专题01 空间向量的运算及坐标表示（8大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 以8大题型为载体，通过11个知识清单构建“概念-运算-定理-坐标应用”的完整逻辑链，聚焦空间向量核心素养的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|11个核心模块|含共线/共面定理应用、数量积求夹角距离、坐标化策略等|从空间向量概念生成，经线性运算、数量积，到基本定理及坐标表示，形成递进式知识网络| |题型归纳|8类题型40题|涵盖线性运算、基底表示、坐标法等解题通法|题型与知识清单一一对应，典例覆盖三棱锥、平行六面体等典型几何模型，突出运算推理与空间观念|

专题01 空间向量的运算及坐标表示（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【知识清单2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【知识清单3 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【知识清单4 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【知识清单5 共面向量定理】 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【知识清单6 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【知识清单7 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【知识清单8 用空间向量基本定理解决相关问题】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【知识清单9 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【知识清单10 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【知识清单11 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 题型1 空间向量的线性运算 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则___________. 5．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型2 空间共线向量定理 6．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________． 10．（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 题型3 空间向量的数量积运算 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 15．（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 题型4 空间共面向量定理 16．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 18．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为__________. 20．（24-25高二上·安徽·月考）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 题型5 用空间基底表示向量 21．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 25．（24-25高二下·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型6 空间向量基本定理及其应用 26．（24-25高二下·广东湛江·期末）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 28．（24-25高二下·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 30．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 题型7 空间向量运算的坐标表示 31．（24-25高二下·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 33．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知，，则 . 35．（24-25高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 题型8 用坐标法求解平行、垂直问题 36．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 37．（24-25高二下·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 38．（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 39．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 40．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【知识清单2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【知识清单3 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【知识清单4 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【知识清单5 共面向量定理】 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【知识清单6 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【知识清单7 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【知识清单8 用空间向量基本定理解决相关问题】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【知识清单9 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【知识清单10 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【知识清单11 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 题型1 空间向量的线性运算 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【解答过程】 由题意，. 故选：D. 2．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【解答过程】是的中点，，又 ，由，. 故选：. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则___________. 【答案】 【解题思路】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【解答过程】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解答过程】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    题型2 空间共线向量定理 6．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【解答过程】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 7．（24-25高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 8．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C. 9．（24-25高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________． 【答案】 【解题思路】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【解答过程】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 10．（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 题型3 空间向量的数量积运算 11．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【解答过程】 . 故选：B. 12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【解答过程】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B. 13．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【解答过程】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 14．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 【答案】 【解题思路】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 15．（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 题型4 空间共面向量定理 16．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【解答过程】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 17．（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【解答过程】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 18．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【解答过程】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 19．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【解答过程】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为：. 20．（24-25高二上·安徽·月考）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 题型5 用空间基底表示向量 21．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：C． 22．（24-25高二下·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【解答过程】, 故选：C. 23．（24-25高二下·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定的几何图形，利用空间向量的基底表示. 【解答过程】依题意，. 故选：D. 24．（24-25高二下·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【解题思路】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【解答过程】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为：. 25．（24-25高二下·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以. 题型6 空间向量基本定理及其应用 26．（24-25高二下·广东湛江·期末）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【解答过程】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B. 27．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 28．（24-25高二下·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，所以． 故选：B. 29．（24-25高二下·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】 【解题思路】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【解答过程】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 30．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解答过程】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 题型7 空间向量运算的坐标表示 31．（24-25高二下·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量坐标运算得出结果. 【解答过程】若，则. 故选：B. 32．（24-25高二下·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A. 33．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】空间向量，则. 故选：D. 34．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知，，则 . 【答案】 【解题思路】利用空间向量坐标运算求解即得. 【解答过程】 . 故答案为：. 35．（24-25高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． （3） . 题型8 用坐标法求解平行、垂直问题 36．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 37．（24-25高二下·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【解答过程】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D. 38．（24-25高二上·广东深圳·期中）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【解题思路】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【解答过程】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 39．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 【答案】 【解题思路】根据可得，可求的值. 【解答过程】因为， 由 ， 所以 . 故答案为：. 40．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量 ，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得 （2）由（1）得，而量 ，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $