学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷01（新教材北师大版）

**基本信息** 立足北师大版八年级下册核心内容，融合天山胜利隧道（科技）、中国刺绣（文化）、文明驾车（社会热点）情境，通过分式识别（基础）、函数图像分析（提升）、解码值定义（创新）的分层设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式、图形对称、因式分解|以刺绣图案考轴对称与中心对称，体现文化传承| |填空题|6/18|几何计算、最短路径、分式方程|河上修桥问题考空间观念，结合实际情境| |解答题|9/72|不等式组、几何证明、应用题|自行车销售问题考模型意识，动态几何题（如25题）考推理能力与创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【11/小 选择题（每小题3分，共30分） 1[A]IBIICI[D] 5.[A][BIICIID] 9.[AI[B]ICIID] 2.[AJIBIICI[DI 6.[AIIBIICIIDI 10.A1[B1[C1ID1 3.[A]IBIICI[D] 7[AJIBIIC]ID] 4.1AJIBIICIIDI 8.[AI[BIIC]ID] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 13 15 12 14. 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12 分；共9小题，共72分) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) B 20.(6分) 5-4-3-21 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) E N 1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C A D B A C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．6 12． 13． 14．19 15．5 16．14或16或18 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：；..........................3分 （2）解： 方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：将代入得：， 则原分式方程的解为：．..........................6分 18． 【详解】解： ，..........................3分 ∵，， ∴，，， ∴当时，原式．..........................6分 19． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形．..........................3分 （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴．..........................6分 20． 【详解】（1）解：如图，为所作；..........................2分 （2）解：如图，为所作；..........................4分 （3）解：与关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标为． ..........................6分 21． 【详解】（1）解： ；..........................4分 （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形．..........................8分 22． 【详解】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元．..........................3分 （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元．..........................8分 23． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①．..........................2分 （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或..........................5分 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述：..........................8分 24． 【详解】（1）解：在中，，     又∵点E是的中点，     ∴ ∴..........................3分 （2）解：如图， 在中， ∴， ∴   ∴ ∵ ∴，     在和中， ． ∴，     ∴， 又∵， ∴，    ∵， ∴，..........................7分 （3）解：∵，平分∠FPC， ∴     将点P绕点A逆时针旋转得到点Q，连结， 则是等腰直角三角形，， ∵， ∴   在和中， ． ∴，     ∴， ∵， ∴ ∴，     ∴， ∵ ∴．..........................12分 25． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；..........................4分 （2）解：成立，理由： ∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；..........................8分 （3）解：由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到（与重合），则 ，如图； ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4， ∴．..........................12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．______________ 13．________________ 15．________________ 12．______________ 14．________________ 16．________________ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题3分，共18分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] A 二、填空题 (每小题3分，共18分) 11. 13 15. 2. 14. 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每 题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分) 17.(6分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) D F 20.(6分) 3 54-3-211O12345x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) M 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．代数式：中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据分式定义逐个判断即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵ 的分母含有字母，∴ 是分式； ∵ 是单项式，属于整式，不是分式； ∵ 的分母是常数，属于整式，不是分式； ∵ 中是常数，不是字母，分母为常数，属于整式，不是分式； ∴所给代数式中，分式共有个． 2．中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C， 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：、选项中是整式乘法运算，结果是和的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项等式右边不是积的形式，是差的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中，将多项式化为两个整式的积，是因式分解，符合题意． 4．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A判断正确． 对于B，∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B判断正确． 对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得 ，当时，可得 ，因此 不一定成立，C判断错误． 对于D，∵ ，且 ，可得 ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 综上，不正确的是C． 5．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 6．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正八边形的内角和． 7．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过证明三角形全等，得出相等的边，证明、和为等腰直角三角形，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵平分，且，，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得． 9．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 12．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么_____． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理计算即可解答本题． 【详解】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ． 13．如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】数形结合得出不等式组，利用不等式性质求解即可． 【详解】解：由图可知，，解得． 14．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 15．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 16．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：； （2）解： 方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：将代入得：， 则原分式方程的解为：． 18．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 19．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）先根据平移的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据中心对称的定义判断，进而根据平面直角坐标系写出对称中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：与关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标为． 21．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 22．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 (2)售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【详解】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 23．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 24．如图，在中，，点E是的中点．过点D作于点P，交于点F，且． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)连结，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行解答即可； （2）证明，得到，进一步利用线段之间的关系进行解答即可； （3）求出，将点P绕点A逆时针旋转得到点Q，连结，证明，得到，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，     又∵点E是的中点，     ∴ ∴ （2）解：如图， 在中， ∴， ∴   ∴ ∵ ∴，     在和中， ． ∴，     ∴， 又∵， ∴，    ∵， ∴， （3）解：∵，平分∠FPC， ∴     将点P绕点A逆时针旋转得到点Q，连结， 则是等腰直角三角形，， ∵， ∴   在和中， ． ∴，     ∴， ∵， ∴ ∴，     ∴， ∵ ∴． 25．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． (2)如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)的最小值为4， 【分析】（1）根据题意得，证明，即可得出结论； （2）根据题意得，证明，即可得出结论； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）解：成立，理由： ∵与都是等腰三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （3）解：由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到（与重合），则 ，如图； ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4， ∴． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．代数式：中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 6．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 7．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 8．如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 9．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 12．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么_____． 13．如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 14．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 15．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 16．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 18．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 19．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 21．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 22．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 23．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 24．如图，在中，，点E是的中点．过点D作于点P，交于点F，且． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)连结，若平分，求证：． 25．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． (2)如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．代数式：中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 6．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 7．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 8．如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 9．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 12．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么_____． 13．如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 14．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 15．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 16．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 18．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 19．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 21．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 22．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 23．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 24．如图，在中，，点E是的中点．过点D作于点P，交于点F，且． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)连结，若平分，求证：． 25．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)如图1，线段与的数量关系是_________．和的数量关系是_________． (2)如图2，若，且点D恰好落在线段的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11._________________ 12. ________________ 13. _________________ 14. ________________ 15. _________________ 16.__________________ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $