专题04 相交线与平行线相关压轴题（5类40道）（期末真题汇编，江西专用）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦相交线与平行线压轴题，汇编江西多地期末真题，涵盖选择与解答题，注重几何直观与动态探究能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|相交线与平行线综合（手推车示意图）、三角板摆放（直角三角板在平行线间）|结合生活情境，基础判断与性质应用| |解答题|32题|旋转探究（探照灯旋转）、角平分线综合（角平分线与平行线）、动态问题（点P运动）|动态情境（旋转、动点），分层设问（从计算到规律探究），体现区域真题特色|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04相交线与平行线相关压轴题 ☆4大高频考点概览 考点01相交线与平行线相关综合题 考点02旋转相关相交线与平行线综合题 考点03探究角度的数量关系 考点04三角板相关相交线与平行线综合题 考点05角平方线相关相交线与平行线综合题 目目 考点01 相交线与平行线相关综合题 1.(24-25七下·江西九江浔阳区九江外国语学校·期末)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD,则 下列结论正确的是() B -D A.∠3=∠1+∠2 B.∠3=∠2+2∠1 C.∠1+∠2+∠3=180 D.∠2+∠3-∠1=180 【答案】D 【详解】解：如下图： :AB∥CD, ∠1=∠A, :∠2=∠A+∠4， ∴∠2=∠1+∠4， 即∠4=∠2-∠1， :∠3+∠4=180°， ∠2+∠3-∠1=180°， 故选：D. 1/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25七下·江西赣州经开区·期末)如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,DE⊥AE于点E, AB∥DC.下列结论：①DC⊥BC;②∠1与∠2互余；③∠AEB+ADC=180°；④DE平分∠ADC.其中 结论正确的是() B E A.①③ B.②④ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：：AB⊥BC, :LB=90°， ∠1+∠AEB=90°， :AB∥DC, .∠B+∠C=180°， .∠B=∠C=90°， .DC⊥BC, 故①正确； :DE⊥AE, ∠AED=90°， .∠DEC+∠AEB=90°， .∠1=∠DEC, ∠C=90°， ∠DEC+∠2=90°， .∠1+∠2=90°， 即∠1与∠2互余， 故②正确； :AB∥DC, .∠DAB+ADC=180°， :AE平分∠BAD交BC于点E, .∠BAD=2∠1，∠EAD=∠1， 2174 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠1+∠AEB=90°， .∠BAD与∠AEB不一定相等，即LAEB+LADC=I80°不一定成立， 故③错误： :∠1+∠2=90°，∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD=∠1， ∠ADE=∠2，即DE平分∠ADC, 故④正确 综上所述，正确的有①②④， 故选：C 3.(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG,过 点F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2LD,则下列结论：①∠D=40°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平 分∠HFB;④FH平分∠GFD.其中正确结论的个数是（) A B E G H A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【详解】解：延长FG,交CH于I. A F B G D H AB I CD :ZBFD ZD,ZAFI=ZFIH :FD∥EH, ∠EHC=∠D, :FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D ∠FIH=2LAFE=2LEHC, 3∠EHC=90°， .∠EHC=30°， .∠D=30°， 3/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :2∠D+∠EHC=2x30°+30°=90°， ①错误；②正确， :FE平分LAFG, ∠AFI=30°×2=60°， :∠BFD=∠D=30°， .∠GFD=90°， .∠GFH+∠HFD=90 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ③，④不一定正确。 故选：A· 4(2425七下江西上饶部分学校期末)如图，AB∥CD,OE平分∠B0C,OF⊥OE,OP⊥CD, ∠AB0=30°.则下列结论：①∠B0E=70°，②0F平分∠BOD,③∠P0E=∠B0F,④∠POB=2∠D0F. 其中正确的个数为() A D A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【详解】解：：AB∥CD,∠AB0=30°， ∠AB0=∠B0D=30°， ∠B0C=180°-30°=150°， :OE平分∠B0C, :∠B0E=∠C0E=x150°=75°，所以①错误， 2 OF L OE, ∠E0F=90°， ∠B0F=90°-75°=15°， ·∠BOF= 2∠BOD,即0F平分∠B0D,所以②正确； 4/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 OP⊥CD, ∴.∠C0P=90°， ∠P0E=90°-∠E0C=15°， LPOE=∠BOF;所以③正确： ∠P0B=75°-∠P0E=60°，而∠D0F=15°， ∠P0B≠2∠D0F,所以④错误 5.(24-25七下江西赣州大余县期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG, FG⊥EH于点G,且∠AFG=2LD,则下列结论：①LD=30°：②FD平分∠HFB;③ 2∠D+∠EHC=90°.其中正确的结论有() A B G C H A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：：FG⊥EH, .LFGE=90°， 又：FD∥EH, ∠GFD=∠FGE=90°， ∠AFG+∠BFD=180°-90°=90°， :∠AFG=2∠D, .2LD+∠BFD=90°， :AB∥CD, .∠D=∠BFD, 2LD+∠D=90°，解得∠D=30°，则结论①正确： FD∥EH, .∠EHC=∠D=30°， :2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，则结论③正确： ∠D=30°， LBFD=∠D=30°，∠GFD=90°，但∠HFD不一定等于30°， 5/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :FD平分∠HFB不一定正确，综上，正确的是①③ 6.(23-24七下·广西柳州柳江区·期末)将一个直角三角板放在如图的两条平行线上，其中三角板的直角顶点 A在直线上，则下列结论①∠1=∠3，②∠1+∠4=90°，③∠2+∠3=180°中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【详解】解：两对边平行， .∠1=∠3，∠2+∠3=180°， 又：∠3+∠4=90°， .∠1+∠4=90°， 故正确的结论为：①②③， 故选：D 7.(24-25七下江西景德镇乐平.期末)如图，已知AB∥CD,P为CD下方一点，G,H分别为AB,CD上的 点，LPGB=a,LPHD=B,(a>B,且，B均为锐角)，∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F,GE 平分∠PGA,交直线HF于点E,下列结论：①LP=a-B;②2LE+a=180°+B;③若 ∠CHP-∠AGP=∠E,则∠E=60°.其中正确的序号是(). G A E A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】D 【详解】解：：∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F,GE平分∠PGA,交直线HF于点E, 6/74 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ZBGF=ZPGF=-a ZPHF ZDHF=ZPHD= ∠AGE=∠PGE= AGP--a)-.AGP-1-a :∠EGF=∠EGP+∠PGF= ∠AGP+∠FGP=90° :AB∥CD, .LPMH=∠AGP=180°-a, ∠P=180°-LHMP-LDHP=180°-(180°-a）-B=a-B,即①正确： 如图：过E作EN∥CD, 1 ∠NEF=∠DHF=2B, :AB∥CD, EN∥AB, ÷∠GEN=∠AGE=90°- 30, ∠GBF=∠GEv+∠PEv=0-+5B,即2∠cEF=180-a+B. :.2∠GEF+a=180°+B,故②正确： G A B ∠CHP=180°-B,∠AGP=180°-a, ∠CHP-∠AGP=180°-B-I80°-a)=∠E,即a-B=∠E, :2LE+a=180°+β， .a-β=180°-2∠E, 即180°-2LE=∠E, :解得：∠E=60°，即③正确， 故选D. 7174 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25七下江西吉安峡江县期末)下列结论：①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2， AB∥CD,则∠P=∠A-∠C;③如图3，AB∥CD,则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF, 点O在直线EF上，则La-LB+Ly=180°.正确的个数有() B B A B D 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解： B B 1入E —D 图1 图2 图3 图4 ①如图1，过点E作直线EF∥AB, :AB∥CD, ·AB∥CD∥EF, .∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， ∠A+∠1+∠2+∠C=360°， ∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①错误； ②如图2， :∠1是△CEP的外角， ∠1=∠C+P, :AB∥CD, ∴.∠A=∠1， 即∠P=∠A-∠C, 故②正确； 8/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ③如图3，过点E作直线EF∥AB, AB∥CD, ·AB∥CD∥EF, ∠A+∠3=180°，∠1=∠2， :∠A+∠AEC-∠1=180°， 即∠AEC=180°+∠1-∠A, 故③错误； ④如图4， :AB∥EF, La=∠B0F, :CD∥EF, .∠y+∠COF=180°， ·∠BOF=∠COF+∠β， ∴.∠COF=∠oa-∠p, ∴.∠y+∠a-∠B=180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B 目目 考点02 旋转相关相交线与平行线综合题 9.(24-25七下·江西上饶期末)如图，己知AB∥CD,点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN,PM与 AB相交于点F,PN与CD相交于点E. M 图1 图2 图3 (I)如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM=55°，∠PED=30°，求∠MPN的度数： (②)分别在LAFM、LCEP的内部作射线FG、EG交于点G,使得∠MFG=1∠AFM,∠PEG=1∠PEC 9174 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (n>1,且n为整数). ①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H,若n=3,∠G=40°，求∠P的度数： ②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）· 【答案】(1)85 (2)①120°；②∠MPN+”,∠G=180° n-1 【来源】江西省上饶市2024-2025学年七年级下学期期末数学试题 【详解】(1)解：过点P作PQ∥AB,如图1所示： M B -D E 图1 :AB∥CD, AB∥PQ∥CD, :∠MPQ=∠AFM,∠NPQ=∠PED, .∠MPQ+∠NPQ=∠AFM+∠PED, 即LMPN=LAFM+∠PED, :LAFM=55°，∠PED=30°， .∠MPN=∠AFM+∠PED=55°+30°=85°， (2)解：①过点G作GH∥AB,如图2所示： M E 图2 当a=3时，∠MrG=写AM,∠PEG=号PEC, :ZAFM =3LMFG,ZPEC =3LPEG, 设∠MFG=a,∠PEG=B, :∠AFM=3a,∠PEC=3B, :.∠AFG=∠AFM-∠MFG=2a,∠CEG=∠PEC-∠PEG=2B, 10/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠PED=180°-∠PEC=180°-3B, :GH∥AB,AB∥CD, .GH IAB‖CD, ∠HGF=∠AFG=2a,∠HGE=∠CEG=2B, 由(1)可知：∠MPN=LAFM+LPED=3a+180°-3B=180°-3B-a), .ZFGE ZHGE-ZHGF=2(B-a), :∠FGE=40°， 2(B-a)=40°， B-a=20°， :∠MPN=180°-3(B-a)=120°： ②∠MPN与∠G的数量关系是：∠MPN+”,∠G=180°，理由如下： n-1 延长GF到T,过点P作PR‖AB,如图3所示： R------- A G< 图3 :∠MFG=∠AFM,∠PEG='∠PEC, n ∴.∠AFM=n∠MFG,∠PEC=n∠PEG, 设∠MFG=a,∠PEG=B, .∠AFM=na,∠PEC=nB, .ZAFG ZAFM-ZMFG=(n-1 a,ZCEG=ZPEC-ZPEG =(n-1B, ∠PFT=∠AFG=n-1a,∠PED=180°-∠PEC=180°-nB, :PR∥AB,AB∥CD, PR‖ABCD, :.∠RPE=∠PED=180°-nB,∠RPM=∠AFM=na, 11/74 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可知：∠G=∠PFT+LCEG=(n-1a+(n-1)B=(n-1)(a+β)， a+B=1 ∠G, n-1 ∠MPN=∠RPE-∠RPM=180°-nB-na=180°-n(a+B）, 1 .∠MPN=180°-n. ∠G, n-1 :∠MPN+”∠G=180°. n-11 10.(24-25七下·江西上饶二中教联体期末)综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2)班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如 图，已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC,BD分别平分 ∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. N B 探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当∠A=60°时，∠CBD=∠A.请说明理由 (2)不断改变∠A的度数，LCBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现，当 点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB和∠ADB之间的数量关系都保持不变， 请写出它们的关系，并说明理由 (④点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB=LABD时，请直接写出2LABC+}∠A的结果. 【答案】()见解析 (②)CBD=180°-LA 2 (3)∠APB=2∠ADB (4)90° 12/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：AM∥BN, .∠A+∠ABN=180°， 又：∠A=60°， ∠ABN=180°-∠A=120°. :BC,BD分别平分∠ABP和LPBN, :∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠PBN, 2 ∠CBD=∠CBP+∠D8PABP+PBN-ABN=60. 2 2 ∠CBD=∠A. (2)解：：BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, :∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠PBN, 3 2 A∠CBD=∠CBP+∠DBP=)∠ABP+∠PBN=∠ABN, 2 2 2 :AM∥BN, .∠A+∠ABN=180°， .∠ABN=180°-∠A, :LCBD=180°-∠A 2 (3)解：∠APB=2∠ADB,理由如下： :BD分别平分∠PBN, ∴.∠PBN=2∠NBD, :AM∥BN, :∠PBN=∠APB,∠NBD=∠ADB, ∠APB=2∠ADB. (4)解：：AM∥BN, ∴∠ACB=LCBN, :∠ACB=∠ABD, .LCBN=∠ABD, ∴∠ABC+LCBD=LCBD+LDBN, ∠ABC=∠DBN, :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, 13/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :2∠ABC=∠ABN, :AM∥BN, ∠A+∠ABN=180°， :2∠ABC+∠A=(∠A+∠ABN=x180°=90°. 2 2 2 11.(2425七下江西九江第十一中学期末)如图，线段AB,AD交于点A,点C为直线AD上一点（不与 点A,D重合)，在BC的右侧，作射线CE⊥BC,过点D作直线DF∥AB,交CE于点G(G与D不重 合). B G ① ② (I)若点C在线段AD上， ①如图①，若LBCA为钝角，∠B=18°，嘉嘉过点C作了辅助线求出∠CGD的度数，你试着完成求解过程. ②如图②，若∠BCA为锐角，判断∠B与∠CGD的数量关系并说明理由 (②)若点C在线段DA的延长线上，直接写出∠B与∠CGD的数量关系. 【答案】(1)①LCGD=108°；②∠CGD=90°-∠B,理由见解析 (2)LCGD=90°-LB 【详解】(1)解：①如图，过点C作CH∥AB, 则∠BCH=∠B=18°； .BC⊥CE, ∠HCG=90°-∠BCH=-72°， :DF∥AB,CH∥AB, DF∥CH, ∠HCG+∠CGD=180°， ∠CGD=180°-∠HCG=108°； 14/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B .H F GE ① ②∠CGD=90°+∠B,理由如下： 如图，过点C作CH∥AB, .ZBCH =ZB :BC⊥CE, ∠HCG=90°-∠BCH=90°-∠B； DF∥AB,CH∥AB, .DF∥CH, .∠HCG=∠CGD=90°-LB; B G C D ② (2)解：∠CGD=90°-∠B;理由： 如图，过点C作CH∥AB, .ZBCH ZB BC⊥CE, :∠HCG=90°+∠BCH=90°+∠B; :DFIAB,CH∥AB, DF∥CH, ∠HCG+∠CGD=180°， :∠CGD=180°-∠HCG=180°-(90°+∠B)=90°-∠B; 15/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D G 人E 12.(24-25七下·江西南昌凤凰城上海外国语学校期末)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路为了安 全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立 即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是 每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ∥MN,且LBAM:∠BAN=2:1· B P B D M (图1) (图2) (I)填空：∠BAN=°； (②)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束 互相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作LACD交PQ于点 D,且∠ACD=I20°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求 出其数量关系；若改变，请说明理由 【答案】(1)60 (2)当1=30秒或1=110秒时，两灯的光束互相平行 (3)∠BAC和LBCD关系不会变化，∠BAC=2∠BCD. 【详解】(1)解：∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:LBAN=2:I, ∠BAN=180°×二=60°， 3 故答案为：60； (2)解：设A灯转动1秒，两灯的光束互相平行， 16/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 o c B P B ①当0<1<90时，如图1， D M D N (图1) (图2) :PQ∥MN, .∠PBD=∠BDA, :AC∥BD, .∠CAM=∠BDA, .∠CAM=∠PBD, .21=1×(30+, 解得：1=30； ②当90<1<150时，如图2， :Pg∥MN, .∠PBD+∠BDA=180°， :AC∥BD, .∠CAN=∠BDA, .∠PBD+∠CAN=180°， 130°+t+(21-180）=180°， 解得：t=110; 综上所述，当1=30秒或1=110秒时，两灯的光束互相平行； (3)解：∠BAC和∠BCD关系不会变化，∠BAC=2LBCD, 理由如下： 设灯A射线转动时间为1秒， BD P :∠MAC=21,∠MAB=120°， ∴.∠BAC=2t-120°， 17/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又：∠DBC=t,∠ABD=120°， .∠ABC=120°-t, ∠BCA=180°-∠ABC+∠BAC)=180°-1， 又：∠ACD=120°， .∠BCD=120°-∠BCA=120°-180°-t=1-60°， ∠BAC:∠BCD=2:I,即LBAC=2∠BCD, :∠BAC和LBCD关系不会变化. 13.(24-25七下江西南昌·期末)已知直线AB∥CD,点P,Q分别在直线AB,CD上. B A P P B 图① 图② 图③ (1)如图①，当点E在直线AB,CD之间时，连接PE,QE.探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系， 并说明理由； (②)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE,QF平分LDQE.求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系， 并说明理由； (③)如图③，当点E在直线AB,CD的下方时，连接PE,QE,其中PE交CD于点K,PF平分∠BPE, QH平分∠CQE,OH的反向延长线交PF于点F,交PE于点G.若LE=40°时，求∠F的度数. 【答案】(I)∠PEQ=∠BPE+∠DQE,理由见解析 ②∠PFQ=∠BPE+∠DOE),理由见解折 (3)110 【详解】(1)解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE, 理由如下： 如图所示，过点E作EM∥AB, 18/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B M E ，·∠BPE=∠PEM, 9 D 图① :AB∥CD,EM∥AB, EM∥CD, ∴.∠DQE=∠QEM, ∴.∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DOE, 即∠PEQ=∠BPE+∠DQE; 2解：∠Pr0=∠BPE+DgE. 理由如下： B E PF平分∠BPE,QF平分LDQE, 9 D 图② :∠BPF=∠BPE,∠DOF=;∠DOE, 2 由(1)可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE, 同理可得∠BPF+∠DOF=∠PFQ, 2Pr0-BnE+D0E-∠BnE+∠D0g)-PE0, 即∠PFQ=)∠BPE+∠DOE): (3)解：如图，过点E作EN∥AB, P B F G 9 ,∠PEN=∠BPE, H/N--E 图③ PF分∠BPE,QH平分∠COE, 19/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠BPF=∠BPE,∠COH=∠COE, 2 ZFOD-CO-COE :AB∥CD,AB∥EN, .CD∥EN,∠PEQ=40°， ∠CQE=180°-∠NEQ=180°-（∠PEN-∠PEQ=180°-∠BPE+40°=220°-∠BPE由(1）可得： F-∠BPF+∠F0D∠BPE+5COE=BPE+20-∠BPE)=I0. 2 2 2 14.(24-25七下江西吉安安福县期末)如图，MN∥P2,A,B分别在直线MN,PQ上，且∠BAN=60°，若 射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针旋转至B?后立即回转，两射线分别 绕点A,点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是a°/秒，射线BP转动的速度是b°秒，且a,b满足 (a-4)+b-1=0. B M M N A 备用图 (1)a=,b= (②)若射线AN和射线BP同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN和射线BP互相垂直？ (③)若射线AN绕点A逆时针先转动12秒，射线BP才开始绕点B顺时针旋转，在射线BP到达BA之前，射 线AN再转动多少秒，射线AV和射线BP互相平行？ 【答案】(1)4,1 (2)18秒 3)26.4秒或44秒或98.4秒 【详解】(1)解：(a-4)2+b-1=0,（a-4)2≥0，b-1≥0 a-4=0,b-1=0 a=4,b=1: (2)解：设至少旋转t秒时，射线AN、射线BP互相垂直，如图，设旋转后的射线AN、射线BP交于点O, 则B01A0,过点0作OC∥PQ, 20/74 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 -P M A ∠A0B=90°， :MN∥P2,且射线AN转动的速度是4°/秒，射线BP转动的速度是1°/秒， .PQ∥OC∥MN,∠0AN=(41°，∠0BP=t°， LAOC=∠0AN=(41°，∠B0C=∠0BP=t°， .90°=∠B0C+LA0C=∠0BP+∠0AN=1°+(41)°， 解得：t=18, 答：至少旋转18秒时，射线AN和射线BP互相垂直； (3)解：∠BAN=60°，MN∥PQ, ∠PBA=180°-∠BAN=120°， .t<120, 设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行， 设旋转后的射线AN、射线BP分别用射线AN'、射线BP'表示， :射线AN绕点A逆时针先转动12秒，AN转动了12×4°=48°， ①当射线AN未到达AM时，如图， B W M N A .∠NAN'=(4t°+48°，∠PBP'=1°， ∠BAN'=∠NAN'-∠BAN=41°+48°-60°=4t°-12°， ∠ABP'=∠PBA-∠PBP'=120°-°， :AN'∥BP', ∠BAN'=∠ABP', (4t°-12°=120°-t°， 解得：t=26.4: 21/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②当射线AN到达AM后再返回时，如图， B P N'. M A ∠MAN'=(4t)°+48°-180°=(4t°-132°，∠PBP'=1°， :∠BAW'=180°-∠MAN'-∠BAW=180°-[(41)°-132]-60°=252°-(4)°， ∠ABP'=∠PBA-∠PBP'=120°-t°， AN'∥BP', ∠BAN'=∠ABP', 252°-(4t)°=120°-t°， 解得：1=44； ③当射线AN到达AM后返回，再一次到达原位置AN后继续逆时针旋转，如图， B P N. M ∠NAN=(4t)°+48°-360°=(4t)°-3120，∠PBP'=°， ∠BAN=∠NAN-∠BAN=(4t)°-312°-60°=(4t)°-372°， ∠ABP'=∠PBA-∠PBP'=120°-1°， AN'∥BP', ∠BAN'=∠ABP', .(4t)°-372°=120°-t°， 解得：1=98.4： 综上所述，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动26.4秒或44秒或98.4秒，射线AN和射线BP互相平行. 15.(24-25七下江西九江第一中学期末)如图1，已知AB∥CD,P是直线AB,CD外的一点，PF⊥CD于 点F,PE交AB于点E,满足∠FPE=60°. 22/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (I)求∠AEP的度数： (②)如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返 回至PE,然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后 停止运动，此时射线PN也停止运动.若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒. ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数(0°<∠MEP<180); ②当0≤t≤6时，若直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°，则1=一· ③当6<1≤15时，直线EM与直线PN相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理 由. 【答案】(1)150 3 .9 2060°或120°：②2或2：③当6<115时，直线EM与直线PW相交所成的锐角不是定值，理由见解析 21 【详解】(1)解：如图，设AB与PF的交点为I, F D :PF⊥CD,AB∥CD, PF⊥AB, ∠PIA=90°， :∠FPE=60°， ∠PEB=180°-∠FPE-∠PGA=30°， .∠AEP=180°-∠PEB=150°： (2)解：①根据题意，总的运动时间为150÷10=15(s, PN从PE转到PF的时间为60÷10=6(s), :∠AEM=10t, 23/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠MEP=150°-10t, 当0≤t≤6时，PN从PE转向PF, ∠EPN=10t, :射线PN平分∠EPF, ∠EPN= =∠BPF=30, .10t=30°， 解得1=3，此时∠MEP=150°-10t=120°； 当6<t≤12时，PN从PF转向PE, ∠EPN=120°-10t, :射线PN平分∠EPF, ∠EPN=120°-10°t=30°， 解得t=9,此时∠MEP=150°-10t=60°； 当12<t≤15时，PN再次从PE转向PF, .∠EPN=101-120°， :射线PN平分∠EPF, ∴.∠EPN=101-120°=30°， 解得t=15,此时∠MEP=150°-10t=0°，不符合题意； 综上，∠MEP=60°或120°； ②设直线EM与直线PN的交点为H, :直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°， ∴.∠PHE=60°或120°， 当∠PHE=60°时，如图， D 由(1)可知，∠PEB=30°， 由①可知，∠EPN=10t,∠HEB=∠AEM=10t, ∴.∠PHE=180°-∠PEB-∠EPN-∠HEB=150°-20t, 24/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠PHE=60°， .150°-20t=60°， 解得1= 当∠PHE=120°时，如图， M D 同理可得，∠PHE=150°-20t=120°， 解得1=3 、9 综上所述，=云或2 2 ③设直线EM与直线PN的交点为H, 当6<t≤12时，PN从PF转向PE,如图， M H 由①可知，∠EPN=120°-10t,∠HEB=∠AEM=10t, ∠EPN+∠HEB=120°-10°t+10°t=120°， 同理②可得，∠PHE=180°-∠PEB-∠EPN-∠HEB=30°为定值； 当12<t<13.5时，PN再次从PE转向PF,如图， M D 由①可知，∠EPN=10t-120°， ∠EPN+∠HEB=10°t-120°+10°t=20°t-120°， 同理，∠PHE=180°-∠PEB-∠EPN-∠HEB=270°-20°t不是定值； 当t=13.5时，如图， 25/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C F D 此时∠EPN=15°，∠PEM=180°-∠PEB-∠AEM=15°， :LEPN=∠PEM, EM∥PN, :直线EM与直线PN无交点， 当13.5<1≤15时，如图， H M :∠EPH=180°-∠EPN=300°-10t,∠PEH=180°-∠PEB-∠AEM=150°-10t, :∠PHE=180°-∠EPH-∠PEH=20t-270°不是定值； 综上所述，当6<1≤15时，直线EM与直线PN相交所成的锐角不是定值. 16.(24-25七下江西赣州经开区·期末)已知，如图，AB平行CD,直线MN交AB于点M,交CD于点N, 点E是线段MN上一点，P,Q分别在射线MB,ND上，连接PE,E,PF平分∠MPE,OF平分∠DQE. H A M P B A P B A M P B E E D 图1 图2 图3 (1)如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； (2)如图2，求LPEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(1)问的条件下，若∠APE=46°，∠MND=68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H, 将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M'N,同时将△FPH绕点P逆时 针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH',当MN首次与CD重合时，整个运动停止. 在此运动过程中，经过(t≥O)秒后，MW恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的 值 26/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)135 (②)2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析 (3)t=0或3或6或12或15 【详解】(I)解：如图，延长PE交CD于G,设PE,F2交于点H, M P B H C G NO D 设LAPE=2a,则∠FPH= ∠APE=a, 2 AB I CD, ∴.∠PGQ=∠APE=2a, PE⊥QE, .∠QEH=QEG=90°， ∴.∠EQD=∠QEG+∠PGQ=90°+2a, ∠E0H=∠EQD=45+a 2 在△EQH和△PFH中， :∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, ∴.∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, 即：90°+45°+a=a+∠PFH, ∠PFH=135°： (2)解：2∠PFQ-∠PEQ=180°， 理由如下：如图，延长PE交CD于G,设PE,FO交于点H, A M P B E CGN Q D 设∠APE=2a,则∠FPH=∠APE=a, 2 :AB CD, 27/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠PGQ=∠APE=2a, ∠GEQ=180°-∠PEQ, .∠EQD=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2a, ∠H0E=3∠E0D=90+a-2∠PE0, 在△EQH和△PFH中， '∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=18O°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, .∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, 即：∠PEQ+90°+a 2<PE0=a+∠PF0, .2∠PFQ-∠PEQ=180°， (3)解：·∠MND=68°， 68 Imar= 4 =17, ∠MND=68°-41， :∠APE=46°，PF是∠APE的平分线， .∠APF=23°， ∠BPF=180°-23°=157°， 157°-1,0s1<157 转动过程中，∠BPF= 11 1-157,157 ≤t≤17 11 由(1)知，L0FP=135°， .LHFP-=45°， PH⊥FH, ∠PHF=45°， ∠HPM=45°-23°=22°， ∠HPB=180°-22°=158°， 158°+11t,0≤t<2 ·在转动过程中，∠HPB= 202°-11t,2≤t≤17' 设OH所在直线与射线PB的夹角为， .a=90°-∠HPA=68°， 28/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 68°+11t,0≤t< 112 在转动过程中，a= 11 12<117 292°-11,1 ①当MN∥PF时， 0当0≤1<15？时，此时，F在AB下方， 11 ∠MND+∠BPF=180°， 即，68°-41+157-111=180°， 解得：t=3, 闭当157≤1≤17时，此时，F在B上方， 11 ∠MND=∠BPF, 即，68°-41=11t-157°， 解得：t=15, ②当MN∥HP时， ()当0≤t<2时，此时，H在AB上方， :∠MND=∠HPB, 即，68°-41=158°+111， 解得：1=-6，舍去， ()当2≤1≤17时，此时，H在AB下方， .∠MND+∠HPB=180°， 即，68°-41+202°-111=180°， 解得：t=6, ③当MN∥FH时， @当0st<112 时，∠MND=a, 11 即，68°-41=68°+111， 解得：t=0, m当12≤1≤17时，∠MND+a=180°， 11 即，68°-41+292°-11t=180°， 解得：t=12, 综上所述，t=0或3或6或12或15. 29/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 探究角度的数量关系 17.(2425七下·江西宜春高安·期末)在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块 等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板(LF=90). C ED C D G A B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，在GE边上任取一点P(不同于点G,E),过点P作CD∥AB,若∠2=110°，求∠1的度数： (2)如图2，过点E作CD∥AB,若LAGF=75°，求∠CEF的度数； (3)探究：将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB,并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，探 索LAGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)∠1=25° (2)∠CEF=15° 3)当点F在直线CD的上方时，∠AGF-∠CEF=90°；当点F在直线AB与直线CD之间时， ∠AGF+∠CEF=90°；当点F在直线AB的下方时，∠CEF-∠AGF=90°，理由见解析 【详解】(1)解：如图1所示： D D AG B 图1 :AB∥CD, .∠I=LEGB, :∠2=110°， :∠2+∠FGE+∠EGB=180°，∠FGE=45°， 110°+45°+∠EGB=180°， 30/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠EGB=25°，即∠1=25°： (2)解：∠AGF+∠CEF=90°， 理由如下： 过点F作FP∥AB,如图2所示： ED 图2 :CD∥AB, FP∥AB∥CD, LAGF=∠GFP,LCEF=∠EFP, ∴.LAGF+∠CEF=LEFP+GFP=LEFG, :LEFG=90°， ∴∠AGF+∠CEF=90°， :∠AGF=75°， .∠CEF=15°： (3)解：①当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB,如图3-1所示： MF B 图3-1 :MN∥AB,AB∥CD, MN∥CD∥AB, LAGF=∠NFG,LCEF=∠NFE, :∠NFG-∠NFE=∠GFE=90°， ∴.LAGF-LCEF=90°： ②当点F在直线AB与直线CD之间时，由(2)可得∠AGF+∠CEF=90°； ③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB,如图所示： 31/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图3-2 :MN∥AB,AB∥CD, .MN∥CD∥AB, :∠AGF=LNFG,LCEF=∠NFE, :∠NFE-GFN=∠GFE=90°， ∠CEF-LAGF=90°； 综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF-∠CEF=90°：②当点F在直线AB与直线CD之间时， LAGF+∠CEF=90°；③当点F在直线AB的下方时，LCEF-LAGF=90°. 18.（2425七下·江西抚州南城县第二中学期末)“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安 全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯 A射出的光束AA'从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB'从BP开始顺时针旋 转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是度/秒，灯B转动的速度是b度/秒， a,b满足a-2+(b-1=0.假定主道路是平行的，即PQ∥MN,且LBAM:LBAN=2:1. Q B 图1 图2 (1)填空：a= ,b= ,∠BAN=°： (②)若灯B射出的光束BB'先转动15秒，灯A射出的光束AA才开始转动，在灯B射出的光束BB'到达BQ之 前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA'到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯 射出的光束交于点C,过C作∠ACD=120°，交PQ于点D,在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探 究∠BAC与LBCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由 【答案】(1)2,1,60 (2)1=15或t=115 (3)不变，∠BAC=2LBCD 32/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：a-2+(b-1)2=0, a-2=0,b-1=0, 解得：a=2,b=1, :∠BAM:∠BAN=2:1, ∠BAM=2∠BAN, :∠BAM+∠BAN=180°， 3∠BAN=180°， :∠BAN=60°， 故答案为：2,1,60； (2)解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， oc P B M A D N MD A (图1) (图2) ①当0<t<90时，如图1， PQ∥MN, ∴∠PBD=∠BDA, :AC∥BD, ·∠CAM=∠BDA, ∠CAM=∠PBD, 21=15+t, 解得：t=15; ②当90≤t<165时，如图2， :PQ∥MN, .∠PBD+∠BDA=180°， :AC∥BD, ·∠CAN=∠BDA, .∠PBD+∠CAN=180°， 33/74 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .15+t+(2t-180)=180, 解得1=115； 综上所述，当t=15或t=115时，两灯的光束互相平行. (3)解：∠BAC和LBCD关系不会变化， 理由如下：设灯A射线转动时间为t秒， :∠MAC=2t,∠MAB=120°， :∠BAC=2t-120° =2t-60）, 又：∠DBC=t,∠ABD=120°， ∠ABC=120°-1， ∠BCA=180°-（∠ABC+∠BAC) =180°-1， 又：∠ACD=120°， .∠BCD=120°-∠BCA =120°-(180°-t) =t-609 ∠BAC:∠BCD=2:1, 即∠BAC=2∠BCD, .LBAC和LBCD关系不会变化. 19.(24-25七下·江西景德镇·期末)【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本 P43页这样一个问题：如图1，∠1=∠2=55°，直线AB与CD平行吗？ A 人2BA B C D 图1 图2 图3 【知识回顾】直线AB与CD是否平行？如果是，请你说明理由. 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转.如图2，两岸所在直线 AB与CD平行，即AB∥CD,P灯射出的光线PE从CP开始以3°/秒顺时针旋转，Q灯射出的光线QF从 34/74 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 BQ开始1°/秒顺时针旋转，设时间为t,若射线PE顺时针旋转180°后停止，是否存在某一时刻，射线PE与 QF垂直？若存在，请你求出时间t的值，若不存在，请说明理由， 【拓展提升】零点时刻，CD口岸熄灯，AB岸边G灯和Q灯同时亮起.此时，LAGH=80°，∠BQF=40°， G灯和？灯发出的光线GH和QF分别绕着点G和点Q以1°1秒和5°/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t, 在射线QF转动一周的时间内，是否存在GH和QF平行？若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】【知识回顾】：平行，理由见解析；【问题推广】：存在，1=45；【拓展提升】存在，10或55 【详解】解：【知识回顾】AB∥CD,理由如下： ∠1=∠2，∠1=∠FED, ·∠FED=∠2， :AB∥CD; 【问题推广】解：设射线PE、QF交点为G,过点G作GH∥AB, GH∥AB,AB∥CD, 图2 GHI ABIICD, ·∠BQG=∠QGH=t°，∠CPG+∠HGP=180°， ·∠HGP=180°-∠CPG=(180-3t°， PE⊥QF, ∠QGP=∠QGH+∠HGP=180°-2t=90°， 解得：1=45； 【拓展提升】①当射线GH,OF在直线AB不同侧时， :∠AGH=80°+°，∠BQF=40°+5t, ∠HG0=180°-(80°+1°)=100°-1°，∠FQG=180°-(40°+5t)=140°-51， :GH∥QF, :∠HGQ=∠FQG, 100°-t°=140°-51， 解得：t=10: 35/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②当射线GH,QF在直线AB同侧时， :∠AGH=80+1°，∠BQF=360°-(40°+51)=320°-51， ∠HGQ=180°-80°+1）=100°-1°， GH∥QF, ∠HGQ=∠BQF, ÷100°-t°=320°-51， 解得：t=55; 综上所述：t的值为10或55. 20(24-25七下·江西吉安泰和县期末)已知直线AB直线CD,△EFG的顶点E、G分别在直线AB、CD上， 己知∠FEG=90°，∠EFG=60°，∠EGD的平分线GM交直线AB于H. M M B G U 图1 图2 (I)如图1，当∠HEG=∠HGE时，求LFGC的度数； (2)如图2，在(1)的条件下，线段EF以14°/秒的速度绕点E逆时针方向旋转，同时线段EG上有一点K, GK以6°/秒的速度绕点G顺时针方向旋转，EF旋转到射线EA上时，EF、KG都停止旋转.设旋转时间 为t秒，在旋转过程中形成的∠AEF、∠KGD的平分线EN、GM平行时，请直接写出t的值. 【答案】(1)30° ②)当t=4.5或1=22.5时，EN∥GM 【详解】(I)解：：∠EGD的平分线GM交直线AB于H, ∠HGE=LHGD, :AB∥CD, 36/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠HEG+∠EGD=180°， :∠HEG=∠HGE, 3∠HGD=180°， .∠HGE=∠HGD=60°， :∠FEG=90°，∠EFG=60°， ∠FGE=30°， :∠FGC=180°-30°-2×60°=30°； (2)解：如图，由(1)得：∠HEG=60°，∠FEG=90°，∠EGD=120°， ∠AEF'=30°， E ↓K B H F'< M C D 由旋转可得：LAEF=30°+141，∠EGK=6t, ∠KGD=120°-61， :EN平分∠AEF,GM平分∠KGD, ∠AEN=∠NEF=15°+7°1，∠KGM=∠MGD=60°-3t, 记EN,CD的交点为P, :AB∥CD, .∠EPG=∠AEN=15°+71， 当EN∥GM时， .∠EPG=∠MGD, .15+71=60-31, 解得：t=4.5; 如图，同理可得：∠AEF=360°-(30°+14t=330°-141， ∠DGK=61-120°， ÷∠AEN=∠NEF=165°-7°1，∠KGM=∠MGD=31-60°， 37/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 NF H B G 记EN,CD的交点为P, AB∥CD, :∠EPG=LAEN=165°-7t, 当EN∥GM时， ∠EPG=∠MGD, 165-71=31-60, 解得：t=22.5; 综上：当t=4.5或t=22.5时，EN∥GM. 21.(24-25七下江西景德镇乐平期末)已知，直线AB∥CD,点P为平面上一点，连接AP与CP. B 图1 图2 图3 (1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC的度数 (2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间 的数量关系，并说明理由。 (3)如图3，点P落在CD下方，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,请直接写出∠AKC与∠APC的数 量关系 【答案】(1)80 (②)2LAKC=∠APC,见解析 (3)2∠AKC=∠APC 【详解】(1)解：如图1，过P作PE∥AB, B AB CD, 图1 38/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :PE∥AB∥CD, ∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP, :∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°； (2)解：2∠AKC=∠APC,理由如下： 如图2，过K作KE∥AB, B K<-Ep FAB‖CD, D 图2 :KE∥AB∥CD, ∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK, ∠AKC=LAKE+LCKE=LBAK+∠DCK, 过P作PF∥AB, :AB I CD, ∴.PF I AB‖CD, :∠APF=∠BAP,∠CPF=∠DCP, :∠APC=∠APF+∠CPF=LBAP+∠DCP, ∠APC=LBAP+LDCP, :∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K, ∠BK+∠DcK=BP+DCP∠BP+∠DCm=APc. 2 ·2LAKC=LAPC; (3)2∠AKC=∠APC.理由如下： 如图3，过K作KE∥AB, ---F 图3 :AB∥CD, .KE Il ABII CD, ∠BAK=∠AKE,LDCK=LCKE, 39/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :LAKC=LAKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK, 过P作PF∥AB, :ABI CD, .PF‖ABII CD, ∠APF=∠BAP,∠CPF=∠DCP, ∠APC=∠APF-∠CPF=LBAP-∠DCP, .∠APC=∠BAP-∠DCP, :∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K, ∠BK=BP,DCK=DCP. ∠BK-∠DcK-B4P-DcP-<aP-∠DCP-4PC ·2LAKC=∠APC. 22.(2425七下·江西吉安青原区期末)动点探究题 (I)如图一，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°度，求∠APC的度数.小明的思路是过点P做 PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数，请你按小明的思路求∠APC的度数. (2)问题迁移：如图二，AB∥CD,点P在直线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B.求当点P在B、D 两点之间运动时，问∠APC与α和B之间有何数量关系，请说明理由. (3)如图3，AB∥CD,DK平分∠PDE,PA垂直于AG,AK平分∠GAB.请直接写出∠P与∠K的数量 关系 M D E D A B B E B D 图1 图2 图3 【答案】(1)110° (2)∠APC=a+B (3)∠DPA=2∠AKB+90□ 【详解】(1)解：过点P做PE∥AB,, 40/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :AB∥CD, :AB∥CD∥PE, ∠BAP+∠APE=180°，∠DCP+∠CPE=180°， ∠BAP+∠APE+∠DCP+∠CPE=360°， 即∠BAP+∠APC+∠DCP=360°， ∠BAP=130°，∠DCP=120°， ∠APC=360°-130°-120°=110°； 故答案为：110°. (2)∠APC=a+B 如图，过点P做PE∥AB, AB∥CD /PE :∠CPE=LPCD,∠EPA=∠PAB, :∠APC=∠CPE+∠EPA=∠PCD+∠PAB, :∠PAB=a,LPCD=B ∴.∠APC=a+β M D E------ D A B 10 (3)∠DPA=2∠AKD+90° 过点P做PM∥AB,过点K做KN∥AB, 则PM∥AB∥KN∥CD, ∠DPM=∠PDE,∠MPA=∠PAB,∠NKD=∠KDE,∠NKA=∠BAK, ∴.∠DPA=∠DPM+∠MPA=∠PDE+∠PAB, :DK平分∠PDE,PA垂直于AG,AK平分∠GAB, ∠PDE=2∠KDE,∠PAG=90°，∠BAG=2∠KAB,∠PAB=90☐-2∠KAB, ∠DPA=∠PDE+∠PAB=2∠KDE+90-2∠KAB, =90G2(∠KDE-∠NKA) 41/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 =90G2(∠NKD-∠NKA)=90°+2∠AKD .∠DPA=2∠AKD+90▣. D E M B G N-- 图3 23.(2425七下·江西九江浔阳区九江外国语学校期末)已知直线MN∥PQ,点A在直线MN上，点B、C为 平面内两点，AC⊥BC于点C. M M B D P -0 B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，CB交PQ于点D,则∠CAB和LCDP之间的数 量关系是 (2)如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与P9之间时，过点B作BD⊥AB交直线P9 于点D,说明∠ABC与∠BDP的数量关系； (3)如图3，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PO于点 D,作∠ABD的平分线交直线MN于点E,当∠BDP=2∠BEN时，求出∠ABC的度数. 【答案】(I)LCAB+∠CDP=90° (2)LABC=∠BDP,理由见详解 (3)LABC=30° 【详解】(1)解：AC⊥BC, :LCAB+∠CBA=90°， MN∥PQ, ∠CBA=∠CDP, :∠CAB+∠CDP=90°， 42/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：LCAB+LCDP=90°； (2)解：∠ABC=∠BDP,理由如下： 过点B作BF∥MN, -N -----------F :BF∥MN,MW∥PQ, D BF∥PQ, ∠NCB+∠CBF=I80°，∠FBD=∠BDP, AC⊥BC, ∠CBF=180°-90°=90°， ∠ABC+∠ABF=90°， BD⊥AB, LABF+∠DBF=90°， ∠ABC=LFBD, .∠ABC=∠BDP, (3)解：过点B作GH∥MN, M E C AN D :GH∥MN,MN∥PQ, Q Q B :GH∥PQ, :AB⊥BD, ∴.∠ABD=90°， :BE平分∠ABD, ∠ABE=∠DBE=45°， 设LBEN=x,则∠BDP=2x, :GH∥MN, ∴.∠BEN=∠EBG=x, :GH∥PQ, 43/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠DBG=180°-∠BDP=180°-2x, ∠DBE=∠EBG-∠DBG=x-(180°-2x=45°， 解得：x=75°， ∠DBG=180°-2×75°=30° ∠ABH+∠ABD+∠DBG=180°， ∠ABH=180°-90°-30°=60°， :AC⊥BC, ∠ACB=90°， :GH∥MN, :CBH=180°-90°=90°， :∠ABC=∠CBH-∠ABH=30 ∠ABC=30°. 24.(24-25七下江西吉安峡江县期末)如图1，AB‖CD,∠PAB=125°，∠PCD=115°，求∠APC的度数. m m n M-------- b b a- D B D B 图1 图2 备用图 备用图 小明的思路是：过P作PMAB,通过平行线性质来求∠APC. (I)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度； (2)如图2，ABCD,点P在直线a上运动，记∠PAB=a,∠PCD=B,当点P在B、D两点之间运动时， 问∠APC与a、B之间有何数量关系？请说明理由： (3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC 与a、B之间的数量关系 【答案】(1)120 (2)∠APC=∠a+∠p (3)当P在BD延长线时，∠APC=∠a∠B:当P在DB延长线时，∠APC=∠B-∠a 【详解】(1)解：如图1，过P作PMAB, .∠APM什∠PAB=180°， 44/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠APM=180°-125°=55°， ABICD, ∴.PMCD, .∠CPM什∠PCD=180°， ∠CPM=180°-115°=65°， .∠APC=55°+65°=120°： 故答案为：120； (2)如图2，∠APC=∠+∠f,理由如下： 过P作PELAB交AC于E, m n E A B b B D 图2 ABIICD, :ABIIPEICD, ∠a=∠APE,∠B=∠CPE, .∠APC=∠APE+∠CPE=∠at∠p: (3)如图3，当P在BD延长线时，∠APC-∠a-∠B:理由： 过P作PEAB, ABIICD, .ABPECD, ∴∠a=∠APE,∠B∠CPE, ∠APC=∠APE-∠CPE=∠a-∠p; 45/74 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 m n E A B 1 a B D P 图3 如图4，当P在DB延长线时，∠APC-∠B∠a;理由： 过P作PEAB, m n C A B b E a P B D 图4 ABIICD, ∴ABIIPECD, ∴∠a=∠APE,∠B=∠CPE, ∴.∠APC=∠CPE-∠APE=∠B-∠a 目目 考点04 三角板相关相交线与平行线综合题 25.(2425七下·江西萍乡期末)已知直线α∥b,嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究， D a M- -b 图1 图2 图3 (1)如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线b上.若α=40°，则∠B的度数为 (②)将含60°角的直角三角板ABC(LACB=60)如图2所示摆放，当BA平分∠MBC时，CA一定平分∠BCN 吗？请做出判断，并说明理由； 46/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含60°角的直角三角板 ABC(∠ACB=60)的直角顶点与45°角的顶点重合于点A,直角三角板ABC的斜边BC在直线b上，含45 角的直角三角板的另一个顶点D在直线Q上，求∠y的度数. 【答案】(1)130° (②)平分，理由见解析 (3)15 【详解】(1)解：如图， B B 6 A 由题意得：∠BAC=90°， ∠=40°， ∠1=180°-∠BAC-∠=50°， .al川b, ∴.∠1+∠β=180°， ∴.∠B=180°-∠1=130°， 故答案为：130°； (2)解：CA一定平分∠BCN, 理由：：∠ACB=60°，∠A=90°， ∠ABC=30°， :BA平分∠MBC, ∠1=∠ABC=30°. .allb, .∠BCN+∠MBC=180°， ∠2=180°-2×30°-60°=60°， .∠2=LACB, CA平分LBCN; (3)解：如图，延长DE交BC于点F, 47/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 2 h B F ∠DEA=∠CAB=90°， DF∥AC, ∠DFB=∠ACB=60°， :DP∥BC, ∴∠PDF=∠DFB=60°， .∠ADE=45°， :∠y=∠PDF-∠ADE=15° 26.(24-25七下·江西赣州安远县期末)以直线AB上一点0为端点作射线0C,将一块直角三角板的直角顶 点放在0处（注：∠D0E=90°）. E D B B 图① 图② 图③ (I)如图①，若直角三角板D0E的一边0D放在射线OB上，且LB0C=60°，求LCOE的度数； (2)如图②，将直角三角板DOE绕O逆时针转动到某个位置时，若OD在∠AOC的内部且恰好满足 5LC0D=∠A0E,且∠BOC=60度，求∠C0E的度数； (3)如图③，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠A0C,请说明0D所 在射线是∠BOC的平分线. 【答案】(1)30° (2)95 (3)理由见解析 【详解】(1)解：：∠D0E=90°，∠B0C=60°， LC0E=∠D0E-LB0C=90°-60°=30°： (2)解：设LC0D=x,则∠A0E=5x, :∠A0E+∠D0E+∠B0D=180°， 5x+90°+x+60°=180°， 48/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得x=5°， 即∠C0D=5°， ∠C0E=∠E0D+∠C0D=90°+5°=95°； (3)解：LA0E+∠D0E+∠B0D=180°，∠D0E=90°， ∠A0E+LB0D=90°， :OE平分∠AOC, :∠AOE=∠COE, 又：∠D0E=∠C0E+∠C0D=90°， ∠B0D=∠C0D, 即OD所在射线是∠BOC的平分线 27.(24-25七下江西景德镇乐平.期末)如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线0C,使L40C=60°. 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方. 图① 图② 图③ (I)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边OM在∠B0C的内部，且恰好平分∠B0C, 求∠CON的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与LN0C之 间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好 平分锐角∠AOC,则t的值为 【答案】（①）150° (2)LA0M-∠N0C-30° (3)12或30 【详解】(1)解：：∠A0C=60°， :∠B0C=180°-∠A0C=180°-60°=120°， OM恰好平分∠BOC, 49/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 ∴.∠COM=5∠BOC=二×120°=60°， 2 :∠C0N=∠C0M+∠M0N=60°+90°=150°； (2)解：∠A0N=∠M0N-∠A0M=90°-∠A0M, ∠A0N=∠A0C-∠N0C=60°-∠N0C, 90°-∠A0M=60°-∠N0C, LA0M-∠N0C=90°-60°=30°： (3)解：分两种情况讨论： ①如图1，当ON平分∠AOC时， B∠AON=1∠AOC=× ×60°=30°， 图① .0N旋转的角度是：90°+30°=120°， 101=120, 1=12: ②如图2，当ON的反向延长线0F平分∠AOC时， ∠40C=x ∠A0F=2 ×60°=30°， B 图2 .∠B0N=∠A0F=30°， 0N旋转的角度是：90°+30°+180°=300°， 101=300, 1=30； 综上，t的值为12或30， 故答案为：12或30 28.(2425七下江西吉安遂川县期末)如图1，把一副三角板拼在一起，边OA,0C与直线EF重合，其中 50/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0B=45°，∠C0D=60°. 0】 图1 图2 (1)求图1中∠BOD的度数： (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB 一直在∠EOD的内部，设∠EOA=a. ①若OB平分LEOD,求； ②若LA0C=4LB0D,求a. 【答案】(1)75°： (2)①15°；②40°. 【详解】(1)解：：∠A0B=45°，∠C0D=60°， ∴.∠B0D=180°-∠AOB-∠COD=180°-45°-60°=75°； (2)解：①∠C0D=60°， ∴.∠E0D=180°-∠COD=180°-60°-120°， :OB平分∠EOD, ∠EOB= 6∠E0D=7×120°=60° 2 :∠A0B=45°， ∴a=∠E0B-LA0B=60°-45°=15°： ②：∠A0B=45°，∠C0D=60°. ∴.∠AOC∠AOB+∠BOD+∠COD=45+∠BOD+60°=105+∠BOD, :∠A0C=4∠B0D, 105°+∠B0D=4∠B0D, 解得：∠BOD=35°， ∠A0C=4∠B0D=4×35°=140°， .a=180°-∠A0C=180°-140°=40°. 【点晴】本题考查三角板中形成的角计算，平角，补角，角平分线有关的计算，角的和差倍分，一元一次 方程，本题难度不大，是角中计算的典型题 51/74 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.(24-25七下·江西赣州宁都县期末)己知∠A0C和∠B0C是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板 的直角顶点放在点0处（注：∠DOE=90°，∠DE0=30°）· (1)如图1，使三角板的短直角边0D与射线OB重合，则LC0E=-· A O D B 图1 (2)将三角板DOE如图2放置，长直角边OE恰好平分∠AOC,请说明OD所在射线是∠BOC的平分线. E 0 B 图2 (3)将三角板D0E如图3放置，使∠COD=∠AOE时，求∠B0D的度数. 4 E 0 B 图3 (4)拓展：将图1中的三角板绕点0以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时， OE恰好与直线OC重合，求t的值，（注：“旋转一周”是指三角板DOE在这个平面内绕着这个平面内的点 0转动一周.) 52/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0 B 备用图 【答案】(1)40°；(2)见解析；(3)58；(4)28或64 【详解】解：(1)由图可知，∠COE=∠DOE-∠COB=90°-50°=40°， 故答案为40°； (2):0E平分∠A0C, :∠COE=∠A0E=∠COA, :∠E0D=90°， :∠A0E+∠D0B=90°，∠COE+∠COD=90°， :∠C0D=∠D0B, :OD所在射线是∠BOC的平分线： (3)设∠C0D=x°，则∠A0E=4x°， :LD0E=90°，∠B0C=50°， .5x=40, x=8, 即∠C0D=8 :∠B0D=58 (4)如图，分两种情况： 在一周之内，当OE与射线0C的反向延长线重合时，三角板绕点0旋转了140°， 51=140, t=28: 当OE与射线0C重合时，三角板绕点0旋转了320°， 5t=320, 1=64, 53/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以当1=28秒或64秒时，OE与直线0C重合 综上所述，t的值为28或64. C E D B E 30.(24-25七下江西萍乡期末)小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线AB上一点，将一直角 三角板的直角顶点放在点O处，∠COD是直角，OE平分钝角∠BOC. B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠A0C=40°，求∠D0E的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD,求∠E0F的度数； (3)当LA0C=40°时，∠C0D绕点O以每秒5°沿逆时针方向旋转t秒(0<1<36)，请探究∠A0C和 ∠D0E之间的数量关系. 【答案】(1)20° (2)LE0F-45° (3)∠A0C=2∠D0E或∠A0C+2∠D0E=360 【详解】(1)解：：∠A0C=40°， :∠B0C=180°-∠A0C=140°， :∠COD是直角， LC0D=90°， ∠B0D=∠B0C-∠C0D=140°-90°=50°， :OE平分∠BOC, 1 ∴∠BOE=5∠BOC=70°， 2 ∠D0E=∠B0E-∠B0D=70°-50°=20°； (2)解：：OE平分∠BOC,OF平分∠BOD, 54/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠BOE=1∠BOC,∠BOF=1∠BOD, .∠EOF=∠BOE-∠BOF= ∠B0c-∠B0D=2∠COD, 1 2 :∠C0D=90°， .∠E0F=45°： (3)解：①0<t≤8时，由题意得LA0C=(40-51)°， E D A B .∠DOE=∠COD-∠C0E =90-2[180°-(40-50] 0. .∠AOC=2∠D0E: ②8<t<36时， D E 由题意得∠A0C=(51-40)°， ·.LDOE=∠COD+LCOE 90+Ls0-51-40 =200° ∠A0C+2LD0E=360° 31.(24-25七下·江西赣州兴国县期末)如图，直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点G、H, ∠EHD=a(0°<a<90°)，小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线 AB、CD上，∠P=90°，∠PMN=45°. 55/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M 图1 图2 备用图 (I)若∠PNB=20°，则∠PMD= (2)若PM∥EF,射线NO在∠MNG内交直线CD于点O,如图②.当N、M分别在点G、H的右侧，且 ∠GNO:∠MWO=3:2,PM‖NO时，求a的度数； (3)小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF,射线NO平分∠MNG,点N、M分别在直线 AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）， 【答案】(1)70° (2)67.5° 8)22.5°+a或67.5°-1a 2 2 【详解】(1)过点P作直线JK∥AB,如图， :AB∥CD, .ABII KJ CD, ∠PNB=∠NPJ,∠PMD=∠JPM, .∠PNB+∠PMD=∠NPJ+∠JPM=∠NPM=90°， :∠PNB=20°， ∠PMD=70°， 故答案为：70°； (2)延长PN交EF于点K,如图， 56/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :EF∥PM,PM∥NO, EF∥PM∥NO, :∠GHM=∠NOM,∠PMN=∠MNO, ∠PMN=45°， ∠PMN=∠MN0=45°， :∠GN0:∠MN0=3:2, 3 ·∠GWO= >NO53×45o=67.5o :AB∥CD, ∴∠GN0=∠N0M,∠GHM=∠GN0=67.5°， .a=67.5°； (3)①当N,M分别在点G,H的右侧，如图， A :PM∥EF, .∠EHM=∠PMD=a, :∠PMN=45°， .∠NMD=45°+a, :AB∥CD, ∠ANM=∠NMD=45°+a, :射线N0平分∠MWG, :∠MON=∠ANO=∠MNO= ∠ANM=22.5° 1 2 2a ②当点N,M分别在点G,H的左侧，如图， 57/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :PM∥EF, LEHD=∠PMD=a, :∠PMN=45°， .∠NMD=45°+a, :AB∥CD, ∠MNB=180°-∠NMD=135°-a, :射线N0平分∠MNG, :∠MNO=∠BNO=I∠MNB. :∠MON=∠BNO=∠MB=67.5°-a, 2 综上所述，∠MON=22.5°+5a或∠M0N=67.5°-a 1 、 32.(2425七下江西宜春丰城期末)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O 处，并在∠MON内部作射线OC. (1)将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB,且∠BON=2∠NOC,求∠AOM的度数； (2)若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB,试猜想∠AOM与∠NOC之间的数 量关系，并说明理由 【答案】(1)∠AOM=45°；(2)∠AOM=2∠NOC.理由见解析. 【详解】解：(1)∠BON=2∠NOC,0C平分∠M0B, :∠MOC=∠B0C=3∠N0C, ,∠MOC+∠NOC=∠MON=90°， ∴.3∠N0C+∠N0C=90°， 4∠N0C=90°， 58/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ,.∠B0N=2∠N0C=45°， :∠A0M=180°-∠M0N-∠B0N=180°-90°-45°=45°； (2)∠A0M=2∠N0C. 令∠N0C为a,∠AOM为B,∠M0C=90°-a, :∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°， :B+90°-a+90°-a=180°， B-2a=0,即B=2a, :∠A0M=2∠N0C. 目目 考点05 角平方线相关相交线与平行线综合题 33.(24-25七下·江西抚州金溪县金溪县锦绣中学期末)小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她 提出的问题： (I)如图I所示，已知AB∥CD,点E为AB,CD之间一点，连接BE,DE得到∠BED.请猜想∠BED 与∠B,∠D之间的数量关系，并证明； (2)如图2所示，己知AB∥CD,点E为AB、CD之间一点，∠ABE和LCDE的平分线相交于点F,若 ∠E=80°，求∠F的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，己知：AB∥CD,点E的位置 移到AB上方，点F在EB延长线上，且BG平分∠ABF,与LCDE的平分线DG相交于点G,请直接写出 ∠G与∠E之间的数量关系； ☒2 【答案】(1)∠BED=∠D+∠B,证明见解析；(2)140°；【类比迁移】∠BED+180°=2LBGD 【详解】解.(1)猜想：∠BED=∠D+∠B, 证明：过E点作EF∥AB, A 图1 :AB∥CD, AB∥CD∥EF, 59/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF, ∠BED=∠D+∠B: (2)如图2，作EG∥AB,FH∥AB, A B G-- E--H D 图2 :AB∥CD, :EG∥AB∥FH∥CD, ∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=I80°，∠GED+∠CDE=180°， :∠ABE+∠BEG+∠GED+LCDE=360°， :∠BED=∠BEG+∠DEG=80°， .∠ABE+∠CDE=280°， :∠ABE和LCDE的平分线相交于F, 六∠ABF=2∠ABE,∠CDF=)∠CDE, :∠ABF+∠CDF=2 (∠ABE+∠CDE)=140°， .∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°： 类比迁移： ∠BED+180°=2∠BGD,理由如下： 如图3，过E作EM∥AB,过G作GN∥AB, :AB∥CD, ABI‖EMI‖GNI‖CD, A D 图3 ∠MEF=LABF,∠CDE=I8O-∠DEM,∠BGD=∠ABG+∠CDG, :BG平分∠ABF与LCDE的平分线DG相交于点G, 8∠A8G=4B,<nc 2/CDE, 60/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ZBGD-∠ABF+∠CDES :∠BED=∠MEF-∠MED=∠ABF-I80°-∠CDE)=∠ABF+∠CDE-180°=2LBGD-180°， .∠BED+180°=2∠BGD 故答案为：∠BED+180°=2LBGD 34.(24-25七下·江西赣州赣县区期末)课本再现： 般地，平行线具有性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 ---_D B B D 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，己知点A是BC外一点，连接AB,AC,求∠BAC+∠B+∠C的度数.李华通过做 辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题. (②)【方法运用】如图2，已知AB‖ED,试说明∠B,∠BCD,∠D之间的关系，并证明， (3)【解决问题】如图3，己知AB川CD,点C在点D的右侧，∠ADC=68°，点B在点A的左侧， LABC=52°，BE平分∠ABC,DE平分LADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平 行线之间，求∠BED的度数. 【答案】(1)180°： (2)360°； 3)60°. 【详解】(1)解：如下图所示，过点A作DE‖BC, E.. D .∠B=∠EAB,LC=LDAC, B :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ·LB+∠BAC+∠C=I80°： 61/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：∠B+∠BCD+∠D=360°， 证明：如下图所示，过点C作CF II AB, A B CFAB‖ED, D .ABI ED I CF, ∠B=∠BCF,∠D=∠DCF, :∠B+∠BCD+∠D=∠BCF+LBCD+∠DCF=360°， .∠B+∠BCD+∠D=360°： (3)解：如下图所示，过点E作EF‖AB, A AB‖CD, D .ABICD‖EF, ∠ABE=∠BEF,LCDE=LDEF, :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=52°，∠ADC=68, ∠ABE=)∠ABC=26°，ZCDE=,∠ADC=349) :∠BEF=∠ABE=26°，∠DEF=∠CDE=34°， ∠BED=LBEF+∠DEF=26°+34°=60° 35.(24-25七下·江西吉安遂川县期末)已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B. ()如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系. B A M 0 N (②)如图，过点B作BD⊥AM于点D,求证：∠ABD=∠C. 62/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D M ⊙ N (3)如图，在(2)问的条件下，点E,F在DM上，连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, 若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3LDBE,求LEBC的度数. EA D F M 心 N C 【答案】(1)LA+LC=90 (2)证明见解析 (3)105 【详解】(1)如图1， B M N 图1 AM //CN, .∠C=LAOB, AB⊥BC, ∠ABC=90°， ∠A+∠A0B=90°，∠A+∠C=90°， 63/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：∠A+LC=90°： (2)如图2，过点B作BG/1DM, A u B G 图2 :BD⊥AM, DB⊥BG, ∠DBG=90°， .∠ABD+∠ABG=90°， :AB⊥BC, ∠CBG+∠ABG=90°， .∠ABD=∠CBG, AM //BG, ∴.LC=LCBG,LABD=∠C. (3)如图3，过点B作BGI1DM, D EA F M -G 图3 :BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, ∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE, 由(2)知∠ABD=∠CBG, LABF=∠GBF,设DBE=Q,∠ABF=B, 则LABE=,LABD=2a=LCBG,∠GBF=∠AFB=B, ∠BFC=3LDBE=3a, .ZAFC=3a +B 64/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :LAFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， :.∠FCB=∠AFC=3a+B, BCF中，由LCBF+∠BFC+∠BCF=I80°得 2a+B+3a+3a+β=180°， :AB⊥BC, .B+B+2a=90°， a=15°， ∠ABE=15°， ∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 36.(24-25七下·江西赣州会昌县期末)如已知直线AB,CD被直线MN所截 (I)如图①，EG平分∠MEB,FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足 时， AB∥CD; M G E A H D N 图① (2)如图②，EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足 时， AB∥CD; A G H 图② (3)【拓展设问】如图③，EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠I与∠2满足什 么条件时，AB∥CD?为什么？ M E H G D 图③ 【答案】(1)∠1=∠2 (2)∠1=∠2 65/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)∠1+∠2=90°见解析 【详解】(1)解：∠1=∠2. ∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB‖CD, 理由如下： :EG平分∠MEB,FH平分∠DFE, ∠BEM=2∠1，∠DFE=2∠2， ∠1=∠2， .∠BEM=∠DFE, .AB‖CD; (2)解：∠1=∠2 ∠1与∠2满足∠1=∠2时，ABII CD, 理由如下： :EG平分∠AEF,FH平分∠DFE, ∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2， ∠1=∠2， .∠AEF=∠DFE, ∴.ABII CD. (3)解：∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时，AB∥CD. 理由如下： :EG平分∠BEF,FH平分∠DFE, .∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2. :∠1+∠2=90°， :∠BEF+∠DFE=2∠1+∠2=2×90°=180°， AB∥CD. 37.(24-25七下·江西新余第四中学期末)如图，已知直线l∥12，点A、B在直线4上，点C、D在直线Z上， 点C在点D的右侧，∠ADC=80°，∠ABC=n°，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,直线BE、DE交于点E. 66/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)写出LEDC的度数 (2)试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的 代数式表示) 【答案】(1)40° (2)∠BED=5n°+40 2 ③∠B6D的度数为20-0°或r0-40 【详解】(1)解：：DE平分∠ADC,ADC=80°， :∠BDc=4nc=40 故答案为：40°； (2)如图，过点E作EF∥AB, :AB∥CD, AB∥CD∥EF, ∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF, :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°，∠ADC=80°， ∠4E=48c:,<cDE-Dc=0, :∠BED=∠BEF+∠DEF= 2n°+40e: (3)过点E作EF∥AB,点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， 67/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A B 1 F :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°，∠ADC=80°， .ABE-ABC CDE-ADC 1 2 AB∥CD, AB∥CD∥EF, ÷∠BEF=180°-∠ABE=180°-1 n°，∠CDE=∠DEF=40°， 2 ∠BED=∠BEF+∠DEF=180-MP+40°=220°-n°： 2 若点E在上方，如图， E D 12 同，∠Br-号ABc=r,∠DEr=3ac=40e, 2 则∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40 若点E在马下方，如图， AB -l2 同，∠Bar-号ABc-,DEr-ADc=40 则∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°， 68/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，∠BED度数为220°-二n°或二n°-40° 2 38.(24-25七下江西抚州期末)已知，ABICD.点M在AB上，点N在CD上. (1)如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：一；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明） (2)如图3中，NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°，求∠FME的度数； (3)如图4中，∠BME=6O°，EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQIINP,则∠FEQ的大小是否发生变 化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数 9 M D C -D C 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)∠BME=∠MEN-∠END:∠BMF=∠MFN+∠FND:(2)120°；(3)不变，30° 【详解】解：(1)过E作EHIAB,如图1， M A H----->E C D 图1 ∴.∠BME=∠MEH, ABICD, .HECD, .∠END=∠HEN, ∴.∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END, 即∠BME=∠MEN-∠END. 如图2，过F作FHAB, .∠BMF=∠MFK, ABICD, .FHCD, .∠FND=∠KFN, ∴.∠MFN=∠MFK-∠KFN=∠BMF-∠FND, 69/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 即：∠BMF=∠MFN+∠FND. B D 图2 故答案为∠BME=∠MEN-∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. (2)由(I)得∠BME=∠MEN-∠END:∠BMF=∠MFN+∠FND. :NE平分∠FND,MB平分∠FME, :∠FME=∠BME+∠BMF,∠FEND=∠FNE+∠END, :2∠MEN+∠MFN=180°， ∴.2（∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=18O°， ∴.2∠BME+2∠END+∠BMF-∠FND=180°， 即2∠BMF+∠FND+∠BMF-∠FND=180°， 解得∠BMF=60°， ∴.∠FME=2∠BMF=120°： (3)∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ=30°. 由(1)知：∠MEN=∠BME+∠END, :EF平分∠MEN,NP平分∠END, ∠PEN=号∠MEN=号（∠BE+∠END),∠EP=S∠END, EOllNP, ∴.∠NEQ=∠ENP, ∴∠FEO=∠FEN·∠NEQ=;(∠BME+∠END)·3∠ED=;∠BE, :∠BME=60°， ∠FE0=3×60=30, 【点晴】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键。 39.(24-25七下·江西上饶万年县期末)如图1，己知两条直线AB,CD被直线MN所截，交点分别为 M,N,MP交CD于点P,且AB∥CD,∠PMN=∠MPN. 70/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M O N 图1 图2 图3 (I)判断MP是否平分∠AMN,并说明理由. (2)如图2，点E是射线PD上一动点（不与点P,N重合），MF平分∠EMN交CD于点F,过点F作 FQ∥MP交AB于Q, ①当点E在线段PN上时，若∠MFQ=40°，求∠MEN的度数； ②当点E在运动过程中，设∠MEN=a,∠MFQ=B,a和B之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说 明理由， 【答案】()MP平分∠AMN,理由见解析 (2)①80°，②a=2B或a+2B=180° 【详解】(1)解：MP平分∠AMN,理由如下： :AB∥CD, ∠AMP=∠MPN, :∠PMN=∠MPN, ∴∠PMN=LAMP,即MP平分∠AMN; (2)解：①.FQ∥MP,∠MFQ=40°， .∠PMF=∠MFQ=40°， 设∠EMN=x, :MF平分∠EMN, &∠EMF=∠NMF=2, :∠PME=∠PMF-∠EMF=40°-x,∠PMN=∠PMF+∠NMF=40+ 2 t, 1 由(1)可得：∠PMN=∠AMP=40°+二x, 2 +400- 1 ∠AME=∠AMP+∠PMN=40°+ 2 x=80°： :AB∥CD, ∠MEN=∠AME=80°； ②情况一：当点E在线段PN上时， 71/74 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :FQ∥MP,∠MFQ=B, .∠PMF=∠MFQ=B, 设∠EMN=x, :MF平分∠EMN, :∠EMF=∠NMF=2x, 1 ∠PME=∠PNF-∠EF=R-,∠PN=∠PwF+∠NWF=B+, 由(I)可得：∠PMN=∠AMP=B+2x, 1 ∠AME=∠AMP+∠PMN=B+2x+B-2x=2B: :AB∥CD,∠MEN=a, :∠MEN=∠AME=a=2B,即a=2B: 情况二：当点E在PN延长线上时， :FQ∥MP,∠MFQ=B, ∴.∠PMF=∠MFQ=B, 设∠EMN=x, :MF平分∠EMN, .∠EMF=∠NMF=三x, :∠PME=∠PMF+∠EMF=B+x,∠PMN=∠PMF-∠NMF=B-}x x, 由(I)可得：∠PMN=∠AMP=B-x X, 2 1 ∠AME=∠AMP+∠PMN=B+5x+B-5x=2B9 :AB∥CD,∠MEN=a, ∠MEN+∠AME=a+2B=180°，即a+2B=180°. M 0 B D FE 40.(2425七下·江西鹰潭月湖区·期末)如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不与点A 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,交射线AM于点C,D. 72/74 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求LCBD的度数. (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出 变化规律。 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数. 【答案】(1)60 (2)不变，2：1 3)30° 【详解】(1)解：AM‖BN, .∠ABN+∠A=180°， ∠ABN=180°-∠A=120°， ∠ABP+∠PBN=120°. :BC平分∠ABP,BD平分∠PBN, LABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP, 2∠CBP+2∠DBP=120°， ∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°. (2)不变，LAPB:LADB=2:1. 证明：：AM IBN, :∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN, :BD平分∠PBN, :∠PBN=2∠DBN, ∠APB:∠ADB=2:I, (3)解：AM|BN, ∠ACB=∠CBN, 当∠ACB=∠ABD时，∠CBN=∠ABD, :∠CBD+∠DBN=∠ABC+∠CBD, .∠DBN=∠ABC. 73/74 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可知，∠ABN=120°，LCBD=60°， ∠ABC+∠DBN=60°， ∠ABC=30°. 74/74 专题04 相交线与平行线相关压轴题 4大高频考点概览 考点01 相交线与平行线相关综合题 考点02 旋转相关相交线与平行线综合题 考点03 探究角度的数量关系 考点04 三角板相关相交线与平行线综合题 考点05 角平方线相关相交线与平行线综合题 ( 地 城 考点01 相交线 与平行线相关综合题 )1．(24-25七下·江西九江浔阳区九江外国语学校·期末)如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·江西赣州经开区·期末)如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 3．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4(24-25七下·江西上饶部分学校·期末)如图，，平分，，，．则下列结论：①，②平分，③，④．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．(24-25七下·江西赣州大余县·期末)如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．(23-24七下·广西柳州柳江区·期末)将一个直角三角板放在如图的两条平行线上，其中三角板的直角顶点A在直线上，则下列结论①，②，③中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（    ）．      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．(24-25七下·江西上饶·期末)如图，已知，点P为平面内一点，过点P作射线与相交于点F，与相交于点E． (1)如图1，当点P在直线之间区域内时，若，，求的度数； (2)分别在的内部作射线交于点G，使得，（，且n为整数）． ①如图2，当点P在直线之间区域内时，与交于点H，若，，求的度数； ②如图3，当点P在直线上方时，请直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）． 10．(24-25七下·江西上饶二中教联体·期末)综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．    探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当时，．请说明理由． (2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． (4)点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 11．(24-25七下·江西九江第十一中学·期末)如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 12．(24-25七下·江西南昌凤凰城上海外国语学校·期末)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 13．(24-25七下·江西南昌·期末)已知直线，点分别在直线上．    (1)如图①，当点在直线之间时，连接．探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在①的条件下，平分，平分．求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在直线的下方时，连接，其中交于点，平分，平分，的反向延长线交于点，交于点．若时，求的度数． 14．(24-25七下·江西吉安安福县·期末)如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 15．(24-25七下·江西九江第一中学·期末)如图1，已知，是直线，外的一点，于点，交于点，满足．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当射线平分时，求的度数； ②当时，若直线与直线相交所成的锐角是，则_____． ③当时，直线与直线相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理由． 16．(24-25七下·江西赣州经开区·期末)已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． ( 地 城 考点0 3 探究角度的数量关系 ) 17．(24-25七下·江西宜春高安·期末)在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，若，求的度数； (3)探究：将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 18．（24-25七下·江西抚州南城县第二中学·期末)“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，，满足．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______，_______，______； (2)若灯射出的光束先转动15秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，在转动过程中，的度数保持不变，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 19．(24-25七下·江西景德镇·期末)【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 20(24-25七下·江西吉安泰和县·期末)已知直线直线，的顶点、分别在直线、上，已知，，的平分线交直线于． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，线段以秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时线段上有一点，以秒的速度绕点顺时针方向旋转，旋转到射线上时，、都停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中形成的、的平分线、平行时，请直接写出的值． 21．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，请直接写出与的数量关系． 22．(24-25七下·江西吉安青原区·期末)动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 23．(24-25七下·江西九江浔阳区九江外国语学校·期末)已知直线，点A在直线上，点为平面内两点，于点．      (1)如图1，当点在直线上，点在直线上方时，交于点D，则和之间的数量关系是________； (2)如图2，当点在直线上且在点A左侧，点在直线与之间时，过点作交直线于点，说明与的数量关系； (3)如图3，当点在直线上且在点A左侧，点在直线下方时，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，当时，求出的度数． 24．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； (2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 ( 地 城 考点0 4 三角板相关相交线与平行线综合题 )25．(24-25七下·江西萍乡·期末)已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．    (1)如图1，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为________； (2)将含角的直角三角板如图2所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由； (3)将一副直角三角板按如图3所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数． 26．(24-25七下·江西赣州安远县·期末)以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 27．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 28．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在的内部，设． ①若OB平分，求； ②若，求． 29．(24-25七下·江西赣州宁都县·期末)已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． （1）如图，使三角板的短直角边与射线重合，则 ． （2）将三角板如图放置，长直角边恰好平分，请说明所在射线是的平分线． （3）将三角板如图放置，使时，求的度数． （4）拓展：将图中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值．（注：“旋转一周”是指三角板在这个平面内绕着这个平面内的点转动一周．) 30．(24-25七下·江西萍乡·期末)小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 31．(24-25七下·江西赣州兴国县·期末)如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 32．(24-25七下·江西宜春丰城·期末)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC． （1）将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数； （2）若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． ( 地 城 考点0 5 角平方线相关相交线与平行线综合题 )33．(24-25七下·江西抚州金溪县金溪县锦绣中学·期末)小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______； 34．(24-25七下·江西赣州赣县区·期末)课本再现： 一般地，平行线具有性质： 性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 性质：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． (1)【初步探究】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题． (2)【方法运用】如图，已知，试说明，，之间的关系，并证明． (3)【解决问题】如图，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数． 35．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，BE平分，若，，求的度数． 36．(24-25七下·江西赣州会昌县·期末)如已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 37．(24-25七下·江西新余第四中学·期末)如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 38．(24-25七下·江西抚州·期末)已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 39．(24-25七下·江西上饶万年县·期末)如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，． (1)判断是否平分，并说明理由． (2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于， ①当点在线段上时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 40．(24-25七下·江西鹰潭月湖区·期末)如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $