精品解析：北京市第二中学2025—2026学年度第四学段高一年级学段考试试卷数学（必修第二册）

北京二中2025-2026学年度第四学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知向量．若，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 如图，边长为2的正方形中，是线段上的动点，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 设是非零向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 7. 如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知的面积为16，过点作轴于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 9. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数集（其中），若对任意的，都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称具有性质，例如具有性质．若数集具有性质，则满足条件的的组数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 12. 已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 14. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 15. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为_________． 16. 如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___． 17. 如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,||=2,E为BC边(包含端点)上一点,则||的取值范围是_____,的最小值为_____. 18. 对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________． 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知，求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 20. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定． 条件①：； 条件②：的最小值为0； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：若选择的条件不符合要求，得0分；若选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． （1）求和的值； （2）设函数， （i）求单调递减区间； （ii）求在区间上的最大值． 21. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 22. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 23. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025-2026学年度第四学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知向量．若，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，解之即可. 【详解】解：因为， 所以，解得. 故选：B. 2. 如图，边长为2的正方形中，是线段上的动点，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】设，所以， 则. 3. 设是非零向量，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量的平方等于向量模长的平方，及数量积的定义求解. 【详解】将平方后，得， 则，，，推出； 若，则或，此时或， 不能推出，故是的充分不必要条件. 4. 设，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示变形可得，然后可得. 【详解】因为 所以，即 所以，得 所以 故选：A 5. 如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质与判定逐个辨析即可. 【详解】A中，也可能成立； B中，，还有可能相交或异面； C中，也可能成立； 由直线与平面平行的性质定理可知D正确. 故选：D 6. 四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得， 所以圆柱的侧面积. 故选：A 7. 如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知的面积为16，过点作轴于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为所以原中，，且轴方向长度不变， 因此， 已知面积为16，由直角三角形面积公式： ， 在斜二测画法中，轴方向长度变为原来的​，因此，  因为轴与轴夹角为，轴， 所以在直角三角形中：， 因此的长为. 8. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 9. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 10. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可. 【详解】函数，向右平移个单位长度，得， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 令， 得， 所以， 若函数在上没有零点， 则需， 所以， 所以， 若函数在上有零点， 则， 当k=0时，得，解得， 当k=1时，得，解得， 综上：函数在上有零点时，或， 所以函数在上没有零点，. 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 11. 已知数集（其中），若对任意的，都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称具有性质，例如具有性质．若数集具有性质，则满足条件的的组数是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】设数集具有性质，利用向量共线的坐标表示列方程求解即可求出可能得证；从而得到可得，，9，分，和三种情况下所对应的值即可求解. 【详解】设数集具有性质， 由题意可得：与；与；与中恰有一组共线， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 故的取值为：，，9； 若数集具有性质，可得，，9， 当时，由数集具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，27； 故具有性质P可得，，，，9，27； 当时，具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 故具有性质P，可得，，，，，9； 当时，具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 故具有性质P，可得，，，，27，81； 综上，满足条件的的组数是 12. 已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式中向量用表示后可求得，由余弦定理得的关系，求出的最值，再由不等式性质得结论． 【详解】∵， ∴， ∴，又， ∴，， 由余弦定理得， 由（当且仅当时取等号），得， ∴，∴，即的最大值是． 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把用表示出来． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量公式求得结果即可. 【详解】在上的投影向量为， 所以4. 故答案为：4. 14. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 15. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值，进而求得角的正弦值以及外接圆半径，故可得解. 【详解】由正弦定理得：则 设外接圆的半径为，则 外接圆的面积为． 故答案为：. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 16. 如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值. 【详解】取中点，中点，连接，， 由正方体，分别为的中点， 又平面，平面，平面 分别为的中点，由中位线性质知 同理可知， 又平面，平面，平面 又，平面 平面平面 是底面上一点．且平面， 在等腰中，的长度最大时为 的长度最小时，为中点，，，即 故答案为：， 【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法： （1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行； （3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； （4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 17. 如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,||=2,E为BC边(包含端点)上一点,则||的取值范围是_____,的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】时，长度最短，与重合时，长度最长．然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值． 【详解】根据菱形性质可得OC,则BO. (1)作AF⊥BC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即||∈; (2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图: 则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0), 所以BC:y,设E(m,) 则,其中m 对称轴为m,故当m时最小,最小值为. 故答案为：；． 【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可． 18. 对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则__________，__________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 或 【解析】 【分析】设与的夹角为，分析可得，进而可得，且，分析可得，即可得或1，结合向量夹角公式运算求解. 【详解】设与的夹角为， 因为和都在集合中，所以其取值可能为， 因为，则， 可得， 因为，即，可得，所以； 又因为，即，解得， 因为， 可得，即或1， 当且时，即且， 可得，所以； 当且时，即且， 可得，所以； 综上所述：或. 故答案：；或. 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知，求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义可求解； （2）由向量数量积的运算律及（1），可求解； （3）由向量夹角公式可求解. 【小问1详解】 由，则； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 由，则， . 20. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定． 条件①：； 条件②：的最小值为0； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：若选择的条件不符合要求，得0分；若选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． （1）求和的值； （2）设函数， （i）求单调递减区间； （ii）求在区间上的最大值． 【答案】（1），. （2）（i）；（ii） 【解析】 【小问1详解】 ， 条件①可得，；条件②可得，，即； 条件③可得，，得， 故选①③或②③均可得，. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，则， 令，得， 故单调递减区间为； （ii）因为，所以， 则当，即时，有最大值，最大值为. 21. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； 【小问2详解】 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. 【小问3详解】 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 22. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 23. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解. 【详解】(Ⅰ)满足的元素为 （Ⅱ）记，， 注意到，所以， 所以 因为，所以 所以中有个量的值为1，个量的值为0. 显然 ， 当，时， 满足，.所以的最大值为 又 注意到只有时，，否则 而中个量的值为1，个量的值为0 所以满足这样的元素至多有个， 当为偶数时，. 当时，满足，且. 所以的最小值为 当为奇数时，且，这样的元素至多有个， 所以. 当，时，满足，. 所以的最小值为 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，. （Ⅲ）中的元素个数最大值为 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记 ， 显然 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ，则 则中至少存在两个元素 ， 因为，所以不能同时为 所以对中的一组数而言， 在集合中至多有一个元素满足同时为 所以集合中元素个数不超过个 所以集合中的元素个数为至多为 . 记 ，则中共个元素， 对于任意的，，. 对，记其中，， 记， 显然，，均有. 记，中的元素个数为，且满足，，均有. 综上所述，中的元素个数最大值为. 【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $