重难点04 条件概率与二项分布六大考点重难突破（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦条件概率与二项分布六大核心考点，汇编湖北、广东等多地名校期末真题，涵盖选择、填空、解答题，梯度设计合理，注重真实情境应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（含多选）|约30题（150分）|条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、二项分布、正态分布|结合AI模型幻觉率、新药研发等现代情境，如第26题以AI幻觉率数据考查概率计算| |填空题|约10题（50分）|二项分布均值方差、正态分布参数|设置设备生产、比赛概率等实际问题，如第44题在线教育打卡考查二项分布| |解答题|约20题（200分）|条件概率综合应用、二项分布实际建模|设计多问递进式大题，如第47题“n局k胜”制游戏结合二项分布证明，体现逻辑推理素养|

重难点04 条件概率与二项分布六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01复杂形式下的条件概率 考点02利用全概率公式求算 考点03利用贝叶斯公式求算 考点04 二项分布的均值与方差 考点05 二项分布的实际应用 考点06 正态分布的应用 ( 地 城 考点01 复杂形式下的条件概率 ) 1．(24-25高二下·湖北·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 2．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 5．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选）下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 6．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 7．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 8．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 9．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 10．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． ( 地 城 考点02 利用全概率公式求算 ) 11．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 12．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 13．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 15．(24-25高二下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则______. 16．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 17．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． (1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； (2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 20．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． ( 地 城 考点0 3 利用贝叶斯公式求算 ) 21．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·河北承德·期末)（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 23．(24-25高二下·河南信阳·期末)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 24．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 25．(24-25高二下·四川广元·期末)有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 26．(24-25高二下·北京海淀区·调研)幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 27．(24-25高二下·四川自贡·期末)（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 28．(24-25高二下·河南南阳方城县第一高级中学·期末)某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 29．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 30．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 4 二项分布的均值与方差 ) 31．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 32．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 34．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 35．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 36．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 37．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 38．(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 39．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 40．(24-25高二下·青海西宁三江源民族中学·期末)已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______. ( 地 城 考点0 5 二项分布的实际应用 ) 41．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 42．(24-25高二下·陕西西安新城区·期末)（多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 44．(24-25高二下·河南周口商水县·期末)某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 45．(24-25高二下·广东肇庆·期末)某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 46．(24-25高二下·河北沧州·期末)某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 47．(24-25高二下·广东华附、实、广雅、深中·期末)在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 48．(24-25高二下·重庆部分区·期末)DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 49．(24-25高二下·上海进才中学·期末)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 50．(24-25高二下·广东韶关·期末)甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． ( 地 城 考点0 6 正态分布的应用 ) 51．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 52．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 53．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 54．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 56．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 57．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)（多选）期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（    ） A．这次测试的数学平均成绩为110 B．这次测试的数学成绩的方差为10 C．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D．分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 58．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 59．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)若随机变量，若，则_______. 60．(24-25高二下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期末)（多选）下列结论正确的是（   ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，y关于x的经验回归方程为，则． B．若随机变量，满足，则 C．若随机变量，，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 条件概率与二项分布六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01复杂形式下的条件概率 考点02利用全概率公式求算 考点03利用贝叶斯公式求算 考点04 二项分布的均值与方差 考点05 二项分布的实际应用 考点06 正态分布的应用 ( 地 城 考点01 复杂形式下的条件概率 ) 1．(24-25高二下·湖北·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 2．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 3．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 5．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期末)（多选）下列命题中，真命题有（　　） A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B．若随机变量，则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，则； D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A利用百分位数的定义即可判断，对于B利用二项分布即可求方差，进而判断，对于C利用回归方程必过样本中心点即可判断，对于D利用条件概率公式即可判断. 【详解】对于A：由，所以70%分位数是，故A错误； 对于B：由，所以，故B正确； 对于C：由，所以，故C正确； 对于D：，，所以，故D错误. 故选：BC. 6．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及全概率公式计算判断. 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确； 对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率， 来自于乙车间的概率，则，C错误； 对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 7．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 8．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）分析条件概率的意义，计算结果. （2）根据给定的信息直接写出结果. （3）利用由全概率公式求出及，再利用作商法并结合基本不等式推理得证. 【详解】（1） 表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率， 已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利， 所以 . （2）当时，共进行且）局比赛， 前局，甲胜的局数不足局，即使再胜2局，甲也不能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局需要全胜，甲才能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜， 因此； 前局，甲已胜至少局，甲必胜，因此. （3）由全概率公式得，        则， 当时，，， ， 因此，所以. 9．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 10．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【详解】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． ( 地 城 考点02 利用全概率公式求算 ) 11．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 12．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】(1)120；120 (2)答案见解析 (3)来自班的概率为，来自班的概率为． 【分析】（1）根据统计学中的箱型图的规定，易得班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； （2）由题意确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出对应的概率值，列出分布列即可； （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分，利用全概率公式先求出，再利用贝叶斯公式求和即可. 【详解】（1）由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. （2）依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 13．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 14．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 【答案】 【分析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求解. 【详解】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件， 则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则. 故答案为：. 15．(24-25高二下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则______. 【答案】/ 【分析】由对立事件的概率关系求出，再由全概率公式求得，利用条件概率公式求解. 【详解】，， 又， . 故答案为：. 16．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第天去餐厅，表示事件：第天去餐厅， 则， 则， 故， , 则 故答案为：. 17．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 18．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 19．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． (1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； (2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，，，． (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可知X的可能取值为1，3，5，分别计算其概率，求出X的分布列和数学期望； （2）根据给定信息直接写出结果； （3）利用全概率公式求出和，再利用作商法结合不等式推理证明. 【详解】（1）X的可能取值为1，3，5 ； ； ． 所以X的分布列为 X 1 3 5 P ． （2），，，． （3）由题意可得 ． 所以． 当时，．． 因为，所以． 20．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 【答案】 / 【分析】根据全概率公式列出，然后根据等比数列的通项公式求出，进而可求得结果. 【详解】根据题意，记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，依题可知. 则. 即. 变形可得，又，则. 则数列是首项为，公比为的等比数列. 即. 所以第2次听写的人是甲的概率为. 所以第次听写的人是甲的概率为. 故答案为：；. ( 地 城 考点0 3 利用贝叶斯公式求算 ) 21．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 22．(24-25高二下·河北承德·期末)（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【分析】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 23．(24-25高二下·河南信阳·期末)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】(1)； (2)①0.0072；②. 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，①应用全概率公式求概率即可；②应用贝叶斯公式求所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率，再应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【详解】（1），，所以， 则，故y关于t线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 24．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)（多选）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 25．(24-25高二下·四川广元·期末)有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 26．(24-25高二下·北京海淀区·调研)幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; (3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)乙公司的可能性更大 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求解， （2）根据超几何概率的计算公式求解分布列，即可由期望公式求解， （3）根据贝叶斯公式计算大小，比较即可作答. 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 （2）幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 故 （3）来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”，     “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉”     则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 27．(24-25高二下·四川自贡·期末)（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件的定义可判断A；计算出可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A：从甲袋中摸球，结果只能是红球或者绿球，即​与​互斥且必有一个发生， 所以​与是对立事件，故A正确； 对于B：当​发生时，即从甲袋中摸出1个绿球放入乙袋 ，则乙袋中有红球3个，绿球6个， 根据条件概率的含义得， 故B正确； 对于C：由题得，计算得.  由全概率公式可知： ，即，故C错误； 对于D：由前面的计算可知，，根据贝叶斯公式 ，则，故D正确. 故选：ABD. 28．(24-25高二下·河南南阳方城县第一高级中学·期末)某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 【分析】根据题意，设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，再利用贝叶斯公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，， 则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 ． 故答案为：. 29．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 30．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由3台车床加工零件数的比可得判断A；全概率公式求判断B；即为第2台车床加工的次品率判断C；利用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD ( 地 城 考点0 4 二项分布的均值与方差 ) 31．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 32．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望方差公式及期望方差的性质逐项计算判断. 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 33．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，求解即得； （2）根据二项分布的均值和期望公式求得，然后由二次函数性质求解； （3）对消费金额进行合理分段讨论. 【详解】（1）甲的消费金额为288元，他选择方案二，抽奖2次，抽到的代金券总额为8元的概率为，解得； （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以．. ， 所以时，取得最大值，所以； （3）①当消费金额（单位：元）在时，不能参与方案二，只能选择方案一． ②当消费金额（单位：元）在时，设消费金额为， 当时，由（2）得，方案二的代金券总额的数学期望， 方案一的代金券总额为，此时， 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以， 当消费金额（单位：元）在，且不为时，选择方案一. 所以当消费金额（单位：元）大于0，且不为时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以. 34．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)事件不相互独立， (2)分布列见解析，1 【分析】（1）计算，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立，利用条件概率公式求，最后利用对立事件即可求解； （2）先求，进而得，利用独立重复试验以及二项分布的数学期望即可求解. 【详解】（1）有序数对共有36种可能结果，其中事件“为偶数”共有18种可能结果，即， 事件，共10种可能结果，， 事件，共6种可能结果，即， 故，则事件不相互独立， 所以， ∴； （2）事件发生的概率为： （或者）， ∴， 所以， ， 的概率分布列为： 0 1 2 3 ， ∴的均值． 35．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②12次 【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可； （2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可； ②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可. 【详解】（1）参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. （2）①小明1次挑战成功的概率为. ②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即， 由题意可得，因为，所以解得， 所以理论上小明至少需挑战12次. 36．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 37．(24-25高二下·黑龙江鸡西第二中学校·期末)随机变量从二项分布，则等于（      ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：A. 38．(24-25高二下·青海西宁大通县·期末)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 【答案】 2 1 【分析】利用二项分布的数学期望与方差公式计算即得. 【详解】一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上相互独立，所以， 所以，. 故答案为：2；1. 39．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想，计算，即可判断是否有关联； （2）随机变量服从二项分布，根据古典概型概率公式，求出每次抽取的人爱好该运动的概率，根据二项分布性质，求出分布列，计算出期望. 【详解】（1）设：爱好某项体育运动与性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好某项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知、从男生中随机选取1人，爱好该项运动的概率为，即， 所以， 即，， ，， ， 其分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 40．(24-25高二下·青海西宁三江源民族中学·期末)已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】随机变量服从二项分布，故，，所以，结合基本不等式即可得到的最小值. 【详解】离散型随机变量服从二项分布， 所以有，， 所以， 所以， 当且仅当时取得等号，此时， 故答案为：. ( 地 城 考点0 5 二项分布的实际应用 ) 41．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 42．(24-25高二下·陕西西安新城区·期末)（多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由二项分布的定义可判断A选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B选项；求得的表达式，由此列不等式，求出的取值范围，可判断C选项；利用二项分布的期望公式以及的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，每次掷出后出现点的概率为， 由二项分布的定义可知，A对； 对于B选项，由独立重复试验的概率公式可得，B错； 对于C选项，最大即为满足， 解得，C对； 对于D选项，因为，故为整数时， 结合题设要求，； 不为整数时为小于，，故，D对. 故选：ACD. 43．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】（1）先求出从个球中不放回抽取个球的所有情况数，再求出既抽到白球也抽到黑球的事件的情况数，进而求出既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）先确定积分的可能取值，再分别求出每个取值的概率，列出分布列，最后根据期望和方差的公式计算的期望和方差. 【详解】（1）既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为                                         ， . 44．(24-25高二下·河南周口商水县·期末)某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【答案】/ 【分析】由题设，应用独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 45．(24-25高二下·广东肇庆·期末)某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 46．(24-25高二下·河北沧州·期末)某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）设甲学校参加考试的人数为m，乙学校参加考试的人数为n，根据及格率得到方程，求出； （2）设出事件，利用条件概率求解； （3）得到，进而利用二项分布的相关知识求出相应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为， 设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为， 当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为，及格率为88％， 所以甲、乙两所学校及格人数为， 根据题意，， 化简得，即， 所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为． （2）设事件“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”， 事件“任取一份成绩，该成绩为及格”， 由（1）知，，％，％， 所以所求概率． （3）由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是， 根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望． 47．(24-25高二下·广东华附、实、广雅、深中·期末)在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3）不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”     “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 48．(24-25高二下·重庆部分区·期末)DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 49．(24-25高二下·上海进才中学·期末)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 50．(24-25高二下·广东韶关·期末)甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立． (1)若两人共进行了3局比赛，且，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差； (2)若两人共进行了局比赛，甲最终获胜的概率为，证明：，并说明其统计意义． 【答案】(1)甲最终获胜的概率为，得分的方差为 (2)证明见详解 【分析】（1）由题知甲获胜的局数服从二项分布，然后可求甲最终获胜的概率，得分，利用方差的线性运算即可. （2）根据题意比赛进行局，甲要获胜，则在比赛局时至少要胜局，可建立的关系，利用组合数性质可证. 【详解】（1）根据题意3局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布， 甲最终获胜，则甲至少要赢2局，， ，所以甲最终获胜的概率， ， 又甲得分，， 故甲最终获胜的概率为，甲得分的方差为. （2）证明：由题可知， 若比赛进行局，则在局时甲至少获胜的局， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局必须胜出， 若比赛到局时甲胜利局，则甲后2局至少要胜一局， 若比赛到局时甲胜利至少局，则甲后2局可以任意， 所以 ，又， 所以， 故，随着比赛局数越多，甲获胜的概率越大. ( 地 城 考点0 6 正态分布的应用 ) 51．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 【答案】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】已知随机变量， 则， 所以, 故答案为：. 52．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 53．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 由，得， 则，C正确； 对于D，由，则，，D错误. 故选：C 54．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的性质得，由作差法、对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A 55．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 56．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 【答案】0.4772 【分析】根据正态分布的对称性和性质进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 因为正态曲线关于轴对称，所以. 故答案为：0.4772. 57．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)（多选）期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（    ） A．这次测试的数学平均成绩为110 B．这次测试的数学成绩的方差为10 C．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D．分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 【答案】AD 【分析】利用正态分布的性质及原则判断各项正误即可. 【详解】由题意得：，其中，， 即正态分布的对称轴为，因为，方差为100，故A正确，B错误； 由对称性及原则知：， ，故C错误，D正确． 故选：AD. 58．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC 59．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)若随机变量，若，则_______. 【答案】2 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由题意有， 故答案为：2. 60．(24-25高二下·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期末)（多选）下列结论正确的是（   ） A．一组数据，经过分析、计算，得，，y关于x的经验回归方程为，则． B．若随机变量，满足，则 C．若随机变量，，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】ABD 【分析】对A，利用回归直线经过样本中心点代入运算得解；对B，由方差的性质判断；对C，由正态分布的对称性判断即可；对D，根据独立性检验的性质判断即可. 【详解】对于A，经验回归方程经过，代入可得，故A正确； 对于B，由随机变量方差的性质知，故B正确； 对于C，由正态分布的对称性，， 则， 所以，故C错误； 对于D，由独立性检验，，故D正确. 故选：ABD. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $