专题03 计数原理 4大高频考点（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 计数原理专题期末试题汇编，覆盖加法原理与乘法原理、排列、组合、二项式定理四大考点，精选多地区期末真题，结合哈尔滨旅游、鄂伦春族文化等现实情境，分层设计基础与综合题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|多题|四大考点基础应用|结合音乐会安排、数字排列等情境，含多选辨析| |填空题|适量|排列组合综合|涉及志愿者合影、景点分配等实际问题| |解答题|综合题|计数原理综合应用|如竞赛报名分配、两排拍照排列，融合分类分步思想|

专题03 计数原理 4大高频考点概览 考点01加法原理与乘法原理 考点02排列 考点03组合 考点04 二项式定理 ( 地 城 考点01 加法原理与乘法原理 )一、选择题 1．已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排四张卡片的顺序，再考虑每张卡片的正反面，由乘法原理得出. 【详解】分两步完成，第一步先排4张卡片的顺序有种；第二步再排每一张卡的正反面有种，所以一共有种结果. 故选：A. 2．(24-25高二下·新疆·)现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其中的1场，则不同的安排方法共有（    ） A．6种 B．4种 C．9种 D．8种 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种． 故选：C. 3．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】C 【分析】应用分类计数，及排列组合数求不相邻和元素位置有限制问题的排列方法数. 【详解】将5个位置从左到右编号为，则甲只能站中的一个位置， 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 综上，共有种. 故选：C 4．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【分析】个位从和中选择一个，百位不能选0，根据含不含0的情况分类讨论即可求解. 【详解】根据题意：个位从和中选择一个，百位不能选0， 若不含0，则有，若含0，则有， 根据分类加法计数原理有：. 故选：C. 5．(24-25高二下·山东威海·期末)用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【分析】根据分步乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 6．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐一判断即可. 【详解】对于，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，每人都有3种选择，则不同的选购方式有种，故错误； 对于，从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种，故错误； 对于，一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，共有种取法，故错误； 对于，从1，2，3，4，5五个数字中任选3个，可组成无重复数字的三位数分三步， 首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故正确． 故选： 7．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（   ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 8．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)（多选）下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 【答案】BD 【分析】根据两个计数原理的定义逐一判断选项即可. 【详解】对于A，分步乘法计数原理要求每一步都完成，才能说任务完成，故A错误； 对于B，从书架上任取数学书、语文书各1本，完成这件事需要分两步：第一步取1本数学书， 有若干种取法；第二步取1本语文书，故应是分步计数问题，故B正确； 对于C，任务“从甲地经丙地到乙地”，分为从甲地到丙地， 再从丙地到乙地两步完成，是分步计数问题，故C错误； 对于D，分类加法计数原理中的每一类方法都能一次性地完成任务， 故可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，即D正确. 故选：BD. 9．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 10．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【分析】对于选项A，根据全排列的排列数进行求解；对于选项B，利用捆绑法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项C，利用插空法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项D，利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】对于选项A：3名学生和2名教师共5个人进行全排列，有种排法，所以A正确； 对于选项B：将2名老师看成一个整体，与3名学生全排列，有种排法， 2名教师内部有种排法，共有种排法，所以B错误； 对于选项C：3名学生全排列有种排法，形成4个空位，2名教师插入4个空位有种排法， 共有种排法，所以C正确； 对于选项D：从3名学生选2名学生排在两端，有种排法，剩下3人全排列有种排法. 共有种排法，所以D错误. 故选：AC. 二、填空题 11．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 【答案】144 【分析】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【详解】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 12．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上（每个位置只排一个元素）．则：元素的编号与所处位置的号码不相同的排法______． 【答案】11 【分析】根据取出的3个元素的情况进行分类讨论，即可求得所有排法. 【详解】若取出的3个元素中有4，且从1,2,3中任取2个元素，则共有种 若从1,2,3中取出的3个元素，则共有2种排法. 综上所述，共有种排法. 故答案为：11 13．(24-25高二下·湖南永州冠一高级中学·期末)近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是______． 【答案】540 【分析】分三个景点安排的人数之比为、、进行讨论即可求解. 【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是． 故答案为：540. 三、解答题 14．(24-25高二下·山西·期末)某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90(2)30(3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 15．(24-25高二下·河北保定高中·期末)3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】(1)144(2)960(3)4896 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【详解】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. ( 地 城 考点02 排列 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件知装有款玩偶的盲盒最先被全部打开包含：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶；从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶，再利用古典概率公式、互斥事件的概率公式及排列组合，即可求解. 【详解】记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶， 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶， 记事件：装有款玩偶的盲盒最先被全部打开， 易知，， 则， 故选：B. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解. 【详解】依题意，不同选法种数是. 故选：C 3．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 4．(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据排列数的计算公式可求得排列种数. 【详解】根据题意，从中取出2个字母的所有排列， 共有种. 故选：D. 5．(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】C 【分析】利用特殊元素优先法，先安排这名歌手，再余下的歌手进行全排列即可. 【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为种方法， 所以不同排法的种数为种. 故选:C. 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 7．(24-25高二下·天津四校·期末)某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 8．(24-25高二下·山东聊城·期末)某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 9．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D. 【详解】的展开式的通项为：.令，可得的展开式中的系数为:，故选项A正确； 选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以. 在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，. 由题意，得所以,所以，故选项B错误； 选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确； 选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 11．(24-25高二下·河北石家庄第一中学·期末)（多选）将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（   ） A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用排除法结合分步乘法计算原理计算判断A；利用排列列式计算判断B；利用缩小空间的方法计算条件概率判断CD作答. 【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确； 至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确； 事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误. 故选：ABC 二、填空题 12．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 【答案】50 【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可. 【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50 13．(24-25高二下·贵州安顺普通高中·期末)某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 【答案】62 【分析】根据化学竞赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论，结合排列数、组合数计算. 【详解】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 三、解答题 14．(24-25高二下·山东淄博·期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 【答案】(1)分布列见解析，，；，. (2)， 【分析】（1）对于不放回摸球，先判断其试验结果不独立，再求出对应事件的概率，进而列出分布列，利用期望公式求解期望，法一利用方差的定义式求解方差，法二利用方差的性质求解方程，对于放回摸球，先判断其试验结果相互独立，进而确定其服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解期望，利用二项分布的方差公式求解方差即可. （2）法一结合题意求出，再求出，最后求出，法二先利用排列数性质求出，，再结合排列数性质求解即可. 【详解】（1）由题意得对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立， 且的取值为，而， ，， ， 故分布列如下： 0 1 2 3 则由期望公式得， 法一：由方差的定义式得； 法二：由方差的性质得， 故， 对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.4，且每次试验之间的结果是独立的， 则，由期望公式得， 由方差公式得. （2）法一：采用不放回摸球，且表示前两次摸到红球的概率， 可得， 而，， 得到， 法二：由排列数性质得，， 我们采用不放回摸球，得到，故. 15．(24-25高二下·河北沧州·期末)某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求出B取得的小球编号为6，7时的概率，和为5，8时的概率可得答案； （2）（ⅰ）求出A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时的概率、小球编号为1，4，8；2，3，8时的概率、小球编号为2，4，7；3，4，6时的概率可得答案；（ⅱ）求出A抽取2次小球获胜的概率、抽取3次小球获胜的概率、抽取4次小球获胜的概率可得答案． 【详解】（1）分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时， 取得的小球编号分别为6，7或5，8，只需要分析前4次抽取的情况， 一共有种取法， 当B取得的小球编号为6，7时，概率为， 当B取得的小球编号为5，8时，概率为， 所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为； （2）（ⅰ）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13， B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法， 其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7； 2，5，6；3，4，6共6种情况． 当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种； 当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取6，7， 此时共有种； 当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取5，8， 此时共有种； 所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种， 可得所求概率为． （ⅱ）A可以抽取2次小球获胜，概率为， A可以抽取3次小球获胜，概率为， A可以抽取4次小球获胜，A可取小球编号为1，2，3，7；1，2，4，6；1，3，4，5． 当A抽取4次小球时，获胜的概率为， 所以可得A获得胜利的概率为． ( 地 城 考点0 3 组合 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 2．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 3．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C 【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，， 故选：C． 4．(24-25高二下·甘肃白银实验中学·期末)一袋中有白球2个、红球个，从中任取4个球，记红球的个数为，已知的取值为2，3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出，再利用组合知识求出概率. 【详解】已知的取值为2，3，由于白球最多可以取到2个，最少取到1个， 故红球有个，所以． 故选：D 5．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【详解】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 7．(24-25高二下·贵州安顺普通高中·期末)正十二边形的对角线的条数是（   ） A．66 B．54 C．48 D．24 【答案】B 【分析】应用组合数计算求解. 【详解】正十二边形的对角线的条数是. 故选：B. 8．(24-25高二下·青海西宁第十四中学·期末)某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，从中随机取出两个球，则两个球同色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用古典概型结合组合数运算化简求解. 【详解】两个球同色的概率是. 故选：A. 9．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数的增减性判断A，根据组合数运算及性质计算判断B，C，D. 【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左到右看第51个数最大，A错误； 对于B选项，第100行的所有数的和为，B正确； 对于C选项，由组合数的性质可得，C正确； 对于D选项， ，D正确． 故选：BCD． 10．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 【答案】ABD 【分析】根据超几何分布判断A，应用数学期望及方差性质计算判断B，C，应用二项分布计算概率判断D. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：因为，所以， ， 根据组合数的对称性可知，故D正确， 故选:ABD． 11．(24-25高二下·福建福州福清·期末)（多选）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（   ） A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 【答案】AD 【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断. 【详解】A：选出的4个球全部为蓝球，有种，对； B：选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，错； C：蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，错； D：若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种， 所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，对. 故选：AD 二、填空题 12．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 【答案】 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】解：由“杨辉三角”性质，得： ． 故答案为：799 13．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________  (用数字作答) 【答案】450 【分析】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑： 第一种，分人数为的三组，共有种； 第二种，三舱人数都为2，共有种； 所以不同的安排方法共有种． 故答案为：450 三、解答题 14．(24-25高二下·广东中山第一中学·期末)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2) 【分析】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【详解】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 15．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某学校开设了具有地方特色的包饺子、园艺、剪纸、种植、非物质文化遗产等劳动实践课程．该校为进一步优化劳动教育课程，随机抽取了100名学生进行了一次问卷调查，了解不同性别的学生对已开设劳动课程的满意情况，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 男生 35 15 50 女生 40 10 50 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对已开设劳动课程的满意情况与学生性别有关联？参考公式及数据：，其中． (2)从不满意的学生中抽取2名学生进行访谈，求至少抽到一名男生的概率． 【答案】(1)认为该校劳动课程与学生性别没有有关联． (2)． 【分析】（1）根据列联表数据求出卡方，与临界值比较即可判断. （2）结合组合数，利用古典概型概率公式求解即可，注意对于至少、至多问题一般可以直接法或者间接法两种方法求解. 【详解】（1）零假设该校劳动课程与学生性别无关联． ， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据说明不成立， 即可认为该校劳动课程与学生性别没有有关联． （2）记至少抽到一名男生的概率为， 则（或）， ∴至少抽到一名男生的概率为． ( 地 城 考点0 4 二项式定理 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，然后代值计算即可. 【详解】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】写出二项式展开式的通项，令x的次数为3即可求解. 【详解】， 二项式展开式的通项为：， 令， 所以项的系数是. 故选：A. 3．(24-25高二下·甘肃会宁县第一中学·期末)若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（   ） A． B．40 C． D．270 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质，求得，化简得到，结合二项展开式的通项，进而求得展开式中对应的系数，得到答案. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，解得， 所以， 又由的展开式的通项为， 所以多项式展开式中对应项为， 所以多项式展开式中对应的系数为. 故选：B. 4．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 【答案】C 【分析】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为 、、，根据组合式求和即可. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 5．(24-25高二下·新疆·)在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据题意结合二项式展开式的性质可得，从而可求出的值. 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 6．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D 7．(24-25高二下·贵州铜仁·)的展开式中的系数为21，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据通项的特征即可结合组合数的公式求解. 【详解】由于， 故的系数为，故，解得． 故选：D. 8．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)的展开式中的系数是（   ） A．80 B．16 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数是. 故选：C 9．(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】，的系数为， 故选：A. 10．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 【答案】BC 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数判断A；求出第3项和第4项的二项式系数判断B；求出所有项的二项式系数和判断C；利用赋值法求出所有项的系数和判断D. 【详解】对于A，展开式的通项公式，则的系数为，A错误； 对于B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，B正确； 对于C，展开式的所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得展开式的所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 11．(24-25高二下·河南商丘·期末)（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【详解】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得， 显然都是正数，都是负数， 所以，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 12．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 二、填空题 13．(24-25高二下·四川广安加德学校·期末)在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，结合题干条件可得出关于参数的方程组，解出的值，结合二项式系数的性质可得结果. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 14．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则__________． 【答案】 【分析】利用二项式定理先求，再令得，进而求解. 【详解】由题意有：，令有：， 所以， 故答案为：. 三、解答题 15．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为(2) 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 计数原理 4大高频考点概览 考点01加法原理与乘法原理 考点02排列 考点03组合 考点04 二项式定理 ( 地 城 考点01 加法原理与乘法原理 )一、选择题 1．已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·新疆·)现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其中的1场，则不同的安排方法共有（    ） A．6种 B．4种 C．9种 D．8种 3．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 4．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 5．(24-25高二下·山东威海·期末)用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 6．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 7．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（   ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 8．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)（多选）下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 9．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 10．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)（多选）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 二、填空题 11．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有___________种． 12．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上（每个位置只排一个元素）．则：元素的编号与所处位置的号码不相同的排法______． 13．(24-25高二下·湖南永州冠一高级中学·期末)近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是______． 三、解答题 14．(24-25高二下·山西·期末)某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 15．(24-25高二下·河北保定高中·期末)3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. ( 地 城 考点02 排列 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．70 B．80 C．90 D．100 3．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 4．(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 5．(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·天津四校·期末)某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 8．(24-25高二下·山东聊城·期末)某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 9．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 10．(24-25高二下·福建福州星纪园高级中学·期末)（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 11．(24-25高二下·河北石家庄第一中学·期末)（多选）将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（   ） A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C． D． 二、填空题 12．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 13．(24-25高二下·贵州安顺普通高中·期末)某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 三、解答题 14．(24-25高二下·山东淄博·期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 0 1 2 3 15．(24-25高二下·河北沧州·期末)某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． ( 地 城 考点0 3 组合 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 2．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 3．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 4．(24-25高二下·甘肃白银实验中学·期末)一袋中有白球2个、红球个，从中任取4个球，记红球的个数为，已知的取值为2，3，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 6．(24-25高二下·黑龙江安达三校联考·期末)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 7．(24-25高二下·贵州安顺普通高中·期末)正十二边形的对角线的条数是（   ） A．66 B．54 C．48 D．24 8．(24-25高二下·青海西宁第十四中学·期末)某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，从中随机取出两个球，则两个球同色的概率是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．第100行中，从左到右看第50个数最大 B．第100行的所有数的和为 C． D． 10．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 11．(24-25高二下·福建福州福清·期末)（多选）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（   ） A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 二、填空题 12．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 13．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________  (用数字作答) 三、解答题 14．(24-25高二下·广东中山第一中学·期末)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 15．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某学校开设了具有地方特色的包饺子、园艺、剪纸、种植、非物质文化遗产等劳动实践课程．该校为进一步优化劳动教育课程，随机抽取了100名学生进行了一次问卷调查，了解不同性别的学生对已开设劳动课程的满意情况，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 男生 35 15 50 女生 40 10 50 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对已开设劳动课程的满意情况与学生性别有关联？参考公式及数据：，其中． (2)从不满意的学生中抽取2名学生进行访谈，求至少抽到一名男生的概率． ( 地 城 考点0 4 二项式定理 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)的展开式中，项的系数是（   ） A．5 B． C．10 D． 3．(24-25高二下·甘肃会宁县第一中学·期末)若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（   ） A． B．40 C． D．270 4．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 5．(24-25高二下·新疆·)在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 6．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 7．(24-25高二下·贵州铜仁·)的展开式中的系数为21，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)的展开式中的系数是（   ） A．80 B．16 C．10 D．8 9．(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 10．(24-25高二下·福建福州马尾第一中学等六校·期末)（多选）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 11．(24-25高二下·河南商丘·期末)（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 二、填空题 13．(24-25高二下·四川广安加德学校·期末)在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 14．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则__________． 三、解答题 15．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $