专题02 空间向量的应用（10大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期苏教版选择性必修第二册

专题02 空间向量的应用（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 直线的方向向量与平面的法向量】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【知识清单2 空间中直线、平面的平行】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【知识清单3 空间中直线、平面的垂直】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识清单4 空间角的计算】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【知识清单5 空间距离的计算】 1．距离问题 (1)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． (2)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 3．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为___________. 5．（24-25高二上·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 7．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 8．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 10．（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   12．（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 13．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 14．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 15．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 题型4 异面直线夹角的向量求法 16．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    20．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型5 利用空间向量求线面角 21．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 25．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型6 利用空间向量求面面角 26．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱台中，，分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 30．（24-25高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型7 利用空间向量求点到平面距离 31．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 32．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 33．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 34．（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 35．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 题型8 利用空间向量求平行平面距离 36．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 38．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 40．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法 41．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 45．（24-25高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 题型10  空间线段点的存在性问题 46．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 47．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，四棱锥中，平面． (1)是否存在实数，使?若存在，求出的值，若不存在，说明理由． (2)若，求与平面所成角的正弦值． 48．（24-25高二上·河南驻马店·期末）图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 49．（24-25高二上·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 50．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 直线的方向向量与平面的法向量】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【知识清单2 空间中直线、平面的平行】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【知识清单3 空间中直线、平面的垂直】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【知识清单4 空间角的计算】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【知识清单5 空间距离的计算】 1．距离问题 (1)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． (2)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 3．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 题型1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解答过程】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线的方向向量与共线判断. 【解答过程】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解题思路】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为___________. 【答案】-8 【解题思路】由题意即即可列方程求解. 【解答过程】由题意，解得. 故答案为：-8. 5．（24-25高二上·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【解题思路】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【解答过程】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，设，列方程求. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 7．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 【答案】A 【解题思路】由 ，得到，求解即可； 【解答过程】由，得，即，解得. 故选：A. 8．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量共线即可求解. 【解答过程】∵，∴ ∴，即 ∴，解得，∴，故C正确. 故选：C. 9．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 10．（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【解题思路】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 12．（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 【答案】B 【解题思路】根据线面平行可判断是的中点，，即可建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，即可根据向量的垂直求解BD，根据面面平行求解C. 【解答过程】取的中点，则是的中点，（理由如下：） 由于是的中点，则,故，因此在同一平面，故是的中点， 对于A，连接,则，故，故直线与直线共面，A错误， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则, 故, 由于，， 故，，平面 故直线平面，B正确， 对于C，由于，平面，平面，故平面，又平面，平面，故平面，平面，故平面平面，但由于平面与平面相交，故平面与平面不可能平行，C错误， 由于， ,, 故不垂直，且不垂直，又，故四边形不是直角梯形， 故选：B. 13．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【解答过程】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 14．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【解答过程】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【解答过程】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 题型4 异面直线夹角的向量求法 16．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 17．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【解答过程】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 18．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【解答过程】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 19．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【解答过程】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则 , 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【解题思路】（1）在正方体中建立空间直角坐标系，得到点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量数量积为0证明线线垂直； （2）由（1）知道两直线方向向量的坐标，由向量夹角的余弦值的绝对值求得线线角的余弦值. 【解答过程】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则. 题型5 利用空间向量求线面角 21．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 22．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A. 23．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【解答过程】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 24．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 【答案】 【解题思路】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以 ， 由题知是平面ABCD的一个法向量， 设直线EF与底面ABCD所成角为，则， 即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 故答案为：. 25．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由等边三角形的性质可知，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，则以O为坐标原点， 为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量公式可计算结果. 【解答过程】（1）是等边三角形，O为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以， 以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，可取， 设直线PC与平面PAM所成角为， ， 所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为. 题型6 利用空间向量求面面角 26．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A. 27．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【解答过程】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D. 28．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法即可求解. 【解答过程】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量为， 所以有，即，取故， 平面的一个法向量为，， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：D. 29．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱台中，，分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】(1)证明过程见详解； (2). 【解题思路】（1）根据三棱台的性质，先证面面平行，再证线面平行即可； （2）根据条件建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再求两平面所成二面角的大小. 【解答过程】（1）在三棱台中，，，所以， 因为为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为平面，为等腰直角三角形，， 故以为原点，以为轴，以为轴，过点作垂直于的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，平面与平面所成的锐二面角为， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，解得， ，即，解得， 所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为 ， 又，所以平面与平面所成的锐二面角为. 30．（24-25高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 题型7 利用空间向量求点到平面距离 31．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【解答过程】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 32．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【解答过程】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 33．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【解答过程】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点C到平面的距离为. 故选：D． 34．（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 35．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【解答过程】（1）由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 （2）因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 题型8 利用空间向量求平行平面距离 36．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由空间向量求解 【解答过程】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A. 37．（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A. 38．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 39．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【解题思路】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【解答过程】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2. 40．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型9 点到直线、异面直线距离的向量求法 41．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【解答过程】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D. 42．（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【解答过程】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 43．（24-25高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【解答过程】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 44．（24-25高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解题思路】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【解答过程】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 45．（24-25高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【解答过程】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得 . 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 则异面直线与DE的距离为.    题型10  空间线段点的存在性问题 46．（24-25高二上·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）取的中点，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得结论； （3）假设线段上存在点，使得平面，求直线的方向向量和平面的法向量，由假设可得两向量垂直，列方程求出的坐标，由此可得结论. 【解答过程】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以中，，. 底面中，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）取的中点，连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，， 因为，， 所以，所以， 所以两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）设线段上是存在点，使得平面，， 设平面的法向量为， 又，， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面， 所以，又， 所以， 所以， 所以存在点，使得平面，此时. 47．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，四棱锥中，平面． (1)是否存在实数，使?若存在，求出的值，若不存在，说明理由． (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，根据得到，从而解出的值； （2）根据，写出点和向量的坐标，求出平面的法向量，根据求出正弦值. 【解答过程】（1）过点作，垂足为，则，又因为面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 因为，即，则，解得， 故存在，使. （2）若，则， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 则， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 48．（24-25高二上·河南驻马店·期末）图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（2）（ii） 【解题思路】（1）利用等腰梯形和菱形性质得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）（i）建立平面直角坐标系，建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，空间向量法求出二面角的正弦值；（ii）设，根据点到平面距离求出参数，再计算线面角的正弦值. 【解答过程】（1）连接交于，在等腰梯形，，，易得，    因为是中点，所以，易知是菱形，即， 因为，平面， 所以平面，平面，所以； （2）由（1）可知，在菱形中，，因为，所以， 建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，如图所示， ，，，    （i），，，，，， 设为平面的法向量， 则，令，可得，即， 设为平面的法向量， 则，令，可得，即， ， 二面角的平面角为，即； （ii）设，，，即， 由（i）可知为平面的法向量，到平面的距离为，， 即为中点，可得，， 易知，，所以，， 设平面的法向量，， 令，则，，则， 设直线与平面所成角为，， 直线与平面所成角的正弦值. 49．（24-25高二上·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，点为中点. 【解题思路】（1）取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （3）由（2）可得直线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【解答过程】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，由分别为的中点， ，又四边形是菱形，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面， 所以平面. （3）由（2）知，，又四边形是菱形，则四边形是正方形， 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假定在棱PA上存在一点E，满足条件，令， ，， 设平面的一个法向量，则，取，得， 则直线DE与平面所成角正弦值为， 解得，所以在棱PA上存在一点E，使得直线DE与平面所成角为，点为中点. 50．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【解题思路】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $