专题02 相交线与平行线相关压轴题（5类40道）（期末真题汇编，重庆专用）七年级数学下学期

专题02 相交线与平行线相关压轴题 5大高频考点概览 考点01相交线与平行线相关综合题 考点02探究数量关系 考点03旋转相关综合题 考点04 三角板相关综合题 考点05 角平分线相关综合题 ( 地 城 考点 01 相交线 与平行线相关综合题 ) 1．（24-25七下·重庆丰都·期末）如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七下·重庆江北·期末）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七下·重庆渝中·期末）如图，平分，，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七下·重庆北碚·期末）如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 5．（24-25七下·重庆西大附中·期末）如图，平分，点E，F分别在和上，平分交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中所有正确的序号是（） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．（24-25七下·重庆梁平·期末）如图，平分，，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 7．（24-25七下·重庆秀山·期末）如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七下·重庆巴川量子学校·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ___________． 9．（24-25七下·重庆西大附中·期末）如图，已知直线． (1)如图1，猜测，和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，，分别平分，，则和有怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，点E在直线的右侧，、仍平分、，请直接写出和的数量关系． 10．（24-25七下·重庆南开中学·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七下·重庆綦江·期末）问题情境： （1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答． 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作），请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系并证明． 12．（24-25七下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 13．（24-25七下·重庆荣昌·期末）问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 14．（24-25七下·重庆合川·期末）如图，，点P和点Q分别位于和上．过点P作线段，过点Q作线段． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接的平分线与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若M是平面内直线右侧一动点，请直接写出与的数量关系． 15．（24-25七下·重庆巴蜀中学·期末）如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 16．（24-25七下·重庆渝北·期末）如图1，，点E，H在直线上，点G，P在直线上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点F作直线交线段于点N，且．用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，过点F作，垂足为P，过点F作．射线绕点F从开始以每秒的速度逆时针旋转至停止，同时射线绕点F从开始以每秒的速度顺时针旋转至停止，设运动时间为t秒，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 17．（24-25七下·重庆铜梁·期末）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 18．（24-25七下·重庆开州·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 19．（24-25七下·重庆万州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 20．（24-25七下·重庆一中·期末）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 21．（24-25七下·重庆渝北·期末）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 22．（24-25七下·重庆巴蜀中学·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）． 23．（24-25七下·重庆巴南·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 24．（24-25七下·重庆实验外国语学校·期末）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． ( 地 城 考点 0 3 三角板相关综合题 )25．（24-25七下·重庆八中·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 26．（24-25七下·重庆荣昌·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 27.（24-25七下·重庆永川·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，．      (1)在图1中，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现与存在怎样的数量关系，请说明理由； (3)创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 28．（24-25七下·重庆梁平·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 29．（24-25七下·重庆江津·期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． (1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数； (2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线； (3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． 30．（24-25七下·重庆长寿·期末）已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图，若，则=_______°； (2)若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 31．（24-25七下·重庆巴蜀中学·期末）如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 32．（24-25七下·重庆巴蜀常春藤中学·期末）【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． ( 地 城 考点 0 5 角平分线相关综合题 )33．（23-24七下·重庆丰都·期末）学校七年级数学兴趣小组的同学在学完《第五章 相交线与平行线》后，开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识，他们动手操作步骤如下： 首先，用四根小木棍摆放成图①的样子，其中，然后，轻微移动调整原有的几根小木棍位置，并增加一根小木棍，摆放成图②的形状；最后，在图②的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去，得到图③的形状．    兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案： (1)在图①中，若，求的度数； (2)在图②中，若，那么具有什么数量关系呢？探究并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，求的度数（用含的式子表示）． 34．（24-25七下·重庆开州·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长交于点，过点作，垂足为，与的外角平分线交于点，与交于点，求证：． (3)如图3，在第（1）问成立的条件下，若平分，是直线上一动点（不与点重合），平分交直线于点．设，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 35．（24-25七下·重庆荣昌·期末）已知，点E，F分别是上的动点，，垂足为点M，和的角平分线交于点N，． (1)如图1，当点E在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，点E在上移动过程中，若．求的度数； (3)如图3，当点M在直线上方时，的角平分线的反向延长线交于点N．请直接写出的度数（用含的式子表示）． 36．（24-25七下·重庆巴蜀中学·期末）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 37．（24-25七下·重庆西大附中·期末）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图，求证： (2)如图，直线，交于点，且，． ①试探究与的数量关系； ②如图，延长交射线PA于点，若，，则的度数为 用含的式子表示． 38．（24-25七下七下·重庆荣昌·期末）已知，三角形是一个含角的直角三角形，，，，将顶点M放在直线上，点O在上移动，． (1)如图1，当点O在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，在点O移动过程中，若．求的度数； (3)当点O在直线上移动（的情形除外）的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 39．（24-25七下·重庆潼南·期末）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O． (1)求证：； (2)若时，求α； (3)将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中（除点M与点E重合时），求的度数（用含α的式子表示）． 40．（24-25七下·重庆铜梁·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， 所以　 　，　 　． 又因为， 所以． (2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明 (3)如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 　 　°； (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 　 　；(用含a的代数式表示) 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相交线与平行线相关压轴题 ☆5大高频考点概览 考点01相交线与平行线相关综合题 考点02探究数量关系 考点03旋转相关综合题 考点04三角板相关综合题 考点05角平分线相关综合题 目目 考点01 相交线与平行线相关综合题 1.(24-25七下·重庆丰都期末)如图，已知GH∥BC,∠1=∠2，GF⊥AB,给出下列结论：① ∠B=∠AGH;②HE⊥AB;③∠D=∠F;④HE平分∠AHG;其中正确的有() G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：，GH∥BC, ∠B=∠AGH,故①正确： :GH∥BC, ∠1=∠MGH, ∠1=∠2， ∠2=∠MGH, 、HE∥GF, GF⊥AB, HE⊥AB,故②正确； :HE∥GF, .∠D=∠DMF, 但∠F=∠DMF由已知信息无法推断， 1/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故∠D=∠F不一定成立，故③错误； :HE∥GF, ∠AHE=∠F, :∠D=∠1=∠2， 但∠2=∠AHE不一定成立，故④错误， :.正确的为①和②，共2个. 故选：B 2.(24-25七下·重庆江北期末)如图，下列说法中：①若∠3=∠8，则AB∥CD;②若∠1=∠5，则 AB∥CD;③若∠DAB+∠ABC=180°，则AB∥CD:④若∠2=∠6，则AB∥CD.其中正确的有：() D C 6 8 5 2 3 A B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行：② 同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案。 【详解】解：①∠3=∠8，不能判断AB∥CD,故①错误； ②∠I=∠5，可以判断AD∥BC,不能判断AB∥CD,故②错误； ③LDAB+∠ABC=180°，可以判断AD∥BC,不能判断AB∥CD,故③错误； ④∠2=∠6，可以判断AB∥CD,故④正确； 综上，正确的有1个 故选：A, 3.(24-25七下·重庆渝中期末)如图，EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=110°，∠ACF=20°，下 列结论正确的个数是() ①EF∥BC; ②∠BCF=50; ③∠FEC=30°： ④∠AEF+∠BAC=70°. 2186 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解；：EF∥AD,AD∥BC, EF∥BC,故①正确； :AD∥BC, ∠ACB=180°-∠DAC=70°， :∠BCF=∠ACB-∠ACF=50°，故②正确； :CE平分∠BCF, :∠BCE=∠BCF=25, 2 :EF∥BC, :∠FEC=∠BCE=25°，故③错误； :EF∥AD, .∠AEF=∠DAE, ∴∠AEF+∠BAC=∠DAE+∠BAC=∠DAC=1I0°，故④错误； .正确的有2个， 故选：B 4.(2425七下.重庆北碚期末)如图，AC∥EG,点B在AC上，点F在EG上，连接BF,BD平分 ∠ABE,EH平分∠BEF交BF于点H,∠EBF=∠EFB,给出下面四个结论：①BD∥EH;②BF平分 LEBC;③∠BFE=∠ABE;④LBFG-∠BEH=90°，上述结论中，结论正确的序号() B C D E G A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点.根据平行线的判定和性质以及图形中 3/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角度之间的关系逐项判断即可. 【详解】解：AC∥EG, ∠ABE=∠BEF,LCBF=∠EFB, :BD平分∠ABE,EH平分∠BEF, ÷∠ABD=∠DBE=∠ABE,∠BEH=∠HEF=∠BEF, 2 2 ∴∠DBE=∠BEH, ∴BD∥EH,故①正确； :LCBF=LEFB,∠EBF=∠EFB, :ZEBF ZCBF, :BF平分LEBC;故②正确： :∠EBF=∠EFB,∠ABE=∠BEF,但∠BFE=∠BEF不一定成立， ∠BFE=∠ABE不一定成立，即③错误； :AC∥EG, .∠EBF+∠FBC+LBEF=I80°， 又LEBP=∠CBP=LBFE,∠BEH=∠HEF=)∠BEF, ∴.LFEH+LEFH=90°， ∴∠EHF=90°， :∠BFG=180°-∠EFB=180°-(180°-∠HEF-∠EHF)=90°+∠HEF, ∠BFG=90°+∠HEF, 、LBFG-∠HEF=90°，即LBFG-∠BEH=90°；故④正确 故正确的有：①②④. 故选：C. 5.(24-25七下·重庆西大附中期末)如图，BD平分∠ABC,点E,F分别在BA和BC上，EG平分 ∠AEF交BD于点G,ED∥BC.给出下列结论：①∠EBD=∠D;②∠CBD=∠DEG;③ ∠BFE=∠ABC+2LDEG;④LFEG=2LD.其中所有正确的序号是() 4/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】C 【详解】解：：BD平分∠ABC, ∠EBD=∠DBC, ED∥BC, .∠EDB=∠DBC, ∴∠EBD=∠EDB, .①正确； 由题意，设∠CBD=x,∠DEG=y, 显然无法说明∠CBD=∠DEG, ②错误： 又∠EBD=∠DBC=∠D=x, ∠AEG=∠FEG=2x+y, :∠BGE=∠D+∠DEG, .∠BGE=x+y, EDBC .∠BFE=∠DEF=2x+y+y=2x+2y=2(x+y)=2∠BGE, ∴③正确. ∠FEG=2x+y,∠D=x, :∠FEG≠2∠D, ④错误 综上，①③正确： 故选：C 6.(24-25七下·重庆梁平期末)如图，BD平分∠ABC,，DE∥AB,EF平分∠DEC,有下列四个结论： ①∠BDE=∠DBE;②LBDF+∠BFE=I80°；③EF∥BD;④∠BDA+∠CFE=I80°.其中，正确的是() 5/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】C 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【详解】：DE∥AB, ∠ABD=∠BDE,∠ABC=∠DEC, :BD平分∠ABC,EF平分LDEC, E∠ABD=∠DBE -ABC，∠DEF=∠FEC=7∠DEC) .∠BDE=∠DBE,故①正确；∠FEC=∠DBC, :EF∥BD,故③正确： .∠BDF+∠DFE=180°， :∠DFE>∠BFE, :LBDF+∠BFE≠180°，故②错误； :∠BDA+∠BDF=180°，∠DFE+∠EFC=180° ∠BDA+∠CFE=180°，故④正确， ∴.①③④正确 故选：C 7.(2425七下·重庆秀山期末)如图，己知：AB∥CD,CD∥EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE,有下 列结论：①AB∥EF;②2∠1-∠4=90°；③2∠3-∠2=90°；④3+∠4=150°.结论正确的有() B D 4 -F E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 6/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：AC⊥CE, .∠2+∠4=90°， :AE平分∠BAC, ∠BAE=∠1，即∠BAC=2∠1， ①：AB∥CD,CD∥EF, AB∥EF, 故①的说法正确； ②：AB∥CD, ∠2+LBAC=180°， ∠2+2∠1=180°，即∠2=180°-2∠1， :∠2+∠4=90°， 180°-2∠1+∠4=90°， .2∠1-∠4=90°， 故②的说法正确： ③由①可得AB∥EF, .∠BAE+∠3=180°， ∠1+∠3=180°，即∠1=180°-∠3， 又AB∥CD, .∠BAC+∠2=180°， 即2∠1+∠2=180°， 将∠1=180°-∠3代入221+∠2=180°， 化简可得：2∠3-∠2=180°， 故③的说法不正确： ④：∠2+∠4=90°，21+∠2=180°， 2∠1-∠4=90°， :∠1+∠3=180°， ∠3+∠4=135°， 2 故④的说法不正确； 正确的个数共有2个， 7186 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：B 8.(24-25七下·重庆巴川量子学校期末)已知AB∥CD,点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角 平分线相交于点F,则： ①∠ABF+∠CDF=LBFD; ②∠ABE+∠CDE+∠E=360°； ③若∠E=65°，则∠BFD=115°； ④若∠ABM=2∠ABF,∠CDM=2∠CDF,则5∠BMD+∠E=360; 5 以上说法正确的是 【答案】①②④ 【详解】解：如图，作FP‖AB, E:AB∥CD, .FP∥CD, .∠ABF=∠BFP,LPFD=LCDF, :∠BFD=∠BFP+∠PFD,即LABF+∠CDF=∠BFD,故①正确； 如图，作EQ∥AB, B EAB∥CD, ∴.EQ∥CD :LABE+LBEQ=180°，LCDE+LDEQ=I80°， ∴.∠ABE+∠BEQ+∠CDE+∠DEQ=360°， 即∠ABE+∠CDE+∠E=360°，故②正确： 8/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若∠E=65°，则LABE+∠CDE=360°-65°=295°， :BF平分∠ABE,DF平分LCDE, ∠ABF+∠CDF=x295°=147.5°， 2 :∠BFD=147.5°，故③不正确： 同理可证：∠M=∠ABM+∠CDM, 若∠ABM-号A8,∠CDM-号CD. 则∠ABM+∠CDM-号∠ABF+∠CDF), ZABF ZFBE,ZCDF ZFDE :.∠ABM+∠CDM=(∠ABF+∠CDF, :LM=∠ABE+∠CDE), :LABE+∠CDE+∠E=360°， 5∠M+∠E=360°，故④正确： 故答案为：①②④. 目目 考点02 探究数量关系 9.(24-25七下·重庆西大附中期末)如图，已知直线AB∥CD. 图1 图2 图3 (I)如图1，猜测∠ABE,，LCDE和∠BED之间有怎样的数量关系，并说明理由； (②)如图2，BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,则∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由 (3)如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF仍平分∠ABE、∠CDE,请直接写出∠BFD和∠BED的数量 关系 【答案】(1)∠B+∠D=∠E,理由见解析 ②∠BFD=∠BED,理由见解析 2 (3)2∠BFD+∠BED=360° 【详解】(1)解：∠B+∠D=∠E,理由如下： 9/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点E作直线1平行于AB,如图， D .AB∥CD,AB∥I, CD∥1， ∠B=∠1，∠D=∠2， ÷∠BED=∠I+∠2=∠B+∠D 即∠B+∠D=∠E, (2)解：如图2， A B E D :BF,DF分别平分∠ABE,LCDE, ∠48F=A8E,∠CDF=∠CDE. ∠48r+<cDr-4BE+号∠c0E-<ABE+∠c0E) 由I)可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE),∠BED=∠ABE+∠CDE, :∠BFD=∠BED. (3)解：2∠BFD+∠BED=360°. 如图3， 10/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点E作EG∥CD :AB∥CD,EG∥CD, AB∥CD∥EG, ∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°， :∠ABE+∠CDE+∠BED=360°， 由(1)知，∠BFD=∠ABF+∠CDF, 又：BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE, :LABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE, 2 2 :∠BFD=∠ABE+∠CDE), .2∠BFD+∠BED=360 10.(24-25七下·重庆南开中学期末)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30°的三角尺EFG如图方式摆放，点A、C分别在边EF和 FG上，AB∥CD.三角尺EFG中，∠EGF=30°，∠EFG=90°，∠FEG=60°.猜想∠EAB与∠FCD的数 量关系，并说明理由， 问题初探： (1)若FCD=150°，则∠EAB= (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法.如图2，过点C作CM∥EF,交AB于点H,请 你根据小宇同学提供的辅助线，先确定∠EAB与∠FCD的数量关系，再说明理由； 类比再探： (3)如图3，把“∠EFG=90°”改为“∠EFG=B”,其它条件不变，猜想∠EAB与LFCD的数量关系，并说 明理由. 11/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -D D 图1 图2 图3 【答案】(1)60：(2)∠FCD-∠EAB=90°，理由见解析；(3)∠FCD-∠EAB=180°-B,理由见解析 【详解】解：(I)过点过点C作CM∥EF,交AB于点H, M G ∠MCF=180°-∠EFG=90°， :∠FCD=150°， .∠MCD=150°-∠MCF=60°， :AB∥CD, .∠AHC=∠MCD=60°， :CM∥EF, ∠EAB=∠AHC=60°， 故答案为：60； (2)过点C作CM∥EF,交AB于点H, H B G ∠MCF=180°-∠EFG=90°， 设LFCD=a, ∴∠MCD=a-∠MCF=a-90°， :AB∥CD, ∴.∠AHC=∠MCD=a-90°， 12/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CM∥EF, ∴.∠EAB=∠AHC=a-90°， ∠FCD-∠EAB=90°： (3)过点C作CM∥EF,交AB于点H,设∠FCD=a, D G :.∠MCF=180°-∠EFG=180°-阝， :∠MCD=a-∠MCF=a-(180°-B)=a+B-180°， :AB∥CD, :.∠AFC=∠MCD=a+B-180°， CM∥EF, LEAB=LAFC=a+B-180°，即∠FCD-∠EAB=180°-B; 11.(24-25七下·重庆綦江·期末)问题情境： (1)如图1，AB/1CD,∠PAB=128°，∠PCD=119°.求∠APC度数.小颖同学的解题思路是：如图2， 过点P作PE/IAB,请你接着完成解答. 问题迁移： (2)如图3，AD1/BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠a, ∠PCE=∠B.试判断∠CPD、∠a、∠B之间有何数量关系？（提示：过点P作PF/1AD),请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想 ∠CPD、∠a、∠B之间的数量关系并证明. B B D 图1 图2 图3 13/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A N/D 备用图 【答案】(1)见解析；(2)∠CPD=∠+180°-∠B,理由见解析；(3)①当P在BA延长线时（点P不 与点A重合)，∠CPD=180°-∠B-∠a;②当P在BO之间时（点P不与点B,O重合）， ∠CPD=∠a-180°+∠B.理由见解析 【详解】解：(1)过P作PE11AB, AB //CD, :PE//AB //CD, ∠APE+LPAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°， :∠PAB=128°，∠PCD=1199 ∠APE=52°，∠CPE=61°， ∠APC=52°+61°=113°； (2)∠CPD=∠a+180°-∠p,理由如下： 如图3，过P作PFIIAD交CD于F, :AD //BC, .AD //PF//BC, ∠ADP=∠DPF,LBCP=∠CPF, :∠BCP+∠PCE=180°，∠PCE=∠β， .∠BCP=180°-∠β 又：∠ADP=La .∠CPD=∠DPF+∠CPF=∠a+180°-∠B: B 图3 14/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)①当P在BA延长线时（点P不与点A重合），∠CPD=180°-∠β-∠a; 理由：如图4，过P作PF/IAD交CD于F, AD//BC, :AD //PF //BC, .∠ADP=∠DPF,∠BCP=∠CPF, :LBCP+∠PCE=180°，∠PCE=∠B, .∠BCP=180°-∠β， 又：∠ADP=∠a, ∠CPD=∠CPF-∠DPF=180°-∠a-∠β； D 图4 ②当P在B0之间时（点P不与点B,0重合），∠CPD=∠a-180°+∠B. 理由：如图5，过P作PF/IAD交CD于F, AD//BC, :AD //PF//BC .∠ADP=∠DPF,∠BCP=LCPF, :∠BCP+∠PCE=180°，∠PCE=∠B, .∠BCP=180°-∠β， 又：∠ADP=∠a ∴.∠CPD=∠DPF-∠CPF=∠a+∠B-180°. a D 图5 12.(24-25七下·重庆南岸期末)已知：AB∥CD. 15/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A B B E E2 >E3 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在AB,CD之间，请说明∠A+∠C=∠E; (②)如图2，请用等式表示∠A,∠C,∠E之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，请直接用等式表示∠A,∠C,∠E,∠E2,∠E,之间的数量关系 【答案】（①）见解析 (2)LA+∠AEC=∠C.理由见解析 3)∠A+∠E,E,E,+∠C=∠AE,E2+∠E,E,C 【详解】(1)解：如图所示：过点E作EM∥AB, B AB∥CD,EM∥AB, ∴.AB∥CD∥EM, ·.∠A=∠AEM,LC=∠CEM, .∠AEC=∠AEM+∠CEM, ∴.∠AEC=∠A+∠C; (2)解：A+∠AEC=∠C,理由如下： 如图所示：过点E作EM∥AB, M.------ B D 16/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB∥CD,EM∥AB, AB∥CD∥EM, ·∠A=∠AEM，LC=∠CEM, :∠AEM+∠AEC=∠MEC, ∠A+∠AEC=LC; (3)解：∠A+∠E,EE;+∠C=∠AE,E2+∠E,E,C,理由见解析， 如图：过点E作E,M∥AB,过点E,作E,N∥AB,过点E作EH∥AB, B M --->E E2≤ --N H-->E3 D :EM∥AB,E2N∥AB,AB∥CD,E,H∥AB :AB∥CD∥EM∥E,N∥E,H, .∠A=∠AEM,∠ME,E2=∠E,E,N,∠E,E,H=∠E,E,N,∠CE,H=∠C .∠A+∠E,E,E,+∠C=∠AE,M+∠E,E,N+∠NE,E3+∠CE3H=LAE,M+∠ME,E2+∠E,E,H+∠CE,H, :∠A+∠E,E,E,+∠C=∠AE,E2+∠EE,C； 13.(24-25七下·重庆荣昌·期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求 ∠APC度数 B a B P D八 图1 图2 小明的思路是：过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC (I)按小明的思路，易求得∠APC的度数为_度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=a,∠PCD=B,当点P在B、D两点 之间运动时，问∠APC与，阝之间有何数量关系？请说明理由； 17/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合)，请直接写出 ∠APC与，B之间的数量关系 【答案】(1)110 (2)LAPC=a+B,理由见解析 3)当P在BD延长线上时，LAPC=a-B;当P在DB延长线上时，∠APC=B-a 【详解】(1)解：：PE∥AB,AB∥CD, :PE∥AB∥CD, ∴∠APE+∠BAP=180°，∠CPE+∠PCD=180°， :∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∠APE=50°，∠CPE=60°， .∠APC=∠APE+∠CPE=110° (2)解：∠APC=a+B,理由如下： 过点P作PEI AB, E A -M B P D八 图2 :AB∥CD, .PE∥AB∥CD, .∠APE=∠PAB=a,∠CPE=∠PCD=B, :∠APC=∠APE+∠CPE=a+B (3)解：如图所示，当P在BD延长线上时， 过点P作PE∥AB, E a - B :AB∥CD, 18/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE∥AB∥CD, ∴∠APE=∠PAB=a,∠CPE=∠PCD=B, :ZAPC =a-B 如图所示，当P在DB延长线上时， B M 同理可得：a=∠APE,B=∠CPE, 、LCPA=B-a. 14.(24-25七下.重庆合川期末)如图，AB∥CD,点P和点Q分别位于AB和CD上.过点P作线段PM, 过点Q作线段QN,1=∠2. A-P B M C -D -D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，求证：PM∥QN; (2)如图2，连接PQ,LMPQ的平分线PE与∠DQP的平分线QE交于点E.若∠1=30°，求∠PEQ的度数； (3)在(2)的条件下，若M是平面内直线Q右侧一动点，请直接写出∠PEQ与∠1的数量关系， 【答案】()见解析 (2)105° ③∠EQ=0+号，见解新 【来源】重庆市合川区20242025学年七年级下学期数学期末试题 【分析】(1)延长PM交CD于点G,利用平行线的性质和判定证明即可 (2)根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠1+2∠QPE+2∠PQE=180°，利用三角形内角和定理计算即 可 (3)根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠I+2∠QPE+2∠PQE=180°，利用三角形内角和定理计算即 可 19/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的应用，熟练掌握平行线的判定 和性质是解题的关键， 【详解】(1)证明：延长PM交CD于点G, AB∥CD, ∠1=∠PGQ, :∠1=∠2， P 1 、M 又2 D G ·∠2=∠PG0, PM∥QN (2)解：：AB∥CD, :∠1+∠QPM+∠PCD=180°， :∠MPQ的平分线PE与∠DOP的平分线QE交于点E, .∠QPM=2∠QPE,∠PCD=2∠PQE, :.∠1+2∠QPE+2∠PQE=180°， .∠1=30°， ∠QPE+∠PQE=180°-30 =75°， 2 、∠PEQ=180°-∠QPE-∠PQE=105°. (3)解：：AB∥CD, .∠1+∠QPM+∠PCD=180°， :LMPQ的平分线PE与∠DOP的平分线QE交于点E, ∠QPM=2∠QPE,∠PCD=2∠PQE, .∠1+2∠QPE+2∠PQE=180°， 20/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ÷∠0PE+∠POE=180-4 2 :∠PE0=180°-∠0PE-∠P0E=180-180P-L-90+ 2 故∠PE0=90°+AI 15.(24-25七下·重庆巴蜀中学期末)如图，直线4∥12，点A,B,G在4上，点K,D在上，连接 AD,BK交于点F,∠DAB和LKBG的角平分线交于点H,直线AH分别交直线BK,I于E,C两点. BG F 图1 图2 备用图 (1)如果∠DAC=34°，∠H=42°，求∠HBG的度数； (2)请猜想∠H和∠AFB之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当AD⊥BK,∠BAD=60°时，将△AFE绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转得到△AF'E',同时 将△ABH绕点B以每秒10°的速度顺时针旋转得到△A'BH',当△ABH正好旋转一周时两者同时停止运动.设 运动时间为t(单位：秒)，直接写出当AE',E'F'分别与△A'BH'的其中一条边平行时，运动时间t的值. 【答案】(1)76 (2)∠AFB=2∠AHB,理由见解析 (3)t的值为6或15或24或27或30. 【详解】(1)解：如图所示，过点H作直线J∥1， BGh D :0∥1， 21/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAC=∠AHI, :AH平分∠DAB,∠DAC=34°， ∠DAC=∠BAC=∠AHI=34°， 0∥l, ∴.∠HBG=∠BHI=∠AHI+∠AHB, ∠AHB=42°， ∠HBG=34°+42°=76°： (2)解：猜想：∠AFB=2∠AHB,理由如下， 过点F作MN∥4，如图所示， BG E N D 12 :MN∥l, .∠AFM=∠DAB, :∠DAB和LKBG的角平分线交于点H, ∠BAD=2∠BAH,∠KBG=2∠KBH, 设∠BAD=2∠BAH=2x,∠KBG=2∠KBH=2y, ∠AFM=∠DAB=2LBAH=2x,∠ABK=180°-2y, MN∥l, :∠BFN=∠ABK=180°-2y,∠AFN=180°-∠BAF=180°-2x, .∠AFB=∠AFN-∠BFN=180°-2x-(180°-2y)=2y-2x, :0∥l, .∠BHI=∠GBH=y,∠AHI=∠BAH=x, .∠AHB=∠BHI-∠AHI=y-x, ∠AFB=2∠AHB; (3)解：：AD⊥BK,∠BAD=60°， ∴∠FAE=∠EAB=30°， 22/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AFB=2∠AHB, ∠AHB 2×90°=45°， 由(2)可得∠ABK=180°-2LKBH=30°， ∠KBH=∠GBH=75°， ∠ABH=105°； B G E D :将△AFE绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转得到△AF'E',同时将△ABH绕点B以每秒10°的速度顺时针旋 转得到△A'BH', .∠A'BA=101°，∠EAE'=5t°： ①当AE'∥A'B时，如图所示， A! BG K D ∠E'AB=∠ABA', ∴.5t+30=101, 解得：t=6; ②如图所示，当E'F'∥BH'时，延长E'F交AB于点T, :∠ATE'=90°-∠TAF'=90°-(180°-∠BAF'） =∠BAF'-90°=∠BAF+∠FAF'-90 =60°+51°-90°=51°-30°， ∠HBA=101°-∠ABH=10t°-105°， :E'F'∥BH', ∠ATF'=∠ABH', 23/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :51-30=101-105, 解得：t=15; B EK D ③如图所示，当F在AB上，则E'F'⊥AB, 5t+60=180, 解得：t=24, 此时∠ABH'=10t°-105°=240°-105°=135°， ∠H'BG=45°， 而∠H'=∠AHB=45°， H'A'⊥AB, E'F'∥H'A', B G E K D ④当AE'∥BH'时， B ∠E'AB=∠ABH', .30+51=10t-105, 解得：1=27； ⑤当E'F'∥A'B时， ∠ABA'=∠AE'F=60°， 24/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 360-101=60, 解得：t=30; 综上所述，t的值为6或15或24或27或30， 16.(24-25七下.重庆渝北期末)如图1，AB∥CD,点E,H在直线AB上，点G,P在直线CD上，点 F在直线AB,CD之间，连接GH,EF,FP,LBEF=LCGH. H E B B H B M 图1 图2 图3 (I)求证：EF∥GH; (2)如图2，过点F作直线FM交线段GH于点N,且∠EFM=∠PFM,用等式表示LHNF,LAHN与∠FPG 之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若∠CGH=120°，过点F作FP⊥CD,垂足为P,过点F作F0∥CD,射线FM绕点F从FP开 始以每秒15°的速度逆时针旋转至FE停止，同时射线FN绕点F从FE开始以每秒5°的速度顺时针旋转至 FP停止，设运动时间为t秒，当∠MFO=∠NF0时，请直接写出所有满足条件的t的值. 【答案】(1)见解析 (②)∠FPG=2LHNF-∠AHN,证明见解析 3)3或7.5 【详解】(1)证明：延长EF交CD于点Q,如图， A H E B D :AB∥CD, ∠BEF=∠EQC, ∠BEF=LCGH, 25/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CGH=∠CQE .EF∥GH; (2)解：∠FPG=2LHNF-∠AHN,理由如下： 延长EF交CD于点Q,分别延长NF和FN,交CD于点R,交AB于点T,如图， H F 、M OP 设∠FRP=a, :AB∥CD, :∠HTN=∠FRQ=a, 又∠HNF=∠THN+∠HTN=∠THN+∠FRQ=∠THN+a, ∴.a=∠HNF-THN, :FM平分∠EFP, :ZEFR=ZPFR, 又∠EFR=∠NFQ, .∠PFR=∠NFQ, :EF∥GH,即EQ∥HG ∠HNF=∠NFQ, .∠HNF=∠PFR, 又∠FPQ=∠PFR+∠FRP =∠HNF+a =∠HNF+∠HNF-∠THN =2∠HNFF-∠THN 即∠FPG=2∠HNF-∠AHN; (3)解：延长EF交CD于点Q,如图 H E B 26/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :HG∥EF,即HG∥EQ, :.∠EQC=∠HGC=120°， ∠EQP=60°， FP⊥CD, ∠FPC=90°， .∠QFP=90°-60°=30°， :∠PFE=180°-∠PFQ=180°-30°=150°， FO川CD, :.∠EFO=∠FQP=60°，∠PFO=∠FPQ=90°， 当FO在∠MFN内部时，：∠NF0=∠MF0, .90°-15°1=60°-5t, 解得，t=3, 当F0在∠MFN外部时，则有：150°-15°.t=51, 解得，t=7.5 综上，t的值为3或7.5 目目 考点03 旋转相关综合题 17.(24-25七下·重庆铜梁期末)如图，直线PQ∥MN,一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°， ∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B,C均在 直线MN上，且CE平分LACN. P M- 图① 图② 图③ (I)求∠DEQ的度数. (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒2度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G), 设旋转时间为(s)(0≤1≤90). ①在旋转过程中，当BG∥CD时，求t的值. ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转(C,D的 对应点为H,K),请直接写出当BG∥HK时t的值. 27/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)60 (2)①15s;②7.5s或70s 【详解】(1)解：如图①中， :∠ACB=30°， ∴∠ACN=180°-∠ACB=150°， :CE平分∠ACN, a∠BCN=;∠ACN=75, :PQ∥N, .∠QEC+∠ECW=180°， :∠QEC=180°-75°=105°， .∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°. (2)解：①如图②中， BG∥CD, .∠GBC=∠DCN, ∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°， ∴.∠GBC=30°， .2t=30, .t=15s .在旋转过程中，若边BG∥CD,t的值为15s. ②如图③中，当BG∥HK时，延长H交MN于R. BG∥R, :.∠GBN=∠KRN, 过点K作T∥PQ,则PQ∥KT∥N, ∴.∠QEK∠EKT,∠RN=∠HKT, ∠QEK=6O°+t,∠K=∠QEK+∠RN, .∠RN=90°-(60°+t)=30°-t, .2t=30°-21， 1=7.5s. 28/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E P G K H M B R N 图③ 如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R. :BG∥R, ∴.∠GBN4∠RM=180°， 同理可得∠QEK=60°+t,∠ER=∠PEK+∠KRM, ·.∠KRM=90°-(180°-60°-t)=t-30°， .2t+t-30°=180°， .t=70s. 综上所述，满足条件的t的值为7.5s或0s. H G K B R F 图③-1 18.(2425七下.重庆开州期末)如图1，小明将一个含30°的直角三角板P0M(其中∠M0P=90°， ∠OPM=30°)按图1所示放置，使得直角三角板的一边MO落在直线AB上.过顶点P作直线EF∥AB, 作直线CD∥MP,分别交直线AB,EF于点G,H. 29/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C G G H 图1 图2 B 图3 备用图 (1)如图1，求LCGB的度数为_°； (2)如图2，将直角三角板P0M绕顶点M逆时针旋转，旋转角为B,且0°<阝<135°，在旋转过程中，直线 AB,CD位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化. ①当点P在直线AB下方时，试猜想LOPF和∠OMB的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线CD平行时，求旋转角B的度数. (3)如图3，在(2)的条件下，已知直角三角板P0M的旋转速度是每秒5°，旋转时间为t秒，作MN平分 ∠BMP,作MK平分∠OMN,当射线MP平分∠KMN时，求t的值 【答案】(1)120 (②)①L0PF=90°+∠0MB,证明见解析；②B=30°或120° (3)20s 【详解】(1)解：：CD∥MP, ∴.∠BGD=∠0MP=90°-∠0PM=60°， ∴.∠CGB=180°-∠BGD=120°； (2)解：①L0PF=90°+∠0MB,理由如下： 如图所示，设AB与OP交于点Q, B G -F D EF∥AB, 30/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、∠OPF=∠OQB, :∠0QB=180°-∠0QM=180°-(180°-∠M0Q-∠0MQ)=∠M0Q+∠0MQ=∠0MQ+90°， ∠OPF=90°+∠0MB; ②由(1)可知，∠BGD=60°， 当OP∥CD时，如图所示，设AB与OP交于点Q, M B G E H D OP∥CD, :∠BQP=∠BGD=60°， .∠O2M=∠B0P=60°， :∠M0P=90°， :.B=∠OMB=180°-∠OQM-∠MOP=30°； 当OM∥CD时，如图所示， -F A G M D :OM∥CD, ∴∠OMA=LBGD=60°， .B=∠OMB=180°-∠OMA=120°： 当MP∥CD时，B=180°>135°（舍）， 综上，B=30°或120°； (3)解：当点P在直线AB下方时，如图， G D 31/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时MP在∠KMN外部，故不存在MP平分∠KMN, 当点P在直线AB上方时，如图， E M D :MP平分∠KMN,MN平分∠BMP, .设∠NMP=∠KMP=∠BMN=x, :∠0MP=60°， :∠0MN=∠0MP+∠PMN=60°+x, :MK平分∠OMN, :∠KMN=∠OM-60°+x 2 2 .∠KMN=∠KMP+∠NMP=2x, 60°+X=2x, 2 解得：x=20°， ∴.旋转角∠0MB=∠0MP+∠PMN+∠BMN=60°+20°+20°=100°， “旋转时间t=100÷5=20(s. 19.(24-25七下.重庆万州期末)如图，PQ∥MN,A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°， 若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分 别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b/秒，且Q、b满足 √ā-6+(b-1)=0.(友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向) Q (1)a= ,b= (2)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线B0互相垂直. (3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问 32/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 【答案】(1)6,1 兴物 ③2秒或2秒 7 5 【详解】(1)解：：√a-6+(b-1)2=0,√a-6≥0，(b-1≥0， a-6=0、b-1=0, a=6、b=1, 故答案为：6,1. (2)解：设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，设射线AM、射线BQ互相垂直于点O, 如图，过点0作OC∥PQ, B P M A 由题意得：∠0AM=61°，∠OBQ=t°，∠A0B=90°， :OC∥P0, ∴LC0B=L0B0=1°， :PQ∥MN,OC∥PQ, ..OC MN ∴∠C0A=∠0AM=61°， 又：∠C0A+∠C0B=∠A0B, .61°+1°=90°， 解得1=90 答：至少旋转9秒时，射线4M、射线8Q互相垂直。 (3)解：设射线AM再转动x秒时，射线AM、射线BQ互相平行， :PQ∥MN,∠BAN=45°， .LAB0=LBAN=45°， 33/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :射线80到达BA所需时间为45 0 =45(秒)， ∠BAN=45°， ∠BAM=180°-∠BAN=135°， 如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，射线AM旋转至AM'的位置，则∠MAM'=6°x18=108°， ∠BAM'=∠BAM-∠MAM'=27°，∠NAM'=180°-∠MAM'=72°， ”旋转至B所需时回为3=45（秒），旋转至4W所需时间为3=12（秒），质 需时间为12+8°=42（秒）。 则分以下两种情况： ①如图，当4.5<x<12时，射线AM从AM'的位置转动至AM",射线BQ转动至BQ', B :M' M M N 则LQBQ'=x°，∠MAM"=6x°，AM"∥BQ', .L0'BA=∠M"AB, :∠ABQ-∠QBQ'=∠MAM'+∠MAM”-∠BAM,即45°-x°=108°+6x°-135°， 解得x= 号，符合题设： ②如图，当12<x<42时，射线AM从AM'的位置先转动至AN,再从AN转动至AM",射线BQ转动至 BO', B O- M -M M A N 则L0BQ'=x°，∠NAM"=6x°-∠NAM'=6x°-72°，AM"∥BQ', .Z0'BA ZM "4B ∠ABQ-∠QBQ'=∠BAN-∠NAM",即45°-x°=45°-(6x°-72）， 解得x召符合遥说： 34/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，射线M再转动号秒或？秒时，射线4A、射线B0瓦相平行 20.(24-25七下.重庆一中期末)如图，已知直线PQ∥MN,点A在直线MN上，点B、C在直线P2上， 射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN=3∠DAN,AC平分∠BAE,LBAC=40°. M N M M A D PE C B DO PE B DO P CB'B D' 图1 图2 图3 (1)如图1，若LBAD=30°，求∠AEC的度数： (2)如图2，在AE上有一点F,满足CF∥AD,且FG平分∠AFC交AB于点G,试探究LAGF与∠ACB的 数量关系，并说明理由； (3)如图3，若LABC=80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B'AC', ∠C'AN的三等分线为AD',即∠C'AN=3∠D'AN,同时BA绕点B逆时针旋转至BA',速度始终为4°每秒， 当AC'与射线AM重合时，∠B'AC'立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC'运动到与射线AN重合时， 整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD'∥BA'时，请直接写出t的值. 【答案】(1)35° (2)270° 8的值为9或g9 【详解】(1)解：：AC平分∠BAE,∠BAC=40°， 六.LCAE=LBAC=40°， 又∠BAD=30°， ∴LCAD=LBAC+LBAD=70°， :∠CAN=3∠DAN, ÷∠CAW=3 ∠CAD=105°， ∴∠EAN=LCAE+LCAN=I45°， :Pg∥MN, ∴.LAEC=180°-LEAN=35°； (2)解：3LAGF+LACB=270 理由：如图， 35/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M PE C B 图2 设∠BAD=2y,则∠CAD=40°+2y ∠CAN=3∠DAN, :ZCAN=3∠C4D=40°+2y)=60°+3y,∠D4N=20°+ :∠EAN=∠EAC+CAN=100°+3y, :PQ∥MN, .∠AEC=180°-∠EAW=80°-3y,LADC=LDAN=20°+y, :CF∥AD, ∴.∠FCE=∠ADC=20°+y, .∠AFC=∠AEC+∠FCE=100°-2y,∠ACB=∠AEC+∠EAC=120°-3y, :FG平分∠AFC, ∠AFG=2∠AFC=50°-y, :∠AGF=180°-∠AFG-∠FAG=180°-(50°-y)-40°×2=50°+y, .3∠AGF+∠ACB=350°+y)+120°-3y=270°； (3)解：：∠ABC=80°，∠BAC=40°， ∠ACB=180°-LABC-∠BAC=60°， :PQ∥MN, ∠CAN=180°-LACB=120°，∠CAM=∠ACB=60°，∠BAN=LACB=80°， :∠CAN=3∠DAN, .∠DAN=40°， 当AC'与射线AM重合时，1=60°÷6°=10，返回时，当AC'与AC重合，1=10+60°÷3°=30，当AC'与射线 AN重合时，1=10+180°÷3°=70，当A'B在AB的延长线时，t=180°÷4°=45， 当0≤1≤10时，∠CAC'=(6t)°， :∠CAN=∠CAC'+∠CAN=(6t+120)°， 36/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CAN=3∠D'AN, ∠D'AN=21+40°， :∠BAD'=∠BAN-∠DAN=(40-2I)°， :AD'∥BA', ∠ABA'=∠BAD', (41°=(40-2)°， 解得1=20 : 当10<t≤30时， M C乔 B A C B 则∠CAC'=60°-3(t-10]°=(90-3)° :∠CAW=∠CAC+∠CAN=(210-3t°， :∠C'AN=3∠D'AN, .∠DAN=(70-t°， :∠BAD'=∠BAW-∠D'AN=10+t°， :AD'∥BA', ∠ABA'=LBAD', 41)°=(10+°， 解得1=号〔舍去)： 当30<t≤45时， M B P CC B 则∠CAC'=[3(t-10)]°-60°=(31-90)° 37/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CAN=∠CAC'-∠CAN=(210-3t)°， :∠C'AN=3∠D'AN, :∠DAN=(70-)°， :∠BAD'=∠BAN-∠D'AN=(10+)°， :AD'∥BA', ∠ABA=LBAD', 41)°=(10+°， 解得1-号 (舍去)； 当45<1≤70时， C B 则∠CAC'=[3t-10)]°-60°=(31-90)° ∠C'AW=∠CAC-∠CAN=(210-3°， :∠C'AN=3∠D'AN, ∠DAN=(70-t°， ∠BAD'=∠BAN-∠D'AN=(10+°， :AD'∥BA', ∠ABA'=∠BAD', (360-41)°+(10+1)°=180°， 解得1=190 (舍去)； 综上，（的植为号成 190 3 21.(24-25七下·重庆渝北期末)己知直线AB∥CD,点M和点N分别在直线AB和CD上，点E在直线 AB、CD之间，连接ME、NE. 38/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M B A M B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LBME=30°，∠DNE=55°，则∠E=_°； (②)如图2，若点F是直线CD下方一点，连接MF与直线CD交于点O,连接NF,ME、ND分别是 ∠BMF、∠ENF的角平分线，己知LBMF=40°，∠MEN=80°.求∠F的度数？ (3)如图3，连接MN,点P在点N右侧且在直线CD上，过点P在CD下方作PG⊥CD,垂足为点P,若 ∠BMN=50°，∠MNE=100°，ME平分∠BMN.将射线PG绕点P以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转180°， 旋转过程中，射线PH在∠DPG内部且∠DPH=∠DPG,设旋转时间为t秒，直接写出PH与△MNE的任 意一条边平行时t的值， 【答案】(1)85； (2)20°； 20 3 或25. 3 【详解】(1)解：如图1，作EF∥AB, :AB∥CD, ∴.AB∥EF∥CD, .∠MEF=∠BME=30°，∠NEF=LDNE=55°， ∠MEN=∠MEF+∠NEF=30°+55°=85°， 故答案为：85； A M B F------E C N D 图1 (2)解：：ME、ND分别是∠BMF、∠ENF的角平分线， 39/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BME-BMF=20P,∠DNF=∠DNE=5ENF, 由(I)可得，∠MEN=∠BME+∠DNE, 80°=20°+∠DNE, 解得LDNE=60°， .∠DNF=60°， 如图2，作FR∥AB, :∠AFR=180°-∠BMF=140°， AB∥CD, FR∥CD, :∠NFR=180°-∠DNF=120°， ∴.LAFN=∠AFR-LNFR=20°， ∠F的度数为20°： A M B --R 图2 (3)解：：ME平分∠BMN,∠BMN=50°， ∠BME=∠EMN=BN=25, :AB∥CD, .∠MND=180°-∠BMN=130°， .∠DNE=∠MND-∠MNE=130°-I00°=30°， .PG⊥CD, ∠DPG=90°， 过P作HH,与△MNE的一条边平行，由题意知，分HH1∥MN,HH1∥ME,HH1∥E三种情况， 当HH,∥MN即PH∥MN时，如图①， .∠DPH=∠NPH1=180°-∠MWD=50°， 40/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DPH=∠DPG, ∴∠DPG=100°>90°，此情况不成立； AM H B E P D G 图① 当HH,∥ME,即PH∥ME时，如图②， :HH1∥ME, .∠PGN=∠EMN=25°， ∠GPN=180°-130°-25°=25°， ∠DPH=LGPN=25°， :∠DPH=∠DPG, ∠DPG=50°， .PG旋转了90°-50°=40°， 1=40°÷6=2 3 B E G 图② 当HH,∥NE,即PH∥NE时，如图③， :PH∥NE ∠DPH=∠DNE=30°， 41/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 :∠DPH=∠DPG, ∠DPG=60°， .PG旋转了90°+60°=150°， 1=150°÷6=25； AM B H IG P C N D H 图③ 踪上，当PH与△MWE的一条边平行时，t的值为0或25了 22.(24-25七下·重庆巴蜀中学期末)如图，直线AB∥CD,直线P9分别交AB、CD于点E、F.点M 在直线AB上方，点N在直线CD上（在F点的右边），连接EM、MN,EP平分∠AEM. B -D D G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠PEA=62°，∠M=50°，求∠MND的度数； (②)如图2，若NH平分∠MND,直线NH交PQ于点G,请探究∠M与∠PGH之间的数量关系，并说明理 由： (3)如图3，在(2)问的条件下，连接NE并延长.若∠MND=100°，∠ENM=30°，将LENG绕着点N以 每秒1的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒0<t<360),在旋转过程中，射线NR始终平分∠MNE,NI是 ∠ENG内部一条射线，NS平分∠ENI,当∠RNS=60°，且∠ING的度数为射线NS与直线CD所夹锐角的4 倍时，直接写出t的值（本题研究的所有角度均小于180°）， 【答案】(1)106 (②)LEMN=180°-2∠PGH,理由加解析 (3)t= 0或30或610秒 10 3 42/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(I)解：：EP平分∠AEM,且∠PEA=62°， PMM A ∠PEA=∠PEM=62°， C F N 过点M作MM'∥AB, ∠AEM+∠MME=180°， ∠MME=180°-62°×2=56°， 又：∠EMN=50°， ∠MMN=∠MME+∠EMN=56°+50°=106°， :AB∥CD, .MM'∥CD, :∠MND=∠MMN=106°： (2)解：数量关系为：∠EMN=180°-2∠PGH或∠EMN+2∠PGH=180°. PM'M E H -D W.- G 理由如下： :EP、NH分别平分∠AEM和∠MND, ·设∠PEA=LPEM=x,∠MNH=∠DNH=y, 过点M作MM'∥AB, ∠AEM+∠MME=180°， ∠MME=180°-2x, :AB∥CD, MM'∥CD, ∴.∠MMN=∠MND=2y, ∴∠EMN=∠MMN-∠MME=2y-(180°-2x)=2(x+y)-180°， 43/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点G作GG'∥CD, GG'∥AB, ∠FGW=∠PEA=x,∠DH=∠G'GN=y, .∠PGH=180°-x-y=180°-(x+y),即x+y=180°-∠PGH, :∠EMN=180°-2∠PGH; (3)解：：∠MND=100°，NH平分∠MND,则∠MNH=∠HND=50°， :未旋转前LENM=30°， 则∠ENG=180°-∠ENM-∠MND=180°-30°-50°=100°， 2 ∠MNC=180°-∠MND=80°， :将∠ENG绕着点N以每秒1°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒(0<t<360), ·.∠ENM=30°+t°， 当NS在CD的上方时，如图所示， R M G 设∠IWG=4a,则∠SNC=a, 依题意，NR始终平分∠MNE,NS平分∠ENI, ∠RNE-2MNE=230+°，∠SNE=∠ENM=∠ENG-∠NGj-=I0oP-4a)=50-2a, :∠RNS=60°， ∠REN+∠BENS=15°+7+50e-2a=65°+2-2a=60, 1 2a-=50 又∠MNC=80°，即∠SNC+∠MNS=∠SNC+∠ENS+∠MNE=a+50°-2a+30°+t=80°， 即t=a②， 将②代入①得，2t-二1=5， 2 10 解得：1= 3 44/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当NS在CD的下方时，如图所示， M R B E N 则∠MNS-∠SNC=50°-2a+30°+1-a=80°，解得：t=3a, 将t=3a代入①得，a=10, t=30; 如图所示，当t>180时，且NS在CD的下方时， M R 设∠ING=4B,则∠SND=B, 依题意，NR始终平分∠MNE,NS平分∠ENI, h∠RvE=NE=360-30-小=（165-. ∠SNE=EM=∠BNG-∠NG=I0-4B)=50-2B, :∠RNS=60°， ∠RNE-∠Bs=165--50-2p)=15°-+2B=60. .t=110+4β， 又：∠MND=100°，即(360-30-)-(50-2β)-B=100,即p=t-180, 将B=t-180代入t=110+4B, 解得：1=610 当NS在CD的上方时，则(360-30-)-(50-2β)+B=100,即3B=t+180, 将3β=t+180代入t=110+4β， 解得：t=-1050(舍去) 45/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 610 综上所述：t= 或30或 3 23.(24-25七下重庆巴南期末)己知：E,F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD,G,H点为平面内 两个动点. H H HL G 图1 图2 图3 (I)如图1，G,H在两条直线之间时，LG=∠H,试说明：∠AEG=∠HFD; (2)如图2，作直线EF,G点在CD下方，H点在AB和CD之间，连接EH,HF,∠HEF和∠HFM的角平分 线交于点G.探究∠H与LG的数量关系； (3)如图3，H,G在直线EF上，射线EH绕点E以每秒12°的速度逆时针旋转，射线FG在EH旋转6秒后 开始绕点F以每秒8°的速度顺时针旋转.射线FG旋转160°后两条射线同时停止.设射线FG旋转t秒时， 射线EH∥FG,直接写出t的值. 【答案】()见解析 (2ZH=2ZG 号 5 【详解】(1)如图1， A E M ---N 图1 过点G作GM∥AB,过点H作HN∥CD, 又：AB∥CD, GM∥HN∥AB∥CD, .∠MGH=∠NHG, 又，∠EGH=∠GHF, .∠EGH-∠MGH=LGHF-∠NHG, ∴.∠EGM=∠FHN, 46/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GM∥AB,HN∥CD, ∠BEG=∠EGM,∠CFH=∠FHN, ∠CFH=∠BEG, 又∠AEG+∠BEG=180°，∠CFH+∠HFD=I80°， ∠AEG=LHFD. (2):EG平分∠HEF,FG平分∠HFM, :∠HFM=2∠GFM,∠HEF=2LGEF, :∠HFM=180°-∠HFE,∠HEF+∠H=180°-∠HFE, ∠GFM=180°-∠GFE,∠GEF+∠G=180°-∠GFE, ∠HFM=∠HEF+∠H,LGFM=LGEF+∠G, ∴.∠HEF+∠H=2(∠GEF+∠G), .∠H=2∠G. (3)分两种情况： ①如图3①， H E H -D 、G 图3① 由题意得，∠HEH'=12×6+t,∠GFG'=8t, 则∠EFG'=180-8t, 当EH'HFG'时，LHEH'=LEFG', 12×6+t)=180-8t, 解得：1=27 如图3②，有 47/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H E G ∠FEH"=12×6+t)-180,∠EFG”=180-8t, D G 图3② 当EH"∥FG"时，LFEH"=LEFG”, 12×6+小-180=180-81，解得：1=72 5 综上所达，！的值为号或 72 5 24.(24-25七下·重庆实验外国语学校·期末)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放， 点F在直线AC上，且ED∥AC,DF与AB相交于点G,其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠BAC=30°， ∠EFD=90°，∠DEF=∠EDF=45°. B F 图1 图2 备用图 (I)求此时LDGA的度数； (②)如图2，若三角板DEF绕点F按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时∠DFA的度数； (3)在(2)的前提下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为(0<1<72】 秒，当三角板DEF第一次回到图2的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板DEF的某一条边与 AB平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)75° (2)150 (3)9秒或27秒或36秒或45秒或63 【详解】(1)解：如图1，过G作GH∥AC, ED∥AC,GH∥AC, .ED∥GH∥AC. ∠DGH=∠EDF=45°，∠AGH=∠BAC=30°， ∴.∠DGA=∠DGH+∠AGH=75°. 48/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G H F 图1 (2)解：如图2，过F作FH∥AB. :ED∥AB,FH∥AB, ED∥AB∥FH. ∠DFH=LEDF=45°，∠AFH=∠BAC=30°， ∠DFA=∠DFH-∠AFH=15°. D H 图2 (3)解：如图3，当EF∥AB时， :EF∥AB,∠BAC=30°， .∠EFA=150°， 、∠DFA=LEFA-∠EFD=60°. 51+15=60, 解得：t=9. B R 图3 如图4，当DF∥AB时， :DF∥AB,∠BAC=30°， ∠DFA=150°. 51+15=150, 解得：1=27， 49/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图4 如图5，当DE∥AB时，过F作FG∥AB. DE∥AB,FG∥AB, DE∥FG∥AB. LAFG=180°-∠BAC=180°-30°=150°，∠GFD=∠EDF=45°. .51=150+45-15, 解得：t=36. B D 图5 如图6，当EF∥AB时， :EF∥AB,∠BAC=30°， .LEFA=30°， ∠AFD=30°+90°=120° 51+15=360-120, 解得：t=45. 50/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图6 如图7，当DF∥AB时， :DF∥AB,∠BAC=30°， ∠DFA=150°. .51+15=360-30, 解得：t=63. E B 图7 综上，t值为9秒或27秒或36秒或45秒或63秒时，存在三角板的某一条边与AB平行的情况 目目 考点03 三角板相关综合题 25.(24-25七下·重庆八中期末)已知直线MN∥PQ,现将一个含30°的三角板ABC按照如图1放置，使 点A,B分别在直线MN,P9上，∠ABC=90°，∠C=60°，AD平分∠CAN交直线PQ于点D,且AD∥BC. E M M A(G N D 图1 图2 (I)求∠BAM的度数； (2)将一个含有45°的三角板EFG按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边GF与AB重合.若 51/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将三角板GEF绕点A以每秒6°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0<1<15)· ①若三角板ABC保持不动，作∠DAF的角平分线AK,当LCAK=I2°时，求t的值； ②若三角板ABC同时绕点B以每秒18°的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边EF与三角板ABC的一条直 角边平行时，直接写出所有满足条件的的值. 【答案】(1)30度 201或9：②5或05或或名 8 8 8 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°， :.∠BAC=180°-（∠ABC+∠C)=30°， AD BC .∠ABC+∠BAD=180°， ∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°， ∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-30°=60°， :AD平分∠CAN, ∴∠NAD=∠CAD=60°， ∠BAN=∠BAD+∠NAD=90°+60°=150°， .∠BAM=180°-∠BAN=30°； (2)解：①依题意有以下两种情况： (i)当AK在AC的右边时，如图1所示： M A(G N 图1 由旋转的性质得：LBAF=(6t°， 由(1)得：∠BAD=90°，LBAC=30°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=(90+6t°， :AK平分∠DAF, 52/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠FAK=∠DAK=}∠DAF=(45+3)°， 2 :∠FAK=∠BAF+∠BAC+∠CAK,∠CAK=I2°， 45+31=61+30+12, 解得：1=1； (ⅱ)当AK在AC的左边时，如图2所示： M A(G N P 图2 同理得：∠FAK=∠DAK=(45+3)°， .∠DAK=∠CAD+LCAK 由(1得：∠CAD=60°， .45+31=60+12, 解得：t=9, 综上所述：t的值为1或9； ②当边EF与三角板ABC的一条直角边平行时，有以下两种情况： (i)当EF∥BC时，又有两种情况： (a)延长BC交GF于点K,如图3所示： E N C, 图3 FEF∥BC, ∠FKB=∠F=45°， 由旋转的性质得：LABG=(181°，∠FGB=(61°， 53/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CBG=∠ABG-∠ABC=(18t-90)°， :∠FKB=∠KBG+∠FGB, .45=181-90+61, 解得：t=45 : (b)延长BG交EF于点W,如图4所示： M P 图4 同理得：∠CBG=(18t-90)°，LFGB=(6t°， .∠FGW=180°-∠FGB=(180-61)°， 在aFGW中，∠F=45°， :.∠FWG=180°-（∠F+∠FGW)=(6t-45)°， EF BC, .∠CBG+∠FWG=180°， .181-90+61-45=180°， 解得：1=105 8 当FC时，的雀为号或g 89 (i)当EF∥AB时，又有两种情况： (a)延长EF交BG于点R,如图5所示： 54/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M GN B C 图5 同理得：∠ABG=(18t°，LFGB=(61°，∠EFG=45°， :LEFG=∠FRG+LFGB .∠FRG=∠EFG-∠FGB=(45-6° :AB∥EF, ∠ABG=∠FRG, .181=45-6t, 解得：1受 (b)延长BG交EF于点T,如图6所示： M 图6 同理得：LABG=18t°，LFGB=6t°，∠FGE=90°，∠F=45°， :∠FGT=180°-∠FGB=(180-6t)°， 在△FTG中，∠FTG=180°-（∠FGT+∠F)=(6t-45)°， EF∥AB, ∠ABG+LFTG=180°， .181+61-45=180°， 解得：1=5 8 。当球∥48时，的值为货线爱 55/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上所述：当边EF与三角板ABC的一条直角边平行时，的值为45或105或5或石 或 8 8 8 8 26.(24-25七下·重庆荣昌期末)如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线AC上，且 ED∥AC,DF与AB相交于点G,其中∠ACB=90°，LABC=60,LBAC=30,∠EFD=90°， ∠DEF=∠EDF=45°. B 图1 图2 (I)求此时∠DGA的度数； (②)如图2，若三角板DEF绕F点按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时∠DFA的度数； (3)在(2)的条件下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒3°的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当 0<t≤60时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板DEF的某一条边与AB平行的情况？若存在，请求出 所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)75° (2)150 (3)存在，t的值为15秒或45秒或60秒 【详解】(1)解：如图，过G作GH∥AC, B D G GH∥AC,ED∥AC, A ED∥GH∥AC, ∠DGH=∠EDF=45°，∠AGH=∠BAC=30°， :∠DGA=∠DGH+∠AGH=45°+30°=75°； (2)解：如图，F作FH∥AB, FH∥AB,ED∥AB, D H 56/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ED∥AB∥FH, ∠DFH=∠EDF=45°，∠AFH=∠BAC=30°， DFA=∠DFH-∠AFH=45°-30°=15°： (3)解：分三种情况： 当EF∥AB时，如图： D B E EF∥AB,∠BAC=30°， ∠EFA=180°-∠BAC=150°， :∠DFA=∠EFA-∠EFD=150°-90°=60°， .31+15=60, 解得t=15; 当DF∥AB时，如图： B DF∥AB,∠BAC=30°， .∠DFA=180°-∠BAC=150°， :31+15=150, 解得1=45： 当DE∥AB时，过F作FG∥AB, A: FG∥AB,ED∥AB, D 57/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·ED∥AB∥FG, ·∠AFG=180°-∠BAC=150°，∠GFD=∠EDF=45°， ·∠DFA=∠DFH-∠AFH=45°-30°=15°： ·31=150+45-15, 解得1=60； 27.(24-25七下.重庆永川期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为 背景开展数学活动.如图1，已知两直线a,b且a∥b和Rt△ABC,∠BCA=90°，∠BAC=30°， ∠ABC=60°. B B C C 图1 图2 图3 (1)在图1中∠1=43°，求∠2的度数： (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠1与∠2存在怎样的数量关系， 请说明理由； (3)创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM,此时发 现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系. 【答案】(1)47° (2)∠2-∠1=120°，理由见解析 (3)∠1=∠2 【详解】(1)解：如图： A 12 - 1X3 -b C ∠ACB=90°，∠1+∠ACB+∠3=180 1+∠3=180°-∠ACB=90 :∠1=43° .∠3=47° :a∥b 58/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠2=∠3=47° (2)解：∠2-∠1=120°，理由如下， 如图，过点B作BD∥a, B C 则∠ABD=180°-∠2 allb .BD allb :∠CBD=∠1，∠ABD=I80°-∠2 :∠ABC=60 ∠ABD+∠CBD=180°-∠2+∠1=60 .∠2-∠1=120°. (3)解：如图3， ∠1=∠BQP,∠2=∠BPQ,而 ∠B=90°-∠A=60°，∠B+∠BPQ+∠BQP=180° .∠1+∠2+LB=180°， ∠1+∠2=120°. 28.(24-25七下·重庆梁平.期末)如图，直线MN∥PQ,将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置， ∠ACB=LEDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°，此时点A与点E重合. G M G M H B A(E) B A(E) A(E) 图1 图2 图3 (I)如图1，直线MN经过点F,∠NFD= (②)如图2，固定ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向旋转aα度，DF与MN相交于点G,①若 AC∥DF,求u的大小；②求∠NGD的大小（用a的式子表示）：③如图3，∠NGD与∠DEQ的角平分线相 交于点H,△DEF在旋转过程中，∠GHE可能为30°吗？请说明理由， 59/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)15 (2)①30°；②15°+a;③LGHE不可能为30°，理由见解析 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的等腰，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的 关键. (1)根据平行得到∠NFA=LBAC=45°，再由∠VFD=∠NFA-∠EFD即可求解； (2)①根据平行线的性质得到LCAF=∠F=30°，据此可得答案： ②过点D作DT∥MN,则DT∥P2∥MN,则∠EDT=∠DEQ=180°-45°-60°-a=75°-a,再由 ∠NGD=∠GDT=90°-(75°-a)即可求解； ③过点H作HS∥MN,则HS∥PQ∥MN,那么∠NGH=∠GHS,∠EHS=∠HEQ,则 ∠GHE=∠GHS+∠EHS=∠NGH+∠HEQ,由角平分线的定义可得 ∠NGH=号15+a,∠0EH=75-a,再相加即可求解. 【详解】(1)解：：MW∥PQ, ∴∠NFA=LBAC=45°， ∠NFD=∠NFA-∠EFD=45°-30°=15°； (2)解：①AC∥DF, ∠CAF=∠F=30°，即a=30°； ②过点D作DT∥MN, G M D B A(E) :MN∥Pg, DT∥PQ, .∠NGD=∠GDT,∠EDT=∠DEQ, :∠CAF=0,∠BAC=45°，∠FED=60°， ∴.∠EDT=∠DEQ=180°-45°-60°-a=75°-a, :∠FDE=90°， :∠NGD=∠GDT=90°-(75°-a)=15°+a; 60/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③∠GHE不可能为30°，理由如下： 过点H作HS∥MN, M G 3≥H A(E) :MN∥PQ, HS∥PQ, ∠NGH=∠GHS,∠EHS=∠HEQ, .∠GHE=∠GHS+∠EHS=∠NGH+∠HEQ, :∠NGD与∠DEQ的角平分线相交于点H, ∠GH=l5+a,20EH=75°-a. ∠GHE=2AGH+∠HE0-15+a+75°-a=45. .∠GHE不可能为30°. 29.(24-25七下·重庆江津期末)如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使∠AOC=120°， 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. C 图① 图② 图③ M图④ (I)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时， 求∠BON的度数； (2)在(1)的条件下，作线段O的延长线OP(如图③所示)，试说明射线OP是∠AOC的平分线： (3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠VOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理 由. 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)∠N0C-∠A0M=30°，理由见解析 【详解】(1)解：：LA0C=120°， 61/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B0C=180°-120°=60°， 又：OM平分∠BOC, ∠B0M=30°， 又∠N0M=90°， ∠B0N=90°-30°=60°， :.∠BON的值为60° (2)解：：LA0P=∠B0N=60°， ∠P0C=∠A0C-∠A0P=60°， ÷∠A0P=∠PoC=∠40C, 2 :射线OP是∠AOC的平分线 (3)解：∠N0C-∠A0M=30°. 理由如下：：∠A0C=120°， ∴.∠A0N=120°-∠N0C, :∠M0N=90°， .∠A0N=90°-∠A0M, ∴.120°-∠N0C=90°-∠A0M, .∠N0C-∠A0M=30°. 30.(24-25七下·重庆长寿期末)己知：∠AOB=(0°<<90)，一块三角板CDE中，∠CED=90°， ∠CDE=30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于 点M,且点M在点D的左侧. A M E B 0 图1 图2 图3 (I)如图，若CE∥OA,∠NDE=45°则∠= o: (②)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F. ①如图，当DF∥OA,且a=60°时，试说明：CE∥OA; ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与a之间的数量关系. 【答案】(1)45： 62/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20见解析；②∠0FD=150-20 【详解】(1)解：如图，过点E作EF∥MN, A M 图1 ∴∠DEF=∠NDE=45°， :∠CED=90°， ∠FEC=45°， :MN∥OB, EF∥OB, ∠BCE=∠FCE=45°， :AO∥CE, LAOB=LECB=45°， 则a=45°， 故答案为：45； (2)解：①：DF∥OA, ∠DFC=∠A0B=a=60°， :MN∥OB, .LMDF=∠DFC, :DF平分∠MDC, :∠CDF=∠MDF=60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， ∠CDF=∠DCE, CE∥DF, :DF∥OA, CE∥OA: ②：当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB=a, 在直角三角形DCE中，∠DCE=60°， 63/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DCB=60°+， MN IOB, :∠MDC=∠DCB=60°+a,且∠DFC=∠MDF, :DF平分∠MDC, 1 :.∠DFC=∠MDF=30°+ , .∠OFD=180°-∠DFC=180°- 30+20=150-0 31.(24-25七下，重庆巴蜀中学·期末)如图，AB∥CD,现将一块含30°的三角板EFG按如图放置， ∠G=90°，∠EFG=30°，点E、F分别在直线CD、AB上.设∠GFB=a(0°<a<90),∠CEF的角平分 线所在的直线EH交直线AB于点H. 图1 图2 备用图 (1)如图1，若a=42°，则∠CEH的度数为 (2)如图2，当a=30°时，请问EH与FG的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在(2)的条件下，若点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度进行顺时针旋转， 同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停 止转动.请直接写出当射线PC与三角板EFG的一边平行时∠HEG的度数.（本题涉及的角均大于0°且小 于180°) 【答案】(1)36° (②)EH∥FG,理由见解析 (3)65°或70°或80°或130° 【详解】(1)解：：∠EFG=30°，∠GFB=a=42°， :∠EFB=72°， AB∥CD, :∠CEF=∠EFB=72°， :EH是∠CEF的角平分线， ∠CEH)∠CEF=369 64/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：EH∥FG 理由：：∠EFG=30°，∠GFB==30°， ∠EFB=60°， :AB∥CD, :∠CEF=LEFB=60°， EH是∠CEF的角平分线， ∠FEH=∠CEF=30°=∠EFG, 2 :EH∥FG; (3)解：：∠G=90°，∠EFG=30°， :LFEG=60°， 设转动时间为s, 当PC'∥EG时，延长GE至点Q,如图， C E DPC'∥EG, B ∴∠CPC'=∠CEQ, Z CEO=ZDEG ∠CPC'=∠DEG, 由题意知，∠CPC=(4)°， 由①得∠DEG=90°-a+1=90°-30°=60°+1°， (41°=60°+1°， 解得：t=20, ·∠CEF=60°-20°=40°， ” EH是∠CEF的角平分线， :∠FEH=∠CEF=20°， 2 ·LHEG=LHEF+LFEG=8O°； 当PC'∥EF时，如图 65/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ·LCPC'=LDEF, G B 由题意知得∠DEF=∠DEG+∠FEG=120°+t°， 4t)°=120°+1°， 解得1=40， ∠CEF=60°-40°=20°， :EH是∠CEF的角平分线， :∠FEH=∠CEF=10°， 2 ∠HEG=∠HEF+∠FEG=70°； 如图，当PC'∥FG时，延长GF交CE于点T,过点G作GP∥CD, CT D V.-- G C·LVGE=LDEG=60°+°， H B :∠FGE=90°， :∠VGT=t°-30°， :∠ETG=∠VGT=t°-30°， :PC'∥FG, :∠DPC'=∠ETG=t°-30°， ∠DPC'=(41)°-180°， :(4t)°-180°=1°-30°， 解得：t=50, :∠CEF=60°-50°=10°， EH是∠CEF的角平分线， 之FEH=)∠CEF=5O :∠HEG=∠HEF+∠FEG=65°： 如图，当PC'∥EG(第二次)时， 66/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G B 则∠CPC'=∠CEG, :360°-(41°=180°-(60°+1)， 解得：t=80, ∠CEF=80°-60°=20°， :EM是∠CEF的角平分线， FEMCEF-10 ·∠MEG=∠FEG-∠MEF=50°， ·∠HEG=180°-∠MEG=130°， 综上，当CP与aEFG的一边平行时，∠HEG的度数为65°或70°或80°或130°， 32.(24-25七下·重庆巴蜀常春藤中学期末)【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验.用三角板ABC模拟可任意伸展 方向的机械臂，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∠ACB=30°；用另一块三角板DEF模拟固定关节底座， ∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=45°.他用直线PQ和直线MN模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中 PQMN,将三角板DEF平稳放置，使边DF在直线MN上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三 角板ABC的位置，使三角板ABC的顶点C落在直线PO上.在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列 有趣的问题： 图4 (I)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C,E,A,D在同一直线上，则三角板ABC的边BC与PQ所成的 LBCP=°； (②)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板ABC绕点C逆时针转动一定角度，设三角板ABC的边 AC与三角板DEF的边EF相交于点O. ①如图2，当转动三角板ABC到AB∥EF的位置时，求∠COF的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现∠C0F-∠ACP的值为定值，请求出这个定值； 67/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图4，将直线PQ向上平移一定距离，以点C,A,E,D四点共线为初始位置，继续将三角板ABC绕点 C逆时针转动，直到边AC与模拟基准线PQ首次重合时，三角板ABC停止运动.在这个转动过程中，设 ∠ACD的度数为a,那么当a取何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的边平行？请直接写出符合条 件的a的值. 【答案】（①）15 (2)①120°②45° (3)30,75,120 【详解】(1)解：在ABC和△DEF中，∠EDF=45°，∠ACB=30°， PQ∥MN, ∠DCP=LEDF=45°， ∠BCP=LDCP-∠ACB=15°， 故答案为：15°； (2)解：①在ABC中，LBAC=60°， AB∥EF, ∠C0E=∠BAC=60°， ∠C0F=180°-∠C0E=120°； ②∠C0F-∠ACP=45°. 理由如下：过点0作OG∥PQ, E -----G M D :PQ∥MN, :OG∥PQ∥MN, :∠ACP=∠COG,∠GOF=∠EFD, :∠COF-∠ACP=(∠COG+∠GOF)-∠ACP=(∠ACP+∠EFD)-∠ACP=∠EFD=45°， ∠C0F-∠ACP为定值，定值是45； (3)解：①当AB∥EF时，点C,B,E,D在同一条直线上， 68/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 LACD=LACB=30°， M D F .0=30: ②当AB∥DF时， :AB∥DF,即AB∥MN, 又：PQ∥MN, .AB∥PQ∥MN, :∠DCQ=180°-∠CDF=180°-45°=135°，∠AC0=∠BAC=60°， ∠ACD=∠DCQ-LACQ=135°-60°=75°， .a=75; ③当AB∥DE时，如图， C .∠BCD=∠ABC=90°， M D N ∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+30°=120°， .a=120: 综上，在旋转的过程中，当a=30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行. 目目 考点05 角平分线相关综合题 33.(23-24七下.重庆丰都期末)学校七年级数学兴趣小组的同学在学完《第五章相交线与平行线》后， 开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识，他们动手操 69/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作步骤如下： 首先，用四根小木棍摆放成图①的样子，其中AB∥CD,BC∥DE,然后，轻微移动调整原有的几根小木棍 位置，并增加一根小木棍，摆放成图②的形状；最后，在图②的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去， 得到图③的形状. 1,1 D 图① 图② 图③ 兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案： (1)在图①中，若∠B=2LC,求∠D的度数； (2)在图②中，若AB∥EF,那么∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF具有什么数量关系呢？探究并说明理由； (3)在(2)的条件下，如图③，若LABC=4∠CBG,∠CDE=4LCDG,设∠C=,∠E=B,求∠G的度 数（用含，B的式子表示）. 【答案】(1)60 (2)LABC+LBCD=∠DEF+LEDC,理由见解析 7 【来源】重庆市丰都县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【详解】(1)解：：AB∥CD,BC∥DE, ∴.∠B+∠C=180°，∠C=∠D, ∠B=2LC, 2∠C+∠C=180°， .∠D=LC=60°： (2)解：LABC+LBCD=LDEF+LEDC,理由如下： 如图，分别过点D,C作DM∥AB,CN∥AB, A D M AB∥EF, 70/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DM∥AB∥CN∥EF, :∠ABC+∠BCN=180°，∠DEF+∠EDM=180°，∠CDM=∠DCN, :.∠CDM=180°-（∠ABC+∠BCD),∠DCN=180°-（∠DEF+∠EDC), :.180°-（∠ABC+∠BCD)=180°-（∠DEF+∠EDC), .ZABC ZBCD ZDEF ZEDC (3)解：∠C=,∠E=B,LABC+LBCD=∠DEF+∠EDC, ·∠ABC+a=B+∠EDC, :∠ABC-∠CDE=B-a, :∠ABC=4LCBG,∠CDE=4∠CDG, 24c=4c.2c=4cDE, ∠ABG-∠EDG-∠ABC-∠CDE)-=B-a, 由(2)得：LABG+∠G=∠EDG+LE, :ZABG-ZEDG ZE-ZG, B-∠G=3(B-a), 3 34.(24-25七下·重庆开州期末)已知，在四边形ABCD中，∠DAC=∠AEB,∠D=∠ABE. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AB∥CD. (②)如图2，延长BE交CD于点F,过点F作MF⊥BF,垂足为F,MF与∠BAD的外角平分线交于点M, 与AD交于点N,求证：2LAMF=90°+∠MFD. (3)如图3，在第(1)间成立的条件下，若BE平分∠ABC,H是直线CD上一动点（不与点C重合），BP 平分LHBC交直线CD于点P.设∠EBP=a,直接写出LBHC的度数（用含a的代数式表示）， 【答案】()证明见解析 (②)证明见解析 (3)LBHC=2a或LBHC=180°-2a 71/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【来源】重庆市开州区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 【详解】(I)证明：如图，延长BE交DC于点K, B ∠DAC=LAEB, AD∥BK, ∠D=∠BKC, :∠D=∠ABE, ∠ABE=LBKC, .AB∥CD: (2)如图，过点M作MR∥CD,过点N作NS∥CD,在BA的延长线上取点G, G :∠DAC=LAEB,MF⊥BF, AD∥BF,∠BFM=90°， .∠ANF=180°-∠BFM=180°-90°=90°， :AB∥CD,MR∥CD,NS∥CD, AB∥MR∥NS∥CD, :∠GAM=∠AMR,∠RMF=∠MFD,∠GAD=∠ANS=LD,∠SNF=∠MFD, :MA平分∠GAD, 2G1M-∠GD=方D, 1 :∠AMF=∠AMR+∠RMr=∠GAM+∠MFDD+∠MFD, .∠D=2∠AMF-2∠MFD, :90°=∠ANF=∠ANS+∠SNF=∠D+∠MFD, 90°=2∠AMF-2∠MFD+∠MFD, ∴.2∠AMF=90°+∠MFD; 72/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：设∠ABE=B, :BE平分∠ABC, 1∠ABC=∠CBE=∠ABE=B, ①若BH在BE的左侧，如图， D H :∠HBC<∠ABC,BP平分∠HBC, BP在BE的右侧，∠HBP=∠CBP=?∠HBC, ZEBP=a, .∠HBC=2∠CBP=2(∠CBE-∠EBP)=2(B-a)=2β-2a, ·.∠ABH=∠ABC-∠HBC=2∠CBE-(2B-2a)=2B-(2B-2a)=2a, :AB∥CD, ∠BHC=∠ABH=2a; ②若BH在BE的右侧，且点H在点C的左侧，如图， :∠CBE=∠ABE=B,LEBP=a, :∠CBP=∠CBE-∠EBP=B-a, .∠HBC=2∠CBP=2(p-)=2B-2a, :∠ABH=∠ABC-∠HBC=2B-2p-2a)=2a, :AB∥CD, .LBHC=∠ABH=2a; ③若BH在BE的右侧，且点H在点C的右侧，如图， 73/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CBE=∠ABE=B,∠EBP=a, .∠CBP=∠EBP-∠CBE=a-B, :.∠CBH=2∠CBP=2(a-B)=2a-2β， ∴∠ABH=∠ABC+∠CBH=2B+2a-2B=2a, :AB∥CD, ∠BHC=180°-∠ABH=180°-2a; 综上所述，∠BHC=2a或∠BHC=180°-2a. 【点晴】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论等知识点，利用分类讨论的思 想解决问题是解题的关键， 35.(24-25七下.重庆荣昌期末)已知AB∥CD,点E,F分别是AB,CD上的动点，EM⊥FM,垂足 为点M,∠BEM和∠CFM的角平分线EN,FN交于点N,∠BEN=a. G D F D万 D M AE B B AE B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E在直线AB上移动到某处，测得a=10°，求∠CFN的度数； (2)如图2，点E在AB上移动过程中，若a=2LCFN,求a的度数； (③)如图3，当点M在直线CD上方时，∠MFD的角平分线的反向延长线交EN于点N.请直接写出LCFN的 度数（用含的式子表示）. 【答案】(1)35 (2)30° (3)45°-a 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 【分析】(I)作MH‖AB,则AB∥CD∥HM,由平行线的性质可得∠BEM=∠HME=20°， LCFM=∠HMF,结合∠HMF+∠HME=90°，即可求解： 74/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)同(1)作MH‖AB,由角平分线的定义得∠BEM=2∠BEN=2a,∠CFM=2∠CFN=a,由平行线的 性质可得∠BEM=∠HME=2a,∠CFM=∠HMF=a,则∠HME+∠HMF=2a+a=90°，即可求解； (3)作MH II AB,则AB∥CD∥HM,由平行线的性质得∠HMF=∠DFM=2LCFN, ∠BEM+∠HMA=∠BEM+∠EMF+∠HMF=180°，即可求解. 【详解】(1)解：如图，作MH‖AB, D :∠BEM和∠CFM的角平分线EN,FN交于点N, M >N AE B :∠BEM=2∠BEN=2a=20°，LCFM=2∠CFN, HM∥AB, :∠BEM=∠HME=20°， :HM∥AB,CD∥AB, CD∥HM, ·∠CFM=∠HMF, EM⊥FM, :∠HMF+∠HME=90°， :2∠CFN+20°=90°， :∠CFN=35°， (2)解：如图，作MH‖AB, D F H :∠BEM和LCFM的角平分线EN,FN交于点N, ·∠BEM=2∠BEN=2a,∠CFM=2∠CFN, :a=2∠CFN, ∠CFM=a, :AB∥CD∥HM, .∠BEM=∠HME=2a,∠CFM=∠HMF=a, ∠HME+∠HMF=2a+a=90°， a=30°； 75/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：如图，作MH I AB,则AB∥CD∥HM, M D AE B 同上可得∠BEM=2∠BEN=2a,∠DFM=2∠DFG=2LCFN, :AB∥CD∥HM, :∠HMF=∠DFM=2LCFN,∠BEM+∠HMA=∠BEM+∠EMF+∠HMF=180°， :2a+90°+2∠CFN=180°， ·∠CFN=45°-a. 36.(24-25七下·重庆巴蜀中学期末)已知，直线AB∥CD,点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于 点F,FG平分∠DFK,∠AEF=a ME A E B 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=70°时，∠GFK=_; (②)点P为射线EF上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM,过点P作PN⊥PM交直线CD于点N. ①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系； ②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出 此时LPNF的度数（用含a的式子表示）· 【答案】(1)55 20∠PNC-∠8MP=90P,②号或号 【详解】(1)AB∥CD .ZKFC ZFEA=a, :a=70°， ∠KFC=70°， ∠DFK=180°-70°=110°， :FG平分∠DFK, 76/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ∠GFK=5∠DFK=55°， 2 故答案为：55； (2)①过点P作AB∥PQ,如图， y ME G 则AB∥CD∥PQ .∠AMP+∠MPQ=180°，∠QPM=∠BMP, PN⊥PM, ∠MPN=90°， 即∠MPQ+∠QPN=90°， .∠QPN=90°-∠QPM=90°-∠BMP, :∠PNC+∠NPQ=180°， :.∠PWC+(90°-∠BMP)=180°， ∴.∠PNC-∠BMP=90°， ②当PN∥FG时，如图， :AB∥CD, .∠CFK=∠AEF=a, ∠DFK=180°-a, :FG平分∠DFK 2DFG=DFK=90-号 1 PN∥FG, ∠PNF=LGFD=90-a, 当PM∥FG时，如图所示， 77/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M :AB∥CD, ∠CFK=LAEF=a, ∠NFP=∠DFK=180°-a, :FG平分∠DFK ∠KFG=2∠DFK=90°-0 2 :PM∥FG :∠KPM=∠KFG=90°-0 :PN⊥PM, ∠NPF=90-∠KPW=号 :∠PNF=180°-∠NPF-∠NFP =180°-9-(180°-a个 故∠PNF的度数为90°-日或g 2 37.(24-25七下·重庆西大附中期末)如图，AB∥CD,点A,E,B,C不在同一条直线上 B B B D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠E+∠C-∠A=180 2如图2，直线PA,CP交于点P,且∠BAF=∠BAE,∠DCP=∠DCE. 3 ①试探究∠E与∠APC的数量关系 ②如图3，延长CE交射线PA于点Q,若AE∥PC,∠BAQ=a(0°<a<22.5),则∠PQC的度数为_（用含 78/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a的式子表示). 【答案】()见解析 (2)①LE=180°-3LAPC;②180°-8a 【详解】(1)证明：如图1，过E作EF∥AB, B --万 :AB∥CD, D 图1 AB∥EF∥CD, .∠AEF=∠A,∠C+∠FEC=180°， :∠E=∠AEF+∠FEC=LA+180°-∠C,即∠E+∠C-LA=180°； 2)解：∠aMF-写BME,∠DCP-写DCE, .设∠BAF=x,∠BAE=3.x,∠DCP=y,∠DCE=3y,由(1)知， ∠E=180°-∠C+∠A=180°-3y-x), 如图2，过P作PG∥CD, G-- -------yP B :AB∥CD, D 图2 AB∥PG, :LGPA=LBAF=x,∠GPC=∠PCD=y, :LAPC=y-x,即∠E=180°-3y-x)=180°-3∠APC; ②如图3，过P作PG∥CD, G--------------y刀 B y Q ZBAO =a, 图3 79/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠QAE=2a, :AE∥PC, .∠QAE=∠APC=2a,由①知，∠AEC=180°-3∠APC=180°-6a, ∴.∠PQC=∠AEC-∠QAE=180°-6a-2a=180°-8a, 故答案为：180°-8a. 【点晴】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 38.(24-25七下七下.重庆荣昌期末)已知AB∥CD,三角形MN0是一个含30°角的直角三角形， ∠MON=30°，∠NM0=90°，LMN0=60°，将顶点M放在直线CD上，点O在AB上移动，∠B0N=a. C M D M O M N A B A B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点O在直线AB上移动到某处，测得a=40°.求∠DMN的度数； (2)如图2，在点O移动过程中，若∠DMN=2LB0N.求a的度数： (3)当点O在直线AB上移动(LA0M=90°的情形除外)的过程中，请直接写出∠DMN的度数（用含的 代数式表示)· 【答案】（①）∠DMN=20° (2)a=20° (3)∠DMN=60°-a或∠DMN=a-60 【详解】(1)解：：∠B0N=a=40°，∠M0N=30°， :.∠B0M=∠B0N+∠M0N=70°， :AB∥CD, ∠0MD=180°-∠B0M=110°， ∠NM0=90°， ∴.∠DMN=∠OMD-∠NM0=20°； (2)解：：∠BON=a,∠DMN=2∠B0N, ∠DMN=2a, AB∥CD, 80/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DMO+∠B0M=∠DMN+∠NM0+∠MON+∠BON=180°， :∠NM0=90°，∠M0N=30°， 2a+90°+30°+=180°， 解得：a=20°. (3)解：①当MN在CD下方时， AB∥CD, :∠DMO+∠BOM=∠DMN+∠NMO+∠MON+∠BON=180°， :∠NM0=90°，∠M0N=30°，∠B0N=a, .∠DMN=180°-90°-30°-a=60°-a; M AO ②当MN在CD上方时， :AB∥CD, :.∠DMO+∠BOM=∠NMO-∠DMN)+∠MON+∠BON=180°， :∠NM0=90°，∠M0N=30°，∠B0N=a, :.(90°-∠DMW)+30°+a=180°， 整理得：∠DMN=a-60°， 0 综上：∠DMN=60°-a或∠DMN=a-60° 39.(24-25七下·重庆潼南期末)如图，直线AB∥CD,点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P在直 线AB,CD之间，连接PE,PF,EF,∠PFE=50°，直线1与直线AB,CD分别交于点M,N, LMNC=a(0°<a<90),EO是∠MEF的平分线，交直线CD于点O. 81/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：LAEP+∠PFC=∠EPF; (2)若PF∥MN,OE∥MN时，求a: (3)将直线1向左平移，并保持PF∥MN,在平移的过程中（除点M与点E重合时），求LEOF的度数（用 含a的式子表示)· 【答案】（①）见解析 (2)a=50° (6)LE0F的度数为，a+25°或65°- 2 【详解】(1)解：：AB∥CD, ∴LAEF+∠CFE=180°， .∠AEP+∠PEF+∠PFE+∠PFC=180°， :∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°， ∴.LAEP+LPFC=∠EPF. (2):PF∥E0, .∠FEO=∠PFE=50°， :EO是∠MEF的平分线， ∴.∠ME0=∠FE0=50°， AB∥CD, :.∠E0F=∠ME0=50°， :OE∥MN, 、∠MNC=E0F=50°， .0=50°. (3)当点M在点E右侧时， 82/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :PF∥MN, .∠PFC=LMNC=a, :AB∥CD, ∠BEF=∠CFE=a+50°， :EO是∠MEF的平分线， :∠BE0=∠BEF=a+25°， 1 2 2 :AB∥CD, 六∠B0F=∠BB0=2a+25°g 当点M在点E左侧时，如图， A MEB :PF∥MN, .ZPFC=ZMNC=a, ∴.∠CFE=o+50°， :AB∥CD, ∴.∠AEF=180°-∠CFE=130°-0， :EC是EF的平分线， ∠AE0= ∠BEF=650-1 , AB∥CD, ∠E0F=∠AE0=65°-1a -a, ∠E0F的度数为a+25°或65°-a. 1 2 【点晴】本题考查利用平行线的性质，三角形的内角和定理.熟练掌握平行线的性质，是解题的关键。 40.(24-25七下·重庆铜梁期末)如图1，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的 83/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 度数 图 图 图4 (①)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作ED∥BC, 所以∠B=,∠C=■ 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， 所以∠B+∠BAC+∠C=180°. (②)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起，得出 角之间的关系，使问题得以解决 如图2，已知AE∥CD,试说明∠ABC=∠A+∠C (3)如图3，己知AE∥CD,4F平分∠BAE,CF平分∠BCD,若∠ABC=100°，则∠AFC的度数为°； (4)如图4，已知AE∥CD,AF,平分∠BAE,CF平分BCD,AF2平分∠EAE,CF2平分∠DCF, AF平分∠EAF2,CF平分∠DCF2.,若∠ABC=a°，则∠Fn的度数为；（用含a的代数式表示） 【答案】(I)∠EAB,∠DAC (2)见解析 (3)130 4360-a1 【详解】(1)解：过点A作ED∥BC, 所以∠B=∠EAB,∠C=∠DAC、 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， 所以∠B+∠BAC+∠C=180°. 故答案为：∠EAB,∠DAC; B 图1 84/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：过点B作BF∥AE,如图， 图2 :BF∥AE,AE //CD, ·BF∥AE∥CD, :∠A=∠ABF,∠C=∠CBF, :.∠ABC=∠ABF+∠CBF=∠A+∠C; (3)解：过点B作BH∥AE,则BH∥AE∥CD, A E B D 图3 :.∠ABH+∠EAB=180°，∠CBH+∠BCD=180°， .∠ABH+∠BAE+∠CBH+∠BCD=360°， :∠ABH+∠CBH=∠ABC=100°， ∴.∠BAE+∠BCD=360°-∠ABC=260°， :4F平分∠BAE,CF平分∠BCD, FLDCF-8CD. 根据(2)的结论可得：∠AFC=∠EAF+∠DCF=∠BAE+ 2 2 =1×260°=130°， 故答案为：130； (4)由(3)得∠BAE+∠BCD=360°-∠ABC=(360-a)°， A E >F2 F3 D 85/86 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AF,平分∠BAE,CF平分∠BCD, :∠AC=∠EA+DcR=BIE+/BCD-2360-aP, :AF2平分∠EAF,CF2平分∠DCF, ∠c=∠R+2Dc5-a4E+BcDj-60-ajp, :AF平分∠EAF2,CF平分∠DCF, ∠4c=∠E4+∠DcR=2B4E+∠BcD-30-a, i5=2360-a. 故答案为： (360-aj9 【点晴】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 86/86