解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学解三角形复习讲义聚焦高考核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理、面积公式等基础公式，三角关系及图形隐含条件，按“基础公式-三角关系-图形隐含条件”逻辑架构知识点。通过考点梳理、解题原理方法指导、真题例题训练等环节，帮助学生突破几何图形中解三角形难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以“拆分图形-挖掘隐含条件-选用定理”三步解题思路为特色，引导学生用数学眼光观察图形隐含条件，用数学思维推理建立方程。设置例题分析、变式训练、实战演练分层练习，确保高效复习，提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏提供有力指导。

解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础公式 正弦定理： 余弦定理： 面积公式： 1. 三角关系 内角和；诱导公式、同角三角恒等变换 边角互化：定理实现边、角条件相互转换 1. 图形常用隐含条件 · 平行线：同位角、内错角相等 · 等腰/直角三角形：特殊边角、互余角度 · 圆内图形：同弧圆周角相等、直径对直角 · 四边形、折叠图形：边长不变、角度相等 二、解题原理 把多边形、组合几何图形拆分出单个三角形，利用图形边角等量关系，结合正、余弦定理建立方程，求解边长、角度、面积。 三、解题思路 1. 拆分图形，锁定待解核心三角形 1. 挖掘隐含角、边，利用平行、对称、圆性质补齐条件 1. 判断选用定理 已知两角一边、两边对角→正弦定理 已知两边夹角、三边→余弦定理 1. 列方程计算未知边角 1. 结合面积、周长、最值等要求完成求解 例题分析 例1．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 例2．（2026·河南·三模）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 例3．（2026·四川广安·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)点在边上，若平分，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换即可求解； （2）由余弦定理可以求出边c的值，再根据三角形面积关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知（为外接圆半径）， 所以可得，代入已知中， 可得， 根据三角恒等变换即可求得，而， 则，因为，所以， 则，而，所以； （2）由余弦定理，由（1）知， 将已知条件代入化简可得，解之可得或（舍）， 由三角形面积关系可得， 即， 由（1）知，又因平分，所以可知， 将已知代入上式可得，所以.    例4．（2026·河南开封·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求c的值； (2)若的面积为，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系求出，再根据正弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，在和分别计算，列出等式，将代入，即可解出. 【详解】（1）已知，故， 根据正弦定理可得.又，故，解得. （2）已知面积，由面积公式，代入，解得， 根据余弦定理得，解得， 因为为的中点，在中，在中， 故，即， 将代入上式，化简得，故. 变式训练 变式1．（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，． (1)若，，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，， 根据余弦定理，， 故. （2）因为， 所以，，． 设，则，，， 在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 化简可得， 则． 变式2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 变式3．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，． (1)求角A的大小； (2)求； (3)若线段AB上点D满足，求CD的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用已知条件切化弦，结合正弦和角公式整理化简计算即可； （2）先利用余弦定理结合第一问计算，再利用余弦定理计算即可； （3）先由内角和及正弦和角公式计算，再利用正弦定理求边即可. 【详解】（1）由， 即， 又， 所以， 在中，，所以，则； （2）由，，， 结合余弦定理可得， 所以，则； （3）易知， 所以 ， 由正弦定理得. 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为． (1)求； (2)若在边上，且线段平分，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的计算公式及面积公式化简可得解； （2）结合三角恒等变换及三角形面积可得边长，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知，且三角形面积， 可知， 又， 则； （2） 由已知， 结合诱导公式及二倍角公式可得， 又，，即， 所以，即， 所以， 则由正弦定理， 可得，， 所以， 即，，， 又线段平分， 所以, 又， 即， 则， 解得. 实战演练 1．（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，在中，再利用余弦定理，即可求得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，进而可得，则，则，结合平面向量基本定理，可得，联立即可求解. 【详解】（1）如图，在中，，，， 根据余弦定理，得， 又在中，，，， 根据余弦定理，得， 解得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，， ， 又，所以，所以， 所以，则，即， 所以，则， 又，， 所以， ， 所以， 所以，即，解得或（舍）. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1.基础公式 正弦定理：品=品=益=2R 余弦定理：a2=b2+c2-2 bccosA 面积公式：S=absinC 2.三角关系 内角和A十B+C=π；诱导公式、同角三角恒等变换 边角互化：定理实现边、角条件相互转换 3.图形常用隐含条件 ·平行线：同位角、内错角相等 ·等腰/直角三角形：特殊边角、互余角度 ·圆内图形：同弧圆周角相等、直径对直角 ·四边形、折叠图形：边长不变、角度相等 二、解题原理 把多边形、组合几何图形拆分出单个三角形，利用图形边角等量关系，结合正、余弦定理建立方程，求解边长、 角度、面积。 三、解题思路 1.拆分图形，锁定待解核心三角形 2.挖掘隐含角、边，利用平行、对称、圆性质补齐条件 3.判断选用定理 已知两角一边、两边对角→正弦定理 已知两边夹角、三边→余弦定理 4.列方程计算未知边角 5.结合面积、周长、最值等要求完成求解 例题分析 例1.(2026四川成都三模)已知ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且V3a2-b2-c2)=4S 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 (1)求A; (2②)若c0sB=13 a=7,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段4D的长 例2.(2026河南三模)在平面四边形ABCD中，已知AC=2√7，CD=2,AD=4. D A ⊙ (1)求∠ADC; (2)若AD⊥AB,BC⊥CD,求BD 2 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 例3.(2026·四川广安模拟预测)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB+(b+2 c)cos4=0 (1)求A: (2)点D在边BC上，若AD平分∠BAC,b=3,a=7,求AD的长 例4.2026河南开封二模)在4BC中，角，B,C的对边分别为a,,c,已如cosA=了asnC=4反. (1)求c的值； (2)若ABC的面积为10W2,D为BC的中点，求AD的长. 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 变式训练 变式1.(2026湖南怀化二模)在ABC中，D为BC边上一点，BD=AD=2CD. (1)若BD=2,AB=1,求AC的长： (2)求an∠BAC 的值. tan∠ABC 变式2.(25-26高三上~贵州遵义月考)如图，在四边形ABCD中，4C=2√万，CD=2AD,∠ADC=2 ⊙ (I)求sin∠DAC的值； (2)若LBAC=2LDAC,且ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长. 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 变式3.2s-26高上湖北汉阶段检测D在4BC中，am4+amB然，4B=5,4C=8】 (1)求角A的大小： (2)求cosB; (③)若线段AB上点D满足∠BCD-吾，求CD的长. 变式4.(25-26高三上：贵州贵阳开学考试)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，sim,B=sinB 2 ,CA.CB=6,且ABC的面积为V3。 (1)求C; (②2)若D在BC边上，且线段AD平分∠BAC,求线段AD的长度. 解三角形：几何图形中的解三角形问题复习讲义 实战演练 1.(225·福建福州一模)在ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√5. (1)若BC=√6，求AC的长； (2)若LBAC=2LBCD,求AC的长. 2.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,已知∠AOD=60°，AC=3 ,BD=6,且AD=BC A B D (1)求BO的长： ②若7sin2Z0CB-=8vcos∠0DA-15,求cos∠0DA的值. 6 6