6 用导数研究函数的性质（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

**基本信息** 按函数单调性、极值、最值分层设题，从基础辨析到综合应用，梯度递进，适配新授课知识巩固与思维训练。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性判断、极值概念、最值计算|选择填空为主，如单调性区间选择、极值点判断，培养运算能力与概念理解| |综合层|单调区间求解、含参单调性讨论、极值计算|解答题为主，如求函数单调区间、讨论参数对单调性影响，发展推理能力与步骤表达| |拓展层|不等式恒成立、实际应用、导数几何意义综合|多选与开放题，如存在性问题、五边形面积最值，体现模型意识与应用能力|

2.6用导数研究函数的性质 题型一 函数的单调性 1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案． 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 3．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为,求导得 当时，,则函数在上单调递减， 当时，,则函数在上单调递增. 因，则. 5．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 6．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 7．已知函数在存在单调递增区间，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意可转化为在有解，进而再转化为函数的最值问题解决. 【详解】因为在存在单调递增区间，所以在有解，即在有解． 令，，则，故在单调递增， 所以，故的取值范围为． 故答案为：. 8．已知定义在R上的函数满足，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意知，故函数在R上单调递增， 因为，所以，解得， 即实数m的取值范围是. 9．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)单调递减区间为，递增区间为； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，定义域为R， ，令，即， 令，即，令，即， 所以函数的单调递减区间为，递增区间为； （2）函数的定义域为，又， 令，得，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 题型二 函数的极值 1．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 3．若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解. 【详解】易得，则，解得． 当时，， 所以当和时，， 当时，，故是的极小值点，符合题意． 所以. 故选：B. 4．若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 5．（多选）下列函数存在极值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求导确定函数单调性，再结合极值概念逐项判断即可. 【详解】选项A：，求导得​，令，得. 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 即是极大值点，存在极值，A正确； 选项B：，求导得， 令，得，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，即是极小值点，存在极值，B正确； 选项C：，求导得， 判别式，恒大于0，函数单调递增，不存在极值，C错误； 选项D：，求导得，函数单调递增，不存在极值，D错误. 6．（多选）已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的极大值为，极小值为 B．函数的单调增区间为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得或，由，得， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误； 所以当时，取得极大值， 在时，取得极小值，故选项A正确； 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即，故选项D正确. 7．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 8．若是函数的极值点，则曲线在处的切线的斜率为_________． 【答案】/0.75 【详解】由函数求导得， 因为是的极值点，所以，解得， 则，由可得曲线在处的切线的斜率为． 9．求下列函数的极值： (1)； (2)． 【答案】(1)．没有极大值 (2)极大值，没有极小值 【分析】（1）（2）先求出函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而计算即得极值； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得． 令，解得．则当x变化时，的变化情况如下表： x 0 1 0 0 + 0 + 无极值 极小值0 无极值 故当时，有极小值，．没有极大值． （2）因函数的定义域为，且， 令，得或，则当x变化时，的变化情况如下表： x 2 + 0 + 0 + y 极大值 无极值 故当时，y有极大值，没有极小值． 10．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 题型三 函数的最值 1．下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 2．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 3．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 4．如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设,，则， 得，则，， 设函数， 则， 当0时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值． 故选：C. 5．（多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】ABC 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 6．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，为增函数 B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为，求导可得， 选项A：当时，因为对任意恒成立， 所以，为增函数； 选项B：当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，函数在处取得极小值，也是最小值，无最大值； 选项C：当时，的最小值为， 令，因为， 所以化简可得，解得， 当时，的最小值为； 选项D：设函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，在处取得极大值， 所以对任意，. 7．已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 【答案】 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 10．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 1．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 2．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 3．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，分析可知在定义域内单调递增，结合解不等式即可. 【详解】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 5．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 6．（多选）设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．当时， D．曲线上存在无数多对互相平行的切线 【答案】BCD 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 7．（多选）已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值；D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A正确； 对于B：因为， 令，得或. 当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 8．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若方程有两个实数根，则 D．若，且，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】求导即可判断A，利用的单调性，结合分离参变量，可判断B，利用极值点偏移证明，即可判断C，利用同构函数，再消元转化到函数即可求最小值判断D. 【详解】求导得：， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以的最小值为； ， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以的最小值为； 恒等式：,, 当时，，， 所以在上是增函数，故A正确； 当时，，由，故， 由在递增，则， 令，求导得：，得 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以在处取最大值，故​，即正实数的最小值为，故B正确； 由在上单调递减，上单调递增，且最小值， 当有两个实数根，则，不妨设， 假设，则，因为在上单调递增， 所以，又因为， 所以，构造，， 求导得：， 所以在上单调递增， 即，故， 所以不成立，故假设不成立，故C错误； 由得：，且， 因为在上单调递增，故， 所以 ， 则原式化简：， 令，，求导得：， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以在处取最小值，故的最小值为，故D正确. 9．已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解. 【详解】因为，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 且，，若在区间上的最小值为， 因为函数取到值为的点为或， 所以对区间的最小值进行分类讨论： 若区间包含极小值点，则，解得； 若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。 所以当在区间上的最小值为时，或. 10．已知函数存在极值，则实数的取值范围是___________，若对恒成立，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】先确定函数定义域，再对函数求导，根据极值存在的条件，分析导数的取值情况，进而得到实数的取值范围；将不等式变形，分离出参数，转化为求新函数的最小值问题，再通过基本不等式找到其最大值. 【详解】定义域为，求导得： ， 若，则对恒成立，单调递增，无极值； 若，令得，当时，递增； 当时，递减，在处取极大值，存在极值； 因此的取值范围是； 原不等式，代入整理得： ，两边同除以得： ， ，因为, 结合基本不等式（等号当且仅当时成立）， 得： 代入得： ， 存在满足，等号可取， 因此的最小值为，故，的最大值为. 11．已知函数存在两个极值点，且，写出一个满足条件的实数为______． 【答案】（答案不唯一，或均可） 【分析】求导，根据极值点可得或，结合三次函数对称性可得，代入运算求解即可. 【详解】因为，则， 若函数存在两个极值点，则，解得或， 由三次函数的性质可知：函数的对称中心为， 且，则，解得：. 12．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，的单调递增区间为， (2) 【分析】（1）将a的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对a进行讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可. 【详解】（1）当时， ， 所以．由，得或0；由，得. 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，. （2）由题意，得，因为，由，解得，． ①当时，因为，所以，所以单调递增，即． ，即． 设 ，． 所以 ，即恒成立，即，所以不等式无解； ②当时，当变化时，，变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 且， ，因为，所以 ， 因此恒成立， 若，使，则 所以所以 解得． 综上所述，参数的取值范围为. 13．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求取值范围； (3)若，求证：函数有两个大于1的零点． 【答案】(1)时在上单调递增，时在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号，进而确定区间单调性； （2）问题化为，应用导数研究左侧的最小值，利用不等式恒成立求参数范围； （3）应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理确定零点的范围，即可证. 【详解】（1）由题意，， 当时，，故在上单调递增； 当时， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减. （2）当时，不等式可化为， 令 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 所以 ， 设 ，则 ， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时， ， 所以的取值范围是； （3）由题意，，易知为增函数， 又，且，故，又 ， 故，使得 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， ， 令 ，， ， 故在上单调递减， ， 所以 ，又， 故，使得，又 ， 对于，，则， 故在上单调递增，则，即， 对于，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即，故， 令 ，，则 ， 所以在上单调递增， 所以 ， 所以，故，使得， 综上，函数有，两个大于1的零点. 14．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 1．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，结合函数极值点的定义可得出实数的取值范围，求出该函数的极小值，根据函数无零点可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围； （2）分析可知，存在、使得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出，即可解出实数的取值范围； （3）分析可知，证明出，可得出，所以，再证明出，即可得出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． （2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． （3）设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 2．拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 (1)求函数在上的值域； (2)已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）整数的最小值为1 【分析】（1）求导，利用导数可得函数的单调性，进而可求得值域； （2）（i）要证不等式成立，需证，令，需证，构造函数，利用导数证明即可； （ii）不等式等价于，令，可得，构造函数，利用导数，可得整数的最小值. 【详解】（1）由，可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以，又， 所以函数在上的值域为； （2）（i）由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）不等式恒成立， 等价于，又， 所以等价于， 令，则等价于， 即， 即等价于， 所以等价于， 令，求导得 ， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以整数的最小值为1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6用导数研究函数的性质 题型一 函数的单调性 1．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在存在单调递增区间，则a的取值范围为______． 8．已知定义在R上的函数满足，且，则实数m的取值范围是______． 9．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 10．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型二 函数的极值 1．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 3．若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 4．若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数存在极值的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的极大值为，极小值为 B．函数的单调增区间为 C．函数的单调减区间为 D．曲线在点处的切线方程为 7．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 8．若是函数的极值点，则曲线在处的切线的斜率为_________． 9．求下列函数的极值： (1)； (2)． 10．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 题型三 函数的最值 1．下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 2．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 6．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，为增函数 B．， C．， D．， 7．已知函数，则函数的值域为____________． 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 9．已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 10．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 1．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 6．（多选）设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．当时， D．曲线上存在无数多对互相平行的切线 7．（多选）已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 8．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若方程有两个实数根，则 D．若，且，则的最小值为 9．已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 10．已知函数存在极值，则实数的取值范围是___________，若对恒成立，则实数的最大值为___________． 11．已知函数存在两个极值点，且，写出一个满足条件的实数为______． 12．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 13．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求取值范围； (3)若，求证：函数有两个大于1的零点． 14．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 1．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 2．拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 (1)求函数在上的值域； (2)已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.6用导数研究函数的性质 题型一函数的单调性 基础达标题© 题型二函数的极值 用导数研究函数的性质 题型三函数的最值 能力提升题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一函数的单调性 1.A 2.C 3.B 4.c 5.ABD 6.CD 7.（-0,12e) 9.【详解14)由)=(+)e,定义域为R, f)=e+r+e=(+2e,令f)=0,即x=-2 令f>0,即x>2,令k0,即x<-2, 所以函数（因的单调递减区何为心，-2），递增区间为-2，+切网）： ②函数刊-的定义装为0又了内) x2 令f)=0,得=1，当e0时，f)>0.所以四在o,上单调遥增： 当∈+）时，f)<0,所以/（因在+）上单调道液。 所以/的单调遥增区间为0），单调递减区间为+网) 试卷第1页，共3页 10. 【详解】山当a=1时，f()=e-xf0)= f'(x)=e-1f'(0)=0 曲线'=f四在点0，/(o》处的切线方程为= 2)f'()=e*-a 当0≤0时，)20.f是增函数。 当a>0时，令八()=0 解得x=lna 当e(,n时，f)k0,当x∈a,+o）,f(>0 所以/（在心血上单调速减，在血+四 )上单调递增. 综上，当a≤0时，f)在0，切)上单调递增： 当a>0时， f在←o,血)上单调递减，在 (Ina,+oo) 上单调递增， 题型二函数的极值 1.A 2.D 3.B 4.C 5.AB 6.ACD 3 7. 3 8.40.75 9.【详解】4)函数f=(-+1的定义域为R,求导得f=6(-=6x(x+6x- '(x)=0 x=-1,x2=0,x3=1 f'(x),f(x) 令 解得 则当x变化时， 的变化情况如下表： (（-00,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+00) f'(x) 0 0 0 f(x) 无极值 极小值0 无极值 故当=0时， (x) f(x)极小值=0 有极小值， 没有极大值， 试卷第2页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x3-2 y=-x-22x+0 (2)因函数2-的定义域为（←oU0,+w),且》= 2(x-1)3, 令y=0,得x=-1或x=2,则当x变化时，少，y的变化情况如下表： （-00,-1) (-1,) (1,2) 2 (2,+o0) y + 0 + 0 + 极大值 3 无极值 故当x=-1时，y有极大值8，没有极小值. 10. 【详解】（山由题意得(）-是1-是， 因为2是西数/（的板值点，所/2a+1-4a=0 解得as1 2 -21 2x2 当0 1 x2时，f)<0,西数了四)在0)上单调潘减， 当.…代小0，我日在}网上单网老 2为函数/)的极小值点，满足条件，故0= 2: wsr-》a-ons0 试卷第3页，共3页 x2 ,≠0且 a≠-1 当a>0时，x+a>0:令g(>0得>。令g)<0得0<r< 1 ，+00 0 函数8()在区间a' )上单调递增，在区间a)上单调递减，· 1 当a<0且a≠-1时，x-。0,令g()>0得x>-4令g()<0得0<x<-a a 函数8(在区间a+）上单调递增，8()在区间0-)上单调递减， 1 0, 综上，当a>0时，8()在区间a)上单调递减，在区间a )上单调递增， 当a<0且a≠-时，8（在区间0，-0）上单调递减，在区间 -a,+0)上单调递增 题型三函数的最值 1.D 2.A 3.C 4.C 5,ABC 6.ACD 1 70 -0e 8 9.【详解】(1)易知函数四的定义域为 0,+∞) 根据题意可得f)=+a=1+a 3 ,令f=0,得x= a 0-at.0,即在a座2 (合)时，<0，即回在合+切上华调道减 1 --,+00 所以e=f日=n日}1-2， 解得a=- e 试卷第4页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)由(1)知f=nx-x+2 e, 因为x≥1，所以血x-+2s征可化为≥。名， 一+ e x e x, 设8y=血r12 x e x, 所以8倒=1-hr.2-n-1 x=x2一，则g(x)<0在[，+o)上恒成立， 即可得g(x)在[山，+)上单调递减， b≥g6)=g0=2-1 e 因此6的取值范围是2-。+切 10. 【详解】(4)函数)写+-3x+1求导得)=r+2x-3. 则/0)=f(0)=-3 :曲线=f()在点0，O》处的切线方程为： y-1=-3xy=-3x+1 ，即 (2)令f八()=+2-3=0 解得x=1或x=-3, 当c4-3》时。()》0，f单调通增： 当(3)时.f()0,单调递减 当xe6时，f()小0.f⊙单调递增： (3》为极大值点，0为极小值点， f(4)=34八+(42-3(4)+1=23 3 f(-3)=与（-3八+(-3-3(-3)+1=10 试卷第5页，共3页 f0=30+P-3x1+1= 3 fo)-=6+62-3x6+1=91, 综上可得，函数f(x)在区间[4,6]上的最大值为91，最小值为3： (3)函数8()=/四+b在eR有三个不同的零点， 等价于直线=b与”=/0有3个不同交点， 由②知，的版大值为(3)=10，极小值0=号. 作出（四大致图象如下： 珠 10 y=f(x) =-b -5-3 由图象可知，要使直线=-b与”=有3个不同交点， 2 2 则需满足：一3 <-b<10,解得-10<b< B 能力提升题 1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.BCD 7.ACD 8.ABD 9.1≤m≤2或m=-1 （-∞，0) 10. -1 11 或6 6 (答案不唯一， 均可) 12.【详解】(1)当a=1时， f()=e*- 2x+1 试卷第6页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以f()=c+e-x-1=(e-x+.由f(>0,每x<-1或>0：由<0.得1<x<0 所以因的单调递减区间为-10)，的单调递增区间为2，-，(Q,+四) (2②由题意，得x2),因为f()-(ar+1e-小，由f)=0,解得= ax3=0 ①当a>0时.因为≥1，所以/儿)>0，所以（刊单调递销，即=f0 f0=e-号经即e-a<0 设8(a)=e-ala>0),g'(a)=e-1>0 所以8(a)>80)=e-0=1>0,即e>a成立，即8a>0,所以不等式。-a<0无解， ②当a<0时，当x变化时， f(x)f(x) 变化情况如下表： (-0,0) 0 0,- a f'(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 且f(0)=1>0, f)-3-e-a. 因为a<0,所以f0-号=e-a>0 因此/0>号恒成立， a 若 ，使 则 3x21 号 -1<a<0, -1<a<0, 所以 0+12所以-2a1+2 ae 2a e 试卷第7页，共3页 2 解得 2-。<a<0 e 综上所述，参数。的取值范围为 13.【详解】(1)由题意， f(x)=e*-b 当b≤0时，代)》0，故儿冈在R上单调道增： 当b>0时， 令e-b>0,得x>的，f(在b,+)上单调莲增 今e-b<0,得x<hb,f在o,lhb)上单调道减 （2)当b=l时，不等式/()s8()可化为r+e2-alnr20, 令h()=x+e2--alnx(x>0),()=1-e--a xx x∈(0，a)N()k0,h(在(0，a)上单调递减， xe(a,+o）,h()>0,h在a,+切)上单调递增， 所以(m=h(a)=a+e2-aina≥0 t设H(a)=a+e-ahaa>0),则r'(a)=-a, ae(0,),H(a>0,H(a在o,1)上单调递增， a∈(L,+o）H(a)0.H(@)在，+w)上单调递减， 当a→0时H(a)→e2.H(e2)=0 所以0的取值范围是(0，c], (3)由题意，8=e-,易知g'6)为增西数。 试卷第8页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又8(2)=e-号，且a>2e,枚gp<0,又ga)=e-10, 故e(2.0,使有3()=e-号=-0 ,a=e, x∈(0，x)g()<0,8(四在0，）上单调递减 xe(,+0).8(>0.8)在+切)上单调递增。 g(x)min=g(xo)=e-alnxo=e"(1-xolnxo) 令o(=1-tx,x∈(2，a）p()=-1-lnr<0 故（在2a)上单调通减，p()小水9(2）=1-2h2<0 所以86-=e1-n,)k0,又80=e>0. 枚e）使得8(6)=0，又8a)e-a, 对于y=e--l,x∈0，+o）,则y=e-1>0 故y=e-r-l在0，+切)上单调递增，则y=e-x-1>0,即c>x+1, 对于y=nx-x+1,xe(0+w,则y=1, 当0<1时，广-10，则y=nr-+1在0)上单调送8， 当x>1时，y-1<0,则=nr-+1在，+o)止单调遥减。 所以y=lnx-+1≤0，即hx≤x-1,故nx之-(x-) 含(a)=e-aiha,（a>2c2）.则h(a)=e-la-1>(a+l-(a-l)-1=l>0 所(a)在2e,)上单调道增， (a)>h2)--2e'(2)>e-2c'Ine'-e-6e0 试卷第9页，共3页 所以8@)>0，放c氏，，使得8)=0， ，故 综上，函数8四)有义，两个大于1的零点 14.【详解】()由题可知f0)=21h2-1 f=in(+)+1-1=h(x+0,则f0=i2, 故曲线'=/儿在点f0》处的切线方程为-(2h2-)=h2(:-) 即y=lh2x+ln2-l: （x+l)ln(x+l)-x≥sinx-x (2)要证明fx≥sinx-x,即证 即证x+1h(x+1）-sinr≥0 令8()(+)(x+)simr,定文域为-1+m）,显然80)=0 则8'()=h(x+1)+1-cosx,其中8(o)=0, 当xe(-L0)时，令h()=g'()=h(x+1)+1-cosx,则()=+simx, x+1 其中x1,snxE(snl0,故(e)-+sm>0, 放3'()=h(+)+-cosx在xe(,0)上单调递增， 又80)=0，散8)k0在xe(-1,0)上恒成立， 故8(=(x+)血(x+1)-sin在x∈(1,0)上单调递减。 当xe(0,+o）时，g'因=血(r+)+1-cosx≥h(x+)>0 所以8()在x(0,+切)上单调递增。 所以8)≥g(0)=0 恒成立，从而fx≥sinx-x,当x=0时，等号成立： 试卷第10页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)由(2)知，当r∈(0，+w)。 (x+1)In(x+1)>sinx 时， 1 a+气时小 sin n=n n +1n+1n, x+1 n n s<ma+） 故n+1n n=In(n+1)-in sinl+2sint.+sin-<In2-In1+In3-In2+...+In(n+1)-Inm n+ln In(n+1)-In1=In(n+1),nEN" 拓展培优题 1.【详解】(1)因为f)=x+ainx(a∈R),则f()=1+=+(x>0), xx 当020时.f(>0,此时函数(0在0，+切)上单调递增，函数 无极值点，不符合题意： 当0时由/创0可利>。.由0 得0<r<-a 此时函数因在0-@)上单调递减，在a+切）上单调递增。 则函数x 有极小值点x=-a,故f的极小值为f(-a)=-a+an(-a） 因为函 f四无零点，所以al血(-a)a>0,即n(-a)-1<0,即0<-a<e,解得e<a<0, 综上，“的取值范围为 -e,0) (2)由f(x)的图象在区间4' 内存在两条互相垂直的切线， 可知存在m、 n2使得rmr)- 试卷第11页，共3页 当a≥0，则 (x)>0 不符合题意。 当a<0时， (在0，+切)上单调递增。 r在2内的恤装rre回 份)re)-2a.+a+2.-1 1 所以，由题意可得 12 2 整理可得402+9a+4<0,解得-9+亚<a5-9-亚 8 8 因此，”的取值范围为 9+V17_9-/17 8 8 (3)g(x)=f(x)-bcosx=x+alnx-bcosx,()=1+4+bsinx, 因为0<b<1,所以1+bsinx≥1-b>0. 当≥0时，g()>0,8()在Q+）上单调递增，不符合题意，所以a<0. 由8(G)=8(西），得alhx,-lnx=b1csx-cosx,小X-x 设hx=x-cosx,则 ()=1+sinx20,所以h(四在R上单调递增 ,所以 又因>5 ,所以X1-C0sX1>X2-C0sX2, 所以C0sX1-C0sX2<X1-X2,所以bC0sX1-CosX2<bX1-X2, -2< a 所以a(nx-lnx,)<(b-l(x-),所以nx-lb-l, an-in 因为当>1时，p0水0所以PO在+o)上单调通减。 试卷第12页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为p0=0,所以当，>1时，p0)<0,即lm2<1- 7 xx2, X->Nx 又因￥>x3>0,所以nx-lnx, 又因为5>0，品0.所以5司6月 2。【详解】)由/)=h,可得了)=nr+1,令+1=0，解得=， 当≤6时，水时1-0，两酸付-加在)上单商意就 1 「11 1 当e 所以-gn-,x)-日g是e-eea心 e (2)(i) 0<a<6f(⑤)=fb)-f@ b-a,结合拉格朗日(Lagrange)中值定理可得5∈(a,b), 要E25<a+6:西T5<“生”，又了=x+1在Q+o)上年河道， 故只需证 srf）.ze-0 b-a, 所以只需证b-a 即证 inb-alna<(-a)in(a) 试卷第13页，共3页 b 令=2>1，则b=t a 6-ha<6-o加9）-于-aa-m2）-o 不等式 Inat-ha<(-1)Ina+(1) 只需 tna-rIna<(-1)+( 即Ehr<-n生6-) ◆s0=6-告-小-h. 米20-学-小品1--=h0-品br 令0)-n生r 0品090品 求导得 l+）+2-0+).1-1 t(1+t)）月 +7>0. 所以80在+到L*毫0.前e0-告>g0-生品1-0 所以80)>g0,-m--小a>0-h生-0-少1x1=0 -》6-》度 故25<a+b 试卷第14页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a不等我@+f62r生）6- 恒成立， 等t价于ana+6<22n空+6-a.义a≥0 所以等价于 a 令-名e.则等价于na+na<0+h+-). 即nawc0+加a0+h生+-. p等价于：<0+n生+-。 2 所以等价 int-(1+)1+t t-1 nt-+)h 令h(t)= 2,求导得h()= a1-h生-e+0,-0少--0h t-1 (t-1) n+1-n安je-)-r-0+n生） (-102 -h告k-0-h-0+h2 (-1 thr-n1--0hl2）ht-0+hl） (t-1) -+2h1+4n0+ 4t (-1 (-12· 试卷第15页，共3页 In(+ 又因为，所以>1所以 t>1 4t 4。>0,所以0)>0' 所以0在L3)上单调递增。 3h3-(+3)m1+3 所以h(t)s(3)= -3n3-4ln2_ln33-ln24 3-1 2 2 、ln33-ln24 所以2 ，即k≥h3-ln24=h27 2 6 所以整数k的最小值为1. 试卷第16页，共3页