专题02 整式的乘除拓展提升题（5类40道）（期末真题汇编，江西专用）七年级数学下学期

**基本信息** 整式乘除专题汇编，聚焦5大高频考点，整合江西多地期末真题，通过“不含”类问题、数形结合、规律探究等分层设计提升解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|35题|含“不含”类问题（多项式展开求参数）、化简求值（整式混合运算）、乘法公式与几何图形（面积法验证公式）、规律性问题（数字规律、杨辉三角）、公式变形求值（完全平方公式变形）|真题导向（江西各地期末题），分层设计（基础到提升），数形结合（回形正方形面积验证），规律探究（数字对称等式推导）|

专题02 整式的乘除拓展提升题 5大高频考点概览 考点01“不含”类问题 考点02化简求值 考点03乘法公式与几何图形 考点04 整式乘法相关规律性问题 考点05 运用乘法公式变形求值 ( 地 城 考点0 1 “不含”类问题 )1．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 2．(24-25七下·江西萍乡·期末)若代数式的结果中不含字母x的一次项，则a的值是______． 3．(24-25七下·江西景德镇·期末)已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 4．(24-25七下·江西吉安吉安县·期末)已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 5．(24-25七下·江西南昌第二十八中学·期末)去已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 6．(24-25七下·江西吉安泰和县·期末)以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 7．(24-25七下·江西吉安永新县·期末)已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 8．(24-25七下·江西吉安永丰县恩江中学·期末)若的展开式中不含项，且，求m，n的值． ( 地 城 考点0 2 化简求值 )9．(24-25七下·江西吉安吉州区·期末)先化简再求值：，其中 ，． 10．(24-25七下·江西抚州·期末)先化简，再求值： ，其中a，b满足：． 11．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)先化简，再求值：．其中，． 12．(24-25七下·江西吉安县立中学·期末)先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x），其中x＝﹣，y＝． 13．(24-25七下·江西九江·期末)先化简，再求值：，其中． 14．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)化简求值：先化简，再求值：，其中 15．(24-25七下·江西抚州南城县第二中学·期末)先化简，再求值：，其中． 16．(24-25七下·江西九江修水县·期末)先化简，再求值：，其中． ( 地 城 考点0 3 乘法公式与几何图形 )17．(24-25七下·江西吉安青原区·期末)数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．请你体验： 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____； (2)知识迁移：若，，则_____； (3)变化延伸：，求的值． 18．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； (2)利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 19．(24-25七下·江西吉安安福县·期末)小明同学将图中的阴影部分（边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形），拼成了一个长方形（如图），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是_____（用含、的式子表示）运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 20．(24-25七下·江西抚州·期末)（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______； （2）应用公式计算： 已知，求的值； 求的值．    21．(24-25七下·江西萍乡·期末)如图（1），有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．    (1)有1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图（2），用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________________； (2)选取1张A型卡片，6张C型卡片，_________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为_________； (3)如图（3），两个正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积． 22．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题： (1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来； (2)如果图中的a，b满足，，求ab的值； (3)已知，求的值． 23．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 24．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)如图，把一个平行四边形纸板分割成四个大小和形状完全相同的四边形，拼成一个边长为 的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 4 整式乘法相关规律性问题 )25．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)七年级某班数学小组研究系列算式：，，．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ； …… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含n的代数式直接表示与之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性． 26．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)观察下列现象：；；；；；……以上每个等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． (1)根据上面各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式” ①__________________；     ②__________________； ③__________________ (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，请你用含，式子表示“数字对称等式”的一般形式； (3)证明你在（2）中写出的等式的正确性． 27．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)阅读下文，寻找规律： 已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x2， （1-x）（1+x+x2）=1-x3， （1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4，… (1)观察上式，并猜想： （1-x）（1+x+x2+x3+x4）=______________． （1-x）（1+x+x2+…+xn）=_______________． (2)根据上面的结论，你能求出下面式子的结果吗？ （x20-1）÷（x-1）= ．（x≠1） (3)根据上面规律，计算：1+2+22+…+22020+22021+22022． 28．(24-25七下·江西吉安安福县·期末)已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 29．(24-25七下·江西九江第一中学·期末)课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 30．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·期末)观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 31．(24-25七下·江西景德镇·期末)【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 32．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． ( 地 城 考点0 5 运用乘法公式变形求值 )33．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：例1：已知，，求的值． 解：，， ． 例2：若满足，求的值． 解：设，， 则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了！ 请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值． (2)若满足，求的值． 34．(24-25七下·江西赣州经开区·期末)已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 35．(24-25七下·江西九江浔阳区九江外国语学校·期末)已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 36．(24-25七下·江西吉安永丰县·期末)已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 37．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 38．(24-25七下·江西吉安吉州区·期末)若，，求： (1)， (2)． 39．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)已知，，求的值． 40．(24-25七下·江西吉安青原区·期末)已知 ，求下列代数式的值： (1)； (2)． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除拓展提升题 5大高频考点概览 考点01“不含”类问题 考点02化简求值 考点03乘法公式与几何图形 考点04 整式乘法相关规律性问题 考点05 运用乘法公式变形求值 ( 地 城 考点01 “不含”类问题 ) 1．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 【答案】 【详解】解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 2．(24-25七下·江西萍乡·期末)若代数式的结果中不含字母x的一次项，则a的值是______． 【答案】/0.5 【来源】江西省萍乡市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算原式，再根据结果中不含字母 x 的一次项可得关于m的方程，解方程即得答案． 【详解】解：，因为计算结果中不含字母 x 的一次项， 所以， 解得：． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题关键． 3．(24-25七下·江西景德镇·期末)已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【答案】(1) (2)；4 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项， ， 解得：； （2）原式 ； 当时， 原式． 4．(24-25七下·江西吉安吉安县·期末)已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 的展开式中不含和项， ， ． （2）解： ． 把代入，得原式． 5．(24-25七下·江西南昌第二十八中学·期末)去已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】佳佳的解法不正确，正确过程见解析． 【详解】解：佳佳的解法不正确，正确解答如下： ． 展开式中不含项和项， ， 解得：， ， ， ， ， ． 6．(24-25七下·江西吉安泰和县·期末)以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 【答案】(1)6 (2)m，n的值分别是6，5． 【分析】（1）将进行计算得，根据题意得，进行计算即可得； （2）设另一个因式是，则，进行计算即可得，进行计算即可得． 【详解】（1）解： = = ∵既不含二次项，也不含一次项， ∴， 解得，， ∴； （2）解：设另一个因式是，则 = = =， ∴，， 即， 解得，， ∴m，n的值分别是6，5． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． 7．(24-25七下·江西吉安永新县·期末)已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 【答案】(1)的值为，的值为 (2)， 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则将展开后合并，然后令和项的系数分别为，得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则将原式化简后合并，再将、代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴， 解得：， 即的值为，的值为； （2）解： ， 当，时， 原式． 8．(24-25七下·江西吉安永丰县恩江中学·期末)若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【答案】m的值是2，n的值是 【详解】解： 的展开式中不含项， ， 即 答：m的值是2，n的值是 ( 地 城 考点0 2 化简求值 )9．(24-25七下·江西吉安吉州区·期末)先化简再求值：，其中 ，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时，原式. 10．(24-25七下·江西抚州·期末)先化简，再求值： ，其中a，b满足：． 【答案】，8 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式． 11．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【详解】解： ； 当，时，原式． 12．(24-25七下·江西吉安县立中学·期末)先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x），其中x＝﹣，y＝． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 13．(24-25七下·江西九江·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【来源】江西省九江市2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，单项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 14．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)化简求值：先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．(24-25七下·江西抚州南城县第二中学·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将代入求值即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 16．(24-25七下·江西九江修水县·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． ( 地 城 考点0 3 乘法公式与几何图形 )17．(24-25七下·江西吉安青原区·期末)数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．请你体验： 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____； (2)知识迁移：若，，则_____； (3)变化延伸：，求的值． 【答案】(1) (2)20 (3)12 【来源】江西省吉安市青原区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）阴影部分为正方形，可以用边长的平方表示面积，也可以用大正方形的面积减去4个小长方形的面积表示； （2）由（1）得，代入求值即可； （3）设，，则，，求出的值即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分为正方形，边长为，面积为：， 阴影部分面积还可以表示为大正方形的面积减去4个小长方形的面积：， 因此， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 故答案为：20； （3）解：设，， 则，， ， ， ， ． 18．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； (2)利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)或； (2)①14；②2025 【来源】　江西省吉安市遂川县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）用含的代数式表示图2中的面积应为，还可以表示为 ∴； （2）①由（1），得． ． 把 代入上式，得． ． ②根据题意，得 ． 19．(24-25七下·江西吉安安福县·期末)小明同学将图中的阴影部分（边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形），拼成了一个长方形（如图），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是_____（用含、的式子表示）运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 【答案】；（）；（）． 【来源】江西省吉安市安福县2024-2025学年下学期期末教学质量检测七年级数学试卷 【分析】本题考查了平方差公式的几何图形，完全平方公式，表示图中阴影部分面积是解题的关键． 根据题意分别求出图与图阴影部分面积，然后由面积相等即可求解； （）利用平方差公式即可求解； （）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：图阴影面积：，图阴影面积：， ∵图与图阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：； （） ； （） ． 20．(24-25七下·江西抚州·期末)（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______； （2）应用公式计算： 已知，求的值； 求的值．    【答案】（1），；（2）27；1 【详解】解：（1）图1中， 边长为的正方形的面积为， 边长为的正方形的面积为， 长为宽为的长方形的面积为， 大正方形的边长为，面积为， 大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和， 图2中， 左边阴影部分的面积为：， 右边阴影部分的面积为：， 左右两边的阴影部分面积相等， ， 故答案为：，； （2）， ； ． 21．(24-25七下·江西萍乡·期末)如图（1），有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．    (1)有1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图（2），用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________________； (2)选取1张A型卡片，6张C型卡片，_________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为_________； (3)如图（3），两个正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)9， (3)23 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：将配凑成完全平方公式： 故需要9张B型卡片，正方形的边长为： （3）解：阴影部分的面积： 因为，，所以，， 因此， 22．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题： (1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来； (2)如果图中的a，b满足，，求ab的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3)28 【详解】（1）解：根据图中的条件，可以得到． （2）解：∵，， ∴． ∴ ∴． （3）解：设，， 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． 23．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 24．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)如图，把一个平行四边形纸板分割成四个大小和形状完全相同的四边形，拼成一个边长为 的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长 为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． ( 地 城 考点0 4 整式乘法相关规律性问题 )25．(24-25七下·江西吉安遂川县·期末)七年级某班数学小组研究系列算式：，，．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ； …… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含n的代数式直接表示与之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【详解】（1）根据题中规律，得； （2）； 验证如下： ． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解答本题的关键． 26．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)观察下列现象：；；；；；……以上每个等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． (1)根据上面各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式” ①__________________；     ②__________________； ③__________________ (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，请你用含，式子表示“数字对称等式”的一般形式； (3)证明你在（2）中写出的等式的正确性． 【答案】(1)①，；②，；③， (2) (3)见解析 【详解】（1）（1）①； ②； ③； 故答案为：①，；②，；③， （2）根据规律可得： （3）证明：∵左边． 左边． ∴左边=右边． 【点睛】本题考查了数字类规律题，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键． 27．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)阅读下文，寻找规律： 已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x2， （1-x）（1+x+x2）=1-x3， （1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4，… (1)观察上式，并猜想： （1-x）（1+x+x2+x3+x4）=______________． （1-x）（1+x+x2+…+xn）=_______________． (2)根据上面的结论，你能求出下面式子的结果吗？ （x20-1）÷（x-1）= ．（x≠1） (3)根据上面规律，计算：1+2+22+…+22020+22021+22022． 【答案】(1)1-x5；1-xn+1 (2)1+x+x2+…+x19； (3)22023-1． 【详解】（1）解：观察已知可得：（1-x）（1+x+x2+x3+x4）=1-x5； （1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1， 故答案为：1-x5；1-xn+1； （2）解：在（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1中，当n=19时可得： （1-x）（1+x+x2+…+x19）=1-x20， ∴（x-1）（1+x+x2+…+x19）=x20-1， ∴（x20-1）÷（x-1）=1+x+x2+…+x19； 故答案为：1+x+x2+…+x19； （3）解：在（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1中，当n=2022时可得： （1-x）（1+x+x2+…+x2022）=1-x2023， 若x=2，则（1-2）（1+2+22+…+22022）=1-22023， ∴1+2+22+…+22022=（1-22023）÷（1-2）=22023-1． 【点睛】本题考查平方差根式的拓展，解题的关键是从已知观察得出规律，依据规律解题． 28．(24-25七下·江西吉安安福县·期末)已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 【答案】，；（1）；（2）；（3）7 【来源】江西省吉安市安福县2024-2025学年下学期期末教学质量检测七年级数学试卷 【分析】本题考查整式乘法的规律性问题、数字类的规律探究，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键． 根据所给前两个算式发现规律解答即可； （1）根据规律计算即可； （2）根据前几个变化规律，将时的等式恒等变形即可得出答案； （3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的n次方的个位数字变化规律即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：，； （1）， 故答案为：80； （2）归纳类推得：，其中，且为整数， 则， ， ； （3）， ， ，且， 的个位数与的个位数相同，即为8， 的个位数为7， 即的值的个位数为7， 故答案为：7． 29．(24-25七下·江西九江第一中学·期末)课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 30．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·期末)观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）解： 即． （3）解：依题意， ∴ ． 31．(24-25七下·江西景德镇·期末)【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 【答案】【探索发现】：，证明见解析；【拓展探究】：， ；【实践应用】： 【详解】【探索发现】解： 证明：左边 =右边； 故． 【拓展探究】解：∵，它只有一项，系数为；系数和为，且； ，它有两项，系数分别为，；系数和为，且； ，它有三项，系数分别为，，；系数和为，且； ，它有四项，系数分别为，，，；系数和为，且； 以此类推， 的展开式有项，系数和； 故答案为：，． 【实践应用】解： ． 32．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：； （3）解：规律为：， 证明： ， ， ∴． ( 地 城 考点0 5 运用乘法公式变形求值 )33．(24-25七下·江西九江都昌县·期末)在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：例1：已知，，求的值． 解：，， ． 例2：若满足，求的值． 解：设，， 则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了！ 请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：设，， 则，， ． 34．(24-25七下·江西赣州经开区·期末)已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 35．(24-25七下·江西九江浔阳区九江外国语学校·期末)已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 36．(24-25七下·江西吉安永丰县·期末)已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： 即 又 （2） ； （3） ． 37．(24-25七下·江西景德镇乐平·期末)已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)42 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 38．(24-25七下·江西吉安吉州区·期末)若，，求： (1)， (2)． 【答案】(1)37 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 39．(24-25七下·江西吉安峡江县·期末)已知，，求的值． 【答案】 【分析】由，根据完全平方公式得，再代入计算，即可得解． 【详解】解：由，两边平方得，即， 把代入，得， ∴． 40．(24-25七下·江西吉安青原区·期末)已知 ，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)30 (2)8 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $