重难专题02 利用导数解决函数零点问题（4大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

重难专题02 利用导数解决函数零点问题 题型一 判断或讨论零点（根）的个数 1．（24-25高二下·北京海淀·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．(多选)（24-25高二下·河北邢台·月考）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．有两个零点 C．曲线在点处切线的斜率为0 D．是偶函数 3．（12-13高二上·浙江温州·期末）已知函数，是的一个极值点． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求方程的解的个数． 4．（21-22高二下·江苏苏州·期末）已知函数且. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求函数零点的个数. 题型二 由函数的唯一零点求参数的值 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 题型三 由零点的个数情况求参数范围 1.（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 4.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 题型四 函数零点的证明问题 1.（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 2．（25-26高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 1．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)当时，求函数的最小值； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）证明：存在，使得在区间内恒成立，且函数在上的零点唯一. 6．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知函数，（且）． (1)设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； (2)若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 7.（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 4.（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数和. (1)若，证明：对. (2)若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； (3)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题02 利用导数解决函数零点问题 题型一 判断或讨论零点（根）的个数 1．（24-25高二下·北京海淀·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】记，函数的定义域为， ，故函数在上单调递增. 又，所以函数的零点个数为. 故选:B. 2．(多选)（24-25高二下·河北邢台·月考）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．有两个零点 C．曲线在点处切线的斜率为0 D．是偶函数 【答案】AC 【解析】由题意，， 在中，， ∴当时，， ∴曲线在点处切线的斜率为，C正确； A项，当时，， 故在单调递增，A正确； B项，当时，， 当时，，所以只有0一个零点，B错误； D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误. 故选：AC. 3．（12-13高二上·浙江温州·期末）已知函数，是的一个极值点． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求方程的解的个数． 【解析】解析：（1）. ∵是的一个极值点， ∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. ∴函数的单调递增区间为，. （2）求方程的根，即求：的解的个数， 令，， 故g（x）在递增，在（1,2）递减，， 故，方程有一个解 当时，方程有两个解时，方程有三个解 4．（21-22高二下·江苏苏州·期末）已知函数且. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求函数零点的个数. 【解析】（1）解：由题意得： ， 令，得或（舍去）， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数有极小值，无极大值. （2）由（1）得.因为， ①若，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以有极大值， 极小值，又， 所以函数有1个零点. ②若，则，所以函数单调递增， 此时，所以函数有1个零点. ③若，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以有极大值，显然极小值， 又，所以函数有1个零点. 综上所述，当时，函数的零点个数为1. 题型二 由函数的唯一零点求参数的值 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 【答案】0 【解析】有1个零点，则方程有1个实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，又当时，；当时，， 所以要与的图象有一个交点，则，解得． 故答案为：0 题型三 由零点的个数情况求参数范围 1.（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 2.（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 4.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 所以， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，可得， 令， 函数恰有三个不同零点，则函数图象的与直线有3个不同交点， ， 令，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 作出函数的大致图象， 所以.    题型四 函数零点的证明问题 1.（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【解析】（1）若，则， 所以，函数在处的切线方程为； （2）的定义域为， 当时有且仅有一个零点4： 当时，，函数递增，由，知存在唯一零点； 当时，令得， 当时，函数递增： 当时，函数递减； 当时，函数递增： 当时，，所以，函数无零点； 因为当时递减，当时递增， 且，所以存在唯一零点. 综上所述，当时，有且仅有一个零点. 2．（25-26高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 【解析】（1）当时，， 则. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即. （2），当时，. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 又，函数在处取得极小值， 故在上的唯一零点是 所以当时，仅有1个零点. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 因为，所以，则， 又，当时，，所以必存在唯一的，使得， 所以当时，有2个零点. 1．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 2．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 3.（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)当时，求函数的最小值； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）证明：存在，使得在区间内恒成立，且函数在上的零点唯一. 【解析】（1）由题意， 令，得， 当，所以在区间上单调递减； 当，所以在区间上单调递增； 所以当时，取到最小值. （2）（i）由已知，函数. 令， 所以. 当时，（即）在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，（即）在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，（即）在区间上单调递增.     （ii）由，解得. 令， 则， 故存在，使得. 令. 由知，函数在区间上单调递增. 所以. 即. 当时，有， 由（i）知，函数在区间上单调递增. 故当时，有，从而； 当时，有，从而； 所以，当时，. 综上所述，存在，使得在区间内恒成立，函数的零点唯一. 6．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知函数，（且）． (1)设的导函数为． ①若与有相同的零点，求的值； ②若对任意，都有，求的取值范围； (2)若存在唯一的实数，使得，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， ①由得，所以，所以． ②原问题转化为在时恒成立． 当时，原不等式可化为，即恒成立， 因为表示开口向下的抛物线， 所以不等式不恒成立； 当时，令，所以，得， （ⅰ）当时，原不等式可化为，所以， 此时，所以的最大值为，所以，所以； （ⅱ）当时，原不等式可化为，所以， 因为在上单调递增，所以，所以． 综上所述，． （2）由题意知，方程有唯一解． 当时，原方程化为，由于，所以， （ⅰ）当，即时，有（*），设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 因为方程（*）有唯一解，所以，所以； （ⅱ）当时，时，方程可化为（**）， 设，则，所以在上单调递增， 又，所以时，方程（**）有唯一解； 当时，有， 又，方程有解； 所以时，原方程至少有两个解（舍去）； 当时，原方程化为， 由于，所以（不合题意）， 所以方程可化为，即， 由（ⅰ）可知在上单调递减， 所以时方程有唯一解，解得（舍去）或； 综上所述，的取值范围为． 7.（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故， 则实数的取值范围为； （2）依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去； 若，则，令， 则，则在上单调递减，且， ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件； ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去， 综上所述，实数的取值范围为. 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 2.（2025·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由函数有两个不同零点， 转化为有两个交点， 构造函数， ，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示 故在单调递减，在单调递增， 所以， 对于①，， 所以， 所以，故①正确； 对于②，由①可知，故， 因此 ，故②正确； 对于③，因为，所以，故， 所以， 则， 构造函数， 则，而， 所以， 所以， 因为，所以， 令，构造，显然单调递增，且， 所以 所以，故③正确； 对于④，由①可知，， 所以， 令，，显然单调递增，且， 所以，故④正确. 故选：D. 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【解析】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故， 故在区间上单调递减，故. 因此成立． 又因为，故． 4.（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数和. (1)若，证明：对. (2)若函数和各有两个零点，求实数的取值范围； (3)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由. 【解析】（1）当时，， 设，， 当时，设单调递增， 当，，所以， 所以当时，单调递增， 所以，所以. （2）由，，得，， 则，的零点等价于，的零点. ，， ；， 在区间单调递增，且在单调递减， 故当时，， 当时，， 若有两个零点，则，即. ；； 函数在区间单调递增，且在单调递减， 当时，，当时，，且， 故当时在区间和各恰有一个零点. 综上的取值范围是. （3）不妨设和的两个零点分别为，和，， 则，，且，. 设，则， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，，单调递增， 故当时，， 即，当时，，即. 故，，同理有， 故，即. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $