北京市第二中学2025-2026学年高一第五学段考试数学试卷

北京二中2025—2026学年度第五学段高一年级学段考试试卷 数学 必修第二册 得分：_____ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1．为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运会志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（ ） A、12人 B．18人 C．80人 D．120人 2．在中，点满足，点为的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．设复数满足，则的虚部为（ ） A．-1 B．1 C． D． 4．设，，，为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（ ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．，，，四点共线 5．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知非零向量，满足，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．已知正三角形的边长为6，，，是线段上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 10．设、为两个平面，、为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若n与，所成的角相等，则 其中正确的命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A． B． C． D． 12．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13．已知平面向量，，若，则_____． 14．，若，，则_____． 15．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为_____． 16．在中，，，则的最小值为_____． 17．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 18．已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论： ①四棱锥可能为正四棱锥； ②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点； ③可能有平面平面； ④四棱锥的体积的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19．已知向量，，若． （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的最值． 20．如图，在直三棱柱中，，，，，点、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 21．在中，角，，所对的边为，，，，． （1）求的值； （2）从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 22．已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， （1）求证：点是的中点． （2）求证： （3）棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 23．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于A中任意元素，，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $