专题01 整式的乘法5大考点（期末真题汇编，湖南专用）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 七年级下册整式乘法专题期末试题汇编，涵盖幂的运算、整式乘法、乘法公式等5个核心考点，精选湖南多地期末真题，注重运算能力与综合应用，含定义新运算、数形结合等创新题型。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题覆盖|幂的运算、乘法公式应用|结合真题（如株洲期末幂的大小比较题）| |解答题|综合题为主|整式化简求值、公式逆用|注重逆向思维（如幂的运算法则逆用题）| |创新题|3-5题|新定义运算、数形结合|情境设计（如面积拼接验证平方差公式）|

命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题01 整式的乘法 ☆高频考点概览 考点01幂的运算 考点02整式的乘法 考点03乘法公式 考点04整式的化简求值 题型05整式乘法中的综合题 目目 考点01 幂的运算 1. (24-25七年级下·湖南永州期末)化简：m2·m3= 2.(24-25七年级下·湖南株洲期末)若a=8,a'=9,则a+y= 3.(24-25七年级下湖南株洲期末)已知n为整数，且x=2*3,y=3+2,z=5”,则x,,2的大小关系不可能 是() A.y>x>z B.x>z>y C.y>z>x D.z>y>x 4.(24-25七年级下湖南期末)计算：（-2m)=() A.-6m7 B.-8m C.-2m2 D.-8m2 5.(24-25七年级下·湖南衡阳·期末)下列各式中，计算正确的是() A.（-2a2）=-6a B.2x4.3x2=6x8 C.x'.r'=x D.(x}2=x 6.(24-25·七年级下·湖南·期末)下列各式计算正确的有() @4-7,@到o.35,aryf-16ry,@fj-0 A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④ ) 024 72425六年级下湖胸姿底期末)计第：(12（名 的结果为() A.1 B.6 5 c.s D.1.2 2025 8.（24-25七年级下·湖南期末)计算： ×1.52024×-1)2025= 9.(24-25七年级上湖南株洲期末)计算：(3a)(-a= 1/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 10.（24-25七年级下湖南期末)若2m=a,4”=b,则2m+2"= 11.（24-25七年级下湖南期末)若m+2n=3,则3m.9= 12.(23-24七年级下，湖南永州期末)己知xm=8,x2m+m=128,则x”的值是() A.±8 B.±4 C.4 D.8 13.(25-26八年级上·湖南期末)己知a=26,b=35,c=44,d=53,则a、b、c、d的大小关系0 A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<c<d D.a<d<b<c 14.(22-23七年级上·湖南株洲期末)计算： (1)aa2.a3+a3.a3 ②)3a2a+(-a2'+2a 15（23-24七年级下.湖南张家界·期末)己知：am=3,a=5,求： (I)am+n的值。 (2)a3m+2m的值. 16.(22-23七年级下·湖南·期末)定义一种幂的新运算：x“⊕x=xb+x+b,请利用这种运算规则解决下 列问题： (1)求22⊕2的值； (2)若2P=3,29=5,39=7,求2P⊕24的值： (3)若运算9⊕9的结果为810，则t的值是多少？ 17.(24-25七年级下·湖南永州期末)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向 运用，对于“同底数幂的乘法”幂的乘方“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为am+"=a"·a”, am=(a)”=(a）”,a"b"=(ab)”(m,n为正整数)请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知am=4,a”=3,则a+"= ②计算： 3 ×(-3)”= (2)已知a=2555,b=34,c=433,请比较a,b,C的大小，并用“<”连接起来. (3)若规定：a"÷a=a"-"(a≠0)，am=4,d=3,求a2m-"的值. 18.(23-24七年级下·湖南湘西期末)规定a*b=2°×2°，求： (1)求1*3： 2/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)若2*(2x+1)=64,求x的值. 目目 考点02 整式的乘法 1.(24-25七年级下·湖南张家界期末)计算：-2x3.3y= 2(2425七年级下湖南娄底期末)6y(y 3.(24-25七年级下·湖南娄底期末)下列计算正确的是（) A.a2.a3=a0 B.(a2）3=a C.(-3a'b)"=9a'b D.（-2xy2）3x2y=-6x3y 4.(24-25七年级下湖南株洲期末)某卫星绕地球飞行的速度是3.1×103米/秒，该卫星飞行5×10秒所行的 路程是 米.（结果用科学记数法表示） 5.(24-25七年级下·湖南娄底期末)化简2x(x-1)-xx+5)的结果是 6.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)若(x-2025)(x+2026)=x2+mx-2025×2026,则m的值为() A.1 B.-1 C.2026 D.-2025 7.(24-25八年级上湖南衡阳·期末)若(x+a)(x-5)=x2+bx-10,则b的值是· 8.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)己知a-b=5,ab=3,则(a+1)(b-1)的值为 9.(23-24七年级下湖南永州期中)若(x-2)(2x2+ax-)的乘积展开式中不含X2项，则a的值为· 10.(24-25七年级下·湖南岳阳期末)已知多项式ax-3与2x2+2x+3的乘积展开式中不含x2的项，则a的 值为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 11.（24-25七年级下·湖南株洲期末)已知(x+a(x+b)=x2+mx+n,若不论a为何值，2m-n的值始终是 个确定的值，则这个确定的值是() A.4 B.2 C.-4 D.-2 12.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)某青少年活动中心的场地为长方形，原来的长为a,宽为b.现在要 把四周都向外扩建，长增加2，宽增加1，那么这个场地的面积增加() A.2 B.2a-b C.2a+b+2 D.a+2b+2 13.(24-25七年级下·湖南永州期末)如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要 拼一个长为3a+b),宽为a+b)的大长方形，则需C类卡片张数为() 3/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 b b 0 A.3 B.4 C.5 D.6 14.（23-24七年级下湖南·期末)观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图 形的面积，可以说明下列哪个等式成立() a 6 m A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.(a+b)m=(b+c)m C.a(a+b+c)=a2+ab+ac D.ma+mb+mc=a2+b2+c2 15.(24-25九年级上湖南常德期末)如图，某校园的学子餐厅Wi-Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐 时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络.若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了， 那么被隐藏的两位数是 账号：Xue Zi Can Ting 5⊕3⊕2=151025 9⊕2⊕4=183654 8①6⊕3=482472 学子餐厅欢迎你！ 7⊕2⊕5=143549 16.(24-25七年级下·湖南衡阳·期末)己知(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)x2+x+1=x3-1, (x-1)x3+x2+x+1=x-1,根据前面各式的规律，可得：(2-1)2+24+23+22+2+1= 17.(24-25八年级上·湖南长沙期末)计算：-4x2)(3x-1). a b 18.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)己知 "c d =ad-bc,求下列各式的值. 56 8 (2)若x=2, +12x的值 求 x-12x-3 19.(24-25七年级下湖南邵阳·期末)甲、乙两人共同计算一道整式：（x+(2x+b),由于甲抄错了a的 符号，得到的结果是2x2-7x+3,乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3. 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求(-2a+b(a+b)的值； (2)若整式中的☑的符号不抄错，第二个多项式中x的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果. 20.(23-24七年级下·湖南永州期末)对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学 等式. C a a b b f b a b C 图1 图2 (1)对于等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 ，宽为 ,用长乘以宽可求得其面积.同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和. (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1： 方法2： 数学等式： (3)利用(2)中得到的数学等式，解决以下问题：己知a+b+c=8,a2+b2+c2=26,求ab+bc+ac的值 目目 考点03 乘法公式 1.(24-25七年级下·湖南期末)下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是() A.（m-n)(-m+n B.(m+n(-m+n) C.（m-n)(m-nj D.（-m-n)(-m-n 2.(22-23七年级下·湖南期末)下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是() A.(3x+7y)(3x-7y) B.（5m-n(n-5m】 C.（-0.2x-0.3)-0.2x+0.3) D.（-3n-mnj(3n-mn 3.(24-25七年级下.湖南郴州期末)利用乘法公式化简下列式子：(2x+3川2x-3列= 4.（24-25七年级下·湖南期末)计算：2026×2024-20252= 5.(24-25七年级下·湖南株洲·期末)下列计算正确的是() 5/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2.x3=x6 B.(x)=x C.(2x23=6x D.（x+1)2=x2+1 6.(24-25七年级下·湖南永州期末)下列计算正确的是() A.a2.a4=a8 B.(-2a2)3=-6a C.(a-1)2=a2-1 D.(a+2)(a-2)=a2-4 7.(24-25七年级下·湖南常德期末)已知多项式x2+2(m-1)x+16是完全平方式，则m的值为() A.5 B.-3 C.9或-7 D.5或-3 8.(24-25八年级上湖南长沙期末)若a,b满足(a+b)2=15,(a-b)2=3,则4ab= 9.(2425七年级下·湖南邵阳·期末)若n满足(n-2023)2+(2025-n)2=1,则(n-2023)(2025-n= 10.(24-25七年级下.湖南张家界·期末)已知a+b=8,ab=-2,则(a-b)2的值为 11.(24-25七年级下湖南岳阳·期末)对于关于x的多项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当 x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-2x+3的值是相等的，例如，当x-1=士1即x=2或0时， x2-2x+3的值均为3.故给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时， 该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称.若关于x的多项式x2+2ax+c关于x=-1对称，则a= ；当x=a时，多项式的值为5，则c=· 12.(24-25七年级下·湖南娄底期末)从边长为a的正方形内剪掉一个边长为b的小正方形（图①），然后 将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）·这样操作能验证的等式是() ②@ ① ① ② a 图1 图2 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.a(a+b)=a2+ab D.(a-b)2=a2-2ab+b2 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25七年级下·湖南期末)如图-1，边长为a+b的大正方形内有两个边长分别为，b的小正方形 (a>b),此时阴影部分的面积为12.将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为a,b的两个小 正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4.则P= a b b 图-1 图-2 14.(24-25七年级下·湖南湘潭期末)x为任意实数，已知A=x2-x,B=x-2,则A与B的大小关系是 () A.A>B B.A<B C.A=B D.无法比较 15.(24-25七年级下·湖南益阳期末)计算： (1)2m-1)m+2-m(2m-3) (2)(x+22+(1+x)(1-x) 16.(24-25七年级下.湖南邵阳·期末)计算： (1)3a3÷6a）(-2a)2: (3)(x+2)2-(x-4)(x+4). 17.(24-25八年级上·湖南衡阳期末)(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+6x+9=- 16x2-8x+1=-;9x2+12x+4=-: (2)观察以上三个多项式的系数，有6=4×1×9，(-8)2=4×16×1,122=4×9×4，于是小明猜测：若多 项式ax2+bx+ca>0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系：一 ②解决问题：若多项式(m+8)x2-(2m+4)x+m是一个完全平方式，求m的值. 目目 考点04 整式的化简求值 1. （25-26七年级上湖南株洲期末)若a+b=3,a2-b2=15,则a-b的值为 7/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25七年级下·湖南株洲期末)己知x+y=5,则x2-y2+10y= 3.(24-25七年级下·湖南娄底期末)若a2+7a=5,则(2a+1)(a+3)-(a+3)(a-3)的值为() A.17 B.-1 C.5 D.11 4.(24-25七年级下·湖南娄底期末)己知，a-b=2,ab=1,则a2+b的值为 5.(25-26七年级上·湖南株洲期末)已知a+b=7,ab=6,求： (1)a2+b2: (2)a-b. 6.(24-25八年级上湖南湘西期末)先化简，再求值：2x-y)(2x+y)-2y+x)(2y-x,其中x=2, y=3, 7.(24-25七年级下·湖南永州期末)先化简，再求值：(x-1)-(x-2)(x+2),其中x=-2. 8.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)先化简，再求值：(a+2b)2-a+b)(a-b)-5ba+b),其中a=-2, b=3. 9.(23-24七年级下·湖南邵阳·期末)已知代数式：（m-+(m+n)(m-n+n2. (1)化简这个代数式： (2)若m2-m-6=0,求原代数式的值. 10.(2425七年级下湖南娄底期末)先化解，再求值：2(x+y)(x-y-(x+y'+(x-y2，其中x=2, 11.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a@(2x+b),由于甲抄错了a的符 号，得到的结果是2x2-7x+3,乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3. (1)求(-2a+b)(a+b)的值： (②)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中x的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果。 12.(24-25七年级下·湖南岳阳·期末)先化简，再求值：(a-3)+(a+1)(a-1)-2a2,其中a=-2. a b 13.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)己知 "c d =ad-bc,求下列各式的值. 56 8 8/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 +12x (2)若x=2, 求 x-12x-3 的值。 14.(24-25七年级下·湖南永州期末)先化简，再求值：(a-1)+(a+3)(a-3)+(a-3)(a-1,其中 a2-2a-2=0. 目目 考点05 整式乘法中的综合题 1.(24-25七年级上湖南株洲期末)定义：对于一组关于x的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b, c,d是有理数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x), 称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子，例如：对于多 项式x+1,x+2,x+3,x+4,因为(x+(x+4)-(x+2)(x+3)=(x2+5x+4-(x2+5x+6=-2,所以多 项式x+1,x+2,x+3,x+4是一组黄金多项式，其黄金因子为2=2. (1)小贤发现多项式x+2,x+4,x+9,x+7是一组黄金多项式，其列式为(x+2(x+9)-(x+4)(x+7), 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子. (②)若多项式x+2,x-3,x+6,x+n(n是有理数)是一组黄金多项式，求n的值. (3)若多项式x+m(m为有理数)，x-2,x+1,x+2是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出m 的值. 2.(2425七年级上·湖南株洲·期末)阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问 题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而 达到简化问题，解决问题的目的.在《整式的乘法》一章中，我们学习了完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2,它可以恒等变换为：a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等，我们可以利用 它解决一些问题。 例如：已知(x+3)(x-2)=1,求(x+3)+(x-2)2的值. H G D E B P 解：令a=x+3,b=x-2,则ab=1,a-b=5, (a-b)2=25,即a2+b2-2ab=25. 9/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .(x+3)2+(x-2)}=a2+b2=25+2ab=27. 问题1：已知(x+2)(x-1)=3,请你仿照上例，求(x+2)2+(x-1)的值： 问题2：已知x满足(2024-x)}+(x-2010)2=176,求(2024-x)(x-2010)的值； 问题3：如图，己知长方形ABCD的面积为3，延长BC到点P,使得BP=5，以CP为边向上作正方形 CPMN,再分别以BC、CD为边作正方形BCGH、正方形CDEF,若DN=1,则阴影部分的面积是多少？ 3.(24-25七年级下·湖南岳阳·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性， 可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为α、b的小长方形若干个. E D H S B S2 b G Q 图1 图2 图3 (1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式： ；用四个 相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式(a+b)、(a-b)、4ab之间的等量关系： (2)若2024-m)(2025-m=6,求(2024-m2+(2025-m)2的值. (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形，设AB=7,两正方形的面积和 S,+S2=16,请根据以上信息求图中阴影部分的面积. 4.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末)【探索发现】 数学活动课上，老师准备了四块完全相同的长方形（如图1)，长方形长为Q,宽b,然后按如图2所示的 形状拼成一个大正方形.请认真观察图形，解答下列问题： 6 主舞台 表演区 表演☒ 观众区 b 图1 图2 图3 10/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)观察图1，图2，请写出(a+b)2,(a-b)，ab之间的等量关系：-： 【解决问题】 (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若2x-y=8,y=10,求2x+y的值. 【实际应用】 (3)如图3所示，学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，并利用护栏AC、BD将区域分隔成四个部分. 己知AC⊥BD于点O,A0=0B,D0=OC(OA>OC).计划在△AOD和aB0C区域内展示无人机和机器人表 演，在△D0C和AOB区域内分别是主舞台和观众区，经测主舞台和观众区的面积和为116m2,AC=20m, 求表演区护栏AO比DO长多少 5.(24-25七年级下·湖南期末)学科素养·应用意识【阅读理解】 若x满足(70-x(x-20)=30,求(70-x)2+(x-20)2的值. 解：设(70-x)=a,(x-20)=b,则(70-x(x-20)=ab=30,a+b=(70-x)+(x-20)=50,那么 (70-x)2+(x-20)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=502-2×30=2440. 【解决问题】 (1)若x满足(40-x)(x-10)=-10,求(40-x)2+(x-10)2的值； (2)若x满足(2026-x)2+(2025-x)2=4321,求(2026-x)(2025-x)的值. (3)如图，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ 都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.（结果必须是一个具体的数值） 6.(25-26七年级上·湖南株洲期末)阅读：我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b),观察下列式子： ①x2+4x+2=x2+4x+4-2=(x+22-2, 因为(x+2)2≥0， 所以x2+4x+2=(x+2)2-2≥-2， 所以当x=-2时，原式有最小值是-2； 11/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②-x2+2x-3=-x2-2x+1-2=-(x-12-2, 因为-(x-12≤0， 所以-x2+2x-3=-(x-1)2-2≤-2 所以当x=1时，原式有最大值是-2. (1)已知x2-4x+k是一个完全平方式，则k= (2)①代数式2x2+8x+13有最 (填“小”或者“大”)值为 ②代数式-x2-4x+13有最 (填“小”或者“大”)值为 (3)当x,y为何值时，x2+5y2+2x-10y-4xy+36有最值，最值是多少？ 7.(24-25七年级下湖南期末)定义：若多项式mx+a,mx+b,mx+c满足 mr+b)2-(mx+a)(mx+c=n(其中a<b<c,m,n是常数，且m≠0），则称多项式mx+a,mx+b, mx+c为和谐多项式群”，常数n叫做多项式mx+a,mx+b,mx+c的和谐值”.例如多项式3x+1, 3x+2,3x+3满足(3x+2)-(3x+1)(3x+3)=1,那么多项式3x+1,3x+2,3x+3叫做“和谐多项式群， 常数1叫做多项式3x+1,3x+2,3x+3的“和谐值”. (1)试判定多项式2x-3,2x+1,2x+4是否是“和谐多项式群？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理 由； (②)若多项式mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”（其中a<b<c,m,n是常数，且m≠0)，“和谐 值”为n. ①试说明a,b,c满足的数量关系； ②设S=4n,试说明：S=a2-2ac+c2; (3)x-3,x-p,x-9为和谐多项式群”，p,9满足p>9且p>3(p,9为常数)，“和谐值为g2-6, 求出所有符合条件的P,9的值. 8.(24-25七年级下湖南怀化月考)我们定义：一个整数能表示成a2+b(a,b是整数)的形式，则称这 个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为10=12+32所以10是“理想数” (1)解决问题：己知53是“理想数”，请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式： (2)探究问题：已知x2+2y2-4x+4y+6=0,则x+y= (3)融会贯通：己知s=2x2+y2+2xy+12x+k(xy是整数，k是常数)要使S为“理想数”，试求出符合条 件的k值，并说明理由； 12/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5 (4举一反三：已知实数x,y满足-x2+号x+y-5=0,求y-x最值. 2 9.(24-25七年级下·湖南·期末)图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺 形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系.在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的 方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式. (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式： 利用图2，可以得到等式： 利用图3，可以得到等式： b a-b- b 图1 图2 图3 图4 (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式 (3)结合用(2)中你得到的等式解决问题：若实数a,b,c满足a+2b+3c=6,a2+4b2+9c2=30,求 2ab+3ac+6bc的值； 13/13 专题01 整式的乘法 高频考点概览 考点01幂的运算 考点02整式的乘法 考点03乘法公式 考点04 整式的化简求值 题型05 整式乘法中的综合题 考点01 幂的运算 1．（24-25七年级下·湖南永州·期末）化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数先相加是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运用，根据同底数幂乘法的逆运算法则计算即可求解，掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 4.（24-25七年级下·湖南·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，正确运用运算法则运算是关键． 先用积的乘方运算法则得，再利用幂的乘方运算得结果为． 【详解】， ∴选项A、B、C错误，选项D正确． 故选D． 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方． 根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A： ，原计算错误； 选项B：，原计算错误； 选项C：，原计算正确； 选项D： ，原计算错误； 故选：C． 6.（24-25·七年级下·湖南·期末）下列各式计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键． 根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，逐一判断． 【详解】解：①，正确； ②，不正确； ③，正确； ④，不正确； 正确的有：①③， 故答案为：B． 7.（24-25六年级下·湖南娄底·期末）计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．把原式化为，即可求解． 【详解】解： 故选：C． 8.（24-25七年级下·湖南·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，掌握运算法则是解决问题的关键． 先进行积的乘方，然后利用单项式相乘的乘法法则运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南·期末）若，，则______ 【答案】 【分析】利用指数运算法则，将 分解为，再结合已知条件代入求解．本题考查了同底数幂运算法则：，熟练掌握同底数幂运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为 ：． 11.（24-25七年级下·湖南·期末）若，则__________． 【答案】27 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方法则，利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，即可求解．掌握上述法则的逆运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：27． 12.（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将白变形为求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B 13.（25-26八年级上·湖南·期末）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；将各数转化为同指数形式，比较底数大小即可． 【详解】∵，，，， 且指数均为， 比较底数：， 故． 故选：D． 14．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算同底数幂的乘法，再合并； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． 15（23-24七年级下·湖南张家界·期末）已知：am=3，an=5，求： (1)am+n的值． (2)的值． 【答案】(1)15 (2)675 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式=． （2）原式=． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，解题关键是牢记公式． 16．（22-23七年级下·湖南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 17.（24-25七年级下·湖南永州·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 18．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）规定，求： (1)求； (2)若，求x的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可； （2）把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 考点02 整式的乘法 1.（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算：______________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）_________． 【答案】 【分析】按照单项式乘单项式的运算法则求解，进行幂的运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 3.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式的乘法．利用幂的运算性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，该选项错误，不符合题意； B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为，该选项错误，不符合题意； C、积的乘方，需将每个因式分别平方，应为，该选项错误，不符合题意； D、单项式相乘，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 5.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）化简的结果是______． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式法则展开，再计算整式加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 6.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若，则的值为（   ） A．1 B． C．2026 D．-2025 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 将左边两个多项式相乘，合并同类项后与右边对比，确定一次项系数即可得到的值． 【详解】∵ ∴， 7.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的值是_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 9.（23-24七年级下·湖南永州·期中）若的乘积展开式中不含项，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为，从而可求解，解题的关键是掌握运算法则及明确结果不含项，则其相应的系数为． 【详解】解： ， ， ， ∵乘积展开式中不含项， ∴，解得：， 故答案为：． 10.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含的项，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式中不含的项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的项， ， ． 故选：D． 11.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 对比一次项系数可得． 故选：A． 12.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）某青少年活动中心的场地为长方形，原来的长为，宽为．现在要把四周都向外扩建，长增加2，宽增加1，那么这个场地的面积增加（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查多项式乘多项式的应用，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 计算扩建后的面积与原面积的差值即可得到增加的面积． 【分析】原场地面积为， 扩建后，长变为，宽变为，新场地的面积为， 增加的面积为：， 故选：D． 13．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与面积．利用多项式乘以多项式计算即可求解． 【详解】解：， ∴需C类卡片张数为4张． 故选：B 14.（23-24七年级下·湖南·期末）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 15.（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是________． 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【详解】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 16.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得：__________． 【答案】63 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【详解】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 17.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据单项式乘以多项式等于用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加即可． 【详解】解：原式． 18.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算以及整体代入思想等知识内容，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据新定义代入计算求解即可； （2）根据新定义代入化简，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解： 当时，原式 19．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 20.（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)19 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． （3）解：将，代入得：， 即， 解得． 考点03 乘法公式 1.（24-25七年级下·湖南·期末）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查平方差公式，熟练掌握形如的结构是解题关键 根据平方差公式特点判断各选项是否符合该形式即可 【详解】解：A、， 第二个括号可提取负号，得，原式变为，属于完全平方公式，不符合题意； B、 调整顺序为，即（其中，），符合平方差公式，符合题意； C、即，属于完全平方公式，不符合题意； D、，提取负号得，属于完全平方公式，不符合题意； 故选：B 2．（22-23七年级下·湖南·期末）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答． 【详解】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有． 3.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）利用乘法公式化简下列式子： _____ ． 【答案】 【分析】此题考查了利用平方差公式计算．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·湖南·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟记平方差公式是解决问题的关键． 将转化为，再利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 5.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是幂的运算性质和完全平方公式．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 6.（24-25七年级下·湖南永州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式和平方差公式的应用． 利用同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，但选项结果为，错误． B、，但选项系数为，错误． C、，但选项漏掉中间项，错误． D、，符合平方差公式，正确． 故选：D． 7．（24-25七年级下·湖南常德·期末）已知多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A．5 B． C．9或 D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据完全平方公式可得：， 解得：或， 故选：D． 8.（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若满足，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 得：， 故答案为：． 9.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若满足，则________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键． 根据完全平方公式得出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 又， ， ， 故答案为：． 10.（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知，，则的值为________． 【答案】72 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，掌握完全平方公式的结构特点并灵活运用是解题的关键；由两数和的完全平方公式变形求得，再由两数差的完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； ∴； 故答案为：72． 11.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当即或0时，的值均为3．故给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．若关于的多项式关于对称，则_______；当时，多项式的值为5，则______． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了完全平方式的应用，对多项式进行变形，利用完全平方公式，结合新定义求解即可． 【详解】解：， ∵关于的多项式关于对称， ， ∴，此时多项式为， ∴时，， ∴， 故答案为：1，2． 12.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）从边长为的正方形内剪掉一个边长为的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）．这样操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别由代数式表示出两个阴影部分面积，再由图1和图2中阴影部分面积关系即可得到答案．数形结合，准确表示出图1和图2中阴影部分的面积是解决问题的关键． 【详解】解：图1阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：； 图2矩形面积：； 由题意可知图1和图2阴影部分的面积相等，则， 故选：B． 13.（24-25七年级下·湖南·期末）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）为任意实数，已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减和完全平方公式，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 通过作差法比较A与B的大小，计算并分析其符号． 【详解】解：， 则， 故选：A． 15.（24-25七年级下·湖南益阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并即可； （2）运用完全平方公式以及平方差公式的运算，然后合并即可解题． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及单项式的乘除法运算，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】此题考查了完全平方式，列代数式． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可； ②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，； （2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为； 故答案为：； ②∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：． 考点04 整式的化简求值 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 【详解】解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，则________． 【答案】25 【分析】本题考查的是求代数式的值，将原式变形，然后整体代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：25． 3.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 4.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）已知，，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式，掌握完全平方公式的常用变形是解此题的关键． 利用完全平方公式的变形得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵ 当时，原式， 故答案为：6． 5.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，代入，计算即可； （2）因为，代入，计算可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴． 6．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．利用平方差公式进行计算后合并同类项，再代入数据求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 7．（24-25七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 9.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知代数式：． (1)化简这个代数式； (2)若，求原代数式的值． 【答案】(1)； (2)13． 【分析】本题考查整式的化简和代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和平方差公式的运算去括号，再合并同类项即可； （2）利变形得到，进而得到原代数式的值，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 10.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）先化解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据乘法公式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时 原式 11.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 12．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，原式利用完全平方公式和平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式． 13.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算以及整体代入思想等知识内容，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据新定义代入计算求解即可； （2）根据新定义代入化简，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解： 当时，原式 14.（24-25七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先，需要展开和化简给定的代数式．然后，利用给定的条件将化简后的代数式进一步简化，并求出最终的值．本题主要考查了代数式的化简与求值，以及完全平方公式及整式的混合运算，熟练掌握代数式的展开与合并同类项，以及利用给定条件进行代数式的简化是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， 代入 可得： 考点05 整式乘法中的综合题 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a，b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子，例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，，是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)的值为或11或1 (3)的值为 【分析】本题考查定义新概念，多项式乘以多项式运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． （1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①；②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 【详解】（1）解： ， ∴这组黄金多项式的黄金因子是； （2）解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况： ① ， ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴； ② ， ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴； ③ ， ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 综上所述，的值为或11或1； （3）解：①∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ②∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴ ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ③∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， 2.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘法》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等，我们可以利用它解决一些问题． 例如：已知，求的值． 解：令，，则，， ，即． ． 问题1：已知，请你仿照上例，求的值； 问题2：已知x满足，求的值； 问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以、为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）15；（2）10；（3）7 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，通过完全平方公式的变形进行计算，通过题中给出的整体代入思想进行求解是解题关键． （1）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （2）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （3）设正方形的边长，则，，根据长方形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，利用整体代入思想进行求解即可． 【详解】解：（1）令，，则，， 所以，即． 所以． （2）令，，则，． 所以，即． 所以． （3）设正方形的边长，则，， 因为，即， 则， 所以阴影部分面积为：． ∴黄金因子为，符合题意； 综上所述，的值为． 3.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：___________；用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系：___________； (2)若，求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)13 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用,解题的关键是数形结合思想的运用. （1）根据大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积可得答案；根据大正方形的面积等于一个小正方形的面积加上四个长方形的面积可得答案； （2）根据完全平方差的变形式可得答案； （3） 可以利用，的已知条件得出，从而求得． 【详解】（1）∵大正方形的面积为， 两个小正方形的面积为，两个小长方形的面积和为， ∴ ∵大正方形的面积为， 小正方形的面积为，4个长方形的面积和为， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴ （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 4.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了四块完全相同的长方形（如图1），长方形长为，宽．然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．请认真观察图形，解答下列问题： （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，求的值． 【实际应用】 （3）如图3所示，学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，并利用护栏、将区域分隔成四个部分．已知于点．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众区，经测主舞台和观众区的面积和为，求表演区护栏比长多少． 【答案】（1）；（2）；（3）表演区护栏比长 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）根据进行计算即可； （3）设，由题意得，根据，求出，再根据求出即可． 【详解】（1）图2大正方形的面积可表示为：或， 故答案为： （2）由（1）可得， ， （3）设， ， ， ， 主舞台和观众区的面积和为116 即 即：表演区护栏比长 【点睛】本题考查了完全公式，三角形的面积公式，解题的关键在于探索发现之间的关系． 5.（24-25七年级下·湖南·期末）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解:设，则，那么． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】(1)920 (2)2160 (3)2256 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． (1)根据举例进行解答即可； (2)设，，则可得，，进而即可解答； (3)根据正方形的边长为，，，所以，得到，设，从而得到，，求出()，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 阴影部分的面积为． 6.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 【答案】(1)4 (2)①小，5②大， (3)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查完全平方式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）形如的式子是完全平方式，据此解答即可； （2）①代数式，根据平方的非负性可求得代数式的最小值；②代数式，根据平方的非负性可得代数式有最大值； （3），根据平方的非负性可得代数式有最小值，此时，据此求出的值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义是完全平方式， ∴是一个完全平方式，则． 故答案为：4； （2）解：①， ∵， ∴， ∴当时，原式有最小值是5； 故答案为：小，5； ②， ∵， ∴， ∴当时，原式有最大值是． 故答案为：大，； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时， 即当时， 有最小值，最小值为． 7.（24-25七年级下·湖南·期末）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 8.（24-25七年级下·湖南怀化·月考）我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”． (1)解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式； (2)探究问题：已知，则______ (3)融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由； (4)举一反三：已知实数，满足，求最值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)的最小值为，无最大值 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用，熟练掌握以上知识点，理解理想数的定义是解此题的关键． （1）根据理想数的定义求解即可； （2）利用完全平方公式配方得出，利用非负数的性质求出，，代入代数式计算即可得解； （3）配方得出，再结合理想数的定义求解即可； （4）表示出，结合非负数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ， ∵S为“理想数”， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，无最大值． 9.（24-25七年级下·湖南·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $