专题01 期末真题百练通关（期末复习专项训练，214题44大压轴题型）七年级数学下学期新教材沪科版

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以214道真题构建44类压轴题型体系，覆盖实数、不等式、整式、分式、几何五大模块，培养抽象能力与推理意识，实现从概念辨析到综合应用的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填小压轴|23题型（约115题）|基础概念辨析（平方根、不等式性质）、规律探索（数阵、代数式规律）、几何初步（平行线判定）|从概念生成（如平方根定义）到运算应用（如幂的运算），形成代数与几何的平行逻辑链| |解答压轴|21题型（约99题）|实际应用（方案选择、分配问题）、代数几何综合（公式与图形、动态问题）、阅读探究（新定义、材料分析）|以方程与不等式为工具，结合几何性质（如平移、平行线），构建“概念-运算-建模-探究”的完整思维路径|

专题01 期末真题百练通关（214题44大压轴题型） 选填小压轴 题型23 运用平方差公式进行运算 题型1 求一个数的平方根及算术平方根 题型24 平方差公式与几何图形 题型2 与平方根有关的规律探索题 题型25 因式分解 题型3 算术平方根的实际应用 题型26 十字相乘法因式分解 题型4 已知一个数的平方根或立方根,求这个数 题型27 因式分解的应用 题型5 无理数整数部分的有关计算 题型28 分式及其基本性质 题型6 不等式及其基本性质 题型29 分式的运算 题型7 一元一次不等式的定义 题型30 分式方程的无解问题 题型8 求一元一次不等式的解集 题型31 列分式方程 题型9 求一元一次不等式解的最值 题型32 相交线的相关概念 题型10 用一元一次不等式解决实际问题 题型33 平行线的判定 题型11求一元一次不等式组的解集 题型34 平行线的性质 题型12 由一元一次不等式组的解集求参数 题型35 平移 题型13 不等式组和方程组结合的问题 解答压轴 题型14 幂的运算 题型36 实数阅读型解答 题型15 幂的运算的逆运算 题型37 不等式组的方案选择问题 题型16 同底数幂的除法 题型38 不等式组的分配问题 题型17 单项式乘多项式及求值 题型39 不等式与几何动态问题 题型18多项式乘多项式及求值 题型40 公式法与几何图形的综合应用 题型19 多项式乘积不含某项求字母的值 题型41 因式分解阅读型解答 题型20 多项式乘法中的规律性问题 题型42 分式方程的综合应用 题型21 运用完全平方公式进行运算 题型43根据平行线的性质探究角的关系 题型22 完全平方公式在几何中的应用 题型44平行线的综合探究题 题型1 求一个数的平方根及算术平方根 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 3．（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 题型2 与平方根有关的规律探索题 6．（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 10．（24-25七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型3 算术平方根的实际应用 11．（21-22七年级下·广西南宁·期末）面积的正方形，其边长为，其中a的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 12．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 14．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了，原来长方体的体积是（    ）． A．108 B．81 C．432 D．648 15．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 题型4 已知一个数的平方根或立方根,求这个数 16．（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 17．（24-25七年级下·全国·期末）已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 18．（23-24七年级下·广东广州·期末）若， ，则的所有可能值为（   ） A． B． C．或 D．或 19．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 20．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 题型5 无理数整数部分的有关计算 21．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 24．（24-25七年级下·广东广州·期末）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型6 不等式及其基本性质 26．（21-22七年级下·四川资阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（21-22七年级下·四川泸州·期末）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 28．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）已知，是任意实数，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 30．（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 题型7 一元一次不等式的定义 31．（24-25七年级下·全国·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 32．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 33．（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（22-23八年级下·陕西西安·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 题型8 求一元一次不等式的解集 36．（24-25七年级上·江苏·期末）关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 37．（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·海南海口·期末）当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 40．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如果关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．6 题型9 求一元一次不等式解的最值 41．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 42．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 43．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 44．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 45．（21-22七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10 用一元一次不等式解决实际问题 46．（21-22七年级下·新疆和田·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（   ） A．4场 B．6场 C．7场 D．9场 47．（21-22七年级下·山东烟台·期末）现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 48．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某品牌耳机进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，那么该耳机最多可降价（    ） A．288元 B．144元 C．72元 D．32元 49．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 50．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 题型11求一元一次不等式组的解集 51．（21-22七年级下·吉林四平·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 52．（2015·山东济南·一模）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（20-21七年级下·河北保定·期末）以下是解不等式组：的过程 解：由①得：……第一步 由②得：……第二步 ∴不等式组解集为……第三步 以下判断正确的是（　　） A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．解题过程没有错误 54．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 55．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）不等式组的非负整数解是（   ） A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D． 题型12 由一元一次不等式组的解集求参数 56．（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 59．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 60．（2021七年级下·江苏·期末）如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型13 不等式组和方程组结合的问题 61．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 65．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型14 幂的运算 66．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 68．（24-25七年级上·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 69．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 70．（23-24九年级下·河南·期末）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 题型15 幂的运算的逆运算 71．（22-23八年级上·福建泉州·期末）代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 72．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 73．（24-25七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 75．（24-25七年级下·全国·期末）已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 题型16 同底数幂的除法 76．（21-22七年级下·四川达州·期末）下列运算正确的是（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 77．（2016·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 78．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 79．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 80．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若且 则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型17 单项式乘多项式及求值 81．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算：等于（   ） A． B． C． D． 82．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 83．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 84．（22-23七年级上·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 85．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型18多项式乘多项式及求值 86．（24-25七年级下·云南文山·期末）若，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 87．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 88．（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 89．（24-25七年级下·广西北海·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 90．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 题型19 多项式乘积不含某项求字母的值 91．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 92．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 93．（24-25七年级下·山东聊城·期末）若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 94．（24-25七年级下·山东聊城·期末）若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（   ） A．3 B． C．8 D．15 题型20 多项式乘法中的规律性问题 95．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含的项，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 96．（24-25七年级上·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 97．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 98．（23-24七年级下·山东聊城·期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 99．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 100．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 题型21 运用完全平方公式进行运算 101．（2026·四川德阳·二模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 102．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 103．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若，则（   ） A． B．2 C． D． 104．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 105．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 题型22 完全平方公式在几何中的应用 106．（21-22六年级下·山东烟台·期末）有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 107．（2026·河南平顶山·一模）已知，，可借助下图直观分析，也可以通过计算求得的值为（） A． B． C． D． 108．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 109．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 110．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 题型23 运用平方差公式进行运算 111．（2026·陕西咸阳·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 112．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 113．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如果，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 114．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，则的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D．7 115．（2026·河北邯郸·模拟预测）甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（    ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 题型24 平方差公式与几何图形 116．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 117．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 118．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 119．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 120．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型25 因式分解 121．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 122．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 123．（24-25八年级下·江西九江·期末）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 124．（2026·江西九江·二模）对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 125．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 题型26 十字相乘法因式分解 126．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 127．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 128．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 129．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 130．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 题型27 因式分解的应用 131．（20-21七年级下·广西梧州·期末）已知，且，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 132．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 133．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知为正整数，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 134．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知则代数式的值为（    ） A． B．30 C．5 D． 135．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型28 分式及其基本性质 136．（24-25七年级下·广西梧州·期末）当时，分式的值为（   ） A．1 B． C． D．3 137．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 138．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 139．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 140．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 题型29 分式的运算 141．（24-25七年级下·广西百色·期末）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 142．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 143．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 144．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 145．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 题型30 分式方程的无解问题 146．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 147．（24-25七年级下·广西梧州·期末）关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 148．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 149．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 150．（24-25七年级下·安徽池州·期末）以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型31 列分式方程 151．（24-25七年级下·全国·期末）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做6个，甲做60个所用的时间与乙做90个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设甲每小时做x个，那么所列方程是（    ） A． B． C． D． 152．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 153．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 154．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 155．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 题型32 相交线的相关概念 156．（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 157．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 158．（24-25七年级上·江西南昌·期末）王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 159．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，是直线上一点，射线在直线的上方，且射线平分，射线平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 160．（21-22七年级下·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型33 平行线的判定 161．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 162．（2024·贵州黔南·一模）下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 163．（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 164．（2024·江苏盐城·二模）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 165．（21-22七年级下·重庆·期末）如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型34 平行线的性质 166．（21-22七年级下·四川达州·期末）如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 167．（21-22七年级下·云南文山·期末）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 168．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 169．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 170．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 题型35 平移 171．（22-23七年级下·北京丰台·期末）在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 172．（21-22七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 173．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 174．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 175．（21-22七年级下·新疆和田·期末）如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 题型36 实数阅读型解答 176．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 177．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 178．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是______；的小数部分是______； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） 题型37 不等式组的方案选择问题 179．（24-25七年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 180．（21-22七年级下·云南楚雄·期末）随着人们生活水平的提高，对居住环境的高标准，全套承包的装修行业也随之兴起，某装修公司计划在端午节推出两款的装修套餐，据了解，组套餐的装修原料费、组套餐的装修原料费共计万元；组套餐的装修原料费比组套餐的装修原料费少万元． (1)求一组、套餐的装修原料费分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不超过万元的预算，采购组套餐的装修材料（仅购买、两种套餐装修原料，且每种至少购买组），问该公司有几种采购方案？请你设计出来． (3)已知该装修公司端午销售组套餐可获利万元，销售组套餐可获利万元，在（2）中的购买方案中，假如这些套餐全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 181．（21-22七年级下·四川泸州·期末）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 题型38 不等式组的分配问题 182．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 183．（21-22八年级下·江苏南通·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 184．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型39 不等式与几何动态问题 185．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 186．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 187．（24-25七年级下·重庆·期末）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 题型40 公式法与几何图形的综合应用 188．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小长方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 189．（24-25七年级下·河北保定·期末）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【探究】观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：______； (2)【应用】根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)若x满足，求的值； 190．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有4个边长为的正方形，1个边长为的正方形，4个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为______； (2)观察图3， ①从图3中得到______； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，代数式的值． 题型41 因式分解阅读型解答 191．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 192．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 193．（20-21七年级下·广西来宾·期末）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：； ， 因为，即的最小值是0，所以的最小值是5． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求的最小值； （3）求的最大值． 题型42 分式方程的综合应用 194．（24-25七年级下·河北·期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 195．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 196．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 题型42 根据平行线的性质探究角的关系 197．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 198．（24-25七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 199．（24-25七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 题型43 平行线的综合探究题 200．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 201．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 202．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 1．已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 2．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 3．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 4．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 5．如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 6．中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足，那么就称点为“中山点”． (1)判断点是否为“中山点”，并说明理由； (2)若点是“中山点”，求k的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”，求p，q的值． 7．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 8．阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 9．下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 10． 年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种型号机器人．已知用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人． (1)求采购一台型机器人、一台型机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍．求该公司有多少种采购方案？ (3)采购要求与（）中一致（总预算不超过万元，总数量为台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍），因型机器人非常紧俏，每台型机器人进价提高万元，型机器人进价不变，最终该公司以万元的最低价格完成采购，直接写出的值． 11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 50 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（214题44大压轴题型） 选填小压轴 题型23 运用平方差公式进行运算 题型1 求一个数的平方根及算术平方根 题型24 平方差公式与几何图形 题型2 与平方根有关的规律探索题 题型25 因式分解 题型3 算术平方根的实际应用 题型26 十字相乘法因式分解 题型4 已知一个数的平方根或立方根,求这个数 题型27 因式分解的应用 题型5 无理数整数部分的有关计算 题型28 分式及其基本性质 题型6 不等式及其基本性质 题型29 分式的运算 题型7 一元一次不等式的定义 题型30 分式方程的无解问题 题型8 求一元一次不等式的解集 题型31 列分式方程 题型9 求一元一次不等式解的最值 题型32 相交线的相关概念 题型10 用一元一次不等式解决实际问题 题型33 平行线的判定 题型11求一元一次不等式组的解集 题型34 平行线的性质 题型12 由一元一次不等式组的解集求参数 题型35 平移 题型13 不等式组和方程组结合的问题 解答压轴 题型14 幂的运算 题型36 实数阅读型解答 题型15 幂的运算的逆运算 题型37 不等式组的方案选择问题 题型16 同底数幂的除法 题型38 不等式组的分配问题 题型17 单项式乘多项式及求值 题型39 不等式与几何动态问题 题型18多项式乘多项式及求值 题型40 公式法与几何图形的综合应用 题型19 多项式乘积不含某项求字母的值 题型41 因式分解阅读型解答 题型20 多项式乘法中的规律性问题 题型42 分式方程的综合应用 题型21 运用完全平方公式进行运算 题型43根据平行线的性质探究角的关系 题型22 完全平方公式在几何中的应用 题型44平行线的综合探究题 题型1 求一个数的平方根及算术平方根 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 2．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】根据平方根的概念判断即可；D根据算术平方根与平方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，故A错误； B、0的平方根是0，故B正确； C、没有平方根，故C错误； D、的平方根是，故D错误． 故选：B． 【点睛】此题考查的是算术平方根与平方根，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根，其中正的平方根称为算术平方根． 3．（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【详解】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是，是有理数；取立方根为，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是； 故选B． 题型2 与平方根有关的规律探索题 6．（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 7．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 9．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 10．（24-25七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 题型3 算术平方根的实际应用 11．（21-22七年级下·广西南宁·期末）面积的正方形，其边长为，其中a的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】根据正方形面积公式得到边长，通过比较38与相邻两个完全平方数的大小，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵正方形面积等于边长的平方， ∴， ∵边长为正数， ∴， 又∵，，且， ∴， 即， ∴的值在6和7之间． 12．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出正方形的边长，再根据周长为边长的4倍，即可得出结果． 【详解】解：∵面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的周长是， 故选C． 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设长方形包装袋的长为，宽为，由题意得，可以求出长方形包装袋的长、宽，再求出面积为的正方形书画作品的边长是，再进行比较即可． 【详解】（1）解：面积为的正方形书画作品的边长是． 包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得，即， （负值舍去）， 长方形包装袋的长为，宽为； ， 不能，包装袋的长够，宽不够． 故选B． 14．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了，原来长方体的体积是（    ）． A．108 B．81 C．432 D．648 【答案】B 【分析】此题算术平方根的灵活运用，根据题意可知，切成3个相同的正方体需要切 次，因为每切一次增加2个正方形，所以一共增加了个正方形，用36除以4即可求出每个正方形的面积，根据正方形的面积可以求出它的边长，而正方形的边长切成的正方体的棱长长方体的宽长方体的高，长方体的长长方体的宽，据此解答即可． 【详解】每个正方形的面积为： （平方分米）， ∴正方形的边长为分米， 原来长方体的体积是（立方分米）， 故答案为：B． 15．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 题型4 已知一个数的平方根或立方根,求这个数 16．（24-25七年级下·江西宜春·期末）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是，可以求得b的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵b的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 故选：B． 18．（23-24七年级下·广东广州·期末）若， ，则的所有可能值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，代数式求值，根据平方根与立方根的含义可得，，再进一步的计算即可. 【详解】解：，， ，， 则或， 故选C. 19．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 20．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义、倒数的定义求解． 【详解】解：，倒数为，故， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，倒数，熟练相关定义是解题的关键． 题型5 无理数整数部分的有关计算 21．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 23．（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 24．（24-25七年级下·广东广州·期末）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 25．（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：D． 题型6 不等式及其基本性质 26．（21-22七年级下·四川资阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 27．（21-22七年级下·四川泸州·期末）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可，不等式的基本性质为：不等式两边同加或同减同一个数，不等号方向不变；同乘或同除以同一个正数，不等号方向不变；同乘或同除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：已知， A、不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ，A成立，符合题意； B、不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，B不成立，不符合题意； C、不等式两边同减，不等号方向不变， ，C不成立，不符合题意； D、不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，D不成立，不符合题意． 28．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）已知，是任意实数，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 30．（24-25七年级下·山东威海·期末）a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 题型7 一元一次不等式的定义 31．（24-25七年级下·全国·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 32．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 33．（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中含有2个未知数，故该选项不符合题意， B、符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意， C、是方程，故该选项不符合题意， D、，不含有未知数，故该选项不符合题意， 故选：B 34．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 35．（22-23八年级下·陕西西安·阶段检测）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 题型8 求一元一次不等式的解集 36．（24-25七年级上·江苏·期末）关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集、数轴上解集的表示，根据数轴得到解集是解题的关键． 首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 37．（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可． 【详解】解：， ， 即， 解得； 故选D． 38．（23-24七年级下·海南海口·期末）当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据题意，代数式的值小于代数式的值，列出不等式并求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 39．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再结合，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 40．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如果关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出不等式的解集，再把a当作已知条件得出不等式的解集，与求出的不等式解集相比较即可． 【详解】解：∵由题意可知，不等式的解集为， 解不等式得，， ∴，解得． 故选：C． 题型9 求一元一次不等式解的最值 41．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 42．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 43．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 44．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 45．（21-22七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 题型10 用一元一次不等式解决实际问题 46．（21-22七年级下·新疆和田·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（   ） A．4场 B．6场 C．7场 D．9场 【答案】B 【分析】设这个队胜场，则负场，根据得分范围列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设这个队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴这个队胜场数至少为6场． 47．（21-22七年级下·山东烟台·期末）现用甲、乙两种运输汽车共辆，将吨抗旱物资一次性运往某地区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，则甲种运输车至少应安排（    ） A．7辆 B．6辆 C．5辆 D．4辆 【答案】B 【分析】设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆，根据题意找出不等关系列出不等式． 【详解】解：设甲种运输车安排x辆，则乙种运输车安排辆， 根据题意得，， 解得：， 甲种运输车至少安排6辆车． 48．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某品牌耳机进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，那么该耳机最多可降价（    ） A．288元 B．144元 C．72元 D．32元 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用等知识，设耳机降价x元，根据题意列出不等式，解不等式即可求解﹒ 【详解】解：设耳机降价x元， 由题意得 ， 解得﹒ 故选：D 49．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 50．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们要登的山峰距出发点千米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设他们要登的山峰距出发点千米， 由题意得，， 解得， ∴他们最远能登上山， 故选：． 题型11求一元一次不等式组的解集 51．（21-22七年级下·吉林四平·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式“大于小的，小于大的取中间”， 在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心，不包括该点时用空心，据此即可求得解集． 【详解】解：由题意可知，不等式组的解集为， 只有选项A符合题意要求． 52．（2015·山东济南·一模）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 53．（20-21七年级下·河北保定·期末）以下是解不等式组：的过程 解：由①得：……第一步 由②得：……第二步 ∴不等式组解集为……第三步 以下判断正确的是（　　） A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．解题过程没有错误 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：由①得：……第一步， 由②得：……第二步， ∴不等式组解集为……第三步， 故从第二步开始出错， 故选：B． 54．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 先求不等式组的解集，然后根据不等式组的解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故选A． 55．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）不等式组的非负整数解是（   ） A．0，1，2，3 B．1，2，3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据解不等式组的一般步骤解不等式组，求出不等式组的解集，即可求出它的非负整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非负整数解是：0，1，2，3， 故选：A 题型12 由一元一次不等式组的解集求参数 56．（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 57．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用一元一次不等式组的整数解求参数，解一元一次不等式得，再根据不等式组解的情况得，进而求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 58．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先求出，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答． 【详解】解：由得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， ∴， ∴关于x的不等式，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 59．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到用、表示的的取值范围，再结合已知的不等式组解集，求出、的值，最后代入代数式求值．本题主要考查了不等式组的解集以及代数式求值，熟练掌握不等式组解集的确定方法以及如何根据解集求参数的值是解题的关键． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集为， ∴，，即． ∴． 故选：C． 60．（2021七年级下·江苏·专题练习）如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 题型13 不等式组和方程组结合的问题 61．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 62．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 63．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 64．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 65．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 题型14 幂的运算 66．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 67．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 68．（24-25七年级上·河南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了乘法和积的乘方的意义，先计算 n 个的和为，再求的平方即可． 【详解】解：， 故选：C． 69．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据积的乘方的性质是指一个乘积的幂等于各因子的幂的乘积，即进行判断即可． 【详解】解：选项A表示同底数幂的乘法性质，故不符合题意； 选项B中是错误的等式，不符合题意； 选项C直接表示积的乘方的性质，符合题意； 选项D表示幂的乘方性质，不符合题意， 故答案为：C． 70．（23-24九年级下·河南·期末）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：选项A：∵， ∴ ，符合题意； 选项B：∵ ， ∴；不符合题意； 选项C：与不是同类项，无法合并，不符合题意； 选项D：∵， ∴， 综上所述：只有选项A正确， 故选：A； 题型15 幂的运算的逆运算 71．（22-23八年级上·福建泉州·期末）代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 72．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法的逆运算以及幂的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握相关计算法则，根据同底数幂的乘法和除法逆运算、幂的乘方逆运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 73．（24-25七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 75．（17-18七年级下·全国·单元测试）已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方的运算是关键． 根据幂的乘方的逆运算得到，，，，再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， 故选：D ． 题型16 同底数幂的除法 76．（21-22七年级下·四川达州·期末）下列运算正确的是（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】运用合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解： A．∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． B．∵，∴B错误． C．∵，运算正确，∴C正确． D．∵，∴D错误． 77．（2016·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 78．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方．熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方法则，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 79．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，将已知条件转化为方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 80．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若且 则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了幂的乘方同底数幂的除法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①，是正整数）；②是正整数）．首先根据分别求出、的值各是多少；然后根据逆用同底数幂相除的公式计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 故选：C 题型17 单项式乘多项式及求值 81．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则，将单项式与多项式每一项分别相乘即可求解． 【详解】解：， 故选： B． 82．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘以多项式以及代数求值，由得到，然后将代数式化简代入求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 83．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式．根据长方形的面积等于长乘以宽，列式计算即可． 【详解】解：长方形的面积为：， 故选：A． 84．（22-23七年级上·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则先展开，再合并，由此即可求解． 【详解】解： ， ∴结果只与有关， 故选：B ． 85．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，将式子变形，代入求值即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 题型18多项式乘多项式及求值 86．（24-25七年级下·云南文山·期末）若，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式运算法则，展开左侧多项式后，对比等式两边同类项系数，即可推得与的关系． 【详解】解：， ， ， ，对任意都成立， 则， ． 87．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含项的系数为1，进而得出答案． 【详解】解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 88．（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据多项式的乘法法则，可求出，从而，即可求解． 【详解】解：∵， 根据题意， ∴， 解得：， ∴． 89．（16-17七年级下·广西北海·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 90．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选：D． 题型19 多项式乘积不含某项求字母的值 91．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 92．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 93．（24-25七年级下·山东聊城·期末）若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，展开多项式并令一次项系数为0，解方程求的值即可得答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：C． 94．（24-25七年级下·山东聊城·期末）若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（   ） A．3 B． C．8 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含关于x的一次项，即含x的一次项的系数为0计算求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含关于x的一次项， ∴， ∴， 故选；D． 题型20 多项式乘法中的规律性问题 95．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含的项，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式中不含的项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的项， ， ． 故选：D． 96．（24-25七年级上·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 97．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 98．（23-24七年级下·山东聊城·期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，关键是利用“首尾为1、中间数为肩上两数之和”的规律，逐步推导的展开式的系数． 【详解】解：观察发现贾宪三角形每行的最左侧和最右侧的数都是；除首尾的外，每行中间的每个数，都等于它肩上两个数的和，所以 第7行(对应：； 第8行(对应：； 第9行(对应：． 观察第9行，从左起第五项的数为，即展开式中从左起第五项的系数为； 故选：D． 99．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据图示，得到，将各选项逐一代入，验证即可． 【详解】解：由图示可得：， A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 100．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键． 题型21 运用完全平方公式进行运算 101．（2026·四川德阳·二模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：∵，∴等式成立，D正确． 102．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 【答案】D 【分析】将两个已知完全平方式展开，相加后消去交叉项，即可求出的值． 【详解】解：①，② 将得： 化简得 103．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 104．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件变形得到对应式子的值，然后根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式，最后利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即的值为． 105．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得，再对所求多项式进行因式分解，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ∴． 题型22 完全平方公式在几何中的应用 106．（21-22六年级下·山东烟台·期末）有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【分析】设正方形，的边长分别为a，b，则可得，，利用完全平方公式的变形运用即可求解． 【详解】解：设正方形，的边长分别为a，b， ∵图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12， ∴，， 即， ∴， 则图②所示的大正方形的面积为． 107．（2026·河南平顶山·一模）已知，，可借助下图直观分析，也可以通过计算求得的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为，其面积可以表示为，也可以表示为中间正方形面积、四个角小正方形总面积与四个矩形的总面积之和，然后直接利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：由， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 108．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解． 【详解】解：令正方形的边长为， ∵， ∴， 则，， 令， 则，， ∴． 109．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 110．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 【答案】B 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 题型23 运用平方差公式进行运算 111．（2026·陕西咸阳·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，先对原式变形出平方差公式的结构，再利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 112．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，符合平方差公式形式，故此项符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 则能用平方差公式计算的有①④，共个． 113．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如果，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式分解后，代入已知条件即可计算出结果． 【详解】解： ∵ ∴， 等式两边同除以3，得 ． 114．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，则的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵， ∴对比等式两边系数得，， ∴， ∵ 25的算术平方根为5， ∴的算术平方根为5． 115．（2026·河北邯郸·模拟预测）甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（    ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 【答案】A 【分析】根据单项式乘多项式法则、平方差公式和完全平方公式，逐个判断计算是否正确即可． 【详解】解：① ， ∴ 甲的计算正确，同桌乙同学的批改正确； ② ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改正确； ③ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； ④ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； 因此同桌乙同学的批改正确是第①、②题． 题型24 平方差公式与几何图形 116．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，图2梯形的高为， 左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 117．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算图（1）和图（2）中阴影部分的面积，根据剪拼前后面积相等建立等式即可得出结果． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积， 即， 图（2）中阴影部分拼成了一个长方形，其长为，宽为， 即， ∵ 剪拼前后阴影部分的面积不变， ∴． 118．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图和图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：； 由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，， ∴阴影部分的面积为：， ∴验证成立的公式为：． 119．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可得出结果. 【详解】解：由图1可知，阴影部分的面积为， 由图2可知，阴影部分的面积为， 故. 120．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 题型25 因式分解 121．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 122．（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求． 123．（24-25八年级下·江西九江·期末）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 124．（2026·江西九江·二模）对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 125．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型26 十字相乘法因式分解 126．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列因式分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．对各选项逐一进行因式分解判断即可． 【详解】解：A．，原因式分解正确； B．，原因式分解错误； C．，原因式分解错误； D．，原因式分解错误． 故选：A． 127．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，需找到两个数满足乘积为常数项6，和为一次项系数即可． 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 128．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 129．（22-23七年级下·浙江金华·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．先利用十字相乘法去掉括号，再根据等式的性质得． 【详解】解：， ∴ 解得：或． 故选：B 130．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 题型27 因式分解的应用 131．（20-21七年级下·广西梧州·期末）已知，且，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先将两式相减，再运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 132．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 133．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知为正整数，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解将方程变形为，利用因数分解求解符合条件的正整数和，再计算的值即可，利用因式分解正确变形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 左边因式分解得，， ∵和为正整数， ∴和均为大于的正整数， ∵大于的正整数因数分解为或， ∴对应两种情况： ①当时，，此时，得， ∴； ②当时，，此时，得， ∴； 综上，的值为， 故选：． 134．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知则代数式的值为（    ） A． B．30 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先求解，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C． 135．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式解 （说明：a，b均为不等于零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题通过两个二次多项式的因式分解，建立参数之间的关系，进而验证四个结论的正确性，需结合代数运算、方程求解及配方法的应用进行分析 【详解】解：∵因式分解为 ∴， 第二个多项式：， ∴， ①当时，代入得，此时，，则，正确； ②当时，由和，解得，正确； ③当时，，得，正确； ④当时，设，则，，得，错误； 故选：A 题型28 分式及其基本性质 136．（24-25七年级下·广西梧州·期末）当时，分式的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式求值，正确计算是解题的关键． 直接将代入求解即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 137．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 138．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 139．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 140．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，可将分式转化为关于的表达式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选C． 题型29 分式的运算 141．（24-25七年级下·广西百色·期末）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算的法则，通过通分将整式与分式化为同分母分式，再进行分子的运算与化简． 【详解】解： 故选B． 142．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 143．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．原式两个分式分母相同，直接合并后分子为，利用平方差公式分解后约分即可． 【详解】解：． 故选：D． 144．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方与积的乘方得到，则可确定a、b的值，然后把它们代入分式中计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 145．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 题型30 分式方程的无解问题 146．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但使原方程分母为零的根；本题中，分母为，故增根为，将原方程化简后代入即可求出的值. 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， 把代入中， ， 解得：， 故选：A． 147．（24-25七年级下·广西梧州·期末）关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为，熟记增根特点是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 148．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，即， ∴， ∴． 故选：A． 149．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题关键．将分式方程去分母转化为整式方程，解得，根据原方程无解得，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 150．（24-25七年级下·安徽池州·期末）以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质、最简分式、分式值为零的条件及分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式的相关知识． 根据分式的相关知识，逐一分析各说法是否正确即可． 【详解】解：∵分式的分子和分母在实数范围内无公因式，无法约分， ∴是最简分式， ∴说法正确， ∵将、扩大到原来的倍，分式变为， ∴分式的值扩大为原来的倍， ∴说法不正确， ∵分式的值为时，分子 解得，， ∵分母， ∴， ∴说法正确， ∵方程无解，或， ∴说法不正确， ∴说法正确的有个， 故选：． 题型31 列分式方程 151．（24-25七年级下·全国·期末）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做6个，甲做60个所用的时间与乙做90个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设甲每小时做x个，那么所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲每小时做x个，则乙每小时做个，根据甲做60个所用的时间与乙做90个所用的时间相等，列方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个， 则， 故选A． 152．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5000米的比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟米， 可列方程， 故选B． 153．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，实际每天植树量为原计划的1.2倍，即．通过比较原计划与实际完成天数的差值为5天，即可列出方程． 【详解】设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得，． 故选：A． 154．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 155．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解方程所表示的意义是解题的关键．设原计划每天铺设管道米，由管道长为米，可知表示原计划铺设管道所需的天数，方程右边表示实际施工时每天铺设米（即比原计划增加了）所需的天数，方程左边比右边多4天，说明实际天数比原计划少4天（即提前4天），据此即可解答． 【详解】解：设原计划每天铺设管道米，可得方程， 可知题中用“________”表示的缺失条件为：比原计划增加了，结果提前4天完成任务， 故选：A． 题型32 相交线的相关概念 156．（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 157．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 158．（24-25七年级上·江西南昌·期末）王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 故选：C． 159．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，是直线上一点，射线在直线的上方，且射线平分，射线平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是正确理清角度之间的数量关系． 由角平分线得到，，然后根据邻补角的定义得到，据此代入求解得到，然后根据，即可求解，即可求解． 【详解】解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 160．（21-22七年级下·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 题型33 平行线的判定 161．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 162．（2024·贵州黔南·一模）下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由平行于同一直线的两条直线平行知，说法正确； B、根据内错角相等，两直线平行知，说法正确； C、不是直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，无法判断直线的位置关系，说法错误； D、根据同旁内角互补，两直线平行知，说法正确； 从而错误的说法是C． 163．（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 164．（2024·江苏盐城·二模）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 165．（21-22七年级下·重庆·期末）如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故①符合题意； ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 根据，都不能证明，故②③不符合题意； 题型34 平行线的性质 166．（21-22七年级下·四川达州·期末）如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 167．（21-22七年级下·云南文山·期末）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ． 168．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定定理逐项分析即可． 【详解】解：， ， ，， 故A、B、C选项结论正确，D选项结论不一定正确． 故选：D． 169．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 170．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 题型35 平移 171．（22-23七年级下·北京丰台·期末）在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 172．（21-22七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 173．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 174．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 175．（21-22七年级下·新疆和田·期末）如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：①由平移可知，， ∴三角形是直角三角形，故①正确； ②由平移可知，，故②正确； ③由平移可知，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形， ∴，， ∴四边形的周长，故④正确； ⑤由平移可知，，，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③④⑤． 题型36 实数阅读型解答 176．（21-22八年级上·河北承德·期末）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 177．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 178．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是______；的小数部分是______； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了无理数的估算，正确理解材料是解题的关键． （1）先估算出和在哪两个整数之间，再分别减去较小的整数，即是小数部分； （2）估算出在哪两个整数之间，即可求解； （3）根据材料中的方法估算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的小数部分是， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ； （3）∵， ∴ 设，其中， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，所以． 题型37 不等式组的方案选择问题 179．（24-25七年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 180．（21-22七年级下·云南楚雄·期末）随着人们生活水平的提高，对居住环境的高标准，全套承包的装修行业也随之兴起，某装修公司计划在端午节推出两款的装修套餐，据了解，组套餐的装修原料费、组套餐的装修原料费共计万元；组套餐的装修原料费比组套餐的装修原料费少万元． (1)求一组、套餐的装修原料费分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不超过万元的预算，采购组套餐的装修材料（仅购买、两种套餐装修原料，且每种至少购买组），问该公司有几种采购方案？请你设计出来． (3)已知该装修公司端午销售组套餐可获利万元，销售组套餐可获利万元，在（2）中的购买方案中，假如这些套餐全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)一组套餐的装修原料费为万元，一组套餐的装修原料费为万元 (2)该公司共有四种采购方案，具体方案见解析 (3)采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设一组套餐的装修原料费为万元，则一组套餐的装修原料费为万元，根据题意，可列方程，解方程即可； （2）设采购套套餐的装修原料，则采购套套餐的装修原料，根据题意列出不等式组，从而得到，结合为整数，因此，，，，该公司共有四种采购方案，写出每种方案、套餐的装修原料的数量即可； （3）分别计算（2）中每种方案的利润，比较后得出最优解． 【详解】（1）解：设一组套餐的装修原料费为万元，则一组套餐的装修原料费为万元， 根据题意，可列方程， 解得， ， 答：一组套餐的装修原料费为万元，一组套餐的装修原料费为万元． （2）解：设采购套套餐的装修原料，则采购套套餐的装修原料， 根据题意，得， 解得， ∵为整数 ∴，，，，该公司共有四种采购方案， 方案一：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案二：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案三：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料； 方案四：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料． （3）解：方案一获得的利润为：（万元）； 方案二获得的利润为：（万元）； 方案三获得的利润为：（万元）； 方案四获得的利润为：（万元）； ∵， ∴方案四获得的利润最大，最大利润为万元． 答：采购套套餐的装修原料，套套餐的装修原料获得的利润最大，最大利润为万元． 181．（21-22七年级下·四川泸州·期末）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件；方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件；方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件；选择方案三利润最大，为864元 【分析】（1）根据“购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元”列方程组求解即可； （2）根据“总利润=单件的利润×数量”列式即可； （3）先根据“A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元”列不等式组求出m的取值范围，然后可得满足条件的进货方案，再分别计算出各方案的利润，进而可得答案． 【详解】（1）解：设A种服装的进价是元，B种服装的进价是元， 列方程组得：， 解得， 答：A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元； （2）解：设购进B种服装件，则购进A种服装件， 由题意得； （3）解：购进B种服装件，则购进A种服装件， 根据题意得， 解不等式组得． 因为应该为正整数，所以＝10，11，12，则＝24，26，28， 所以有三种进货方案： 方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件； 方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件； 方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件； 方案一所得利润：元； 方案二所得利润：元； 方案三所得利润：元； 所以应该选择方案三利润最大，为864元． 题型38 不等式组的分配问题 182．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 183．（21-22八年级下·江苏南通·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 184．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 题型39 不等式与几何动态问题 185．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 186．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 187．（24-25七年级下·重庆·期末）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 题型40 公式法与几何图形的综合应用 188．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小长方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______； (2)应用（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）根据题意可得图1中阴影部分的面积是：图2中阴影部分的面积是，即可解答； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是： 图2中阴影部分的面积是， 根据两部分阴影面积相等即可得到：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ② 189．（24-25七年级下·河北保定·期末）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【探究】观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：______； (2)【应用】根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)若x满足，求的值； 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件代入（1）的公式计算即可； （3）对（1）所得公式进行变形，代入已知条件计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵，，， ∴， ． （3）解：∵， ∴ ． 190．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有4个边长为的正方形，1个边长为的正方形，4个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为______； (2)观察图3， ①从图3中得到______； ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，代数式的值． 【答案】(1) (2)①，②25 【分析】本题考查整式乘法公式的几何背景及其应用，能够理解图形面积和代数恒等式之间的对应关系是解题的关键． （1）根据图象可知，，再根据完全平方公式即可求解； （2）①根据图象即可求解；②根据①中公式代入即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由图可知，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由①可知，， ∵， ∴， 则， 即． 题型41 因式分解阅读型解答 191．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解． 192．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 193．（20-21七年级下·广西来宾·期末）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：； ， 因为，即的最小值是0，所以的最小值是5． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求的最小值； （3）求的最大值． 【答案】（1）；（2）2020；（3）2020 【分析】（1）根据材料运用配方法即可解答； （2）先根据材料运用配方法得到，再根据，即可解答； （3）先根据材料运用配方法得到，再由因为，即可解答． 【详解】解：（1） （2） 因为，即的最小值是0． 所以的最小值是2020． （3） 因为， 所以，即的最大值是0 所以的最大值是2020． 【点睛】本题考查了因式分解和配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型42 分式方程的综合应用 194．（24-25七年级下·河北·期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 【答案】(1)A类5平方米，B类3平方米 (2)3种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可； （2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10300元，列出一元一次不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积3平方米． （2）解：设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或21或22． ∴或69或68， 方案一：建造A类摊位20个，建造B类摊位70个； 方案二：建造A类摊位21个，建造B类摊位69个； 方案三：建造A类摊位22个，建造B类摊位68个． ∴该社区共有3种建造方案． 答：社区共有3种建造方案． 195．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【答案】(1)乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元 (2)共有14种方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元，根据“用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同”，可列出关于的分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副，分和两种情况，根据“总费用不超过1460元”，分别列出一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 196．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 题型42 根据平行线的性质探究角的关系 197．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 198．（24-25七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据平行线的性质得出，再结合，得出，从而可得，于是可证得． （2）先根据平行线的性质得出再结合，，，得出，从而可得，于是可证得. （3）先根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的性质得出，从而可得，结合，得出． （4）先得出，再根据平行线的性质得出，得出，结合，从而可得． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． （2）解：如图1，∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴. （3）解：过E作. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：过点F作，如图4所示，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 199．（24-25七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 题型43 平行线的综合探究题 200．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 201．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 202．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 2．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴ ∴ 3．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 4．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)小明从第①步出错，小红从第②步出错 (2)，正确计算过程见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据两位同学的解题步骤进行判断即可； （2）将原式通分并计算后再约分即可． 【详解】（1）解：由题干中的解题步骤可得小明第①步出错，小红第②步出错； （2）解： ． 5．如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      6．中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足，那么就称点为“中山点”． (1)判断点是否为“中山点”，并说明理由； (2)若点是“中山点”，求k的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”，求p，q的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)，． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、点的坐标及二次根式的运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题意得到，，求出，，然后代入求解判断即可； （2）根据“中山点”的定义得到，，表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）首先解方程组得到，然后根据题意得到，，表示出，，根据得到，然后根据p，q为有理数求解即可． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∴， ∴ ∴点是“中山点”； （2）解：若点是“中山点”， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得； （3）解： 得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”， ∴，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵p，q为有理数， ∴， ∴， ∴． 7．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 8．阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 【答案】（3）；（4）19 【分析】本题考查数字的变化类，解分式方程，掌握列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （3）由运算规律即可得出答案； （4）由运算规律即可得出一般性的规律，根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：（3）由运算规律可得：， 故答案为：； （4）由运算规律可得：， 则 ； ∵结果的小数部分为0.95，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 9．下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 10． 年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种型号机器人．已知用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人． (1)求采购一台型机器人、一台型机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍．求该公司有多少种采购方案？ (3)采购要求与（）中一致（总预算不超过万元，总数量为台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍），因型机器人非常紧俏，每台型机器人进价提高万元，型机器人进价不变，最终该公司以万元的最低价格完成采购，直接写出的值． 【答案】(1)采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元； (2)该公司有种采购方案； (3)的值为． 【分析】设采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元，根据“用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设采购台型机器人，则采购台型机器人，根据“该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出该公司有种采购方案； 设采购台型机器人，则采购台型机器人，结合中的采购要求列出一元一次不等式组，结合其解集分、及三种情况考虑，利用总价单价数量，可得出购买单价低的数量越多，总价越低，结合最终该公司以万元的最低价格完成采购，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元， 根据题意得， 解得， 答：采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元； （2）解：设采购台型机器人，则采购台型机器人， 根据题意得， 解得， 为整数， 种， 答：该公司有种采购方案； （3）解：设采购台型机器人，则采购台型机器人， 根据题意得， 解得， 当，即时，不等式组的解集为， 则有， 解得； 当，即时，不成立，该情况舍去； 当，即时，由得， 此时，不符合题意，舍去． 答：的值为． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准各数量之间的关系，正确列出相应的方程或不等式求解． 11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2) (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； （2）解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 147 / 147 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $