求√(t+1)2+(0-2)2+V(t-3)2+(0-4)2的最小值可以转化为(2)中的间题. 【探究深化】 3)求√(t+3)2+25+V4+(4-t)2的最小值.。 7.(24-25八年级下.陕西安康期末)小星学习了最短路径问题后，做了一个高为12cm,底面圆的周长为 24cm的圆柱（如图①），他在圆柱外侧下底面的点A处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务. D D(CM A(B)N 图① 图② 图③ 图④ (1)任务一：点P是MN的中点且在圆柱外侧，蚂蚁想吃点P处的食物，则它沿圆柱外侧面爬行的最短路程 是 cm. (2)任务二：小星把圆柱的高变为12W3c,底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在外底部A处，帮蚂 蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点A相对的点M处的食物，吃完后再设计另一条 与前一条不一样的最短路径回到点B处（此时A、B两点重合），小星沿着AD竖直方向将圆柱剪开，得到 长方形ABCD(如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想MB平分∠AMC,请根据题意，在图③中补全 图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由， (3)任务三：小星准备了一张边长为20cm的正方形纸片（如图④），点E为BC的中点，他将△ABE沿AE 对折到正方形内部△AFE的位置，并在线段AB抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点F处，请你帮小星计算出蚂 蚁能吃到蜂蜜的最短路程，并写出解答过程 培优02 勾股定理中解答题压轴 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（压轴） 题型5 以弦图为背景的计算题（压轴） 题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和（压轴） 题型6 利用勾股定理构造图形解决实际问题（压轴） 题型3 利用勾股定理证明线段平方关系（压轴） 题型7 利用勾股定理解决最短路程问题（压轴） 题型4勾股定理的证明方法（压轴） 题型一 以直角三角形三边为边长的图形面积（共6小题） 1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】(1) (2)120 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； （3）解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 2．（24-25八年级下·重庆·期末）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)96 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 3．（24-25八年级下·北京·期末）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． (1)如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． (2)如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 【分析】（1）如图①，，可得；如图②，，故得．如图③，如图，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （2）如图④， ，可证得． 【详解】（1）解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴；   故图①②③中面积关系满足的有3个． （2）解：，理由如下： 如图④，    ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级下·广西崇左·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知 ，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 【答案】(1)①；②见解析 (2)①3；② (3) 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，以直角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理的证明方法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据勾股定理求解； ②在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：． （2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个； ②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （3）由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，从而可得，，，于是可得． 【详解】（1）①解：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么， 故答案为：． ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①解：三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； ②解：结论：． 理由：以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 三角形的面积为， ∴， ∴， 由（1）的结论可知：， ∴； （3）解：如图9， 正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【回顾教材】 在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初 步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换． 【基础应用】 （1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则 ； 【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？ （2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知，面积分别为m，n，p，q． 若求的值． （3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接，若，，求c的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理与正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用． （1）根据勾股定理得，再由正方形面积公式得到，代入即可求解； （2）和运用勾股定理得，而根据正方形的面积可得，即可得到，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，先证明，则，然后表示，，而，，再由建立方程求解，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵为直角三角形， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴（舍负）， 故答案为：； （2）连接， ∵， ∴和是直角三角形， ∴由勾股定理得，且 ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴； （3）过点作于点，过点作于点， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍负）． 题型二 利用勾股定理求两条线段的平方和（共6小题） 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确找到全等三角形是解题的关键． （1）①有三组全等三角形，分别为，，；②由即可证明；③由，得，而由勾股定理得，即可求证； （2）则，，在中，由勾股定理得，再等量代换即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，，可得，再证明，则，在中有，则． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴为等腰直角三角形，， ∵O为斜边的中点， ∴，即， 则均为等腰直角三角形， 则，， 在与中， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∴， 同理可证：， ∴①错，应该有3对全等的三角形； ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积等于四边形的面积的2倍， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， 在等腰中，，由勾股定理得， ∴， ∴③正确， 故答案为：②③； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； （3）解：成立，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)82 (3)米 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键． 题型三 利用勾股定理证明线段平方关系（共5小题） 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在和中，已知，，，分别交于点，． (1)如图2，作，连接，求证：； (2)改变的位置； ①如图2，在（1）的条件下，当点，在上（不与点，重合）时，求证：； ②如图3，当点在上，点在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②成立，见解析 【分析】（1）先证明和均是等腰直角三角形，进而证明，即可证明 （2）①根据全等三角形的性质可得，由（1）知和均是等腰直角三角形，，进而得出，根据勾股定理可得，等量代换，即可得证 ②同（1）作，连接，则，，，证明，进而证明，证明，中，，等量代换，即可得证． 【详解】（1）证明：， ，． ，． 和均是等腰直角三角形． ，即． ． ，即． ． 在和中， ， （2）①证明：， ． 由（1）知和均是等腰直角三角形，， ． ． 在中，． ②解：成立．理由如下： 如图，同（1）作，连接，则，，． 和均是等腰直角三角形， ． ． ． ． 在和中， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期末）在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四 勾股定理的证明方法（共7小题） 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】 (2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离； (3)如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】 (4)已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用两种不同的形式表示大正方形的面积，即可验证勾股定理：； （2）借助网格求出的面积和的长度，根据三角形的面积公式可得，即可求出点到边的距离； （3）由可知，根据等角对等边可得，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理即可求出的长度； （4）过点作于，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，所以可得，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：外面大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理得：； （2）解：， 如下图所示，过点作于， 由勾股定理得， ， 解得：， 点到边的距离为； （3）解：，， ， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即； （4）解：如下图所示，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形． (1)从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式①________，化简证得勾股定理②________． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： (2)如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图3，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ (3)请直接写出此等量关系式：________． 【答案】(1)， (2)15 (3) 【分析】（1）根据图形写出即可； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， 从而得到等式，化简证得勾股定理； （2）解：如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （3）解：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 5．（24-25八年级下·河南焦作·期末）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)图形见解析，的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 7．（24-25八年级下·安徽池州·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 题型五 以弦图为背景的计算题（共5小题） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）某校七年级（2）班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与实践学习． (1)如图1，把两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起，就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是 ． (2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为，用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放，拼成图2所示的大正方形，其中间恰好形成一个空白小正方形， ①中间空白小正方形的面积是__________；大正方形的边长__________； ②在①问的条件下，若在大正方形内沿边的方向裁剪出一个长宽比为的长方形，其面积为，请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由．（参考数据： (3)若一个直角三角形的两条直角边分别为，请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的第三条边（斜边）的长是__________． 【答案】(1) (2)①1，5；②不能裁出符合要求的长方形，理由见解析 (3)13 【分析】（1）先算出两个小正方形的总面积为，即大正方形的面积为；根据“正方形面积 = 边长的平方”，由面积求算术平方根，得到大正方形的边长为． （2）①沿用（1）的面积探究方法，结合“赵爽弦图”的结构特征：空白小正方形的边长=直角三角形长直角边 - 短直角边，即，因此面积为；大正方形的面积 = 4个直角三角形的面积 + 空白小正方形的面积，计算得；再对面积求算术平方根，得到大正方形边长．②设长方形长为、宽为，根据面积列方程，解得；算出长方形的长，宽；对比大正方形边长，长方形的长超过了正方形边长，因此无法裁出． （3）用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”，计算出空白小正方形边长，面积为；计算4个直角三角形的总面积，得出大正方形的总面积；对面积求算术平方根，得到斜边长． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积和为： 拼接前后面积不变，因此大正方形的面积为． 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式： 因为边长为正数， 所以 故大正方形的边长为． （2）①解：中间空白小正方形的边长：， 因此空白小正方形的面积：， 大正方形的面积： 设大正方形的边长为，面积为：， 因为边长为正数， 所以： 故空白小正方形的面积为，大正方形的边长为． ②不能裁出符合要求的长方形，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意： 因为， 所以： 因此长方形的长为，宽为． 由参考数据，得： 因为大正方形的边长为，且， 所以长方形的长超过了大正方形的边长，无法裁出符合要求的长方形． （3）解：沿用（2）的拼图探究方法，用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”： 中间空白小正方形的边长： 空白小正方形的面积： 4个直角三角形的总面积： 大正方形（以斜边为边长）的面积： 设斜边长为，根据正方形面积公式： 因为边长为正数， 所以： 故这个直角三角形的斜边长为． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践 (1)【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）．通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． (2)【实践活动】 活动材料：如图2，4张型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容：①图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由． ②利用上述结论计算：若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． (3)【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 【答案】(1) (2)①；②11 (3)答案见解析 【教材呈现】先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 【实践活动】①根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；②先求得，再根据平方差公式可得答案； 【拓展探究】如图，连接交于点，延长交于，连接并延长交于，连接，交的延长线于，连接并延长交于，连接并延长交于． 【详解】（1）解：第一个图的阴影部分面积为：，第二个图阴影部分的面积为：， 两个阴影部分的面积相等， 乘法公式为：； （2）①大正方形面积，大正方形面积， ； ②由题意知：， ， ， 小正方形的面积是11； （3）解：如图，连接交于点，延长交于，连接并延长交于，连接，交的延长线于，连接并延长交于，连接并延长交于． 3．（24-25八年级下·宁夏固原·期末）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见解析 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 4．（24-25八年级下·湖南郴州·八年级下）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 题型六 利用勾股定理构造图形解决实际问题（共7小题） 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期末）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 4．（24-25八年级下·北京·期末）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． (2)类比迁移：已知均为正数，且，求的最小值_____． (3)方法应用：已知均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（晒出构造图形，用含的代数式表示）． 【答案】(1)13 (2)17 (3) 【分析】（）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （）同（）理即可求解； （）构造图形，当，，，，，由勾股定理得到，， ，，则可得的面积即为所求，利用分割法求出三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）解：（）如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：构造图形如图，，，，，， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时，有最大值为． 7．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型七 利用勾股定理解决最短路程问题（共3小题） 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接，与直线的交点即为储物点的位置； ②将点向右平移的长度至点，连接，与直线的交点即为储物点的位置； （2）将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图， 则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴， ∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 4．（24-25八年级下·北京·期末）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】(1)路线1较短， (2)当时，路线2较短 【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小． (2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围． 【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． （2）解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 5．（24-25八年级下·广东广州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）【阅读材料1】 我们知道数轴上表示实数，的两点之间的距离是，由此可以探究平面直角坐标系中两点之间的距离． 已知：如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． 求：线段的长度（即，两点间的距离）． 解：①分别过点、作轴、轴的平行线交于点，则的坐标为，且． 在中，由勾股定理得． 所以． 【应用初探】 如图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)在轴上有一动点，求的最小值． 【阅读材料2】 问题：求的最小值． 解析：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离． 所以求的最小值可以转化为（2）中的问题． 【探究深化】 (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的结论即可求出线段的长； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小，求出的长度即可； （3），表示点到点的距离，表示点到点的距离．设点，，所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 【详解】（1）解：． （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． （3）解：， 表示点到点的距离，表示点到点的距离． 设点，， 所以求的最小值可以转化为在轴上有一动点，求的最小值． 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接、，此时最小， ， ． ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱外侧下底面的点A处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． (1)任务一：点P是的中点且在圆柱外侧，蚂蚁想吃点P处的食物，则它沿圆柱外侧面爬行的最短路程是______． (2)任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在外底部A处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点A相对的点M处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点B处（此时A、B两点重合），小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． (3)任务三：小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点E为的中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并在线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点F处，请你帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程，并写出解答过程． 【答案】(1) (2)小星的猜想对，理由见解析； (3)蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】（1）根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； （2）连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 依题意，， ∴； （2）解：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， 依题意，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 即平分； （3）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，在中，， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 学科网（北京）股份有限公司 $