第六章 平行四边形章节复习（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学讲义通过表格系统梳理平行四边形章节的教学目标与重难点，按“性质-判定-三角形中位线-多边形内外角和”模块构建知识体系，以定义为起点，性质与判定的互逆关系为逻辑链，清晰呈现知识脉络及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖性质求解、判定证明、中位线应用等10类题型，如利用中位线测量池塘距离培养应用意识，折叠问题发展推理能力。典例搭配变式题，基础题巩固知识，综合题提升思维，助力学生自主复习，便于教师实施精准教学。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章平行四边形章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1平行四边形的性质 知识点2平行四边形的判定 知识清单 知识点3三角形的中位线 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3添加一个条件使四边形成为平行四边形 平行四边形 题型4证明四边形是平行四边形 题型5利用平行四边形的性质与判定求解 题型精讲 题型6利用平行四边形的性质与判定证明 题型7与三角形中位线有关的求解问题 题型8与三角形中位线有关的证明 题型9三角形中位线的实际应用 题型10平行四边形的折叠问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解平行四边形定义，掌握其对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，以及 从边、角、对角线出发的判定方法；掌握三角形中位线定理，能进行简单计算与证明。 2.经历性质与判定的探索过程，体会归纳、类比、转化思想，发展合情推理与演绎推 教学目标 理能力，规范几何语言表达。 3.了解多边形内角和与外角和，认识四边形不稳定性，能运用知识解决简单实际问题， 增强应用意识。 教学重难点 1.重点 1/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)平行四边形的性质与判定定理的探索、证明及应用，能准确运用性质求边长、角 度、对角线长度，能用判定定理判断四边形是否为平行四边形。 (2)三角形中位线定理的理解与应用，掌握多边形内角和与外角和公式，能综合运用 平行四边形知识进行几何证明与计算。 2.难点 (1)平行四边形性质与判定的灵活选择及综合运用，区分性质与判定的互逆关系，复 杂图形中添加辅助线转化为三角形问题。 (2)三角形中位线定理的推导与灵活应用，多边形内角和公式的推导，以及在综合题 中整合平行四边形、三角形等知识解决问题。 知识清单 知识点01平行四边形的性质 平行四边形的性质 (1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (2)平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等. ②角：平行四边形的对角相等， ③对角线：平行四边形的对角线互相平分. (3)平行线间的距离处处相等， (4)平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积。 ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等. 知识点02平行四边形的判定 平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：，'AB∥DC,AD∥BC∴.四边形ABCD是平行四 边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：，AB=DC,AD=BC∴.四边形ABCD是平行四 边形. (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言：：AB∥DC,AB=DC∴.四边形ABCD是平行四边形 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言：，∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴.四边形ABCD是平行四边形 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：，OA=OC,OB=OD∴.四边形ABCD是平行四 2/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 0 边形.B C 知识点03三角形的中位线 三角形中位线定理 (1)三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. (2)几何语言： 如图，，点D、E分别是AB、AC的中点 ,∴.DE∥BC,DE=—BC.B 2 题型精讲 题型01利用平行四边形的性质求解 【典例1】(25-26八年级上·山东淄博·期末)如图，在口ABCD中，∠B+∠D=126°，则∠A的度数是() A B A.116 B.117° C.118 D.120 【变式1】(25-26九年级上河南周口·期末)如图，在平行四边形纸片上随机做扎针实验，则针头恰好扎在 阴影部分的概率为() B. D. 【变式2】(25-26八年级上山东淄博·期末)如图，口ABCD的对角线交于点0，且CD=4,若它的对角线 的和是32，则△AOB的周长为 3/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式3】(25-26八年级上山东烟台·期末)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过 点O且垂直于AD (I)求证：OE=OF; (2)若S△4OB=3,AD=3,则AD与BC之间的距离为 (3)若▣ABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 题型02利用平行四边形的性质证明 【典例2】(24-25八年级下·河北保定·期末)如图，O是平行四边形ABCD内的一点，沿着OA,OB,0C 和0D,将平行四边形裁成四部分，面积分别为S,S2,S3,S4,则下列两位同学的说法中，正确的是() 嘉嘉：一定存在S+S,=S2+S4,与点0的位置无关： 淇淇：当S,-S2=S-S4时，点O一定在对角线BD上 A S4 S S2 B4 A.只有嘉嘉 B.只有淇淇 C.两人都正确 D.两人都不正确 【变式1】(22-23八年级下·江西景德镇·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC交BD于点0，过点0作 EF⊥AD于点E,EF交BC于点F,若口ABCD面积是8O,OE=4,则AD的长为 F 【变式2】(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作 AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于点F. D 4/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE=CF; (2)若AB⊥AC,AC=6,BD=10,则BE的长度为 【变式3】(25-26九年级上·湖南长沙.期末)如图，已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于 点E,AF∥CE且交BC于点F. D (I)求证：△ABF≌△CDE; (2)若∠CED=50°，求∠B的大小. 题型03添加一个条件使四边形成为平行四边形 【典例3】(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O ,点E,F分别是AO,CO上的点，连接BE,BF,DE,DF,添加下列条件不能判定四边形BFDE为平 行四边形的是() A.AF=CE B.BD=EF C.∠FDB=∠EBDD.DE∥BF 【变式1】(25-26八年级上·重庆期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列条件后，仍无法判 定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AD∥BCB.AD=BC C.∠ADC=∠ABCD.AB=CD 【变式2】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯期中)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 0A=0C,请你添加一个适当的条件： ,使AB=CD. D B 【变式3】(24-25八年级上北京期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F是对 角线AC上两点，添加一个能判定四边形DEBF是平行四边形的条件： 5/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型04证明四边形是平行四边形 【典例4】(2025九年级上全国专题练习)如图，在Rt△ABC中，O是AB上一点，△DEF和ABC关于 点O对称，连接AF,CD.求证：四边形ACDF是平行四边形. 【变式1】(24-25八年级下·陕西西安期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交 于点0，且A0=C0, D B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=10,AD=6,AC⊥BC,求BD的长 【变式2】(24-25八年级下·广西河池·期末)如图，四边形ABCD中，AD=12,0D=0B=5,AC=26, ∠ADB=90° D A B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)求AOB的面积. 【变式3】(24-25八年级下·广东汕头期末)如图，ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过 点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD. B (I)求证：四边形ADCE是平行四边形. 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若LB=30°，∠CAB=45°，AC=2√2，AE=BD,求AD的长. 题型05利用平行四边形的性质与判定求解 【典例5】(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在ABCD中，EF∥BC,GH∥AB,EF, GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有()对 G A B H A.5 B.3 C.2 D.4 【变式1】(24-25八年级下·浙江温州期末)如图，点C,D在线段AB上，射线DP⊥AB,连结PB,以 BC,BP为邻边作e CBPE,连结AE,CP,记AE的长为m,CE的长为n.若AC=4,AD=5,BD=3,则 在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是() D B A.mn B.m-n C.m2+n2 D.m2-n2 【变式2】(25-26八年级上山东淄博·期末)如图，在口ABCD中，∠ABC=120°，连接AC,过点D作 DE∥AC,交射线BA于点E,过点E作EF⊥CB延长线于点F,若CD=I,则EF的长为· B 【变式3】(25-26八年级上·山东淄博·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接 CD,E为CD中点，过点C作CF∥BD,交BE的延长线于点F,连接DF交AC于点G. A D B (I)判断四边形DBCF的形状，并说明理由； (2)若∠A=30°，AC=4V3,CF=6.求AD的长. 题型06利用平行四边形的性质与判定证明 【典例6】(24-25八年级下，北京平谷·期末)己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为BC上的 7/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点（不与点B,C重合），连接AE,求作：点F,使得点F在AD上，且AE‖CF, D B 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交AD于点F,连接CF; 乙：以点D为圆心，BE的长为半径画弧，交AD于点F,连接CF: 丙：以点A为圆心，CE的长为半径画弧，交AD于点F,连接CF. 上述三名同学的作法一定正确的是() A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.甲、乙、丙 此时CF=AE,CF'=AE,四边形AECF'不是平行四边形， AE与CF'不平行，故甲作法错误； 乙：如图所示， 此时BE=DF, B D 此时AF=CE, B 【变式1】(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相 交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE,若DE=BF,则下列结论：①CF=AE;② OE=OF;③四边形CFAE是平行四边形；④四边形ABCD是平行四边形.其中正确的结论是·（填 序号) D B 【变式2】(24-25八年级下·吉林白城阶段检测)己知：如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于O,点E ,F分别在AO,CO上，且AE=CF,求证：四边形BEDF是平行四边形. 8/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式3】(24-25八年级下·四川资阳·期末)如图，在口ABCD中，BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,连 接DE,BF. B (I)求证：四边形BEDF为平行四边形： (2)若AB=V10,∠BED=135°，BE:AC=3:5,求DF的长. 题型07与三角形中位线有关的求解问题 【典例7】(25-26九年级上·福建泉州·期末)如图，DE是ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点 F,若AB=4,BC=6,则EF的长为() D A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【变式1】(25-26九年级上山西临汾期末)如图，点D、E、F分别为ABC三边的中点，若aDEF的周 长为5，则ABC的周长为一· A B 【变式2】(25-26九年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交 BE于点G,若BE=I2,则GE的长为· D E G B 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级下陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，∠ADC=135°，E,F分别是 AB,AD的中点，连接EF,BD,且∠AFE=45°， A B (I)求∠BDC的度数； (2)若CD=5,BC比BD长1，求EF的长. 题型08与三角形中位线有关的证明 【典例8】(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AB,且DB平分 ∠ADC,连接AC交BD于点O,且O为BD的中点，在AD上取一点G,连接CG,使CG⊥BD于点E, 取AC的中点F,连接BF,EF,延长AB,DC相交于点H,下列四个结论：①AO=2BO;②EF∥AD;③ BF是△AHC的中位线；④FB=FE.其中所有正确的结论为() H A.①③④ B.③④ C.②④ D.②③④ 【变式1】(23-24八年级下·全国·期末)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E、F、G分别是 AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，LACB=91°，则∠FEG等于· D B 【变式2】(23-24八年级下·浙江宁波期末)如图1，对“三角形中位线定理”进行拓展思考，可以提出 以下三个命题： ①若DE∥BC,AD=BD,则AE=CE· ②若DE∥BC,DE=BC,则DE是ABC的中位线 2 ③若AD=BD,DE=BC,则AE=CE· 2 图2是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是（选填①②③中其一） 10/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D E D E B B 图1 图2 【变式3】(25-26九年级上·山东烟台期末)点E是▣ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使 AM=EA,连接EB并延长，使BN=EB,连接MN,F为MN的中点，连接CF,DM. M D B (I)求证：四边形DMFC是平行四边形； (2)连接EF,交AB于点O,若OF=5,求EF的长 题型O9三角形中位线的实际应用 【典例9】(25-26九年级上福建泉州期末)如图，A,B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A,B间 的距离：先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点分别为M,N,并步测出MN的长约为45米，由 此可知A,B间的距离约为() m B N A.22.5米 B.45米 C.85米 D.90米 【变式1】(25-26九年级上·吉林长春·期末)如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一 个点C,使得点C可以直接到达A、B,他分别找到AC、BC的中点D、E,并且测得DE的长为I6米， 则池塘两端A、B的距离为() D A.8米 B.20米 C.25米 D.32米 11/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上山东泰安·期末)如图，为测量池塘岸边A,B两点之间的距离，小亮在池塘的 一侧选取一点O,测得OA,OB的中点D,E之间的距离是9米，则A,B两点之间的距离是 【变式3】(24-25八年级下湖北十堰期末)【综合与实践】 衣 如图1，测出水池A,B两点间的距离（水池有 多 障碍物不能直接测量). 图1 测 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间 工 的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m)； 具 小明的测量及求解过程 (1)如图2，在水池外选点C,用皮尺测得 测 AC =am,BC=bm 量 (2)分别在4C,BC上用皮尺测得CM=2m, a M 过 程 6 CN= m,测得MN=dm. 图2 由测量可知： 求 AC am, BC=bm,CM=4m,CN=5m, 2 解 :点M是AC的中点，点N是BC的中点， 过 N是ABC的 程 MN dm :AB= m. (1)把小明的求解过程补充完整： (②)小明测出水池A,B两点间的距离的依据是 题型10平行四边形的折叠问题 【典例10】(25-26八年级上山东烟台期末)如图，将▣ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若 12/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠2=38°，则∠D=() A.123° B.124 C.125° D.126° 【变式1】(24-25八年级下，河北石家庄·期末)如图，将平行四边形ABCD沿BF折叠，使点C恰好落在边 AD上的点E处，若此时将边AB沿BE进行折叠，点A又恰好落在点F处，则平行四边形ABCD的较小内 角为() D C A.36° B.30° C.72° D.60° 【变式2】(25-26九年级上山东青岛·期末)如图，在ABC中，BC=5,AC=4,∠C=30°.若将 △AEF沿EF折叠，点A与边BC的点D恰好重合，点H,G分别在BD,CD上.将△EBH沿EH折叠， 点B与点D恰好重合.将△CFG沿FG折叠，点C与点D恰好重合，则HD的长为一· C C 【变式3】(23-24八年级下·广东佛山期末)综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以平行四边形的折叠”为主题的数学活动. 问题初探： (1)如1图，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的 对应点为C,点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由； D 1图 迁移探究 13/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如2图，连接AC',与BD交于点P,猜想AC'和EF的位置关系，并说明理由； B C 2图 拓展探索 (3)如3图，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D重合，连接AC',猜想AC'和EF的位置关系， 并说明理由 A D B 3图 强化训练 一、单选题 1.(23-24八年级下·云南楚雄期末)如图，ABC中，点D,E分别是边AC,BC的中点，已知DE=6, 则AB的长为() D B E A.3 B.6 C.9 D.12 2.(23-24八年级下新疆阿克苏期末)如图，在ABC中，AB=4,BC=6,点D、E、F分别是AC、 BC、AB的中点，连接DE,DF,则四边形BEDF的周长是() A B E A.5 B.7 C.8 D.10 14/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在口ABCD中，∠B+∠D=126°，则∠A的度数是() A B A.116° B.117° C.118° D.120 4.(24-25八年级下·湖北武汉期末)如图，点E在AD边上，将口ABCD沿CE翻折，使D点的对应点F落 在AB边上，若∠DCE=45°，BC=5,CD=4,则AF的长为() F A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26九年级上山东烟台期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于 点E,∠BCD=60,4D=方4B,连接0E,下列结论：①S.=ADBD:@DB平分LDE:@ AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC, 并分别找出它们的中点M、N,若测得MN=18m,则A,B两点的距离为m. B 7.(25-26九年级上河南南阳·期末)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE,G是 AB的中点，连接GF,若AE=6,则GF=· 15/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B D E 8.(25-26八年级上山东日照·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD, 点E,点F分别是BM,CM中点，若AM=6,则EF的长为 M 9.(24-25八年级下·陕西成阳·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,直线MW经过O 点，若AB=6,AD=4,∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积之和是· D M B 10.(25-26八年级上·山东潍坊期末)如图，在梯形ABCD中，AD=8,BC=12.点P从点A出发，以每秒 1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往 复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.设点P,Q的运动时间为s,在此运动过程中当四边形 PQCD为平行四边形时，t的值为 D Q 三、解答题 11.(25-26八年级上山东青岛期末)已知：如图，在ABCD中，E,F分别是边BC和AD上的点，且 ∠1=∠2.求证：四边形AFCE是平行四边形. 2 12.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在梯形ABFE中，AE∥BF,AE=BF,若点C为BF的中 2 点，连接AC,BE交于点D. 16/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求证：四边形ACFE是平行四边形： (②)若ABC是等边三角形，且AE=3,求EF的长. 13.(24-25八年级下·江苏镇江·期中)已知：如图，在ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,垂足为D, 点G是BC的中点. DA B (I)求证：DG∥AB: (2)若DG=2,AC=5,则AB=- 14.(25-26八年级上山东泰安期末)在口ABCD中，连接BD,点E在AB上，连接CE. D E B 图1 图2 (I)如图1，将CE沿CD平移至DF,连接AF,F、A、E共线，求证：△DFA≌△CEB; (2)如图2，当LCDB=60°时，若BD=CE,试探究BE、CD及BD之间的数量关系，并说明理由： 15.(25-26八年级上江苏泰州·期末)如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，过A,C两点分别作 AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足 D E B (I)求证：DE=BF; (2)连接AC,AC与EF互相平分吗？为什么？ 16.(25-26八年级上湖北宜昌·期末)如图1，在等边ABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，AD,BE交 于P点. 1718 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D D (图1) (图2) (图3) (I)若AE=CD.①直接写出图中所有的全等三角形 ②∠BPD的度数为 (2)如图2，在(1)条件下，连接CP,当CP⊥BE时，求证：BP=2AP; (3)如图3，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AF(AD=AF,∠DAF=120°)，连接BF交AC于点 E,当BD=2CD时，直接写出的值. 18/18 第六章 平行四边形章节复习 教学目标 1. 理解平行四边形定义，掌握其对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，以及从边、角、对角线出发的判定方法；掌握三角形中位线定理，能进行简单计算与证明。 2. 经历性质与判定的探索过程，体会归纳、类比、转化思想，发展合情推理与演绎推理能力，规范几何语言表达。 3. 了解多边形内角和与外角和，认识四边形不稳定性，能运用知识解决简单实际问题，增强应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的性质与判定定理的探索、证明及应用，能准确运用性质求边长、角度、对角线长度，能用判定定理判断四边形是否为平行四边形。 （2）三角形中位线定理的理解与应用，掌握多边形内角和与外角和公式，能综合运用平行四边形知识进行几何证明与计算。 2.难点 （1）平行四边形性质与判定的灵活选择及综合运用，区分性质与判定的互逆关系，复杂图形中添加辅助线转化为三角形问题。 （2）三角形中位线定理的推导与灵活应用，多边形内角和公式的推导，以及在综合题中整合平行四边形、三角形等知识解决问题。 知识点01 平行四边形的性质 平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点02 平行四边形的判定 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边形ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边形ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点03 三角形的中位线 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型01 利用平行四边形的性质求解 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平行四边形纸片上随机做扎针实验，则针头恰好扎在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行四边形的面积分成4等份，阴影面积的和占其中的1等份，根据概率等于阴影面积的等可能性除以总可能性计算即可． 【详解】解：针头恰好扎在阴影部分的概率为； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 题型02 利用平行四边形的性质证明 【典例2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以，同理可得：，可判断嘉嘉的说法；根据已知进行变形，求出，可判断淇淇的说法． 【详解】过点O作的垂线，分别交，于，   四边形是平行四边形 同理 ，故嘉嘉说法正确； ∵， ∴， 此时， 即P点一定在对角线上．故淇淇正确． 故选C． 【变式1】（22-23八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，对角线交于点，过点作于点，交于点，若面积是，，则的长为________________．    【答案】 【分析】由可证，可得，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 面积是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可； （）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型03 添加一个条件使四边形成为平行四边形 【典例3】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型04 证明四边形是平行四边形 【典例4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式2】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． （1）在中，可求得，结合条件可判定四边形为平行四边形； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ，且， 四边形为平行四边形； （2）解：，， ∴的面积． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，结合，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G．根据勾股定理得到，，由得到．在中，利用勾股定理得到、，再由可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 题型05 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例5】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理． 先根据题意求出，，再分别代入四个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在线段上，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，值随着改变； ，值随着改变； ，值随着改变； ，值不变； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由勾股定理可得，， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 题型06 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例6】（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（  ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解：甲：如图所示， 此时，四边形不是平行四边形， ∴与不平行，故甲作法错误； 乙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故乙作法正确； 丙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故丙作法正确； ∴作法一定正确的是乙、丙； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式2】（24-25八年级下·吉林白城·阶段检测）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，于点E，于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形； （2）由（1）得，得到，，求得，根据平行线的性质得到，得到，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得 ∴， ∵，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 则， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 题型07 与三角形中位线有关的求解问题 【典例7】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形中位线定理得、、，继而得到，即可得到答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵点、、分别为三边的中点， ∴、、为的中位线， ∴，，， 即，，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，分别是的中点，连接，且． (1)求的度数； (2)若，比长1，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线定理得出线段平行关系，再结合角度和边长条件进行求解． （1）利用三角形中位线定理得出，再根据平行线的性质和已知角度求出； （2）利用勾股定理列方程求出，再根据中位线定理求出． 【详解】（1）解：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， 在中，， ， ， 解得， 由（1）知是的中位线， ． 题型08 与三角形中位线有关的证明 【典例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 【变式3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 题型09 三角形中位线的实际应用 【典例9】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得的中点D，E之间的距离是9米，则A，B两点之间的距离是_______． 【答案】18米 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”是解题的关键．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， 米， 故答案为：18米． 【变式3】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 题型10 平行四边形的折叠问题 【典例10】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质得，，根据对称的性质得，，，，继而得到，然后在中，根据三角形内角和定理列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，对称的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握：两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式3】（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解：，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·山东泰安·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平移的性质得出，，则，再根据平行四边形的性质得出，则，即可证明． （2）过点B作交延长线于点F，证明四边形为平行四边形，结合已知条件得出，，证明是等边三角形，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：根据平移的性质，，， ， 在中，， ， 在和中， ， ． （2）解：． 过点B作交延长线于点F ，， 四边形为平行四边形， ，， 又， 是等边三角形， ． 故． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分，理由见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的性质证明，，结合，，即可得出结论； （2）连接，由，得到，由，推出，得到四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 16．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图1，在等边中，D，E分别是边上的点，交于P点． (1)若．①直接写出图中所有的全等三角形______；②的度数为______； (2)如图2，在（1）条件下，连接，当时，求证：； (3)如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（，），连接交于点E，当时，直接写出的值． 【答案】(1)和； (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明和，即可； （2）在上取点Q，使，证明，可得，，即可求证； （3）延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，，证明，可得，再由四边形为平行四边形，可得到，从而得到，进而得到，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：和； （2）证明：在上取点Q，使， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （3）解：如图，延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $