精品解析：甘肃金昌市永昌县第六中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 5. 已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若为实数，且，则_____． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 13. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 15. 如图，菱形的周长为8，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为______． 16. 如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 若，，求： （1）； （2）． 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 20. 如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： （1）n的值为________． （2）小明走出的这n边形的周长为________米． （3）若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 21. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 22. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 23. 如图：已知：是的角平分线，交于，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 24. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点． （1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：________（填序号即可），使得四边形是平行四边形，并说明理由； （2）当四边形是平行四边形时，若，，，，求点D到的距离． 25. 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ （3）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 26. 如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； （2）在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A：被开方数为，既不含分母，也不存在能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式； B：的被开方数含分母，不符合条件，不是最简二次根式； C：，被开方数含分母，不符合条件，不是最简二次根式； D：，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合条件，不是最简二次根式． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算正确，符合题意； 、∵与不是同类二次根式，无法合并， ∴，该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意． 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 解得且， ∴的取值范围是且． 4. 若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 5. 已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 6. 如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 7. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质等知识，首先根据垂直平分线的性质可得，结合“的周长是8”可知，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理结合半圆面积公式即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 10. 如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， ∵是最小的数， ∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 12. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【解析】 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 13. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图过程可知，平分，结合平行四边形性质，推出，进而得到，最后结合平行四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：由作图过程可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线作图，角平分线定义，平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于根据角平分线，平行线性质得到等腰三角形． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，得，得到，设点C的横坐标为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：由点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 设点C的横坐标为，根据题意，得， 解得； 15. 如图，菱形的周长为8，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，能够利用轴对称的性质确定的最小值是解题的关键． 根据菱形的性质可知和关于对称，连接，，交于，连接，由于两点之间线段最短，此时值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴和关于对称， 则， 连接，，交于，连接，由于两点之间线段最短，此时值最小， ∵菱形的周长为8， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， 则，即． 16. 如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：， 以此类推，可得  ． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 若，，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据平方差公式，进行计算即可； （2）先将变形为，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ，， ． 19. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是 （2）云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理求出，再求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； 【小问2详解】 解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 20. 如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： （1）n的值为________． （2）小明走出的这n边形的周长为________米． （3）若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 【答案】（1）15 （2）45 （3）8 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和为、正多边形内角和公式；易错点：注意区分外角和（固定）与内角和（随边数变化）． （1）小明每次右转的角度是正 n 边形的外角，任意多边形的外角和为． （2）该正 15 边形的每条边长均为 3 米，周长 = 边长 × 边数． （3）任意多边形外角和恒为；正 m 边形内角和公式：． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：周长 (米) 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， 故这个正m边形的边数为8． 21. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】（1）垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 22. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 23. 如图：已知：是的角平分线，交于，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到时，四边形是正方形，即可. 【小问1详解】 （1）， ， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， （等角对等边）， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ∴当，四边形是正方形， 即， 当时，四边形是正方形． 24. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点． （1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：________（填序号即可），使得四边形是平行四边形，并说明理由； （2）当四边形是平行四边形时，若，，，，求点D到的距离． 【答案】（1）①，理由见解析 （2）点到的距离为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）选择①，连接，交于点，进而得到，根据，得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可得证；选择②，证明，得到，同①即可得证；选择③无法得到四边形是平行四边形 （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，得到的长，勾股定理求出的长，等积法求出点D到的距离即可． 【小问1详解】 解：选择①，理由如下： 连接，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，点E和点F是直线上的两点， ∴，即：， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形； 选择②， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同①即可得到四边形是平行四边形； 选择③，无法得到四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形，四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 即：点到的距离为． 25. 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ （3）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里 （2）上午11时，小船与灯塔C的距离最短 （3）救援队先到 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； 【小问2详解】 解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； 【小问3详解】 解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 26. 如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； （2）在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【小问1详解】 解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $