精品解析：河南省许昌市 建安区第三高级中学2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

建安区第三高级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学检测卷 共120分 100分钟 一、选择题（10题，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 64的平方根是8 B. 2或的平方根是4 C. 没有平方根 D. 16的平方根是4和 4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③ 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7. 与最接近的整数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 七巧板是中国古代劳动人民智慧的结晶，、世纪流传到海外，被欧洲人称为“唐图”（意思是来自中国的拼图）．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 赵心童是亚洲首位台球世锦赛冠军，小静同学在观察他的台球比赛时，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（5题，共15分） 11. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 12. 如图，点在直线上，点，在直线上，，，垂足分别为，，，，，则点到直线的距离为______． 13. 小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_______． 14. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 15. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则每个长方形的面积为___________． 三、解答题（8题，共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） 17. 下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 （1）任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） （2）任务二：第 步开始出现错误． （3）任务三：写出正确的解方程组的过程． 18. 如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． （1）画出； （2）中任意一点，经平移后对应点的坐标为_____；（用含，的式子表示） （3）连接，，求四边形的面积． 19. 阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． （1）的小数部分是多少？ （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 20. 2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡 身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值称为这个点的“短距”，如：点的“短距”为1．若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美点”，如：点和点都是“完美点”． （1）点的“短距”为_________； （2）若点的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值； （3）若点是“完美点”，求b的值． 22. 【课本再现】：如图1，平行直线与相交，交点分别为E，F，平分，平分，和平行吗？为什么？ （1）【问题解决】：请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，_____（____________）， ∵（已知）， ∴（___________） ∴（___________）， ∴． ∴（____________） （2）【举一反三】：由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？写出证明过程．如图2，已知，分别平分，，请确定的位置关系． 23. 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． （1）【探索发现】当时，求：的度数； （2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； （3）【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建安区第三高级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学检测卷 共120分 100分钟 一、选择题（10题，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、，2是整数，整数属于有理数，该选项不符合题意； B、是分数，分数属于有理数，该选项不符合题意； C、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，该选项符合题意； D、是有限小数，可以化为分数，属于有理数，该选项不符合题意． 2. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短等几何性质对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．两钉子固定木条，利用的是“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； B．P村庄到Q村庄的路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意； C．测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用的是“垂线段最短”，故本选项符合题意； D．弯曲河道改直，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 64的平方根是8 B. 2或的平方根是4 C. 没有平方根 D. 16的平方根是4和 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案． 【详解】解：A、64的平方根是，故A选项错误； B、没有平方根，2的平方根是，故B选项错误； C、，9的平方根是，即的平方根是，故C选项错误； D、16的平方根是4和，故D选项正确． 【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③中不是整式方程，不是二元一次方程组； ④是二元一次方程组； 综上可知，是二元一次方程组的是①②④． 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，直接把已知解代入原方程计算即可． 【详解】解：将​代入方程，得：   解得：． 6. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】本题核心是运用平行线的性质（内错角相等、垂直关系），通过构造辅助线将分散的角度整合，从而求解出目标角度．要解决该问题，需利用平行线的性质，通过构造辅助线将已知角度与所求角度建立联系，进而计算出的度数． 【详解】解：最初铺设方向为，最终要回到最初方向，要求， 过点作直线，， 由题可知：， ， ， ， ， ，， ， ． 7. 与最接近的整数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，先确定在哪两个相邻整数之间，再通过比较到两个相邻整数平方的距离，即可得到最接近的整数． 【详解】解：∵ ，． ∴ ，可得． ∵ ，，． ∴ 更接近，即最接近的整数是． 8. 七巧板是中国古代劳动人民智慧的结晶，、世纪流传到海外，被欧洲人称为“唐图”（意思是来自中国的拼图）．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知点A、C的坐标确定平面直角坐标系的单位长度与原点位置，再结合图形中B点的相对位置得出点B的坐标． 【详解】解：根据点，点，建立平面直角坐标系如图所示． 点的坐标为． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 10. 赵心童是亚洲首位台球世锦赛冠军，小静同学在观察他的台球比赛时，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据长方形的范围和起点，利用反射角等于入射角依次推出前次碰撞的坐标，发现小球每次碰撞为一个周期循环；再计算除以的余数为，对应循环中第次碰撞的坐标，从而得到点的坐标． 【详解】解：长方形的范围为：，，起点，根据反射角等于入射角，依次推导每次碰到边的坐标： 第次：（题目给定）， 第次：， 第次：， 第次：， 第次：， 第次：（回到起点，完成一个循环）， 小球每次碰撞为一个循环，周期， ，余数为， 对应循环中第次碰撞的坐标，即， 因此，点的坐标是． 二、填空题（5题，共15分） 11. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 12. 如图，点在直线上，点，在直线上，，，垂足分别为，，，，，则点到直线的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离为线段的长，即点到直线的距离为4． 13. 小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴． 又∵点M在第二象限内， ∴， ∴点M的坐标为． 15. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则每个长方形的面积为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得出结果． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， ∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴每个长方形的面积为． 三、解答题（8题，共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值，立方根，再进行加减运算； （3）利用代入法解方程组． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得或； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 故该方程组的解为． 17. 下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组： 解： ，得③……第一步 ，得……第二步 解得……第三步 将代入①，得……第四步 所以原方程组的解为……第五步 （1）任务一：嘉嘉解方程组用的方法是 ；（填“代入法”或“加减法”） （2）任务二：第 步开始出现错误． （3）任务三：写出正确的解方程组的过程． 【答案】（1）加减法 （2）一 （3），过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据具体的解题步骤判断求解即可； （2）根据方程两边同时乘以2，计算判断即可． （3）根据方程组的求解步骤，规范求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，解题用的是加减法； 【小问2详解】 解：，得，漏乘常数致错， 故错在第一步； 【小问3详解】 解：①，得． ②+③，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以方程组的解为． 18. 如图，，，，将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点，，）． （1）画出； （2）中任意一点，经平移后对应点的坐标为_____；（用含，的式子表示） （3）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）36 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，确定点，，的位置，然后顺次连接即可画出； （2）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减的规律写出相应的坐标即可； （3）根据平行四边形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵将向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到 ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：四边形的面积为：． 19. 阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． （1）的小数部分是多少？ （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的取值范围，即可求解； （2）求出的取值范围，进而得出a，b的值，代入计算出的值，最后再求立方根即可． 【小问1详解】 解：， ，即， 的整数部分为8，的小数部分为． 【小问2详解】 解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， ． 20. 2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡 身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】（1）小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份 （2）小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【小问1详解】 解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． 【小问2详解】 解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 21. 在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值称为这个点的“短距”，如：点的“短距”为1．若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美点”，如：点和点都是“完美点”． （1）点的“短距”为_________； （2）若点的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值； （3）若点是“完美点”，求b的值． 【答案】（1）2 （2） （3）1或 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义，是解题的关键． （1）根据“短距”定义进行求解即可； （2）根据点的短距为5，得出，求出或，根据点B在第四象限进行验证即可； （3）根据点是“完美点”，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴点的“短距”为2； 【小问2详解】 解：∵点的短距为5， ∴， 解得：或， 当时，，此时点坐标为，在第一象限，不符合题意； 当时，，此时点坐标为，在第四象限，符合题意； 综上，； 【小问3详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， 解得：或． 22. 【课本再现】：如图1，平行直线与相交，交点分别为E，F，平分，平分，和平行吗？为什么？ （1）【问题解决】：请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，_____（____________）， ∵（已知）， ∴（___________） ∴（___________）， ∴． ∴（____________） （2）【举一反三】：由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？写出证明过程．如图2，已知，分别平分，，请确定的位置关系． 【答案】（1）；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，结合所给解答过程即可求解； （2）作，则，根据平行线的性质定理可得，结合角平分线的定义，通过等量代换，得出，进而可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等式的性质）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行） 【小问2详解】 解：， 证明：如图，作， ， ， 分别平分，， ，， ，， ， ，， ， ， ． 23. 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． （1）【探索发现】当时，求：的度数； （2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； （3）【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②； （3）结论：；理由见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； 【小问2详解】 解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； 【小问3详解】 解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $