精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度七年级下学期期中大练习数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 8. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 10. 已知关于x的方程的解是，则a的值为____________． 11. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最大整数a是____________． 12. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 13. 如图，正五边形与正方形有公共的顶点A，与相交于点M，，则______． 14. 如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 18. 从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？ 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 20. 如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 21. 学校给七年级男生安排宿舍，如果安排4人一间，还有26人安排不下，如果安排6人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？ 22. 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（ ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 23. 数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． （1）请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； （2）设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； （3）一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 24. 如图，在中，，，．是中线，作点关于的对称点，连接．动点从点出发，以的速度沿向终点运动，设点运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． （1）当______时，点运动到点； （2）当点在上运动，且点在点下方时，的长度为______（用含的代数式表示）； （3）在点运动过程中，请用含的代数式表示； （4）当时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度七年级下学期期中大练习数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，根据定义判断． 【详解】解：A．，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是整式方程，因此是一元一次方程，符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； C．，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意； D．不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选：A． 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 3. 已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 4. 如图，、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算． 【详解】解：是的中点， 的面积的面积， 的面积， 是的中点， 的面积的面积， 的面积． 5. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式组恰好有3个整数解，可得这三个整数是5、6、7，即可求解. 【详解】∵不等式组恰好有3个整数解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解题意是关键. 6. 如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 7. 规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义分两种情况讨论，分别求解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的解，即可得到答案． 【详解】分两种情况讨论： 情况1：当，即时 ∵ ∴原方程为 解得 ∵，不满足，∴舍去该解． 情况2：当，即时 ∵ ∴原方程为 移项得 解得 ∵，满足条件，∴是原方程的解． 综上，原方程的解为，故选B． 8. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 10. 已知关于x的方程的解是，则a的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题关键是将方程的解代入原方程，使原方程转化为关于的一元一次方程．将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：是方程的解， 将代入原方程得， 解得， 故答案为： 6． 11. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最大整数a是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 解得，， ∴满足题意的最大整数a是2， 故答案为：2． 12. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 13. 如图，正五边形与正方形有公共的顶点A，与相交于点M，，则______． 【答案】##94度 【解析】 【分析】首先根据正五边形的内角和求出内角为，然后根据角的和差四边形内角和求解即可． 【详解】∵五边形是正五边形， ∴正五边形的内角 ∵ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵四边形内角和为 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和，解题的关键是熟练多边形内角和公式． 14. 如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角、等角的余角相等证明，再利用角平分线的定义即可判断；由三角形内角和定理、三角形的外角性质即可判断③；由三角形的面积公式即可得到的长判断④；由中线的性质的周长与的周长的差等于判断⑤． 【详解】解：∵是中线， ∴． ． 故①正确． ， ． ， ． ． 平分， ． ． 故②正确． ， ， ，． ． 平分， ． ，， ． 故③正确． ， ． 故④错误． ， ∴的周长比的周长小6． 故⑤错误． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去括号，移项，合并同类项，将含项的系数化为1即可求解． 【详解】解： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化，得：． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 17. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 18. 从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？ 【答案】甲，乙两地之间的高速公路是320千米. 【解析】 【分析】设长途汽车原来的速度是x千米/小时,根据两地在修高速路前后路程的关系可列出一元一次方程,解方程求出汽车原来的速度,再根据”路程等于速度乘以时间”即可求出两地高速公路的路程. 【详解】解:设长途汽车原来的速度是x千米/小时, 根据题意可得:7x=4×(x+30)+30,移项得:3x=150,解得x=50, 故两地高速公路的路程是:50×7－30=320千米, 答: 两地高速公路的路程是320千米. 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（）如图，取的中点，连接，由中点定义可得，即得到，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，可知和的底相同，的高是的倍，所以，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，利用割补法可求得，故点即为所求； 本题考查了三角形的中线性质，三角形面积与网格问题，认真识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 20. 如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, , , , 是的角平分线， , , ． 21. 学校给七年级男生安排宿舍，如果安排4人一间，还有26人安排不下，如果安排6人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？ 【答案】学校给七年级男生分配的宿舍可能有或间 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设学校给男年级女生分配的宿舍有x间，则七年级男生共有人，根据题意列一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：设学校给七年级男生分配的宿舍有间，则七年级男生共有人，由题意得 ， 解得， ∵x为整数， ∴x取值为或， 答：学校给七年级男生分配的宿舍可能有或间． 22. 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（ ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 【答案】（1）25；三角形的内角和等于；；；（2）114；（3）49 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则； 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 故答案为：； （3）平分，平分， ，， ，即，， ， ， ， 即， ； 故答案为：49； 23. 数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． （1）请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； （2）设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； （3）一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 （2） （3）一摞碗的高度不能为，理由见解答 【解析】 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【小问1详解】 解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； 【小问2详解】 解：根据题意得：； 【小问3详解】 解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 24. 如图，在中，，，．是中线，作点关于的对称点，连接．动点从点出发，以的速度沿向终点运动，设点运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． （1）当______时，点运动到点； （2）当点在上运动，且点在点下方时，的长度为______（用含的代数式表示）； （3）在点运动过程中，请用含的代数式表示； （4）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，列代数式，解不等式，用含t的式子表示出不同时间段内的长度是解题的关键． （1）由对称得，再根据点P的运动速度即可求解； （2）由中线的定义得，则当点在上运动，且点在点下方时，； （3）先计算出点运动到点，点所用时间，分，，三个阶段，根据三角形面积公式列式即可； （4）结合（3）中结论，令，解不等式，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：点与点关于对称， ， 点运动速度为， 点运动到点时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是中线，， ， 当点在上运动，且点在点下方时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，点运动到点时，， 点运动到点时，， 当时，点P在上运动， 的面积； 当时，点P在上运动， 的面积； 当时，点P在上运动， ， 的面积； 综上可知，； 【小问4详解】 解：当时，令， 解得，与矛盾，舍去； 当时，令， 解得， ； 当时，令， 解得， ； 综上可得，当时， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $