2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末重难点突破训练（六大板块）

**基本信息** 聚焦北师大版八年级下册六大核心模块，以题载知，系统整合几何证明、代数运算及图形变换，发展几何直观与推理能力，提升运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明及其应用|11题|含角平分线、垂直平分线及全等证明|从性质推导到综合应用，构建“判定-性质-计算”逻辑链| |不等式与不等式组|11题|涵盖解集分析、整数解及实际应用|从概念理解到建模求解，体现“性质-解法-应用”递进| |图形的平移与旋转|10题|涉及性质应用、坐标变换及动态问题|围绕变换性质，关联几何计算与空间观念| |因式分解|12题|包含公式法、提公因式及综合变形|从基本方法到高阶应用，形成“方法-技巧-拓展”体系| |分式与分式方程|10题|涉及化简求值、方程求解及实际应用|遵循“概念-运算-应用”逻辑，强化代数表达| |平行四边形|10题|含性质判定、折叠及动态几何|以平行四边形性质为核心，关联全等与图形变换|

期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版 八年级下册（六大板块） 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 3.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 4.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 5.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 6.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 7.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边落在另一块三角板的斜边上，边与交于点，则的度数是 ． 8.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 9.如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 10．已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M. （1）若 ， ，求 的面积； （2）求证： . 11．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）EC＝BF； （2）EC⊥BF； （3）连接AM，求证：AM平分∠EMF 板块二：不等式与不等式组 1.已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 2.某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打多少折出售（　　） A．8折 B．8.5折 C．9折 D．9.5折 3．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足不等式，，则k的取值范围是（　　） A． B． C．无解 D． 5．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 7．已知关于x的不等式组的解集为x＜a+1，则实数a的取值范围是 ． 8.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上． 9．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 10.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 11.某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 板块三：图形的平移与旋转 1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　） A．45° B．50° C．60° D．100° 2.某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GH⊥EF（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为（　　） A．小于8 B．大于8 C．8 D．以上均不正确 3.如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移3个单位长度，得到三角形，则下列结论：①；②；③；④阴影部分的周长为14．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图是一段楼梯，，，若在楼梯上铺地毯至少要（  ） A． B． C． D． 5．如图，已知在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E'，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是（　　） A． B． C． D．18 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，边BC所在的直线与旋转后B′C′所在的直线相交于点D，当B′C′∥AB时，CD的长为 　 　． 7．如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝45°，BC＝1，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则CE的长为 　 　． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向三角形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝4，AC＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）AD的长． 10.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 板块四：因式分解 1.下列各式由左到右的变形中，正确地将多项式进行了因式分解的是　　 A． B． C． D． 2.多项式分解因式的结果是　　 A． B． C． D． 3.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 4.下列多项式不能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 5.下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是　　 A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④ 6.已知，，求代数式的值为　　 A．6 B．18 C．28 D．50 7.如果是的一个因式，则的值是 　　． 8.若有一个因式为，则　　． 9.若关于的多项式含有因式，则实数　　． 10.因式分解： （1）；（2）． 11.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得：． 则． ． 解得：，． 另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 12.（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 板块五：分式与分式方程 1．已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 5．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 6．若 ，则 的值等于 ． 7．若关于x的方程无解，则m的值是____． 8． A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　　． 9．先化简，再求值：，其中． 10.某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了，求a的值． 板块六：平行四边形 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（　　） A．18 B．9 C．6 D．3 2.如图，在中，，点E在上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 4.如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）． A．124° B．114° C．104° D．56° 5．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 6.如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则__． 7.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 　　． 8.四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________． 9.如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 10.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上． （1）当BE，DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由； （2）当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 【答案】 期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版 八年级下册（六大板块） 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 【答案】A。 3.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 4.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 5.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 6.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 7.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边落在另一块三角板的斜边上，边与交于点，则的度数是 ． 【答案】105° 8.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 9.如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【答案】 10．已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M. （1）若 ， ，求 的面积； （2）求证： . 【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E， ∵CD是∠ACM的角平分线，DE⊥AC，DM⊥BC， ∴DE=DM=1， ∴ ； （2）证明：∵DE⊥AC，DM⊥BC， ∴∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°， ∵AD=BD，DE=DM， ∴Rt△DEA≌Rt△DMB（HL）， ∴AE=BM， ∵∠DEC=∠DMC=90°，DE=DM，DC=DC ∴Rt△DEC≌Rt△DMC（HL）， ∴EC=CM， ∴AC=AE+EC=BM+CM 11．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）EC＝BF； （2）EC⊥BF； （3）连接AM，求证：AM平分∠EMF 【答案】（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC， 即∠EAC＝∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC＝BF； （2）解：根据（1），∵△ABF≌△AEC， ∴∠AEC＝∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°， ∴∠AEC+∠ADE＝90°， ∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM＝90°， 在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°， 所以EC⊥BF． （3）解：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： ∵△EAC≌△BAF， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）． ∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q， ∴AM平分∠EMF 板块二：不等式与不等式组 1.已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 【答案】A 2.某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打多少折出售（　　） A．8折 B．8.5折 C．9折 D．9.5折 【答案】C 3．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足不等式，，则k的取值范围是（　　） A． B． C．无解 D． 【答案】D 5．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 7．已知关于x的不等式组的解集为x＜a+1，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 8.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上． 【答案】12 9．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，作图见解析 【解析】 解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 10.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得：， 整理得：， 得：， ∵， ∴， 由③可得：， 由④可得：， ∴m的取值范围为：． 11.某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元 (2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多 【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． 板块三：图形的平移与旋转 1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　） A．45° B．50° C．60° D．100° 【答案】B． 2.某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GH⊥EF（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为（　　） A．小于8 B．大于8 C．8 D．以上均不正确 【答案】A 3.如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移3个单位长度，得到三角形，则下列结论：①；②；③；④阴影部分的周长为14．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 4.如图是一段楼梯，，，若在楼梯上铺地毯至少要（  ） A． B． C． D． 【答案】C 5．如图，已知在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E'，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是（　　） A． B． C． D．18 【答案】C． 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，边BC所在的直线与旋转后B′C′所在的直线相交于点D，当B′C′∥AB时，CD的长为 　 　． 【答案】2或18． 7．如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝45°，BC＝1，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则CE的长为 　 　． 【答案】4． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向三角形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝4，AC＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）AD的长． 【答案】解：（1）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°； （2）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°，AD＝DE， ∴△ADE是等边三角形， 四边形ABDC中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°， ∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°， ∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ECD＝∠ABD， ∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°， ∴A、C、E三点共线， 即E和E′重合， ∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，AB＝4，AC＝2， ∴EC＝AB＝4，AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2+4＝6． 10.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 板块四：因式分解 1.下列各式由左到右的变形中，正确地将多项式进行了因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.多项式分解因式的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】． 3.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 4.下列多项式不能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 5.下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是　　 A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】． 6.已知，，求代数式的值为　　 A．6 B．18 C．28 D．50 【答案】． 7.如果是的一个因式，则的值是 　　． 【答案】． 8.若有一个因式为，则　　． 【答案】． 9.若关于的多项式含有因式，则实数　　． 【答案】． 10.因式分解： （1）；（2）． 【答案】解：（1）； （2） ． 11.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得：． 则． ． 解得：，． 另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下列问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】解：另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为，的值是． 12.（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】解：（1）代数式的值与的值取值无关系，与的值取值有关系． ， 代数式的值与的值取值无关系，与的值取值有关系． （2） ， 积展开式中不含的一次项，且常数项为， ，， ，． ． （3）设另一个因式为． 根据题意得，， ， ， ，， ，， 另一个因式：，是20． 板块五：分式与分式方程 1．已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 4．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 5．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6．若 ，则 的值等于 ． 【答案】 7．若关于x的方程无解，则m的值是____． 【答案】3 8． A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　　． 【答案】﹣=． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 10.某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了，求a的值． 【答案】解：（1）设购买一个B品牌足球需x元，则购买一个A品牌足球需（x﹣30）元， 依题意得：2×＝， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣30＝50． 答：购买一个B品牌足球需80元，购买一个A品牌足球需50元； （2）根据题意得，30×50×（1+2a%）+20×80×（1﹣a%）＝（2500+2000）×（1﹣）， 解得a＝10， 故a的值为10． 板块六：平行四边形 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（　　） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】B 2.如图，在中，，点E在上，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 4.如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）． A．124° B．114° C．104° D．56° 【答案】A 5．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 【答案】C． 6.如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则__． 【答案】4.5或 7.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 　　． 【答案】． 8.四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________． 【答案】≤x≤3－2 9.如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）24． 【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ACB＝∠CAD， 又∵BE∥DF， ∴∠BEC＝∠DFA， 在△BEC和△DFA中， ， ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴BE＝DF， 又BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G， 在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°， ∴AG＝4， ∵BC＝6， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24． 10.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上． （1）当BE，DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由； （2）当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 【答案】解：（1）当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF， 同理，AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∵∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEO＝∠CFO， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $